GS5.1 向量代数
北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题5.1
习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDAB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA ACBA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 22222(2)||()()||||2||||.ACAC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .。
向量的基础知识点
向量的基础知识点
向量是一种数学概念，用来表示有方向和大小的物理量。
它表示在空间中物体运动的方向和大小，以及物体彼此之间相互作用的力或能量的方向和大小。
它还用于表示由两个点确定的线段的引力或速度的方向和大小。
向量可以使用箭头描绘，并由一个开头和一个结尾确定，在箭头上标有方向信息，表示方向，箭头的长度表示大小。
向量的核心参数由它的坐标（x，y）构成，可用一对数字表示。
比如，(2, 3)表示在x轴正方向上2个单位，在y轴向正方向上3个单位（即2
和3是方向和大小）。
向量也可以用大小表达，表示为一下公式：|v| = √（x^2 + y^2）。
由矢量的定义，矢量可以进行分加法和定义几何意义的向量的乘法，其中标量对乘法和定义几何意义的除法起着重要作用。
在科学领域，矢量还被用于表示电磁场和重力场等更多复杂的量，可以使用物理量来分解，用更加抽象的概念来表示，其中矩阵成为处理矢量的重要工具。
《向量代数》课件
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述
高中数学向量的基本运算与应用总结
高中数学向量的基本运算与应用总结向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、几何、力学等领域。
在高中数学学习中，学生会接触到向量的基本运算和应用，本文将对这些内容进行总结。
1. 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，可用箭头表示。
常用的向量表示方法有坐标表示法和位置矢量表示法。
坐标表示法将向量的起点设置为坐标原点，起点到终点的坐标差表示向量。
位置矢量表示法将向量的起点定为参考点，终点为向量所指的位置。
2. 向量的基本运算(1) 向量的加法：向量加法满足三角形法则。
将两个向量的起点连接，将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接，结果向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
(2) 向量的减法：向量减法可以看作是向量加法的逆运算。
将减法转化为加法：A-B = A+(-B)。
(3) 向量的数量积：向量A和B的数量积（内积）定义为A·B=|A||B|cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。
数量积具有交换律和结合律。
(4) 向量的向量积：向量A和B的向量积（叉积）定义为A×B=|A||B|sinθn，其中θ为A和B之间的夹角，n为法向量的方向。
向量积具有反交换律和结合律。
3. 向量的应用(1) 向量的平行与共线：两个向量平行的充要条件是它们的方向相同或相反。
三个向量共线的充要条件是其中两个向量平行且长度成比例。
(2) 向量的投影：向量A在向量B上的投影称为向量A在B上的分量，计算方法是A在B方向上的长度乘以B的单位向量。
(3) 向量的点和线的位置关系：利用向量可以判断点和线的位置关系，如点在线上、点在线的延长线上等。
(4) 向量的力学应用：在物理学中，向量广泛用于描述力的大小和方向，可用来计算合力、分解力和力的平衡条件等。
通过学习向量的基本运算和应用，学生可以加深对向量概念和运算法则的理解，同时培养数学思维和解决实际问题的能力。
在实际应用中，向量在物理、几何、工程等领域有着广泛的应用，对于学生的综合素养提高具有重要作用。
向量代数的基本概念及运算法则
向量代数的基本概念及运算法则向量代数是线性代数的重要部分，涉及了向量的基本概念及其运算法则。
本文将介绍向量的概念、向量的加法和减法运算法则、向量的数乘运算法则，并讨论一些常见的向量运算性质。
一、向量的概念向量是具有大小和方向的物理量，常用有向线段表示。
通常将向量用字母加箭头表示，例如，向量a用记号“→a”表示。
向量有两个重要的属性，即大小（模）和方向。
向量的大小表示向量的长度或大小，用|→a| 或||→a|| 表示，读作“模a”或“a的模”。
向量的方向表示指向何处，可以用角度、弧度或者其他方式进行表示。
二、向量的加法和减法运算法则向量的加法运算是指将两个向量进行求和的运算，其法则可以用平行四边形法则和三角法则表示。
平行四边形法则可以简要描述如下：设有向量→a和→b，取→a的起点作为平行四边形的一个顶点，将→b 平移至→a的终点，以→a和→b的起点为相对顶点形成平行四边形，平行四边形的对角线所表示的向量，即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
三角法则可以简要描述如下：将→a和→b的起点相接，以→a的终点为直角，连接→b的终点和→a的起点，所得的向量即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
向量的减法运算是指将两个向量进行相减的运算，可以通过向量的加法和取负得到。
设有向量→a和→b，向量→a减去向量→b即为向量→a加上向量→b的负向量，即→a-→b=→a+(-→b)。
三、向量的数乘运算法则向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算，用以改变向量的长度或方向。
设有向量→a和实数k，向量→a与k的乘积，记作k→a，即为把向量→a的长度伸缩为原来的|k|倍，并在原来的方向上（若k>0）或相反方向上（若k<0）。
四、常见的向量运算性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
3. 分配律：向量的数乘运算满足分配律，即k(→a+→b)=k→a+k→b。
向量代数的基本概念及运算法则
向量代数的基本概念及运算法则向量代数是数学的一个重要分支,它研究向量空间及其运算。
向量代数为我们认识和描述三维空间中的物理现象提供了有效的工具,广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等诸多领域。
下面将详细介绍向量代数的基本概念及其主要运算法则。
向量的概念与表示向量是一个有大小和方向的量,用于描述物体在空间中的位置和运动。
一般用粗体字母如a、b、c等表示向量,也可用箭头符号表示,如a⃗、b⃗、c⃗。
向量的大小称为模或长度,用"|a|"或"‖a‖"表示。
向量的方向用单位向量e⃗表示,其模等于1。
向量的加法和标量乘法向量的加法遵循平行四边形法则:将两个向量的尾端对齐,然后以它们的头端为顶点作平行四边形,对角线就是它们的和向量。
标量乘法是将一个向量乘以一个标量(实数),结果仍是一个向量,其大小发生改变,方向可能发生改变。
向量的点积和叉积两个向量的点积定义为两个向量对应分量的乘积之和,用"·"表示,如a·b = ax*bx + ay*by + az*bz。
点积反映了两个向量之间的夹角余弦。
两个向量的叉积定义为以这两个向量为邻边的平行四边形的有向面积,用"×"表示,如a×b = (ay*bz - az*by, az*bx - ax*bz, ax*by - ay*bx)。
叉积结果仍是一个向量,垂直于这两个向量。
向量的应用向量代数在物理学中有广泛应用,如描述位移、速度、加速度、力、电磁场等,以及计算功、功率、动量、角动量等量。
在计算几何和计算机图形学中,向量也是一种基本的数据结构,用于表示位置、方向、法线等。
向量还广泛应用于复杂系统的建模和仿真,如流体力学、气动学等。
总之,向量代数是一种强大的数学工具,为我们研究和理解自然界提供了有力支撑。
向量的定义与运算法则
向量的定义与运算法则在数学中，向量是描述空间中的有向线段的概念，它具有大小和方向。
向量可以用于表示物体的位移、速度、加速度等物理量，也广泛应用于计算机图形学、力学、电磁学等领域。
本文将详细介绍向量的定义以及常见的运算法则。
一、向量的定义向量是一个有序的元素集合，每个元素被称为向量的分量。
通常用小写字母加箭头表示一个向量，如a→，b→等。
向量的分量可以是实数或复数，取决于具体的应用场景。
二、向量的表示方法有多种表示向量的方法，常见的包括坐标表示法和方向向量表示法。
1. 坐标表示法在二维平面直角坐标系中，向量a可以表示为一个有序数对(a₁,a₂)，其中a₁和a₂分别表示向量a在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量a可以表示为一个有序数组(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂和a₃分别表示向量a在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 方向向量表示法方向向量是由起点和终点固定的向量。
通过指定向量的起点和终点，可以得到一个特定的方向向量。
例如，向量AB可以记为AB→，其中A为起点，B为终点。
三、向量的基本运算法则向量的基本运算法则包括加法、减法、数乘和数量积。
1. 向量的加法向量的加法定义为将两个向量的对应分量相加。
设有向量a=(a₁, a₂)和向量b=(b₁, b₂)，则向量a+b的结果为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
2. 向量的减法向量的减法定义为将两个向量的对应分量相减。
设有向量a=(a₁, a₂)和向量b=(b₁, b₂)，则向量a-b的结果为(a₁-b₁, a₂-b₂)。
3. 向量的数乘向量的数乘定义为将向量的每个分量与一个实数（或复数）相乘。
设有向量a=(a₁, a₂)和实数k，向量ka的结果为(a₁k, a₂k)。
4. 向量的数量积向量的数量积（也称为点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后再求和。
设有向量a=(a₁, a₂)和向量b=(b₁, b₂)，则向量a·b的结果为a₁b₁+a₂b₂。
向量代数学习总结
Ⅰ.向量代数学习总结：1．向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念(一)向量的概念1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量.3.自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质.(二)向量的加减法1、向量加法(1) 平行四边形法则(2) 三角形法则2.向量加法的运算规律.(1)交换律(2)结合律3.向量减法.平行四边形法则.三角形法则.(三) 数与向量的乘法数与向量的乘积的运算规律:(1) 结合律(2) 分配律(四)向量在轴上的投影1. 点在轴上投影2. 向量在轴上的投影.3. 两向量的夹角4. 向量的投影性质.二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示(一) 空间直角坐标系1. 空间直角坐标系的建立x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点2. 坐标面由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分成八个卦限.(二) 空间向量的表示1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.2.空间向量的坐标表示(1)起点在原点的向量OM(2)起点不在原点O的任一向量(3)运算性质(4)两向量平行的充要条件.(三) 向量的模与方向余弦的坐标表示式1. 方向角: 非零向量a 与x, y, z 轴正向夹角α, β, γ称为a 的方向角.2. 方向余弦: 方向角的余弦cosα, cosβ, cosγ称为方向余弦.3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式2．向量的数量积.向量积及混合积一、向量的数量积1. 定义2. 数量积的性质(1) 交换律 a ⋅ b = b ⋅ a(2) 分配律(a + b)⋅ c = a ⋅ c + b⋅ c(3) 数量积满足如下结合律:(λ a)⋅ b = a ⋅ (λ b)= λ(a⋅ b), λ为实数(4) 两个非零向量a , b垂直a⋅b = 03. 数量积的坐标表示式4. 数量积在几何中的应用二、两向量的向量积1. 定义2．向量积的坐标表示式三、两向量的混和积1.定义2.混合积的坐标表示式3.混合积(α⨯β ) ⋅γ的几何意义Ⅱ.空间曲线与曲向学习总结：一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念：定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。
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平行四边形法则： 当向量 a 与 b 不平行时， 作 AB = a ，AD = b， 以AB、
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AD为边作一平行四边形ABCD， 连接对角线AC， 那么向量 AC 等于向量 a 与 b 的和 a + b ． a D b A b a B c C
向量的加法符合下列运算规律： (1)交换律a + b = b + a； a b b a+b a b
O x
自由向量： 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上 我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称 向量． 因此，如果向量 a 和 b的大小相等，且方向相同，则说向量 a 和 b 是相等的，记为 a = b． 相等的向量经过平移后可以完 全重合． b b b b z a a a b y a
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向量积的性质： (1)a × a=0 (2)对于两个非零向量a、b，如果a × b=0，则a // b； 反之，如果a // b，则a × b=0． 如果认为零向量与任何向量都平行，则 a // b⇔a × b=0． 数量积的运算律： (1)交换律a × b=−b × a； (2)分配律：(a + b) × c=a × c + b × c． (3)(λa) × b=a × (λb)=λ(a × b) (λ为数)． 讨论： i × i = j × j = k × k =? 向量的叉乘不满足交换律. i×j=? j×k=? k×i=?
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v F
v s
(点乘 点乘) 数量积： 点乘
M1 记作 a · b ，即
M2
对于两个向量 a 和 b ， 它们的模| a |、| b |及它们的夹角θ 的 余弦的乘积称为向量 a 和 b 的数量积， a · b =| a | | b |cosθ ．
数量积与投影： 由于| b |cosθ =| b |cos(a,^ b)，当 a ≠ 0 时，| b |cos(a,^ b)是向 量b 在向量 a 的方向上的投影，于是a · b=|a| Prj ab． 同理，当b≠0时，a · b=|b| Prj ba． 数量积的性质： (1)a · a=|a| 2． (2)对于两个非零向量 a、b，如果 a · b=0，则 a⊥b； 反之，如果a⊥b，则a · b=0． 如果认为零向量与任何向量都垂直，则 a⊥b⇔a · b=0． 数量积的运算律： (1)交换律 a · b=b · a； (2)分配律：(a+b) · c=a · c+b · c． (3)(λa) · b=a · (λb)=λ(a · b)， (λa) · (µb)=λµ(a · b)，λ、µ为数．
六、向量的混合积
向量混合积定义 设a, b, c 为任意三个向量，则称 a·(b×c) 为此三向量的混合积。 向量混合积的几何意义 设a, b, c 三个向量不共面，混合积的模
a×b
a (b × c ) 恰为以a, b, c 为棱的平行六面体
的体积. 向量混合积性质 ② a , b, c共面 ⇔ a (b × c ) = o. 作业 习题5.1 3,8,10,
叉乘) 五、两向量的向量积 (叉乘 叉乘
向量积的物理背景： 设O为一根杠杆L的支点． 有一个力F 作用于这杠杆上P点处． F 与 OP 的夹角为θ ． 由力学规定，力 F 对支点O的力矩是一向 量 M ， 它的模 | M |=|OP | | F |sin θ ， = 而 M 的方向垂直于 OP与 F 所决定的 平面， M 的指向是的按右手规则从 OP 以不超过 π 的角转向 F 来确定的．
向量的符号： 向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示， r r r r 例如，b，i，j，k，F，n ， i ， j ， k ． 以M1为起点、M 2为终点的有向线段所表示的向量，记作．
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M 1M原点O为起点，向一个点M引向量， 这个向量叫做点M 对 r 常用r或 r 表示． 于点O的向径， z M r y
a (2)结合律(a + b) + c = a + (b + c)． a b c a+b a c b b+c
负向量： 设 a 为一向量，与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的曲 面向量，记为−a． a −a 向量的减法： 我们规定两个向量 b 与 a 的差为 b − a = b + (−a)． − 即把向量 −a 加到向量 b 上，便得 b 与 a 的差 b − a． a −a b b−a −a b a b−a
向量的平行： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量 平行．向量a与b平行，记作a // b． 零向量认为是与任何向量都平行．
v c
v a
v b
彼此平行的向量也称为共线向量.
二、向量的加减法
向量的加法： 设有两个向量 a 与 b ， 任取一点A，作 AB = a ， 再以B为 起点，作 BC = b， 连接AC， 那么向量 AC = c 称为向量 a 与 b 的和，记作 a + b ，即 c = a + b ． a c b A a B b C
→ → → →
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B
点乘) 四、两向量的数量积 (点乘 点乘
数量积的物理背景： 设一物体在常力 F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2．以 s 表示位移 M 1M 2 ．由物理学知道，力 F 所作的功为 W=| F | | s |cosθ ， 其中θ为 F 与 s 的夹角． θ
→
→
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二、向量的加减法
向量的加法： 设有两个向量 a 与 b ， 任取一点A，作 AB = a ， 再以B为 起点，作 BC = b， 连接AC， 那么向量 AC = c 称为向量 a 与 b 的和，记作 a + b ，即 c = a + b ． a 注意求和过程： c b a 这种作出两向量之和的方法叫三角形法则． b
α
c
b
①轮换性: a (b × c ) = c (a × b) = b (c × a ).
a
§5．1 向量代数 ．
一、向量概念 二、向量的加减法 三、向量与数的乘法 四、两向量的数量积 五、两向量的向量积 六、向量的混合积
一、向量概念
向量： 既有大小，又有方向的量叫做向量． 例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量． F v v v v
v
在数学上，用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向 量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向 量的方向．
a 设a ≠ 0，则向量 是与 a 同方向的单位向量，记为a°． |a| 于是a = | a | a°．
例 1 在平行四边形 ABCD 中，设 AB = a， AD = b．试用 a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 、 MD ，其中 M 是平行四边 形对角线的交点．
解 由于平行四边形的对角线互相平分，所以 D → → → a + b= AC =2 AM ，即−(a + b)=2 MA ， M b → 1 于是 MA =− (a + b)． 2 A → → → 1 a b)． MA ， 因为 MC =− ，所以 MC = (a + 2 → → → 1 又因−a + b= BD =2 MD ， ，所以 MD = (b − a)． 2 → → → 1 由于 MB =− MD ， ，所以 MB = (a − b)． 2 C
三角不等式： 由三角形两边之和大于第三边的原理，有 | a + b | ≤ | a |+ | b | 及 | a − b | ≤ | a | + | b |， 其中等号在b与a同向或反向时成立．
a+b a
b
a b
a−b
三、向量与数的乘法
向量 a与实数λ的乘积记作 λa ，规定 λa 是一个向量，它的 模|λa|=|λ|| a |，它的方向当λ>0时与 a 相同， 当λ<0时与 a 相反． 当λ=0时，|λa|=0，即λa为零向量， 特别地，当λ=±1时，有 1a = a，(−1) a = −a． a
λa
(λ >0) <0)
向量与数的乘积符合下列运算规律： (1)结合律λ( µa )=µ( λa )=( λµ )a； (2)分配律(λ+µ)a=λa + µa； λ( a + b )=λa + λb． 向量平行的充分必要条： 定理1 设向量 a ≠ 0，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条 件是：存在唯一的实数λ，使 b = λa． 向量的单位化：
→ → → →
F O P Q
L
向量积(叉乘 ： 叉乘) 叉乘 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式确定：c 的模 | c |=| a | | b |sin θ ， 其中θ 为 a 与 b 间的夹角； c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向是的按右手 c 规则从 a 转向 b 来确定． 的模等于 a 与 b 为边的平行四边形面积. 那么，向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积(叉乘 ， 叉乘) 叉乘 记作 a × b ， 即c=a×b． 因此，上面的力矩阵 M 等于 OP 与 F 的向量积，即 M = OP × F．
a
O x
向量的模： 向量的大小叫做向量的模． → → v |、| |． v 向量a 、 、 1M 2 的模分别记为 | a | 、| a a M M 1M 2 单位向量： 模等于1的向量叫做单位向量． 沿向量a的方向的单位向量记作a0,显然
a a = . a
0
零向量： 模等于0的向量叫做零向量，记作0． 零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．