高考数学艺体生百日突围专题(01)三角函数综合(综合篇,含答案)

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2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺15 三角函数的综合(解析版)

1 / 272021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题15 三角函数的综合1．判定三角形形状的2种常用途径2．判定三角形形状的3个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；与三角形面积有关问题的解题模型题型一结构不良题型例1、在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________?2 / 27注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =．方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c = 方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c=．由③c=，与b c=矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos5A=，cos C=，②sin sin sinc C A b B=+，60B =，③2c=，1cos8A=三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a=，______，求ABC的面积S.【解析】选①∵3cos5A=，cos C=，∴4sin5A=，sin C=∴()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C=+=+43555525=⨯+⨯=，由正弦定理得3sin254sin5a BbA⨯===，3/ 274 / 27∴1199sin 32240S ab C ==⨯=. 选②∵sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+.∵3a =，∴223b c =-.又∵60B =，∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， ∴4c =，∴1sin 2S ac B == 选③∵ 2c =，1cos 8A =， ∴ 由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502b b --=，解得52b =或2b =-（舍去）.sin A ∴==∴ABC的面积115sin 2222816S bc A ==⨯⨯⨯=.5 / 27故答案为：选①为9940；选②为16. 变式2、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积. 【解析】若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：6 / 27由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以22bc =，即24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A +=π-，所以cos2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠， 1sin22A ∴=，26A π=，所以3A π=. 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，7 / 27a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 变式3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①b ac -=2cos 22cos 12AA +=；③a =b = （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【解析】（1）由①()33b a c c a b -+=+得，()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-== 由②2cos 22cos12AA +=得，22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾. 所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④；（2）若ABC ∆满足①，③，④，8 / 27因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=.解得2c =-.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B == 若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A == 题型二、三角函数的性质例2、（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++.（1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 【解析】（1）由题设知()sin 21cos 21224f x x x x π⎛⎫=-+++=++ ⎪⎝⎭，()10,221,cos 2442f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=++=∴+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32244x k πππ+=+或522,44x k k Z πππ+=+∈ 得4x k ππ=+或2x k ππ=+，9 / 2712123(0,),,,424x x x x x ππππ∈∴==∴+=（2）=()y f x 图像向左平移6π个单位，得222222643412y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦再向下平移2个单位得()212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭当[,]33x ππ∈-时，73(2)[,]12124x πππ+∈-，sin(2)[1,1]12x π+∈- ()f x ∴在[,]33ππ-，最小值为.变式1、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②向量()3sin ,cos 2m x x ωω=，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）若02πθ<<，且sin 2θ=，求()f θ的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）2756363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，【解析】10 / 27解：方案一：选条件① 由题意可知，22T ππω==，1ω∴= ()()1sin 22f x x ϕ∴=+，()1sin 226g x x πϕ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又函数()g x 图象关于原点对称，,6k k Z πϕπ∴=+∈，2πϕ<，6πϕ∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，（1）0,sin 2πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π=4=；（2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．方案二：选条件②()113sin ,cos 2,cos ,24m x x n x ωωω⎛⎫== ⎪⎝⎭，()fx m n ∴=⋅31cos cos 224x x x ωωω=+112cos 2222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又22T ππω==，1ω∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，11 / 27（1）0,sin 2πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π=4=；（2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．方案三：选条件③()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos sin cos cos sin 664x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211cos cos 224x x x ωω=+-12cos 244x x ωω=+11sin 2cos 2222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又22T ππω==，1ω∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，（1）0,sin 2πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π==；（2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤. ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．变式2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数12 / 27()()2cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且AC =1CD =，求三角形ABC 的面积.【解析】（1）()1cos 21sin 21sin 22262x f x x x ωπωω-⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭. 因为相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以T π=，即22ππω=，所以1ω=. 故()1in 26s 2f x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=. 令()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由()1sin 2162f B B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，即1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由02B π<<得72666B πππ<+<，所以5266B ππ+=，解得3B π=.再由己知：AC =1CD =，2AD =.13 / 27∴在ADC 中，由2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅，得cos C =，又0,2C π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，∴4C π∠=，∴712BAC B C ππ∠=-∠-∠=.又7sinsin 12344πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，在ABC 中，由sin sin AB ACC B=，得2AB =，∴113sin 22242ABC S AB AC BAC =⋅⋅⋅∠=⨯=△. 题型三、三角函数性质的综合运用例3、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（） A．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，14 / 27得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈，所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确； 3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈，所以选项D 正确. 故选：ACD变式1、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点【答案】CD【解析】∵函数f （x ）＝sinx ﹣cosx =（x 4π-）15 / 27∴g （x ）＝f '（x ）＝cosx +sinx =（x 4π+），故函数函数f （x ）的值域与g （x ）的值域相同，且把函数f （x ）的图象向左平移2π个单位，就可以得到函数g （x ）的图象，存在x 0=+,4k k Z ππ-∈，使得函数f （x ）在x 0处取得极值且0x 是函数()g x 的零点，函数f （x ）在,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，g （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上也为增函数，∴单调性一致，故选：CD ．变式2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.16 / 27由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确. 由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.变式3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称【答案】ACD【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确； ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.17 / 27故选：ACD1、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数【答案】B【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x的最小值为，故C 错误；对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误．故选：B ．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( )18 / 27A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈，19 / 27因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.3、（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【解析】（1）()cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 22sin 22f x x x a x x a π⎛⎫∴=+++=++ ⎪⎝⎭2sin 23x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21a ∴+=，1a ∴=- （2）将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象， ()22sin 212sin 216633g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，20 / 270,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2252,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ ∴当22233x ππ+=时，2sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()g x 1，当23232x ππ+=时，2sin 213x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()g x 取最小值3-. 4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若[0,2]x π函数()f x 的最大值和最小值.【解析】（1）∵函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小值是-2，∴2A =，∵()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴24T ππω==，解得：12ω=又∵()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭， ∴123k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，k ∈Z ﹐解得：6k πϕπ=+，k ∈Z ，又∵(0,)ϕπ∈，解得：6π=ϕ.21 / 27可得：1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为1222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ∴424433k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 所以()f x 的递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）∵[0,2]x π∴17,2666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴11sin 1226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴1()2f x -≤≤所以()f x 的最大值为2，最小值为-1.5、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【解析】22 / 27选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠4822202⎛⎫=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2sin cos θθ=，23 / 27又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ== 6、（2020cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B =又0B π<<，得23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-，24 / 27即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯= 在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠.从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈，所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+- 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以11sin 4222ABCSac B ==⨯⨯= 在横线上填写“sin sin2A Cb A +=”解：由正弦定理，得sin sin sin2BB A A π-=.25 / 27由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 2B B =由二倍角公式，得2sincos 222B B B =. 由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 2B =. 所以23B π=，即23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△1422=⨯⨯= 7、在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积. 【解析】（1）因为()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得26 / 27()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 2b c A bc a +===-，因为0A π<<，所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin ab B A == 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222222cos4c c π=+-⨯，解得c =所以ABC的面积11sin 21222S ac B ==⨯⨯⨯=. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =.所以c =，所以ABC的面积111sin2222S bc A==⨯⨯=27/ 27。

百强校高考数学艺体生综合篇1：三角函数与解三角形

百强校高考数学艺体生综合篇1：三角函数与解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．【2018届广东省江门市高三3月模拟（一模）】在△中，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）△的面积，求△的边的长．2．【2018届甘肃省高三第一次诊断性考试】中，三个内角的对边分别为，若，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积.3．设函数.（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；（2）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.4．【2018届浙江省嵊州市高三第一学期期末】已知函数，（1）求；（2）求的最大值与最小值.5．已知函数()3(0)22f x sin x cos x ωωω=+>的周期为4.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()g x 的图象， ,P Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点(如图），求OQP ∠的大小.参考答案1．(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，所以，再由可得，从而可得．（Ⅱ）由和正弦定理得，根据面积可得，解得，然后根据余弦定理可得．试题解析：（Ⅰ）由得，，∴，∵，∴，∴，∴．（Ⅱ）设角、、所对边的长分别为、、由和正弦定理得，又，∴解方程组，得（负值舍去），在△中，由余弦定理得，∴．2．（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题中向量垂直得到，再由正弦定理得到，从而得到角B；（2）由余弦定理得到，因为，∴，得到，从而求得面积.解析：（Ⅰ）∵，∴，∴∴，∴，∴.（Ⅱ）根据余弦定理可知，∴，又因为，∴，∴，∴，则.3．（1）最小值为，取最小值时的的集合为；（2）详见解析. 【解析】（1），故当，即当，函数取最小值，即，此时，函数取最小值时的取值集合为；（2）解法一：先将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，然后再将函数的图象的纵坐标伸长为原来的倍即可得到函数的图象；解法二：先将函数的图象的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，然后再将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象.4．（1）1；（2）最大值；最小值.【解析】试题分析：（1）将代入函数解析式，利用特殊角的三角函数求解即可；（2）利用两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，由，求得，结合正弦函数的图象，利用正弦函数的单调性可得的最大值与最小值.试题解析：（1），所以（2）.因为，所以.又因为在区间上是递增，在区间上递减.所以，当，即时，有最大值；当，即时，有最小值.5．(1) ()23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ (2) 6OQP π∠=【解析】试题分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为()3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数的周期为24πω=，求得ω 的值，可得()f x 的解析式；（2）由条件根据()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，可得函数()2g x x π=，求出,P Q 的坐标，可得2,4,OP PQ OQ ===利用余弦定理求得cos θ的值，从而得θ的值．试题解析：（1）()3cos 2f x x x ωω=+1sin cos 22x x ωω⎫=+⎪⎪⎭sin cos cos sin 33x x ππωω⎫=+⎪⎭3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵4,0T ω=>，∴242ππω==.∴()23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()2g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴((,3,P Q .∴2,4,OP PQ OQ ===∴222cos 2OQ PQ OP OQP OQ QP +-∠==⋅. ∴6OQP π∠=.。

高考数学艺术生百日冲刺专题三角函数测试题

专题4三角函数测试题命题报告：高频考点：三角函数求值和化简、三角函数的图像和性质，三角函数恒等变换以及解三角形等。

考情分析：本单元再全国卷所占分值约15分左右，如果在客观题出现，一般三题左右，如果出现值解答题中，一般一题，难度不大重点推荐：第22题，是否存在问题，有一定难度。

21题数学文化题。

一．选择题1.若角600°的终边上有一点（﹣1，a），则a的值是（）A．B．C．2 D．﹣2【答案】：B【解析】角600°的终边上有一点（﹣1，a），∴tan600°=tan（540°+60°）=tan60°==，∴a=﹣．故选：B2.（2018•贵阳二模）已知sin（π﹣α）=﹣，且α∈（﹣），则tan（2π﹣α）=（）A．B．C．D．【答案】：B3.（2018•安徽二模）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ=（）A．B．C．D．【答案】：B【解析】∵θ为第三象限角， =，∴tanθ==2，再根据sin2θ+cos2θ=1，sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθ=﹣，cosθ=﹣，∴sinθ﹣cosθ=﹣，故选：B．4.函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是（）A．B．C．D．【答案】：B【解析】函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后，可得y=sin（2x﹣+φ）．∵图象关于原点对称，∴φ﹣=kπ，k∈Z可得：φ=．当k=0时，可得φ=．故选：B．5.（2018•桂林三模）关于函数f（x）=2cos2+sinx（x∈[0，π]），则f（x）的最大值与最小值之差为（）A．3 B．2 C．0 D．﹣2【答案】：A【解析】f（x）=2cos2+sinx=cosx+sinx+1=，∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，可得sin（x+）∈[﹣，1]，∴函数f（x）∈[0，3]，则f（x）的最大值与最小值之差为3．故选：A．不能靠近．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？【分析】△PAB中，∠APB＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理得＝⇒AP＝50.△QAB中，∠ABQ＝90°，∴AQ＝100，∠PAQ＝75°－45°＝30°，由余弦定理得PQ2＝(50)2＋(100)2－2×50×100cos30°＝5000，∴PQ＝＝50.因此，P，Q两棵树之间的距离为50 m，A，P两棵树之间的距离为50 m.18.（2018秋•重庆期中）已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=f（B）且A≠B，a=1，c=，求b．【解析】：（Ⅰ） f （ x）=cos 2x+1+sin 2xcos﹣cos2xsin=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1∴当sin（2x+）=时，可得f （ x）的最大值为 2；（Ⅱ） f （ A）=f （B）⇒sin（2A+）=sin（2B+），且 A≠B，∴2A++2B=π，即 A+B=，那么：C=π﹣A﹣B=，余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，即13=1+b2+b，∴b=3．19.函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x．（1）请把函数f（x）的表达式化成f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的形式，并求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在x∈[，]时的值域．【解析】：（1）函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos（）cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin （2x﹣）+1，∴f（x）的最小正周期T=．（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x﹣）+1∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]∴≤sin（2x﹣）≤1，则2≤f（x）≤3故得函数f（x）在x∈[，]时的值域为[2，3]．20.（2018春•金华期末）已知函数的最大值为3．（1）求a的值及f（x）的单调递减区间；（2）若，，求cosα的值．【解析】：（1）====．当时，f（x）max=2﹣1+a=3，∴a=2．由，k∈Z．得到，k∈Z．∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z；（2）∵，，∴，又，∴，∴，∴==．21.已知函数，（ω＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若方程f（x）=﹣1在（0，π）上只有三个实数根，求实数ω的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的值域求得函数f（x）的值域．（Ⅱ）求出方程f（x）=﹣1在（0，π）上从小到大的4个实数根，再根据只有三个实数根，求出实数ω的取值范围．【解析】：（Ⅰ）函数=sinωx+2cos（﹣）sin（﹣）=sinωx+2cos（﹣）sin（﹣）=sinωx+sin（ωx﹣）=sinωx﹣cosωx=2sin （ωx﹣），故函数f（x）的值域为[﹣2，2]．（Ⅱ）若方程f（x）=﹣1，即sin（ωx﹣）=﹣，∴ωx﹣=2kπ﹣，或ωx﹣=2kπ﹣，k∈Z．即x=，或 x=，（0，π）上，由小到大的四个正解依次为：x=，或x=，或x=，或x=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上只有三个实数根，∴，解得＜ω≤．22.已知函数f（x）=sinωx（sinωx+co sωx）﹣（ω＞0）的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）当x∈[﹣π，π]时，求f（x）最大值与最小值及相应的x的值；（Ⅲ）是否存在锐角α，β，使a+2β=，f（）•f（2）=同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．【思路分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可得函数解析式f（x）=sin（2ωx﹣），利用正弦函数的周期公式可求ω的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（x﹣），由﹣π≤x≤π，可求范围﹣≤﹣≤，根据正弦函数的图象和性质即可计算得解．（Ⅲ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求tan2β=，结合范围β为锐角，0＜2β＜π，可得β=，α=﹣2β=，即可得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（x﹣），由﹣π≤x≤π，得：﹣≤﹣≤，∴﹣1≤sin（x﹣）≤，∴f（x）min=﹣，此时x﹣=﹣，解得x=﹣；f（x）min=，此时x﹣=，解得x=π．………………………（7分）（Ⅲ）存在，理由如下：存在，理由如下：∵f（α+）=sin，f（2β+）=sin（β+）=cosβ，∴f（α+）•f（2β+）=sin cosβ=，∴sin cosβ=，………………………（9分）又a+2β=，a=﹣2β，∴sin cosβ=sin（﹣β）cosβ=，∴（cosβ﹣sinβ）cosβ=，∴cos2β﹣sinβcosβ=，∴×﹣sin2β=，即：cos2β﹣sin2β=0，∴tan2β=，又β为锐角，0＜2β＜π，∴2β=，β=，从而α=﹣2β=．………………………（12分）。

高考数学艺体生百日突围专题数列的通项与求和(综合篇含答案)

【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题三数列的通项与求和数列的通项【背一背根底知识】：假设数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-． 3．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== 4.等差数列性质：假设n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和，那么 ①()n m a a n m d =+-；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a +=+； ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列；5.等比数列性质：假设n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和，那么 ①n m n m a a q -=；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a = ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列〔其中1q ≠-或n 不是偶数〕；【讲一讲根本技能】 1. 必备技能：〔1〕等差数列的断定：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔2〕等比数列的断定：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔3〕数列通项公式求法：①观察法：对数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系构造，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.②累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数③累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数④构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+〔其中p 是常数〕型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项对递推公式为nS 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适宜n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适宜n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2. 典型例题例1 在数列{}n a 中，11,a =()11,2.1n n n a a n a --=≥+(1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S .【分析】〔1〕递推式，要求通项公式，我们应该把进展变形，看能否构成等差〔比〕数列，由111n n n a a a --=+得1111111n n n n a a a a ---+==+，从而新数列1{}na 是等差数列，通项可求；〔2〕根据〔1〕求出2n n a a +=1(2)n n +=111()22n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕由于()11,21n n n a a n a --=≥+，那么11111111111n n n n n n a a a a a a ----+==+⇔-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差1的等差数列，那么1n n a =，所以n a =()1,n N n *∈.例2例3 在数列{}n a 中，n n a n na 21+=+，且21=a . (1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S 【分析】〔1〕由n n a n n a 21+=+得+12n n a na n =+，即111n n a n a n --=+，故2113a a =，3224a a =， , 111n n a n a n --=+,用累乘法得12(1)n a a n n =+，故4(1)n a n n =+；〔2〕根据〔1〕求出n a =4(1)n n +=114()1n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕∵n n a n n a 21+=+，∴+12n n a na n =+， ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅122142143(1)n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅⋅=++. 〔2〕因为n a =4(1)n n +=114()1n n -+，所以n S =11111114(1)4()4()4()223341n n -+-+-++-+=41n n +.例 3 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*N n a S n n ∈-=，数列{}n b 中，11b ，121n n n b b b +=+．〔*n N ∈〕〔1〕求数列{}n a ,{}n b 的通项n a 和n b 〔2〕设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】〔1〕由22n n S a =-，可得当n ≥2时，1122n n S a --=-，两式相减可得12n n a a -=，从而可知数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得2n a n =；根据121nn n b b b +=+，两边取倒数，可得数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求{}n b 的通项；〔2〕()212n nn na c nb ==-⋅，所以数列{}n c 的前n 项和n T 利用错位相减法可求数列{}n c 的前n 项和.【解析】【练一练趁热打铁】{}n a 中，其前n 项和n S 满足：11=S ，1221--=n n S n n S (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.【答案】2(1)n a n n =+．【解析】2.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2)数列{}3log n n a a +的前n 项和n T . 【答案】〔1〕13n n a =；〔2〕nT =11(1)(1)232n n n +--．【解析】〔1〕由题意，2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=，∴1113333n n n n a --=-=，13n n a =，又113a =适宜上式，∴13n n a =，*n N ∈．〔2〕由〔1〕3log n na a +=13nn -，所以n T =211112333n n -+-++-=211112333n n +++----=11(1)(1)331213n n n -+--=11(1)(1)232n n n +--. 数列的求和【背一背根底知识】1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =+++．2．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=． 3．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩，【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时假设有公式可提，并且剩余项的和易于求得，那么这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的互相抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }假设为等差数列，那么1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.常见的拆项公式： ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1； ②1nn ＋k＝1k (1n －1n ＋k )； ③12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)； ④1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．例1数列{}n a 满足11a ＝，1()(1)1n n na n a n n ＋＝＋＋＋，*n ∈N ．〔1〕证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；〔2〕设3n n n b a ={}n b 的前n 项和n S ．【分析】〔1〕将等式两边同时除以(1)n n +即可使问题得证；〔2〕先由〔1〕得出n b 的表达式，再用错位相减法即可求解．【解析】例2正项数列{n a }，{n b }满足：，{n b }是等差数列，且对任意正整数n ，都有成等比数列．〔1〕求数列{n b }的通项公式；〔2〕求n S ＝12111na a a +++．【分析】〔1〕因为成等比数列，所以，由得，解得：，所以公差，数列的通项公式为；〔2〕由知，，所以，采用裂项相消的方法，即可求出．【解析】〔1〕∵对任意正整数n ，都有成等比数列，且数列{n a }，{n b }均为正项数列， ∴n a ＝〔n∈N *〕．由a 1＝3，a 2＝6得又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝，b 2＝，∴数列{b n }是首项为，公差为的等差数列．∴数列{b n }的通项公式为n b ＝〔n∈N *〕．〔2〕由〔1〕得，对任意n∈N *，＝(1)(2)2n n ++，从而有，∴例3数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-. 〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设{}n a 的前n 项和为n T ，求n T .【分析】〔1〕由题知112()n n a n a n +++=+，所以{n a n +}是首项为2公比为2，利用等比数列的通项公式即可求得数列{n a n +}的通项公式，从而即可求得数列{}n a 的通项公式．〔2〕采用分组求和法求和．【解析】【练一练趁热打铁】1. 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1)求数列{}n a 的通项；〔2〕设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】〔1〕13n na =；〔2〕1213344n n n S +-=⋅+．【解析】2. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ，求证：4151<≤n M ．【答案】〔1〕4-3n a n =；〔2〕见解析．【解析】3. {}n a 是各项均为正数的等比数列，31a +是2a 与4a 的等差中项且212n n n a a a ++=+．〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2(1)n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕12n n a -=；〔Ⅱ〕1122+12n n n --+．【解析】〔20*5=100分〕1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=1341,,a a a 成等比数列．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕21n a n =+；〔Ⅱ〕 22 4.n n T n +=+-【解析】〔Ⅰ〕依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ ,解得13,2.a d =⎧⎨=⎩ 因此1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+．〔Ⅱ〕依题意，1212212+=+⨯==+n n n n a b ． 12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++ =23122 (2)n n +++++4(12)12n n -=+-22 4.n n +=+- 2. 设数列{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有22n n S a n =-．〔1〕设2n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，〔2〕求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕详见解析〔2〕2(1)24+(1)n n T n n n +=-++【解析】由①—②得：2341212+12+12++122n n n T n ++'-=⨯⨯⨯⨯-⨯22242n n n T n ++'-=--⨯2(1)24n n T n +'=-+由123n T n ''=++++可得(1)2n n n T +⋅''= +n n T T '=2n T ''=2(1)24+(1)n n n n +-++3. 数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= 〔1〕求证：数列{}n a 是等差数列；〔2〕设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕21n n + 【解析】4. 数列{}n a 满足11=a ，*++∈=-N n n a a na n n n ,11．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设nnn a b 2=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求n T ．【答案】〔1〕)(1*∈=N n na n ；〔2〕22)1(1+⋅-=+n n n T ．【解析】5. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N *=-∈．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设+1131,log 1n n n n nb b bc a n n ==++{}n c 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕()1=3n n a n N *∈；〔2〕11n -+ 【解析】〔1〕当1n =时，由21n n S a =-，得：11=.3a由21n n S a =- ① ()-1-1212n n S a n =-≥ ② 上面两式相减，得：()11=23n n a a n -≥所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得：()1=3n n a n N *∈。

艺考生文化课新高考数学百日冲刺复习课时分组冲关：第3章三角函数、解三角形第3节

第三章第3节1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π 解析：C [f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x＝sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的周期T ＝2π2＝π.故选C.] 2．(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35D.15 解析：A [由诱导公式得cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则f (x )＝ 15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最大值为65.故选A.] 3．函数f (x )＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数 D ．最小正周期为π2的奇函数解析：B [因为函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝ cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B.] 4．(2019·昆明市一模)若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z 解析：B [直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，∴a ＝12，∴不等式化为tan x ≥1，解得k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z ；∴所求不等式的解集为{x |k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z }．]5．(2019·长春市一模)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π)，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )A ．f (φ)＝2B.⎝⎛⎭⎫π6，0是f (x )图象的一个对称中心C ．∅＝π3D ．x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴解析：A [函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)，且f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12.又0＜φ＜π，∴φ＝π6或5π6；当φ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝2，当φ＝5π6时，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π6＋5π6＝2，故A 正确．]6．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：由f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，有3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k 3π＋π9，由0≤k 3π＋π9≤π得k 可取0,1,2，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上有3个零点．答案：37．函数f (x )＝3＋2cos x 的定义域为________．解析：要使函数f (x )＝3＋2cos x 有意义，则3＋2cos x ≥0即cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，所以，在实数集上不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z 8．(2019·鄂伦春自治旗一模)若函数f (x )＝1＋a sin (ax ＋π6(a ＞0))的最大值为3，则f (x )的最小正周期为______．解析：函数f (x )＝1＋a sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π6的最大值为3， ∴1＋a ＝3，解得a ＝2.∴f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝π. 答案：π9．(2019·玉溪市模拟)设函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1(1)求f ⎝⎛⎭⎫π2(2)求f (x )的最大值和最小正周期．解：(1)函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π2－π4＋1＝2×22＋1＝2. (2)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，当2x －π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π8＋k π，k ∈Z 时， f (x )取得最大值为2＋1，最小正周期为T ＝2πω＝π. 10．(2019·泸州市模拟)已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a 的最大值为22. (1)求a 的值；(2)求使f (x )≥0成立的x 的集合．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a ＝12sin 2x －1＋cos 2x 2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋a －12，∴f (x )max ＝22＋a －12＝22，∴a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由f (x )≥0，得22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥0，即2k π≤2x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ， ∴π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )≥0成立的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .。

2019年高考数学备考艺体生百日突围系列强化训练01(理)解析版

2106届艺体生强化训练模拟卷一（理）一．选择题.1. 已知集合}22{≤≤-=x x M ，}1{x y x N -==，那么=N M （） A ．}12{<≤-x x B ．}12{≤≤-x x C ．}2{-<x x D ．}2{≤x x【答案】B【解析】因为{}{}{|10|1,N x y x x x x ===-≥=≤又因为}22{≤≤-=x x M ，所以=N M {}|1x x ≤⋂{22}x x -≤≤=}12{≤≤-x x ，所以应选B.2. 2015i ++，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由于4()n k k i i n Z +=∈，所以22015231i i i i i i +++=++=-，所以1(1)111(1)(1)22i z i i i i ---===-+++-，对应点11(,)22-，在第二象限，故选B ．3. 下列说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“220x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题D ．“t an 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件【答案】C 【解析】4. 已知向量)2,1(=，)1,3(21=-b a ，)3,(x =，若()//2+，则=x （） .A 2- .B 4- .C 3- .D 1-【答案】C【解析】由题意，()1(3,1)2(3,1)4,22a b b a ⎡⎤-=⇒=-=-⎣⎦，则()()2=-5,52//-15-503a b a b c x x ++∴=∴=-，故选C.5. 已知等差数列{}n a 中,25a = ,411a =,则前10项和=10S （） A ．55 B ．155C ．350D ．400【答案】B【解析】由21110(101)10124152101553113a a d a S a d a a d d -=+==⎧⎧⇒∴=+=⎨⎨=+==⎩⎩. 6．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6，则输入的整数0S 的可能值为（）A ．5B ．6C ．8D ．15 【答案】C 【解析】7．函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（）【答案】B 【解析】8．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50）,[50,60），[60,70),[70,80)，[)90,80，[)100,90 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A ．588B ．480C ．450D ．120 【答案】B【解析】由频率分布直方图可知，该模块测试成绩不少于60分的频率为(0.0300.0250.0150.010)10+++⨯＝0.8，所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为4808.0600=⨯，故选B ．9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c , 且(2)cos cos b a C c A -= , 3c =,sin sin sin A B A B +=，则ABC ∆的面积为( )A.8 B.2 C.2 D.4【答案】D【解析】2221(2)cos cos ,,cos ,=23b a Cc A a b c ab C C π-=∴+-=∴=∴，结合sin sin sin A B A B +=可得()sin sin sin sin A B C A B += ，由正弦定理可得()222,,c 2cos a b c a b a b ab C +=∴+==+- ，()22390,3ab ab ab ∴--=∴=，1sin 2ABC S ab C ∆∴==，故选D. 10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为c 35（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（） A ．25 B ．253 C ． 23 D ．53【答案】C 【解析】二、填空题. 11.二项式5的展开式中常数项为．【答案】10-.【解析】因为二项式5的展开式的通项为：1555655((1)rr r r r rC C x --=-，令1550r -=，即3r =，所以其展开式中的常数项为：335(1)10C -=-，故应填10-.12．设变量,x y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为 .【答案】7-【解析】如图作出约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩的可行域，ABC ∆内部（含边界），再作出直线0:20l y x -=，当把直线0l 向下平移时对应的2z y x =-在减小，向上平移时，z 增大，因此当平移直线0l 过点(5,3)B 时，z 取得最小值7-.13. 若函数()cos2sin f x x a x =+在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．【解析】三．解答题14. 在公差不为零的等差数列{n a }中，32=a ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }的前n 项和为n S ，记nn S b 31=. 求数列}{n b 的前n 项和n T .【解析】①设{n a }的公差为d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+=+0)6()2(311211d d a a d a d a ，解得 21=a ，1=d ，∴ 1)1(2⨯-+=n a n 即 1+=n a n . ② .2)1(92)132(32)(3313+=++=+=n n n n a a n S n n)111(92)1(9213+-=+==n n n n S b n n )1(92)]111()3121()211[(9221+=+-++-+-=+++=n nn n b b b T n n故 T n =)1(92+n n.15. 汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5量进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120/x g km =乙.（Ⅰ）求标准x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；（Ⅱ）从被检测的5量甲品牌轻型汽车中任取2量，二氧化碳排放量超过130g/km 的车辆数为X ，求X 的分布列与期望. 【解析】（Ⅱ）被检测的5辆甲品牌轻型汽车中二氧化碳排放量超过130g/km 的车辆数为2，故X 的可能取值为0,1,2，所以2325(0)C P X C ===310，113225(1)C C P X C ===35，2225(2)C P X C ===110，所以X 的分布列为EX=3310+1+210510⨯⨯⨯=45…………………………12分 16. 如图，已知ACD AB DE ACD DE ∆⊥,//,平面是正三角形,22===AB DE AD ,且CD F 是的中点．⑴求证：BCE AF 平面//；【解析】17. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上．求椭圆C 的方程.【答案】1422=+y x 【解析】因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4，故可设椭圆C 的方程为14222=+b y x （0>>b a ），因为点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆C 上，所以143412=+b ，解得12=b ，所以，椭圆C 的方程为1422=+y x ． 18. 已知函数()32=3 1.f x x x +++讨论()f x 的单调性.【答案】(1)-∞1,)+∞11) 【解析】请考生在第19、20、21三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.19. 如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于E ，AE 交圆O 于点F ．（1）证明：E 是BC 的中点；（2）证明：AD AC AE AF ⋅=⋅．【解析】（1）证明：连接BD ，因为AB 为O 的直径，所以BD AC ⊥．又90B ∠=︒，所以CB 切O 于点B ，且ED 切于O 于点E ，因此EB ED =，EBD EDB ∠=∠，90CDE EDB EBD C ∠+∠=︒=∠+∠，所以CDE C ∠=∠，得ED EC =，因此EB EC =，即E 是BC 的中点．（2）证明：连接BF ，显然BF 是Rt ABE ∆斜边上的高，可得ABEAFB ∆∆，于是有AB AEAF AB=，即2AB AE AF =⋅，同理可得2AB AD AC =⋅，所以AD AC AE AF ⋅=⋅． 20. 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的坐标方程是3πθ=，且直线l 圆C 交于,A B 两点，试求弦AB 的长．【解析】21. 已知函数()|21||23|f x x x =++-．（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围．【解析】（1）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩，解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤≤-，即不等式的解集为[]2,1-；（2）∵|21||23||(21)(23)|4x x x x ++-≥+--=， ∴|1|4a ->，∴3a <-或5a >．试题习题，尽在百度百度文库，精选试题。

2020年高考理科数学三角函数与解三角形备考艺体生百日冲刺系列典型试题答案解析(27页)

2020年高考理科数学三角函数与解三角形备考艺体生百日冲刺系列典型试题命题规律三角函数与解三角形这部分内容，高考一般命制一大两小或一大一小. 考查的主要方向有：1.三角恒等变换为主的化简、求值问题；2.三角函数的图象和性质；3.三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先化简、后研究函数的性质；4.正弦定理、余弦定理的应用问题，往往与三角恒等变换相结合，近几年，综合考查正弦定理与余弦定理应用问题，呈现一种新趋势. 本专题主要围绕主观题进行讲练.基本技能一、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 二、六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 三、三角函数的图象和性质 1.三角函数的基本性质：2.三角函数图象变换（1）平移变换：（2）周期变换：（3）振幅变换：四、两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；sin y x =0)((0))||ϕϕϕ><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向左(向右平移单位sin()y x ϕ=+sin y x ω=(0)ω>0)((0))||ϕϕϕω><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r向左(向右平移单位sin()y x ωϕ=+sin y x =1ωu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u uu u u u u u u u r向横坐标变为原来的单位，纵坐标不变sin y x ω=(0)ω>sin y x =A u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 纵坐标变为原来的单位，横坐标不变sin (0)y A x A =>S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．五、二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式：降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2六、正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B七、余弦定理余弦定理：，， .)4sin(2cos sin πααα±=±2222cos a b c ab C +-=2222cos b c a ac A +-=2222cos c a b ac B +-=变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab技能点拨【典例1】（2018·浙江高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665.【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=.【典例2】（2018·江苏高考真题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【答案】（1）725-；（2）211- 【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos αβ+=()sin αβ+== 因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．【规律方法】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.【典例3】（2019·北京北理工附中高三）已知函数()22sin cos 23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．(I)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值．【答案】(Ⅰ) πT =1. 【解析】分析：（Ⅰ）利用降幂公式和两角和的余弦公式把()f x 化成3sin 2cos 2122x x -+，再用辅助角公式把213x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，从而可求()f x 的最小正周期等．（Ⅱ）直接计算出22333x πππ-≤-≤，利用正弦函数的性质得到()f x 的最大值．详解：（Ⅰ）因为2()2sin sin(2)3f x x x π=-+1cos 2(cos 2cossin 2sin )33x x x ππ=---32cos2122x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以22333x πππ-≤-≤．当232x ππ-=，即512x π=时，()f x1．【典例4】（2019·浙江高考真题）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 【答案】（1）3,22ππ；（2）1⎡+⎢⎣⎦. 【解析】分析：(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定θ的值；(2)首先整理函数的解析式为()sin y a x b ωϕ=++的形式，然后确定其值域即可. 详解：(1)由题意结合函数的解析式可得：()()sin f x x θθ+=+，函数为偶函数，则当0x =时，()02k k Z πθπ+=+∈，即()2k k Z πθπ=+∈，结合[)0,2θ∈π可取0,1k =，相应的θ值为3,22ππ.(2)由函数的解析式可得：22sin sin 124y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 21cos 26222x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ 11cos 2cos 2226x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111cos 2sin 2sin 2222x x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭1312sin 222x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭1226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.据此可得函数的值域为：1,122⎡-+⎢⎣⎦. 【总结提升】①在求解三角函数的基本性质时，首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为或，然后利用整体法并借助正弦函数或余弦函数进行求解；②已知三角函数图象求解析式问题，常有两种思路，思路1：先根据图象求出周期和振幅，利用周期公式求出，再由特殊点（常用最值点）求出；思路2：先根据图象求出振幅，再利用“五点点作图法”列出关于的方程，即可求出.③在处理图象变换问题时，先把函数化成系数为正同名三角函数，再利用图象变换知识解题，注意用“加左减右，加上减下”判定平移方向，先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同. 【典例5】（2019·全国高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】分析：(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅V ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S V 关于C 的函数，由于ABC V 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C V 的值域.详解：(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． ()sin A x b ωϕ++()cos A x b ωϕ++u x ωϕ=+ωϕA sin()y A x ωϕ=+ωϕ，ωϕ，0<B π<，02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A C B +=，又因为A B C π++=，代入得3B π=，所以3B π=. (2)因为ABC V 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABC S <<V . 故ABC S V的取值范围是【典例6】（2019·全国高考真题（理））V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 详解：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈Q 3A π\=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==->所以sin C >，故sin C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 【规律方法】利用正弦定理与余弦定理解三角形，要根据题中边角的已知条件类型选择合适的定理求解.在已知条件中，若等式或分式中边的次数相同或正弦值的次数相等时，可以利用正弦定理将边与对应的角的正弦值进行互化，结合余弦定理或三角变换等知识进行计算；已知条件中，若给定的是三条边的平方关系或或两边的和，一般选择余弦定理进行求解；在已知三角形给定的条件中，若给定的条件是一边与其对角以及另外一边，一般选择余弦定理求解三角形较为方便；求三角形的面积时，要选择一个角及其两条邻边，围绕这三个元素来进行计算.【典例7】（2020·天津南开中学高三月考）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）9]28. 【解析】(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =，即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈，故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴0sin 2A <<，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8．【典例8】（2019·北京北师大实验中学高三月考）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1) 56x π=.(2) 0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x 取到最小值- 【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan x =又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅==+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 62x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x 取到最小值-【方法技巧】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m +；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 【典例9】（2018·天津高考真题（理））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =，则B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()2sin A B -= 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =，又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此22sin A sinAcosA ==212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214⨯-⨯= 【典例10】（2017·上海高考真题）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．【答案】（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2【解析】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 532224bc A =⨯⨯⨯=. 【规律方法】1.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面： (1)利用三角恒等变形化简三角函数式进行解三角形。

高考数学艺体生百日突围：专题(02)概率统计综合(理)(综合篇,含答案)

【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题二概率统计综合（理科）统计【背一背基础知识】一．抽样方法抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围．二．用样本估计总体1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征：（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；（3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121n x x x x n=+++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（4）方差：设n个数分别为1x 、2x 、L、n x ，则()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；（5）标准差：设n 个数分别为1x 、2x 、L、n x ，则s =n 个数的标准差，标准差也可以衡量样本稳定性的强弱. 4.独立性检验（1）分类变量：对于变量的“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量；（2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.（3）与表格相比，三维柱形图与二维条形图更能直观地反映出相关数据的总体状况. （4）利用随机变量2K 来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验（5)两个分类变量的独立性检验的一般步骤：①列出两个分类变量的列联表： ②假设两个分类变量x 、y 无关系；③计算()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)；④把2K 的值与临界值比较，确定x 、y 有关的程度或无关系. 临界值附表：（1）作出两个变量的散点图，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．(2)回归方程为$$y bx a=+$，其中1221niiiniix y nx ybx nx==-=-∑∑$=121)()()ni iiniix x y yx x==---∑∑（，$a y bx=-$.【讲一讲基本技能】1.必备技能：在求解样本的众数、中位数、平均数以及方差时，首先一般要将样本的数据按照一定的顺序进行列举，并根据这些数的定义进行计算；在综合题中求解相应事件的概率时，可以利用树状图作为巩固辅助基本事件的列举，最后在作答时一般利用点列法进行列举.2.典型例题例1 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．【答案】（1）T＝⎩⎪⎨⎪⎧800X－39 000，100≤X<130，65 000，130≤X≤150.，（2）0.7；（3）59 400.【解析】(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4例2、某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测20人，得到如下数据：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高x （厘米） 192 164 172 177 176 159 171 166 182 166 脚长y （码） 48 38 40 43 44 37 40 39 46 39 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高x （厘米） 169 178 167 174 168 179 165 170 162 170 脚长y （码） 43 41 40 43 40 44 38 42 39 41 （1）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”，请根据上表数高个非高个合计大脚非大脚 12 合计20（2）根据（1）中表格数据，若按99%的可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828【答案】（1）详见解析；（2）我们有99%的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系．【分析】（1）根据高个和大脚的描述，统计出大脚，高个，非大脚和非高个的数据，填入列联表，再在合计的部分填表．（2）提出假设，代入公式做出观测值，把所得的观测值同表格中的临界值进行比较，得到26.635K >的概率约为0.010，而8.802 6.635>，我们有99.5%的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系．【解析】（1）列联表补充如下：（2）根据上述列联表可以求得220(51212)8.802614713K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，8.802 6.635>，所以我们有99%的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系．例3 （本小题满分12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？【答案】（1）散点图见解析；（2）ˆ 1.28 4.88yx =+ （3）37 【分析】第一问根据题中所给的点的坐标标出相应的点从而得出对应的散点图，第二问根据对应的公式将回归直线方程中的系数求出来，从而求得回归直线的方程，第三问将相应的值带入求出结果即可. 【解析】（1）散点图如下图所示. 2分【练一练趁热打铁】1.生产A 、B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 8 12 40 32 8 元件B71840296(1)(2)生产一件元件A ，若是正品可盈利80元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在(1)的前提下．y5052545658•••••x72 7074 76 78 80 O①求生产5件元件B 所获得的利润不少于280元的概率；②X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望【答案】（1）45，34；（2）①81128；②分布列见解析，132 【解析】P (X ＝180)＝45×34＝35；P (X ＝90)＝15×34＝320；P (X ＝60)＝45×14＝15；P (X ＝－30)＝15×14＝120，(10分)∴X 的分布列为：X 180 90 60 －30 P3532015120∴E (X )＝180×35＋90×320＋60×15＋(－30)×120＝132.(12分)2. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）．附表及公式【解析】X 的分布列为：X 012P1528 1228 128151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=．3. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的回归直线方程^y＝^b x＋^a，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()1221xˆ,ni iiniiy n x ybx n x--==-=-∑∑^^a yb x--=-【答案】（1）详见解析；（2）$y＝0．7x＋1．05；（3）8．05小时【解析】回归直线如图中所示．（3）将x ＝10代入回归直线方程，得$y ＝0．7×10＋1．05＝8．05（小时）． ∴预测加工10个零件需要8．05小时．概率、随机变量分布列及其期望与方差【背一背基础知识】1．随机事件的概率(1)古典概型：①计算公式P(A)＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数；②解题关键是弄清基本事件的总数n 以及某个事件A 所包含的基本事件的个数m ，常用排列组合知识及公式P(A)＝mn 解决．(2)几何概型：①计算公式P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果构成的长度面积或体积；②解题关键在于把基本事件空间转化为与之对应的区域来解决． (3)互斥事件有一个发生的概率：①计算公式P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)(A 、B 互斥)；②对于较复杂的互斥事件的概率求法可考虑利用对立事件去求． 2．相互独立事件与n 次独立重复试验(1)若A 1，A 2，…，A n 是相互独立事件，则P(A 1·A 2·…·A n )＝P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n )． (2)如果在一次试验中事件A 发生的概率为p ，事件A 不发生的概率为1－p ，那么在n次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为：P n (k)＝C k n p k(1－p)n －k.3．离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)离散型随机变量ξ的分布列若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表离散型随机变量X 的分布列，注意:①0i P ≥，②1nii p=∑=1.（2）二项分布：在n 次独立重复试验中，用ξ表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()p k ξ==(1)k k n kn C p p --（k =0,1,2，……，n ），称随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～(,)B n p ，并称p 为成功的概率. (3)超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有ξ件次品，则()p k ξ==k n kM N MnNC C C --（k =0,1,2，……，m ）其中m =min{,}M n ，且n ≤N ，M ≤N ，M,N ∈*N ，则称随机变量ξ服从超几何分布. （4）离散随机变量的数学期望、方差、标准差①期望：1122n n E x P x P x P ξ=+++L ,②方差：D ξ=2221122-()()n n x E P x E P x E P ξξξ+-++-L （），③标准差：σξ=ξD .④()()E a b aE b ξξ+=+，()2D a b a D ξξ+=⑤若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=，(1)D np p ξ=-4.正态分布特征：（1）曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. （2）曲线是单峰的，它关于直线x =μ对称. （3）曲线在x =μ处达到峰值. （4）曲线与x 轴之间的面积为1.（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中.【讲一讲基本技能】1.必备技能：求解独立性检验的基本问题时，一般只需按照独立性检验的基本步骤进行即可，即第一步——提出假设，第二步——计算2K 的值，第三步——计算犯错误的概率，第四步——下结论.2.典型例题例1.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）56；（2）分布列见解析，2 【解析】(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P(X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·15＝4125；P(X ＝1)＝C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125；P(X ＝2)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·15＋C 12·35·25·45＝57125；P(X ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·45＝36125.所以X 的分布列为：所以E(X)＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2. 例2．甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲班胜乙班的概率为23，甲班胜丙班的概率为14，乙班胜丙班的概率为15．（Ⅰ）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率；X0 1 2 3 P 4125281255712536125（Ⅱ）设在该次比赛中，甲班得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）215；（Ⅱ）分布列见解析，114Eξ=．【分析】（Ⅰ）先分别求出甲获第一、丙获第二的概率，然后根据相互独立事件同时必要的概率公式得到结果；（Ⅱ）由题意知ξ可能取的值为O、3、6，分别求出其概率，从而写出分布列和期望．【解析】（Ⅰ）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，∴甲获第一的概率为211 346⨯=丙获第二，则丙胜乙，其概率为14 155 -=∴甲获第一名且丙获第二名的概率为142 6515⨯=（Ⅱ）ξ可能取的值为O、3、6甲两场比赛皆输的概率为211 (0)(1)(1)344 Pξ==--=甲两场只胜一场的概率为21127 (3)(1)(1)344312 Pξ==⨯-+-=甲两场皆胜的概率为211 (6)346 Pξ==⨯=∴ξ的分布列为∴03641264Eξ=⨯+⨯+⨯=例3 威力实施“爱的教育”实践活动，宇华教育集团决定举行“爱在宇华”教师演讲比赛．焦作校区决定从高中部、初中部、小学部和幼教部这四个部门选出12人组成代表队代表焦作（1）求这两名队员来自同一部门的概率；（2）设选出的两名选手中来自高中部的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【答案】（1）733；（2）23．【分析】（1）“从12名队员中随机选出两名，两人来自同一学校”记作事件A，根据题设，利用排列组合知识求得这两名队员来自同一部门的概率；（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求得其对应的概率，从而求得随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．【解析】ξ的分布列为 ξ 012P14331633 1110123333113E ξ∴=⨯+⨯+⨯=【练一练趁热打铁】1. 我市在夜明珠与黄柏河交汇形成的平湖水面上修建”三峡游轮中心”．其中有小型游艇出租给游客游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为13，12；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为12，13，且两人租用的时间都不超过4小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．【答案】（Ⅰ）3613；（Ⅱ）详见解析．【解析】故ξ的分布列为：ξ 200300400500 600P1613361136536 136ξ∴的数学期望是1200300400500600350636363636E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2. 为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环优秀非优秀总计男生 40 20 60 女生203050总计 60 50 110 （Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表2()P K k ≥0．500 0．400 0．100 0．010 0．001k0．455 0．708 2．706 6．635 10．828附:2K ＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++ 【答案】（Ⅰ）有关；（Ⅱ）详见解析．【解析】1)1()0(3===X P 2)1)(2()1(213===C X P 94)2)(1()2(223===C X P 278)32()3(3===X PX 0 1 2 3P27192 94 278 解答题（25*4=100分）1.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【解析】(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100P 162316X1的期望为E(X1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080P 162316X2的期望为E(X2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2. 为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生 40 20 60 女生 20 30 50 总计6050110（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表2()P K k ≥0．500 0．400 0．100 0．010 0．001 k0．4550．7082．7066．63510．828附:2K ＝()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++ 【答案】（Ⅰ）有关；（Ⅱ）详见解析．【解析】1)1()0(3===X P 2)1)(2()1(213===C X P 94)2)(1()2(223===C X P 278)32()3(3===X PX 0 1 2 3P27192 94 278 ()2E X =3.空气质量指数PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示： PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 >250 空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染图所示．(1)试估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）10；（2）分布列见解析，23.【解析】所以X 的分布列为：X 0 1 2 P371021221数学期望E (X )＝0×37＋1×1021＋2×21＝3.4．甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．【答案】（1）14；（2）377.5.【解析】(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，所以S n ＝n 10n ＋702＝300.解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，所以总决赛共比赛了5场．则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14. (2)随机变量X 可取的值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490.又P (X ＝220)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，P (X ＝300)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，P (X ＝390)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516，P (X ＝490)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝516，所以X 的分布列为X 220 300 390 490 P1814516516所以X 的均值E (X )＝5. 为了分析某个高中学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩，可见该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的：数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 949110896104 101105（1）求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程∧∧+=a x b y ；（2）若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？参考公式： 1221()ni ii nii x ynx ybxn x ==-⋅=-∑∑$， $a y bx=-$ 参考数据：170497ni i i x y ==∑，2170994ni i x ==∑【答案】（1）$0.550y x =+；（2）130．【解析】。

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【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题一三角函数综合三角函数求值【背一背基础知识】1.三角函数定义：在直角坐标系中，α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，是一个任意角，P (,)x y 是α终边上一点（不与原点重合），它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 2.三角函数在各象限的符号：3.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：22sincos 1αα+=，()2sin cos 12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±（2）商数关系：sin tan ,cos 2k k Z απααπα⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭.4.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限【公式一】()sin 2sin k απα+=，()cos 2cos k απα+=，()()tan 2tan k k Z απα+=∈；【公式二】()sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=；【公式三】()sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-；【公式四】()sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-；【公式五】sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；【公式六】sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭；【公式七】3sin cos 2παα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；【公式八】3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭； 5.两角和与差的三角函数：（1）和角：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+，()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-；（2）差角：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-，()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+；6.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，22tan tan 21tan ααα=-. 【讲一讲基本技能】1. 必备技能：利用同角三角函数的基本关系求值时，一般先确定角的范围，确定所求角的三角函数值的正负，然后利用同角三角函数的平方关系或商数关系进行求解；利用两角和与差的三角函数或二倍角公式求值时，先观察已知角与未知角之间的关系，用已知角将未知角表示出来，再利用同角三角函数的基本关系求出相关角的相关三角函数值，选择相应的公式（和差角公式或二倍角公式）进行展开求解. 2. 典型例题例1 已知角α的终边经过点P （-4，3），（1）求() ()απααπ+-+-tancos)sin(的值;（2）求1sincoscossin22+-+αααα的值.分析：（1）根据三角函数定义，由角α的终边经过点P（-4，3），所以r=5，54cos,53sin-==αα，所以由诱导公式化简原式代入得154435453tancossin=--=+ααα；（2）由（1）中可知54cos,53sin-==αα，直接代入1sincoscossin22+-+αααα中可得原式=45.【解析】例2 已知函数()cos46xf x Aπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，x R∈，且23fπ⎛⎫=⎪⎝⎭（1）求A的值；（2）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4304317fαπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，28435fβπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求()cosαβ+的值.分析：本题是考查三角函数求值问题，主要考查利用诱导公式与和差角公式以及同角三角函数基本关系求值问题.第（1）问是利用题干中的已知条件代数计算求出A的值；第（2）问也是利用题干中的已知条件代数进行计算，借助诱导公式进行化简，然后利用同角三角函数的基本关系求出其它的三角函数值，最后利用和角公式展开求值.【解析】（1）()cos46xf x Aπ⎛⎫=+⎪⎝⎭Q，1cos cos 34364f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2A ∴=；（2）由（1）知()2cos 46x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此15sin 17α=， 212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以4cos 5β=，αQ 、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 0α>，sin 0β>，所以8cos 17α===，3sin 5β===，()8415313cos cos cos sin sin 17517585αβαβαβ∴+=-=⨯-⨯=-. 例3 已知tan α是关于x 的方程2210x x --=的一个实根，且α是第三象限角．（1）求2sin cos sin cos αααα-+的值；（2）求cos sin αα+的值．分析：（1）先解一元二次方程：121,12x x =-=，再根据α范围，确定tan α取值：1tan 2α=-，最后将所求式子化为切，代入正切值计算结果：2sin cos 2tan 12111sin cos tan 1112αααααα--⨯-===+++（2）利用同角三角函数关系解方程组22sin tan 1cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，注意α范围，在开方时取负值：sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此代入可求cos sin αα+的值【解析】【练一练趁热打铁】1.已知25 sinα=-，且tan0α<.（1）求tanα的值；（2）求()()2sin cos23cos sin22αππαππαα++-⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）2-；5-.【解析】2.已知函数()12sin36f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R∈. （1）求54fπ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()6325f βπ+=，求()cos αβ+的值.【答案】（1）54f π⎛⎫=⎪⎝⎭；（2）()16cos 65αβ+=.【解析】（1）()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭Q ，所以5152sin 2sin 43464f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）110532sin 32sin sin 23261313f πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-==⇒= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()()163322sin 322sin 2cos cos 36255f ππβπβπβββ⎡⎤⎛⎫+=+-=+==⇒= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，αQ 、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12cos 13α===，4sin 5β===，所以()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=. 3. 已知函数()sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （1）求4f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）若4cos 5θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】（1）142f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；（2）23f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭50=.【解析】三角函数的基本性质【背一背基础知识】1.降幂公式：21cos 2cos2αα+=，21cos 2sin 2αα-=，sin 2sin cos 2ααα=； 2.辅助角公式：()()22sin cos 0a x b x a b x a ϕ+=++>，其中ϕ由tan baϕ=确定； 3.三角函数的基本性质：函数正弦函数sin y x =余弦函数cos y x =图象yx-11O-3π2-π2-π-2π3π2π2π2πOy x-11-32π32π-π2π2-2π2π-ππ定义域R R值域[]1,1-[]1,1-最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =当()22x k k Z ππ=-+∈时，min 1y =-当()2x k k Z π=∈时，max 1y =当()()21x k k Z π=+∈时，min 1y =-4.三角函数图像变换（1）平移变换：sin y x =0)((0))||ϕϕϕ><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向左(向右平移单位sin()y x ϕ=+sin y x ω=(0)ω>0)((0))||ϕϕϕω><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r向左(向右平移单位sin()y x ωϕ=+（2）周期变换：sin y x =1ωu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u uu u u u u u u u r向横坐标变为原来的单位，纵坐标不变sin y x ω=(0)ω>（3）振幅变换：sin y x =A u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 纵坐标变为原来的单位，横坐标不变sin (0)y A x A =>【讲一讲基本技能】1.必备技能：①在求解三角函数的基本性质时，首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为()sin A x b ωϕ++或()cos A x b ωϕ++，然后利用整体法u x ωϕ=+并借助正弦函数或余弦函数进行求解；在求函数()()sin f x A x b ωϕ=++在x D ∈上的最值时，首先求出u =x ωϕ+的取值范围D '，然后作出正弦函数在区间D '的图象，确定sin u 的最值，然后代入解析式进行求解.②在解已知三角函数图像求解析式问题时，常有两种思路，思路1：先根据图像求出周期和振幅，利用周期公式求出ω，再由特殊点（常用最值点）求出ϕ；思路2：先根据图像求出振幅A ，再利用sin()y A x ωϕ=+“五点点作图法”列出关于ωϕ，的方程，即可求出ωϕ，.③在处理图像变换问题时，先把函数化成系数为正同名三角函数，再利用图像变换知识解题，注意用“加左减右，加上减下”判定平移方向，先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同. 2.典型例题例1 已知函数()2sin(2) 1.4y f x x π==++（1）求函数)(x f 的最大值和最小值以及取最大、最小值时相应x 的取值集合；（2）写出函数)(x f 的单调递增区间．（3）作出此函数在一个周期内的图像。