高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间
高等代数PPT (46)
第三章n维向量空间3.1 n维向量空间的概念3.1n维向量空间的概念一、n 维向量空间的概念几何向量的线性运算: 加法, 数乘k • = (k a 1, k a 2, k a 3).+ = (a 1+b 1, a 2 +b 2, a 3+b 3),设 = (a 1, a 2, a 3), = (b 1, b 2, b 3), 规定几何空间中：点P 的坐标123,,OP a a a所有3 维几何向量所成集, 按上述线性运算, 满足:称此集合构成一个3维实向量空间, 记为ℝ3.四条加法规则o 300o1o2 o40两条数乘规则o5 1o6 k l kl两条加法与数乘结合的规则o7 k k ko8 k l k l实(复)向量:分量为实(复)数的向量n 维向量空间F n :n 维行向量:(有序数组) 12(,,,)n a a a n 维列向量:12n b b bF n 是行空间还是列空间?取决于出现F n 时的上下文 的分量i a F确定飞机的状态, 需要6个参数：飞机重心在空间的位置参数P (x , y , z )机身的水平转角)20( 机身的仰角)22(机翼的转角)( 所以, 确定飞机的状态, 需用6维向量n 维向量的实际意义,,,,,x y z向量相等 = (a 1, a 2, …, a n ), =(b 1, b 2, …, b n )= a i = b i零向量0= (0, 0, …, 0)F n数域F 上全体n 维向量所成集F n 中向量的线性运算:= (a 1, a 2, …, a n ), =(b 1, b 2, …, b n ),+ = (a 1 +b 1, a 2+b 2, …, a n +b n ), k =(k a 1, k a 2, …, k a n ), k F .负向量11,,,,n n a a a a 八条线性规则: 4条加法, 2条数乘, 2条运算相结合的规则称F n 关于如上线性运算构成一个n 维F -向量空间.线性方程组与n 维向量的线性运算:12,n x x X x12m b b b b11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b1112112122221212,n n n m m mn m a a a b a a a b x x x a a a b1122,n n x x x b 12,,,,n X b AX b。
高等代数第二版课件§3[1].3 线性相关性
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在解几中，向量空间 R 3 中的任一个向量α可由 i, j , k 和
一、向量组的线性关系
1 , 2 ,, r
线性表出。
第三章 线性方程组
例3.3.2 在 F 中，任一向量 a1 , a2 , , an 可由向量组 1 1, 0,, 0 , 2 0,1,, 0 ,, n 0, 0,,1 线性表示， i 称为n维单位向量。 1 , 2 ,, n 在 F n 中有重要的作用。 这回答了本段开头提出的问题， 它有哪些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？ 下面将给予回答。 注1：零向量是任一向量组的线性组合。 n 定义2：对于 F 中r个向量 1 , 2 ,, r ，若存在F中不全为 k11 k2 2 kr r 0 ，则称 零的数 k1 , k2 , , kr ，使 1 , 2 ,, r 线性相关，否则称 1 , 2 ,, r 线性无关， （即不存在不全为零的数 k1 , k2 , , kr ，使
（否则得 n l11 ln 1 n 1 , 矛盾）， 不妨设 ln 0, 于是 因此，向量组（Ⅲ）1 , 2 ,, n , n 1 ,, s 与向量组（Ⅳ） 1 ,, n 1 , n ,, s 等价。
ln 1 ln 1 ls l1 1 n n 1 n 1 n 1 s ln ln ln ln ln
1 , 2 ,, r r 2
第三章 线性方程组
三、向量组的等价和替换定理
定义4
设向量组（Ⅰ）： 1 , 2 ,, r 和向量组（Ⅱ）：
1 , 2 ,, s 是向量空间 F n 中的两个向量组，如果组（Ⅰ）
高等代数§3.2 n维向量空间
称为向量 的负向量，记作 .
二、n维向量的运算
1. 定义 定义 设向量 (a1 , a2 , , an ) , (b1 , b2 , , bn ) , k 为数域 P 中的数，定义向量 (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
2. 向量的相等
定义
如果n维向量 (a1 , a2 ,, an ) , (b1 , b2 , , bn ) 的对应分量皆相等，即 ai bi , i 1,2, , n
则称向量 与 相等,记作 .
3．特殊向量
零向量：分量全为零的向量称为零向量，记作0． 即, 0 (0,0,,0) . 负向量：向量 (a1 , a2 , , an ) , 则向量
解:
Байду номын сангаас3 2
3 3
2
2
1 1 2 3 3 2 2
1 1 2 2 2 2a b. 3 3
例2 线性方程组的向量表示 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 a s1 x1 a s 2 x2 a sn xn bs
7） k ( l ) ( kl ) 8） 1
性质
1) 0 0 2) ( 1) 3) k 0 0
4) 若 k 0 ,则 k 0 或 0 ． 即,若 k 0, 0 , 则 k 0.
定义减法运算 ( ).
a11 a12 a1n b1 a a a b x1 21 x2 22 xn 2 n 2 a s1 as 2 a sn bs
高等代数
多项式第一节 数域定义1 设Ｐ是由一些复数组成的集合，其中包括０与１.如果Ｐ中任意两个数（这两个数也可以相同）的和·差·积·伤（除数不为零）仍然是P 中的数，那么Ｐ就称为一个数域。
第二节 一元多项式 定义２ 设ｎ是一非负整数。
形式表达式110...nn n n a x a xa --+++（１），其中01,,...,na a a 全属于数域Ｐ，称为系数在数域Ｐ中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式。
定义3 如果在多项式f （x ）与g （x ）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f （x ）与g （x ）就称为相等，记为f （x ）=g （x ）系数全为零的多项式称为零多项式，记为0定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域Ｐ上的一元多项式环，记为［Ｐ］，Ｐ称为［Ｐ］的系数域第三节 整除的概念带余除法 对于Ｐ［ｘ］中任意两个多项式ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ），其中()0g x ≠，一定有Ｐ［ｘ］中的多项式ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）存在，使()()()()fx q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）是唯一决定的。
定义５ 数域Ｐ上的多项式ｇ（ｘ）称为整除ｆ（ｘ），如果有数域Ｐ上的多项式ｈ（ｘ）使等式()()()fx g x h x =成立。
我们用“()()|g x f x ”表示ｇ（ｘ）整除ｆ（ｘ），用“()|()g x f x ”表示ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）定理１ 对于数域Ｐ上的任意两个多项式ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），其中()()()0,|g x g x fx ≠的充分必要条件是ｇ（ｘ）除ｆ（ｘ）的余式为零。
第四节 最大公因式定义６ 设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是Ｐ［ｘ］中两个多项式。
Ｐ［ｘ］中多项式ｄ（ｘ）称为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：（１）ｄ（ｘ）是ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式；（２）ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式全是ｄ（ｘ）的因式。
高等代数第六章 线性空间
线性空间的维数
定义7 如果在线性空间V中有n个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关的向 量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找 到任意多个线性无关的向量，那么V就称为 无限维的。
按照这个定义，几何空间中向量所成的 线性空间是三维的；n元数组所成的空间是n 维的；
由所有实系数多项式所成的线性空间是 无限维的，因为对于任意的N，都有N个线
线性空间的元素也称为向量. 当然，这里 所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得 多。线性空间有时也称为向量空间。以下我 们经常是用小写的希腊字母 , , ,代表线 性空间V中的元素，用小写的拉丁字母 k,l, p, 代表数域F中的数
线性空间的性质
1.零元素是唯一的。 假设01，02是线性空间V中的两个元素。
（1，0，，0），
显然
2 （0，1，，0），
n (0,0,,1)
是一组基。对每一个向量 (a1, a2,, an ) ，
都有 a11 a22 ann
所以
(a , 1
a 2
,,
a n
)
就是向量
在这组基下的坐
标。不难证明，
1 ' （1，1，，1）， 2 '（0，1，，1）， n ' (0,0,,1)
2.如果向量组
线性无关，而且
可以被
线1,性2 ,表出,，r 那么
。
, ,,
1
2
s
rs
由此推出，两个等价的线性无关的向量
组，必定含有相同个数的向量。
3.如果向量组
1
,
2
,,
r
线性无关，但向
量组
1
,
2
,,
r
高等代数课件
一个 (nr)r 阶零矩阵
如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1 的基1, 2, …, r 与W2的基r+1, …, n组成V的一个基. 如果W1与W2 是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是
A1 O O A2
|W1关于W1的基1, 2, …, r 的矩阵 |W2关于W2的基r+1, 2, …, n 的矩阵
推论7.3.4 设V是数域F上的一个n维向量空间, 是V的一个线性 变换, 它关于某个基的矩阵是A. 则变换可逆当且仅当矩阵A可逆, 且1关于这个基的矩阵就是A1. (保持逆)
二. 线性变换关于不同基的矩阵的关系
设A, B是两个n阶矩阵, 如果存在n阶可逆矩阵T使得: B=T1AT则 称矩阵A与B相似. 矩阵的相似关系是一种等价关系(即相似具有自反 性, 对称性和传递性).
2
因此关于基{1, 2}的矩阵是
(2)
csions csoins
设是中V2的一个向量, 它和()关于基
{1, 2}的坐标分别是(x1, x2 )和(y1, y2 ), 则
O
yy1 2c sions csoinsxx1 2
例 2 位似变换关于任意基的矩阵是
kI
k
k
(2)
1
.特别地；
k
单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵, 零变换关于任意基的矩阵 是零矩阵.
等式(1)
(2)a121a222an2n
(n)a1n1a2n2an nn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
A aa1211 an1
高等代数课件-§3 向量的内积
x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的 方向余弦.
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向
(1.14) (1.15)
e (a b) e a e b,
e (a ) ( e a ).
证明 知，
a OM OP PN NM
a = a a = a +a +a
2 1 2 2
两点 A x1 ,y1 ,z1 ,B x2 ,y2 ,z2 之间的距离为：
2 3
AB
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
注意：定理1.6及以上两式只在直角坐标系中才 成立！
a b : a b cos a, b ,
（1.16）
a b (b0 a) b .
(1.17)
由定义1.10可得到： b 的充分必要条件是 a b 0. a
高等代数向量空间
定理6.2.1
设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本 身也作成上一个向量空间.
定义1
令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V 的一个子空间.
例2
U {A (aij ) M n (F) | aij 0,i j时}是不是 M n (F ) 的 子空间？ W {A M宁波n (工F程)学| 院A理|学0院}是《高不等代是数》M课n程(F组)制的作 子空间？
解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间
M n (F) 的非空子集。又中 M n (F)的运算是矩阵的加
空间，R是否为C上的向量空间？
注2：这个例子说明向量空间与F有关.
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：
a b ab, k a ak , a,b R , k R 证明 R 关于给定的运算构成R上的向量空间. 证明：……
注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 如何理解 运算？…… 注4：取数乘为通常的乘法如何？……，向量空间与运算 有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2 条需要解方程求出零向量与负向量.
1. A+B=B+A 2. (A+B)+C= A+( B+C) 3. O＋A=A 4. A+(-A)=O
5. a(A+B)= aA+Ab 6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A＝A
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a , a , , a , b 元向量来表示： i 1 i 2 i n i
a ,,, aa , b ,,, bb 向量的相等：如果两个n维向量 1 2 n 1 2 n bi , 1 , 2 , . n 的对应分量都相等，即 a ，则 i i 称这两个向量相等，记为 a b , a b ,, a b 向量的和：向量 称为向量 1 12 2 n n aa ,2 , , a 与 记为 r=α+β。 bb ,2 , , b 1 n 的和， 1 n 0,0 ,0 称为零向量。 零向量：分量全为零的n维向量： 负向量：向量 a , a , , a aa ,2 , , a 称为向量 的负向 1 2 n 1 n 量，记为-α。 a , a , , akF , ，则称向量 向量的数量乘积：设 1 2 n k ak ,a , , k a 为向量α与数k的数量乘积， 1 2 n 记为kα。 向量的减法：α-β=α+（-β）。
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 F n 。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0； 2、 1 ； 3、k 0 0； 4、若 k 0 ,0，则
§3.2
n维向量空间
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨 论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向 量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向 量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量 的定义。 定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 ,a , ,a a 有序数组： 1 2 n 其中 a i 称为向量的第i个分量。 几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同 的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 x a x a xb 向量，一个方程 a 就可以用一个n+1 i 1 1 i 2 2 i n n i
k 0 。
向量可以写成： aa ,2 , , a n
前者称为行向量，后者称为列向量。 列向量常写成：
( aa ,2 , 1
, a ) n
向量的加法满足以下四条运算规律： 1、交换律：α+β=β+α； 2、结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）； 3、有零元：α+ 0 =α， ； 4、有负元：α+ a = 0， 。 向量的数乘满足以下四条运算规律： 1、分配律： k ( ； ) k k 2、分配律： ； ( k l ) k l 3、结合律：k ； ( l ) ( kl ) 1 。 4、有单位元 ：