矿大高数 8.6微分法在几何上的应用

曲线在M处的切线方程
x x 0 y y0 z z 0 . ( t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 )
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
解 : 设切点为x0 , y0 , z0 ) T {1,2 x0 ,3 x0 2 } (
而 n {1,2,1}
x 2 y z 4的 切线 方程
1 4 x0 3x0
2
1 1 1 对应点 : ( 1,1,1), ( , , ) 3 9 27 切线方程 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 3 9 27 和 2 1 1 1 2 3 3 3
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因为 ( x0 , y0 , z0 ) 是曲面上的切点， 满足方程 x0 1, 所求切点为 (1,2,2), ( 1,2,2), 切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12( z 2) 0 x 4 y 6 z 21
切平面方程(2)
特殊地：空间曲面方程为 z f ( x , y )
令 F ( x, y, z ) f ( x, y ) z,
曲面在M ( x0 , y0 , z0 )处的法向量
n { f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1}
曲面在M处的切平面方程为
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
x x 0 y y0 z z 0 , 1 y( x0 ) z( x0 )
( x x0 ) y( x0 )( y y0 ) z( x0 )(z z0 ) 0.
6
例 2 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ， x y z 0 在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
z


M
x
o
M
y
1
割线 MM 的方程为
z


M
x x 0 y y0 z z 0 x y z
M
x
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 t ,
x x0 y y0 z z0 , x y z t t t
2
当M M ,即t 0时 ,
法平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )( z z0 ) 0.
5
y y( x ) F ( x, y, z ) 0 2.空间曲线方程为 , 隐式确定 z z( x ) G ( x , y , z ) 0
M 平面上 问 题: 这些曲线在 点的切线是否都在同一 10 ?
命题: 在光滑曲面 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处 的切线都在同一平面上.
称此平面为曲面在点M的切平面 .
事实上, 因
n
: x (t ) , y (t ) , z (t ) F ( ( t ) , ( t ) , ( t ) ) 0
将方程组对求导 x
dy dz Fx F y dx Fz dx 0 G G dy G dz 0 y z x dx dx
y( x ), z( x ),
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为
法平面方程为
切向量 T {1, y( x0 ), z( x0 )}
2( x 1) 8( y 2) 12( z 2) 0 x 4 y 6 z 21
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使曲面 x y z 与球面 x 2 y 2 z 2 例7. 确定正数
a 2 在 M ( x0 , y0 , z0 ) 相切.
解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
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对于 : z f ( x, y),在M ( x0 , y0 , z0 )点
若 、 、 表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角 是锐角，
由 T n T n 0 1 0 x0 1, x0 3
9
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) 0 在曲面上任取一条过
n
M T
M ( x0 , y0 , z0 )的曲线 x (t ) : y ( t ), z (t ) 曲线在M处的切向量 T { (t0 ), (t0 ), (t0 )}, 曲面上过 点有无穷多条曲线 M .
可化为参数方程
x x y ( x ), z ( x)
y ( x) , z ( x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处, 切向量 T { 1, ( x 0 ) , ( x 0 ) }
x x 0 y y0 z z 0 切线方程为 , 1 ( x 0 ) ( x 0 )
n
M
T
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例 4
求曲面 z e z 2 xy 3 在点(1,2,0) 处的
z
切平面及法线方程.
解 令 F ( x, y, z ) z e 2 xy 3,
Fx 2 y
Fy 2 x
Fz 1 e z
Fx (1, 2, 0 ) 2 y (1, 2, 0 ) 4, Fy (1, 2 , 0 ) 2 x (1, 2 , 0 ) 2,
记T (t0 ) , (t0 ) , (t0 ) n Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 ) ( t 0 ) 0

由于曲线 的任意性表明这些切线都在以 n为法向量 , 从而切平面存在 . 的同一平面上 ，
T n

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曲面在点M的法向量 n Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z 0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y 0 , z 0 ) ( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z z 0 ) 0 法线方程 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
n1 y0 z0 , x0 z0 , x0 y0 , n2 x0 , y0 , z0 二曲面在点 M 相切, 则有 n1∥ n2 x 0 y0 z 0 x 0 y0 z 0 x 0 y0 z 0 y0 z 0 x 0 z 0 x 0 y0 2 2 2 x0 y0 z0 x0 y0 z0
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
法向量 n {2 x0 ,4 y0 ,6z0 }
切平面方程为
2 x0 ( x x0 ) 4 y0 ( y y0 ) 6z0 ( z z0 ) 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 , 2 x0 y0 z0 . 1 4 6
dz {1, 0,1},
x 1 y 2 z 1 , 所求切线方程为 1 0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) ( z 1) 0,

xz0
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例3 求 曲线 x 2 , z x 3上 平行 于平 面 y
x(0) 1,
切线方程
y(0) 2, z(0) 3,
x 0 y 1 z 2 , 1 2 3 法平面方程 x 2( y 1) 3( z 2) 0,
切向量 T 1 2， （，3 ）

即 x 2 y 3 z 8 0.
4
特殊地： 1.空间曲线方程为
第六节 微分学在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
x (t ) 设空间曲线的方程 y ( t ) z (t ) (1)
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z 0 ) 对应于 t t 0 ;
M ( x0 x , y0 y , z0 z ) 对应于 t t0 t .
两边对 t 求导, t t0 M ( x 0 , y0 , z 0 )
M T
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( t 0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( t 0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) ( t 0 ) 0
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Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( t 0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( t 0 )
Fz (1, 2 , 0 ) 1 e
z ( 1, 2 , 0 )
0,
n {4,2,0}
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 ( z 0) 0, 2 x y 4 0,
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法线方程
x 1 y 2 z 0 . 2 1 0