不等式的解法(一)
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。
例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。
对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。
下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。
然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。
∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。
2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。
典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。
当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。
1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。
2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。
解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。
例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。
分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。
解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。
5、不等式解法1(整式、分式、根式)
§6.5 不等式的解法（一）【一线名师精讲】基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。
基本类型不等式的解法： (一)、整式不等式的解法 1、一元一次不等式标准形式：b ax >或)0(≠<a b ax .解法要点：在不等式的两端同时除以a 后，若<a 则不等号要反向。
2、一元二次不等式标准形式：02>++c bx ax 或02<++c bx ax （其中0>a ）。
解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求方程02=++c bx ax 的根。
（3）写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集。
当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0≤∆时，则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解。
3、一元高次不等式（可分解因式型） 标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a 或0)())((21<---n x x x x x x a ()0>a 。
解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求出对应方程的根。
（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。
方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。
即“奇过偶不过”。
（4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为)())((21>---n x x x x x x a 的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a 的解。
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ） 可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ① 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ② ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x 0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。
它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。
解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。
在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。
以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。
具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。
1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。
二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。
具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。
1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。
三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
=0 ＜0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
ax b x2 5x 6 ＞0
1、含参数不等式要注意参数的范围、参数引起 的讨论
2、含两个绝对值不等式的解法 ——零值点法
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x
2、已知a≠b，解关于的不等式： a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a xxb 0
b
( ＞a＞b＞0 )
ax b
a
5、解关于x的不等式： ax2-2(a+1)x+4＞0 (其中a≠0)
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、解不等式时一定要注意“是否有=”。
3、对绝对值不等式一定要分清是 “或”还是“且”， 是求并集还是要求交集。
4、对一元二次不等式，要注意二次项系数a是否大于0
5、数轴标根法—分式不等式—高次整式不等式
6、有关计算的要求------移项、去括号、通分、两边同 乘一个数是正还是负。
不等式的解法(一)
不等式的解法（一）1、 一元一次不等式的解法都可化为ax ＞b 的形式当a ＞0时，解集为｛x|x ＞b a ｝；当a ＜0时，解集为｛x|x ＜b a； 当a=0时，b ≥0，解集为φb ＜0，解集为R例1：已知关于x 的不等式082)2()1(2<---++x x a x a⑴解这个不等式；⑵当此不等式的解集为{}5|<x x 时，求实数a 的值例2.已知关于x 的二次不等式240ax ax a -+->，（1）当1a =时，其解集为 ；（2）若不等式的解集为{|13}x x -<<，则a = ；（3）若不等式的解集为空集，则a 的取值范围 ．3.高次不等式与分式不等式的解法高次不等式化为一边为零，另一边分解因式，使得每个因式x 最高次的系数为正，最右边的区间为正值，然后穿针引线法写出解集。
注意奇次因子穿透，偶次因子不穿透。
分式不等式化为一边为零，另一边通分分解因式，使得每个因式x 最高次的系数为正，最右边的区间为正值，然后穿针引线法写出解集。
注意奇次因子穿透，偶次因子不穿透。
注意: ≤0或≥0时，只能分子的因式为0，而分母的因式不为0。
例3. 解下列不等式：1325)1(2-<---x x x （2）（x 2-1）（2-x ）≥3（x 2-1）（2-x ）x+4反馈训练1.二次函数()R x c bx ax y ∈++=2的部分对应值如下表：则不等式的解集是 ．2.（2006年上海春卷）不等式0121>+-x x 的解集是 . 3．（2006年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ）A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a4.不等式221x x +>+的解集是：（ ） A (1,0)(1,)-+∞ B (,1)(0,1)-∞- C (1,0)(0,1)- D (,1)(1,)-∞-+∞ 5.已知f(x)=1,0,1,0,x x ≥⎧⎨-<⎩,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________. 6.已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。
不等式的解法(一)
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c＜0 （a＞0）
＞0
两相异实根
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时 才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把 二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还 是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后 的解要 求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中最基本的一个概念，它包括两个数的比较，表达方法是“大于”，“小于”，“等于”类型的箭头符号，如“3>2”，表明3大于2；“2≤7”，表明2小于等于7。
不等式是学习运算及分析问题时，很常见的知识点，学过基本运算、数学概念的学生，都需要掌握这方面的知识。
不等式的解法，是一种数学技能，通过这种技能，能够对不等式问题做出正确的判断和结论。
二、不等式的解法1、一元不等式的解法一元不等式的解法指的是，一个变量的不等式的解法，常见的一元不等式比如“x>2”，“2x-1<7”等。
解一元不等式的思路通常如下：（1）将不等式两边同乘以变量上的系数，使不等式两边都变成常数；（2）重新组合不等式两边，取一个公约数；（3）正负号的变换，有助于理解；（4）最后求得不等式的解。
2、二元不等式的解法二元不等式的解法指的是，两个变量的不等式的解决，如解决“x+y<3”等。
解二元不等式的步骤通常如下：（1）首先将不等式的一边化为一个数，再解两个变量的方程；（2）解出方程的解，再结合方程的不等式；（3）求出不等式的解。
三、不等式在实际应用中的作用1、不等式在经济学上的应用不等式也可以用于把经济问题表达为数学模型，比如把一种商品的价格变化率表示为不等式，“P-M<0”，其中P代表市场价格，M代表成本价格。
这样，就可以利用不等式，比较客观的研究经济问题，获取有效的经济数据。
2、不等式在工程学上的应用不等式也可以用于工程中，比如在水力学或梯形法中，用于研究水的流速、水的流量及水的流压。
在这些模型中，都会使用不等式来表达某个条件，从而获取工程中有用的结论。
3、不等式在物理学上的应用在物理学中，也可以使用不等式来表达某个物理现象，比如动量定理：“p=mv”，其中p代表动量，m代表质量，v代表速度。
另外，物理学中的许多原理，如能量守恒原理，都可以用不等式的形式来描述，可以更方便地描述物理现象，从而让科学家更好地掌握科学知识。
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不等式的解法（一）
1、 一元一次不等式的解法
都可化为ax ＞b 的形式
当a ＞0时，解集为｛x|x ＞b a ｝；当a ＜0时，解集为｛x|x ＜b a
； 当a=0时，b ≥0，解集为φ
b ＜0，解集为R
例1：已知关于x 的不等式082)2()1(2<---++x x a x a
⑴解这个不等式；
⑵当此不等式的解集为{}5|<x x 时，求实数a 的值
例2.已知关于x 的二次不等式240ax ax a -+->，
（1）当1a =时，其解集为 ；
（2）若不等式的解集为{|13}x x -<<，则a = ；
（3）若不等式的解集为空集，则a 的取值范围 ．
3.高次不等式与分式不等式的解法
高次不等式化为一边为零，另一边分解因式，使得每个因式x 最高次的系数为正，最右边的区间为正值，然后穿针引线法写出解集。
注意奇次因子穿透，偶次因子不穿透。
分式不等式化为一边为零，另一边通分分解因式，使得每个因式x 最高次的系数为正，最右边的区间为正值，然后穿针引线法写出解集。
注意奇次因子穿透，偶次因子不穿透。
注意: ≤0或≥0时，只能分子的因式为0，而分母的因式不为0。
例3. 解下列不等式：
1325)1(2-<---x x x （2）（x 2-1）（2-x ）≥3（x 2-1）（2-x ）x+4
反馈训练
1.二次函数()R x c bx ax y ∈++=2的部分对应值如下表：
则不等式的解集是 ．
2.（2006年上海春卷）不等式01
21>+-x x 的解集是 . 3．（2006年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x
<a 等价于（ ）
A ．1b －
<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a
4.不等式221
x x +>+的解集是：（ ） A (1,0)(1,)-+∞ B (,1)(0,1)-∞- C (1,0)(0,1)- D (,1)(1,)-∞-+∞ 5.已知f(x)=1,0,1,0,x x ≥⎧⎨-<⎩
,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________. 6.已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。
（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围。
7.已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，j i AB 22+=（j i ,分别是与
y x ,轴正半轴同方向的单位向量）
，函数6)(2--=x x x g 。
（1）求b k ,的值；
（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)
(1)(x f x g +的最小值。
8.已知函数b
ax x x f +=2
)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4. （1）求函数f (x )的解析式；
（2）设k>1，解关于x 的不等式；x
k x k x f --+<
2)1()(
不等式的解法（二）
一、知识要点：
1. 解含有绝对值的不等式关键是去绝对值符号，基本方法是： ①利用绝对值的性质； 0≥x ；a x a x a a x -<>⇔>>或)0(； a x a a a x <<-⇔><)0( |||||||||b a b a b a +≤+≤-
②利用绝对值的定义分类讨论。
③平方法 ；
④利用绝对值的几何意义。
经验方法
|f （x ）|＜g （x ）⇔- g （x ）＜f （x ）＜g （x ）；
|f （x ）|＞g （x ）⇔ f （x ）＞g （x ）或f （x ）＜-g （x ）；
|f （x ）|＜|g （x ）|⇔ f 2（x ）＜g 2（x ）
⇔[f （x ）-g （x ）][ f （x ）+g （x ）]＜0；
形如|x- a|±|x-b|＞m 或|x- a|±|x-b|＜m ，利用绝对值的几何意义求解 形如|ax+a|±|cx+d|＞m 或|ax+b|±|cx+d|＜m 利用绝对值的定义分类讨论 例1. 解下列不等式
⑴|x 2-4|＜x+2 ⑵ |x 2-5x+5|≥1 ⑶｜x －5｜－｜2x ＋3｜＜1
2.指数不等式的解法:
(1) ⇔>)()(x g x f a a )10(),()()
1(),()(<<<>>a x g x f a x g x f
(2)02>++k na ma x x .
令a x =t(t>0)，转化为mt 2+nt+k>0，，先求t 的取值范围，再确定x 的集合。
例1.设函数11()2x x f x +--=，求使()22f x ≥的x 取值范围．
3. 对数不等式的解法:
(1) log a f(x)>log a g(x) (a>0, a≠1)。
⑵。
⑵0log log 2
>++k x n x m a a
令)(log R t t x a ∈=，转化为mt 2+nt+k>0，先求t 的取值范围，再确定x 的集合。
例1.不等式3)61
(log 2≤++x x 的解集为
当0<a<1时，
当a>1时
例2.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）
二、反馈训练
1.不等式｜x ＋1｜＋｜x －1｜≤2的解集为_______________．
2.不等式1|35|9x <-≤的解为 ．
3.|x x 2log 2+|＜|log |22x x +的解集为
4. |x x-1
|＜1的解集为 5.x 2-4|x|-12＞0的解集为
6.不等式
0log )2(22>-x x 的解集是 7.(2006年山东卷)设f (x )= 1232,2,log (1),2,
x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 ( ) (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞）
(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）
8.不等式组⎩⎨⎧>-<-1
)1(log 2|2|22x x 的解集为 ( ) （A ） (0,3)； (B) (3,2)； (C) (3,4)； (D) (2,4)。
9.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如 右图,则不等式f(x)<0的解集是 .
10.已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2
+2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；
(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．
（Ⅲ）若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围。