09平面图形几何性质 材料力学 第四版 刘鸿文 课件

y
解：建立图示坐标系。 建立图示坐标系。 将整体分割。 将整体分割。 A1为矩形；A2为圆形。 为圆形。 A1为矩形；A2为圆形 为矩形
hd A2 a A1 Fra bibliotek zA 1 × y 1 c + (− A 2 ) × y 2 c yC = A 1 + (− A 2 )
A1 = b × h
h y 1c = 2 y2c = a
I P = ∫ ρ 2dA
A
取 dA = 2 πρ × dρ
4
=
∫
D 2 0
πD ρ ⋅ 2 πρ × dρ = 32
2
z
dρ
因为： 因为：Ip = Iy + Iz
πD4 Iy = Iz = 6 4
ρ
O
y
D
惯性半径i 二、惯性半径
1.惯性矩的定义表达式： 1.惯性矩的定义表达式： 惯性矩的定义表达式 2.惯性矩的另一种表达式： 2.惯性矩的另一种表达式： 惯性矩的另一种表达式
y 2 = (a + y 1 ) = a2 + y + 2ay 1
Iz =
y
∫
2 a2 dA + ∫ y 1 dA + ∫ 2ay1dA A A A
O
Iz = a2A + Izc
平行移轴公式”求矩形截面对z1 例：用“平行移轴公式”求矩形截面对z1 轴的惯性矩。 轴的惯性矩。
y
解：利用平行移轴公式： 利用平行移轴公式：
A
o
Sz =
∫
A
ydA
A
Sz = A × yc
与形心比较： 与形心比较： c = z
∫ zdA
A
yc
∫ =
ydA A
静矩和形 心的关系
利用静矩和形心的关系， 例：利用静矩和形心的关系，求矩形截面 轴和z1 z1轴 过形心）的静矩。 对z轴和z1轴（过形心）的静矩。
y
解：Sz = A × yc
z1
h/2
y 100 20 ①
例：T形截面，尺寸如图。 形截面，尺寸如图。 求该截面对z轴的静矩。 求该截面对z轴的静矩。
解： z = S 1 + S 2 S z z
S1 = A1 × y1 z c
140
②
= (100 × 20 ) × 150
S2 = A2 × y2 z c
z
20
= (140 × 20 ) × 70
A 1 = 100 × 20 A 2 = 140 × 20 y 1c = 150 y 2 c = 70 y C = 103.3
c
yc=103.3 140 A2
20
zC ∆ ∑ Az = A
i i
z
, yC ∆ ∑ Ay =
i i
A
,
用负面积法求空心板的截面形心位置。 例：用负面积法求空心板的截面形心位置。
Iy1 +Iz1 =Iy +Iz
转轴公式为： 转轴公式为：
z1
z
Iy - Iz Iy1z1 = sin2α+Iyzcos2 α 2 1.总可以找到一个特定的角 1.总可以找到一个特定的角α ,使截面 的惯性积等于0 ,则称 对新坐标轴y1 ,z1的惯性积等于0 ,则称 y1 ,z1 为主惯性轴.简称为主轴。 为主惯性轴.简称为主轴。
1）如何确定主轴的位置？ ）如何确定主轴的位置？
Iy - Iz 2 α0 求出后，就确定了主轴的位置. 求出后，就确定了主轴的位置. sin2α0+Iyz cos2α0 =0
y1
O
α
y
转轴公式为： 转轴公式为：
Iy +Iz Iy - Iz + cos2α0 - Iyz sin2α0 Iy0 = 2 2
h b
Sy = A × zc
Sz = A × yc
h bh2 = (b × h) × = 2 2
z
Sz1 = A × yc
= (b × h) × 0 = 0
若轴过形心，则静矩为零； 若轴过形心，则静矩为零； 若静矩为零，则轴过形心。 若静矩为零，则轴过形心。
分解成几个图形 静矩的代数和。 三、组合图形求静矩 静矩的代数和。
思考题： 思考题： 左右对称的T形截面，已知z 左右对称的T形截面，已知z轴通过截面形 轴以上部分的面积对z 心。问：z轴以上部分的面积对z轴的静矩 与阴影部分对z轴的静矩有何关系？ 与阴影部分对z轴的静矩有何关系？
C
z
Ⅰ.2 惯性矩和惯性半径 一、惯性矩
z
y dA z
ρ
1.需要坐标轴 1.需要坐标轴 2.已知的平面图形 2.已知的平面图形 3.微面积乘以到坐标轴距离的 3.微面积乘以到坐标轴距离的 平方，再积分，得到惯性矩。 平方，再积分，得到惯性矩。 I y = ∫ z 2 dA
Iy =
Iz =
∫
∫
A
z 2 dA
y 2 dA
A
Iy = A × i
2 y
对y轴的惯性半径 iy = 对z轴的惯性半径 iz =
Iy A
Iz A
I z = A × i2 z
直径为D的实心圆对过形心的轴的惯性半径i= 。 直径为D的实心圆对过形心的轴的惯性半径i= D/2 （B）D/4 （C）D/6 D/4 D/6 （D）D/8 D/8 （A）D/2
y
解：根据定义
Iz =
z
∫
A
y dA
2
取 dA = b × dy
h
c
Iz =
∫
h 2 h − 2 +
1 y × b × dy = bh 3 12
2
b
1 Iy = hb 3 同理： 同理： 12
根据定义计算直径为D 例：根据定义计算直径为D的圆形截面对 其圆心的极惯性矩、以及惯性矩I 其圆心的极惯性矩、以及惯性矩Iy、Iz。 解：根据定义
Iy - Iz sin2α+Iyzcos2 α 转轴公式为： 转轴公式为： Iy1z1 = 2
3.如果主轴的交点与截面形心重合， 3.如果主轴的交点与截面形心重合，则 如果主轴的交点与截面形心重合 称其为形心主惯性轴，简称形心主轴。 称其为形心主惯性轴，简称形心主轴。
y z
c
h
只要有一个轴是截面的 对称轴， 对称轴，则截面对坐标 系的惯性积为零。 系的惯性积为零。
2.截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩 2.截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩. 截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩.
y1
O
α
y
3.如果主轴的交点与截面形心重合， 3.如果主轴的交点与截面形心重合，则称其为形心 如果主轴的交点与截面形心重合 主惯性轴，简称形心主轴。 主惯性轴，简称形心主轴。 截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 称为形心主惯性矩 4. 截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
Ⅰ.3 惯性积
z
y dA
o
y dAz
1.需要两个坐标轴 1.需要两个坐标轴 2.已知的平面图形 2.已知的平面图形 3.微面积乘以它的两个坐标值 微面积乘以它的两个坐标值， 3.微面积乘以它的两个坐标值， 再积分， 再积分，得到截面对坐标系的 惯性积。 惯性积。 I yz = ∫ yzdA
A
只要有一个轴是截面的对称轴， 只要有一个轴是截面的对称轴， 则截面对坐标系的惯性积为零。 则截面对坐标系的惯性积为零。
②
c
0.12
组合截面对某轴的惯性 矩等于简单截面对同一 轴惯性矩的和。 轴惯性矩的和。
y
Iy = I + I
1 y
2 y
①
0.2
0.32
0.2 × 0.4 3 I1 = + (0.2 × 0.4) × 0.122 y 12 0.6 × 0.12 3 I2 = + (0.6 × 0.12) × 0.142 y 12
b 形心轴 y、z 是形心主轴
z1
z
y1
Iy +Iz Iy - Iz Iz0 = cos2α0 +Iyz sin2α0 2 2
O
α
y
2.截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩 2.截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩. 截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩.
Imax =Iy0 ;Imin =Iz0
过任一点可以作无数 对坐标轴， 对坐标轴，其中必有 一对是主轴. 一对是主轴.
A c
yc
∫ =
A
ydA A
zC =
∆ ∑Az A
i i
, yC =
∆ ∑Ay
i
i
A
,
用组合法求T形截面形心的位置。 例：用组合法求T形截面形心的位置。
y 100 20 A1
解：建立图示坐标系。 建立图示坐标系。 将整体分割。 将整体分割。
A 1 × y 1c + A 2 × y 2 c yC = A1 + A2
附录Ⅰ 附录Ⅰ 平面图形的几何性质
要求掌握： 要求掌握： 1.用组合法、负面积法计算截面的形心； 1.用组合法、负面积法计算截面的形心； 用组合法 2.静矩和形心的关系； 2.静矩和形心的关系； 静矩和形心的关系 3.记忆矩形截面和圆形截面的惯性矩、 3.记忆矩形截面和圆形截面的惯性矩、 记忆矩形截面和圆形截面的惯性矩 圆形截面的极惯性矩； 圆形截面的极惯性矩； 4.用 平行移轴公式”求组合截面的惯性矩。 4.用“平行移轴公式”求组合截面的惯性矩。 5.主轴、形心主轴的概念。 5.主轴、形心主轴的概念。 主轴
A
y ∫A o 4.微面积乘以到某点距离的平方，I P = ρ 2dA 4.微面积乘以到某点距离的平方， 微面积乘以到某点距离的平方 ∫A 再积分，得到极惯性矩。 再积分，得到极惯性矩。 2 2 2