CH1(7)连续与间断
ch1-6连续函数的概念和性质
3. 连续函数的运算 由函数在某点连续的定义和极限的运算法则, 可得: 1) . 连续函数的和、差、积、商（分母不为零处） 是连续函数. 2) . 连续函数的复合函数是连续函数. 推论：初等函数在其定义域内的任意区间上都是连续的.
从几何上看，直接函数和反函数的图形关于直线 对称, 因此如果直接函数的图形是一条连续曲线,其反 函数的图形也必然是一条连续的曲线. 从而
3) . 连续函数的反函数是连续函数.
应用：利用函数的连续性求极限.
二、函数的间断点
设函数 f (x)在 x0 的某去心邻域中有定义，若 x0不是 f (x) 的连续点，则称 x0是 f (x) 的间断点.即只要不满足
连续点定义的要求的点就是间断点。也就是当
⑴ f (x) 在 x0处无定义；
⑵ f (x) 在 x0处有定义，但 lim f (x) 不存在；
xa
xb
则称 f (x) 在闭区间a,b 上连续.
思考： 如何定义f (x)在区间a,b , a,b上连续？
在区间上连续的函数的图形是一条不间断的曲线.
前面已指出:幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及 反三角函数等基本初等函数，在其定义域内的每一点处 均连续. 这就是说, 这五类基本初等函数, 在其定义域内的 任一区间上是连续的. 比如, y sin x 在它的定义域 (, ) 上是连续的.
2.区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数称为区间上的连续函
数。有下面两种情况:
若 f (x) 在开区间 a,b内的每点处均连续, 则称 f (x)在开
区间 a,b 内连续;
若 f (x) 在开区间 a,b 内的每点处均连续且在点
第九节函数的连续与间断
第九节 函数的连续与间断客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.分布图示★ 函数的连续性 ★ 例1 ★ 例2 ★ 左右连续★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 连续函数与连续区间 ★ 例6 ★ 函数的间断点★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 9 ★ 返回内容要点一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1 函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是函数)(x f 在0x 处既左连续又右连续. 三、连续函数与连续区间四、 函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点；例题选讲函数的连续性例1 (E01) 试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续.证 ,01sinlim 0=→xx x 又,0)0(=f ∴),0()(lim 0f x f x =→由定义2知，函数)(x f 在0=x 处连续.例2(E02) 设)(x f 是定义于[a , b ]上的单调增加函数, ),,(0b a x ∈如果)(lim 0x f x x →存在,试证明函数)(x f 在点0x 处连续.证 设,)(lim 0A x f x x =→由于)(x f 单调增加，则当0x x <时，),()(0x f x f <),()(lim 000x f x f A x x ≤=-→当0x x >时，),()(0x f x f >),()(lim 000x f x f A x x ≥=+→由此可见，),(0x f A =即),()(lim 00x f x f x x =→因此)(x f 在0x 连续.例3 讨论函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<+=<+=1,410,10,00,212x x x x x x x x f 在0=x 和1=x 处的连续性. 解 如图所示（图示见系统），⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--→→21lim )(lim 00x x f x x 1= ()2001lim )(lim x x f x x +=++→→1= 因为)(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=1=，所以,1)(lim 0=→x f x 但是,0)0(=f ),0()(lim 0f x f x ≠→故)(x f 在0=x 处不连续.在1=x 处：)(lim 1x f x -→)1(lim 21x x +=-→2= )(lim 1x f x +→)4(lim 1x x -=+→3=因为),(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠，所以)(lim 1x f x →不存在，)(x f 在1=x 处不连续.左右连续例4 (E03) 已知函数⎩⎨⎧≥-<+=0,20,1)(2x b x x x x f在点0=x 处连续，求b 的值.解 )(lim 0x f x -→)1(lim 20+=-→x x ,1=)(lim 0x f x +→)2(lim 0b x x -=+→,b -=因为)(x f 点0=x 处连续，则=-→)(lim 0x f x ),(lim 0x f x +→即.1-=b例 5设,1,22,1,)2)(1()(4⎪⎩⎪⎨⎧=-≠≠+-++=x x x x x b ax x x f 为使)(x f 在1=x 处连续，a 与b 应如何取值？解 因为,2)1(=f 为使)(x f 在1=x 处连续，只要)(lim 1x f x →)2)(1(lim 41+-++=→x x bax x x 2= )(*而要使)2)(1(lim 41+-++→x x bax x x 存在，须,0)(lim 41=++→b ax x x 即,01=++b a 得),1(+-=b a 代入)(*)2)(1(lim 41+-++→x x b ax x x )2)(1()1(lim 41+-++-=→x x b x b x x )2)(1()1)(1(lim 21+--++-=→x x b x x x x x )2()1(lim 21+-++=→x b x x x x 33b-=2= ⇒3-=b ⇒)13(+--=a ,2=即当,2=a 3-=b 时，)(x f 在1=x 连续.连续函数与连续区间例6(E04) 证明函数x y sin =在区间),(+∞-∞∈x 内连续.证 ),,(+∞-∞∈∀x y ∆x x x sin )sin(-∆+=,2cos 2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⋅∆=x x x 12cos ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+x x ⇒<∆y 2sin2x ∆,x ∆< ∴当0→∆x 时，.0→∆y 即函数x y sin =对任意),(+∞-∞∈x 都是连续的.函数间断点例7 (E05) 讨论⎩⎨⎧<-≥+=,0,2,0,2)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.（图示见系统）解 因为),0(2)2(lim )(lim 0f x x f x x ==+=++→→),0(2)2(lim )(lim 00f x x f x x ≠-=-=--→→右连续但不左连续，故函数)(x f 在点0=x 处不连续.例8 讨论函数,0,10,)(⎩⎨⎧>+≤-x x x x x f 在0=x 处的连续性.（几何演示见系统） 解 )00(-f )(lim 0x f x -→=,0=)00(+f )(lim 0x f x +→=,1=),00()00(-≠-f f ∴0=x 为函数的跳跃间断点.例9(E06) 讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在1=x 处的连续性.（几何演示见系统）解 ,1)1(=f ,2)01(=-f .2)01(=+f 2)(lim 1=→x f x ),1(f ≠∴1=x 为函数的可去间断点.例10(1) (E07) 讨论函数⎩⎨⎧≤>=0,0,/1)(x x x x x f在0=x 处的连续性.解 ,0)00(=-f ,)00(+∞=+f ∴0=x 为函数的第二类间断点(无穷间断点).例10(2) (E08) 讨论函数x x f 1sin )(=在0=x 处的连续性.解 在0=x 处没有定义，且xx 1sin lim 0→不存在.∴0=x 为第二类间断点.例11 a 取何值时，⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,cos )(x x a x x x f 在0=x 处连续.解 ,)0(a f = )(lim 0x f x -→x x cos lim 0-→=,1=)(lim 0x f x +→)(lim 0x a x +=+→.a =要使),0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→ 必须.1=a 故当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续.注：一个函数的间断点也可能有无穷多个. 例如，狄利克雷函数)(x D y =,,0,1⎩⎨⎧=是无理数时当是有理数时当x x 在定义域R 内每一点处都间断，且都是第二类间断点.例12(E09) 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-<--<=,2,1110,110,1)(2x x x x x x x x f 求)(x f 的间断点，并判别出它们的类型.解 )(x f 的定义域为),,1()1,(+∞-∞ 且在),0,(-∞),1,0(),2,1(),2(+∞中)(x f 都是初等函数，因而)(x f 的间断点只可能在,01=x ,12=x 23=x 处. 由于,1lim )(lim 0∞==--→→xx f x x 因此01=x 是)(x f 的第二类间断点(无穷间断点)；由于)(lim 1x f x →11lim 21--=→x x x ,2=且)(x f 在12=x 处无定义，因此12=x 是)(x f 的可去间断点；又)(lim 2x f x -→11lim 22--=-→x x x ,3=)(lim 2x f x +→)1(lim 2+=+→x x ,3=,3)2(=f 因此23=x 是)(x f 的连续点.例 13求下列函数的间断点，并判断其类型. 若为可去间断点，试补充或修改定义后使其为连续点.⎪⎩⎪⎨⎧±=±≠-+=.1,001,)1()(22x x x x xx x f 及解 因为)(x f 在0=x 处无定义，所以0=x 是)(x f 的间断点.又因 )(lim 0x f x -→)1(lim 220--+=-→x x x x x ;1= )(lim 0x f x +→)1(lim 220-+=+→x x xx x .1-=所以0=x 为)(x f 的第一类不可去间断点(跳跃间断点). )(x f 在1=x 处有定义，但是 ∞=-+→)1(lim 221x x xx x ，所以1=x 为)(x f 的无穷间断点. )(x f 在1-=x 处有定义，而且)1(lim 221-+-→x x x x x x x -=-→11lim 1,21=但是,0)1()(lim 1=-≠-→f x f x故1-=x 为)(x f 的可去间断点，若令,21)1(=-f 则)(x f 在1-=x 处连续.例14(E10) 研究⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(x e x xx x f x aβ在0=x 处的连续性. 解 当且仅当)0()00()00(f f f =-=+时，)(x f 在0=x 处连续.因为,1)0(0ββ+=+=e f 而 )00(-f )(lim 0x f x -→=β+=-→x x e 0lim ,1β+= )00(+f )(lim 0x f x +→=x x a x 1sinlim 0+→=⎩⎨⎧≤>=0,0,0αα不存在 所以，当0>α且,01=+β即1-=β时，)(x f 在0=x 处连续，当0≤α或1-≠β时， )(x f 在0=x 处间断.例15 讨论nxnxn e e x x x f --∞→++=1lim )(2的连续性.解 右端的极限与x 的取值范围有关，0>x 时，,0→-nx e ,∞→n 0<x 时，,∞→-nxe ,∞→n 故0>x 时，nxnxn e e x x x f --∞→++=1lim)(2,x = 0<x 时，nx nx n e e x x x f --∞→++=1lim)(21lim 2++=∞→nx nx n e x xe ,2x =0=x 时，,0)(=x f 因此，,0,0,)(2⎩⎨⎧<≥=x x x x x f 不难看出，)(x f 在整个定义域上连续.课堂练习1. 若)(x f 在0x 处连续，)(|)(|2x f x f 、在0x 处是否连续？又若)(|)(|2x f x f 、在0x 处连续，)(x f 在0x 处是否连续？2. 试确定b a ,的值，使,)1)(()(---=x a x be xf x (1) 有无穷间断点;0=x (2) 有可去间断点.1=x。
Ch函数间断点PPT课件
f
0
0
lim
x0
x2 2x
xx 3x
2
1 3
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f
0
0
lim
x0
x2 2x
xx 3x
2
1 3
f 0 0 f 0 0
x 0为第一类间断点（跳跃 间断点）
lim
x3
f
( x)＝ lim x3
xx 2 xx 3x
2
lim 1 x3 x 3
x 3 为第二类间断点（无穷间断点）
末在开区间a, b内至少有函数 f ( x)的一个零点,即
至少有一点 (a b)，使 f () 0.
y
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)的两个 a o
bx
端点位于 x轴的不同侧, 则曲
线弧与 x轴至少有一个交点.
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例8 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内
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例10 设函数 f ( x)在区间[0,2a]上连续,
且f (0) f (2a),证明 [0, a], 使得 f ( ) f ( a).
证 令 F ( x) f ( x) f ( x a),
则F ( x)在[0, a]上连续,
而 F(0) f (0) f (a)
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lim
x2
f
x
lim
x2
x
xx
3
1 5
x 2 为可去间断点
连续区间为： ,3 3,0 0,2 （2， ）
注：求函数的间断点时，往 往考虑使分母为零的点 ，以及 使函数无定义的其它点 。
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专插本高等数学例题和习题ch1极限、连续与间断
第一章 极限、连续与间断本章主要知识点● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类● 连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()()limm x n P x P x ->∞方法：上下同除以x 的最高次幂例1.1．5422lim x x x x x->∞+-+解：原式534111lim 11x x x x x ->∞+-==∞+ 例1.2．()()2243123lim31x x x x ->∞+-+解：原式()()222243123lim13x x x x x x ->∞+-=+2241332lim 13x x x x->∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=12 例1.3．111313lim-++-++∞→x x x x x解：原式=111313lim-++-++∞→x x x x x =xx xx x 11111313lim-++-++∞→=3例1.4．)214(lim 2x x x x -+-+∞→解：原式=xx x x x 2141lim2++-+-+∞→=211411lim2++-+-+∞→x x x x =41- 例1.5．xx x xx x x 234234lim --+++∞→解：原式=xx xx x )21()43(1)21()43(1lim--+++∞→=1 （2）题型II ()lim()m x an p x p x → 原式=()(),0(),()0,()0()()0m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧≠⎪⎪⎪∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达）, 例1.6．12cos lim1++→x x x π解：原式=1/2例1.7．12sin lim 231+-++→x x xx x x π 解：原式=∞例1.8．32lim 221-+-→x x xx x解：原式=)3)(1()1(lim 1+--→x x x x x =3lim 1+→x x x =41例1.9．11lim31--→x x x解：令6u x =，原式=322111(1)(1)lim lim1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝23例1.10. 2232lim 221=+-++→x x bx ax x解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim )2)(1()2(2lim 2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x axa=2,b=-4 （3）题型III若0)(lim =→x f ax ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f ax例1.11. 22limarccot(sin(1))3x xx x →+∞++ 解：因为 2lim3x x x →+∞+＝0，而2arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。
连续与间断的概念及连续函数的运算资料
例2 有关有理函数的讨论.
(1) 有理整函数 f ( x) (多项式) :
x0 R,
都有
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
有理整函数在区间 (,)内是连续的 ;
(2) 有理分式函数F( x) P( x) : Q( x)
当Q( x0 ) 0时,
0,
那么就称函数 y f ( x) 在点 x0 连续.
连续的定义还可以有其他表示形式:
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
定义2
设函数 y f ( x) 在点 x0 的某一个邻域内有
函数 f ( x)在 x0 处连续 函数 f ( x)在 x0 处既 左连续又右连续.
4. 连续函数(continuous function)与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间 上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间(a,b) 内连续, 并且在左端 点 x a 处右连续, 在右端点x b 处左连续,则称 函数 f ( x) 在闭区间[a,b] 上连续.
f
(
x)
x, 1 x,
x 0 在 x 0 处. x0
y
lim f ( x) lim ( x) 0,
x0
x0
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x)不存在,
x0
o
x
x 0 为函数的间断点, 称为跳跃间断点.
函数的连续性
函数的连续性图第九节 函数的连续性和间断点有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。
首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。
如气温T 随时间t 的变化而连续变化，铁棒长度l 随着温度u 的变化而连续变化等。
它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。
可在很短一段时间内，T 的变化很小；同样当温度u 变化很小时，l 的变化也很小。
这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。
下面我们就专门来讨论这种概念。
一、函数的连续性1. 预备知识改变量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21u u -，就叫u 的改变量，记作21u u u ∆=-。
改变量也叫增量。
注意：①1u ，2u 并不是u 可取值的起点和终点，而是u 变化过程中从1u 变到2u 。
②u ∆可正可负。
③u ∆是一个整体记号，不是某个量∆与变量u 的乘积。
2. 函数()y f x =在0x x =处连续的定义 定义1 当自变量x 在点0x 的改变 量x ∆为无穷小时，相应函数的改变量 ()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=- 也是同一过程中的无穷小量，即0lim 0x y ∆→∆=，则称()f x 在0x 处连续，见图1-37.定理1 ()f x 在0x 处连续的充要条 件是()()00lim x x f x f x →=。
证明 由定义1，()()()()()()00000lim 0lim 0lim lim 0lim .x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x f x ∆→→→→→∆=⇔-=⎡⎤⎣⎦⇔-=⇔= 由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2. 定义2 如果0ε∀>，0δ∃>，当0x x δ-<时，有()()0f x f x ε-<，则()f x 在0x 处连续。
ch连续性间断点实用
x0 x0
x 1 , x 0
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
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y
1
O
x
1
三、小结
在点 连续的等价形式
左连续 在点 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点
振荡间断点
左右极限都存在
左右极限至少有一 个不存在
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一、 函数连续性的定义
若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如,
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
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一、 函数连续性的定义
对自变量的增量
有函数的增量
函数
在点 连续有下列等价命题:
(1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数 在 虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
但
lim
x x0
f
(x)
f (x0 ).
这样的点 称为间断点 .
存在 ,
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二、 函数的间断点
间断点分类:
第一类间断点:
及 若 若
均存在 ,
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
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二、 函数的间断点
间断点分类:
第二类间断点:
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 ,称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡, 称 x0 为振荡间断点 .
STM32ADC多通道转换DMA模式与非DMA模式两种方法（HAL库）
STM32ADC多通道转换DMA模式与⾮DMA模式两种⽅法（HAL库）⼀、⾮DMA模式（转） 说明：这个是⾃⼰刚做的时候百度出来的，不是我⾃⼰做出来的，因为感觉有⽤就保存下来做学习⽤，原⽂链接：，下⾯第⼆部分我会补充⾃⼰的DMA模式的⽅法。
Stm32 ADC 的转换模式还是很灵活，很强⼤，模式种类很多，那么这也导致很多⼈使⽤的时候没细⼼研究参考⼿册的情况下容易混淆。
不知道该⽤哪种⽅式来实现⾃⼰想要的功能。
⽹上也可以搜到很多资料，但是⼤部分是针对之前⽼版本的标准库的。
昨天帮客户解决这个问题，正好做个总结：使⽤stm32cubeMX配置⽣成多通道采集的例⼦。
软件：STM32Cumebx MDK硬件：eemaker板（基于stm32F103c8的）在百度搜索ADC多通道采集，⼤部分的都是基于采⽤dma模式才实现的。
⽽我讲的使⽤⾮dma⽅法。
⾸先有⼏个概念要搞清楚： 扫描模式（想采集多通道必须开启）：是⼀次对所选中的通道进⾏转换，⽐如开了ch0，ch1，ch4，ch5。
Ch0转换完以后就会⾃动转换通道0,1,4,5直到转换完。
但是这种连续性并不是不能被打断。
这就引⼊了间断模式，可以说是对扫描模式的⼀种补充。
它可以把0,1,4,5这四个通道进⾏分组。
可以分成0,1⼀组，4,5⼀组。
也可以每个通道配置为⼀组。
这样每⼀组转换之前都需要先触发⼀次。
Stm32 ADC的单次模式和连续模式。
这两中模式的概念是相对应的。
这⾥的单次模式并不是指⼀个通道。
假如你同时开了ch0，ch1，ch4，ch5这四个通道。
单次模式转换模式下会把这四个通道采集⼀边就停⽌了。
⽽连续模式就是这四个通道转换完以后再循环过来再从ch0开始。
另外还有规则组和注⼊组的概念，因为我这个例程只⽤到了规则组，就不多介绍这两个概念，想要弄清楚请⾃⾏查阅⼿册。
下⾯进⼊正题，配置stm32cubeMX。
先使能⼏个通道，我这⾥设置为0、1、4、5.然后就要配置ADC的参数： ⽬前经过我的测试，要想⽤⾮dma和中断模式只有这样配置可以正确进⾏多通道转换：扫描模式+单次转换模式+间断转换模式（每个间断组⼀个通道）。
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§1-7 函数的连续性与间断点A 级同步训练题：一、客观题：1、)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x x =连续的（ ）条件。
(A) 必要而非充分 (B) 充分而非必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要2、连续的在是00)()()(lim 0x x x f x f x f x x ==→（ ）条件。
(A) 必要而非充分 (B) 充分而非必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要3、xx x f x 21cos )(0⋅==是的（ ）间断点。
(A)可去 (B)振荡 (C)无穷 (D)跳跃4、)()(1,1,,1,11)(3==⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=a x f x x a x x x x f 连续，则，在(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45、）间断点。
的（为，)(0sin )21ln()(x f x xx x f =+=(A) 跳跃 (B)振荡 (C)无穷 (D) 可去6、设函数,)1()(cot x x x f -=则定义)0(f 为（ ）时)(x f 在0=x 处连续（A ）e - (B) e (C)e1(D) 1 二、计算下列各题：1、⎩⎨⎧≤<-≤≤-=212102)(2x xx x x f 讨论连续性与间断点。
2、2312+--=x x x y 讨论连续性与间断点 3、x xy tan =讨论连续性与间断点4、⎩⎨⎧>-≤-=13112x x x x y 讨论连续性与间断点三、讨论函数x x x x f nnn ⋅+-=∞→2211lim)(的连续性，若有间断点判断其类型。
四、型．的间断点，并判定其类确定)1(sin )(-=x x xx f π处连续．在值，使试确定 ，当，当五、0)()0(00sin 11)(222=≠⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=x x f a a x a x xx a x fB 级同步训练题：一、客观题：．有两个间断点．只有一个间断点．只有一个间断点上处处连续，在．（ ）的连续性的正确结论是则关于，当，当、)(1)(0)()()()()(01sin 01sin )(12D x C x B x f A x f x x x x xx x f -==∞+-∞⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<= 14222)()()(0)()0(0)1()(2----=+=e D e C e B A f x x x f x ． ． ． ．）的值为（处连续，应补充定义在、要使)22()22()22()22()(1141313)(3，． ，． ，． ，．表示为（ ），用数组，则常数处连续， ，在， ，、设函数D C B A b a b a x x x x x b ax x f ----=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+-=[][]存在．．．．）处连续的极限式是（在、不能导出xx f x x f x yD x x f x x f C x f x f B x f x x f A x x f y x x x x x x ∆∆-∆+=∆∆=∆--∆+==-∆+=→∆→∆→∆→→∆)()(lim lim)(0)()(lim )()()(lim )(0)()(lim )()(4000000000000eD e C e B e A a x x a x x x f x 1)(1)()()()(00)(cos )(522 ． ． ． 处连续则 ，在， 当，当、--==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=．不存在 ．． ． 处连续在 要使 ，，、)(2)(21)(2)()(0)(00arctan cos 1)(622D C B A a x x f x a x x x x f ±==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=7、. ___________0 , 00)1ln(1sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在 ，当，当 二、型．的间断点，并判定其类求xx x f 122)(+=三、处连续．在值使确定， ，0)( , 00)1ln()(222=⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=x x f a x a x ax x x x f 处连续．在之值使补充定义 四、设0)()0()10(151)(=≤<--+=x x f f x xx xx x f 之值．，，求有可去间断点五、设b a x x xx b x x e xa x f x0sin )cos ()1ln(2)(222=+++++-=六、型．的间断点，并确定其类求)1(1)1()(222-⋅--=x x x x f 的什么性质？数由所给极限式说明了函处连续？为什么？在，能否说明七、若已知)(1)()1()(cos lim 0x f x x f f x f x ==→[]{}[]上连续．，也在，试证明：，之间的任一实数，与是介于上连续，，在八、设b a x c x f x b f a f c b a x f )()(min )()()()(ϕϕ=必处处连续．处连续，则在试证明：若且适合，对一切九、设)(0)(0)()()()()(x f x x f x f y f x f y x f y x x f =≠⋅=+辅导与参考答案：A 级同步训练题：一、客观题：1、(A)2、(A)3、(A)4、(C)5、(D)6、(C) 二、计算下列各题：1、解：1)1(;1)01(;1)01(==+=-f f f 所以），在（∞+∞-)(x f 连续。
2、解：,1231lim21-=+--→x x x x 所以x =1为可去间断点；,231lim 22∞=+--→x x x x 所以x=2为无穷间断点。
故连续区间为()()()+∞∞-,2,2,1,1,。
a) 解：为可去间断点；所以0,1tan lim0==→x xxx为无穷间断点；所以ππk x k xx k x =≠∞=→),0(,tan lim 。
连续区间为（为可去间断点；所以),2(),2,2,0tan lim2ππππππππππk k k k k x x x k x -++==+→b) 解：为跳跃间断点，所以1,2)01(,0)01(==+=-x f f连续区间为(]()∞+∞-，，，11。
二、解：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=+-=∞→110111)(22limx x x x x x xx f nnn ， 而1)01(,1)01(-=+=-f f ，1)01(,1)01(=+--=--f f所以为跳跃间断点，1±=x 连续区间为），），（，），（，（∞+--∞-1111。
四、解：x x f x ==01及是的间断点()，ππ-=-=→→)1(sin lim)(lim 0x x xx f x x 由于，的可去间断点是所以)(0x f x =；πππππ-=+-=++-=-→→→tt tt t t x t x x x t t x )1(sin lim )1()sin(lim 1)1(sin lim001令而，所以是的可去间断点x f x =1()。
五、解：a f f x x ==→()lim ()00x x a x 2220sin 11lim --=→222202121lim a x xa x ==→ 20212=≠=a a a a ，故，因即得。
Ｂ级同步训练题：一、客观题：1、（A ）2、（B ）3、（D ）4、（C ）5、（C ）6、（B ）7、-1 二、解：x f x =0是的间断点()，因为，f f ()()000000-=+=，所以是的可去间断点x f x =0()。
三、解：22200)1ln(lim )(lim )0(ax x x x f f a x x ++===→→2220)]11(1ln[lim axx x x -+++=→ a x a ax x x x x 23)1111(lim 111lim 202220=+++=-++=→→ （利用0→u 时，)1ln(u +~u ）32232==a a a ，即令，23±=a 解得 四、解：f f x x ()lim ()00=→+xxx x --+=+→151limxx xx x 11151lim----+=+→3)2125(=--=。
五、解：因为的可去间断点是)(0x f x =01sin )cos ()1ln(2(lim )(lim 22020=+=+++++-=→→a x x b x x e xa x f x xx x.1,012121)sin )cos ()1ln(121(lim )(lim 12200-==+++-=⋅++++-+-=-=→→b b x xx b x x e x xf a x x x 得 又 得 六、解：的间断点是，，)(110x f x x x -===，2)10()20()0(;21020)0(0-=---=-=--=+=f f x 处，在， 故是的跳跃间断点x f x =0()。
,)1)(1(2lim )(lim 1211∞=+--==→→x x x xx x f x x x 处，在的无穷间断点是故)(1x f x =∞=-=-→)(lim 11x f x x 处，在，的无穷间断点是故)(1x f x -=。
七、证：存在，不能得出，，故＋)(lim )1()(cos lim 1cos 010x f f x f x x x →→=≤。
从而不能得出在处连续f x x ()=1， 由所给极限式可知在处左连续f x x ()=1。
八、证：[]因ϕ()()()x f x c f x c =+--12，[]在，上，均连续a b f x c f x c ()()+-。
从而也连续f x c ()-，[][]上连续，在b a c x f c x f x --+=∴)()(21)(ϕ。
九、证：代入原式，取0=y x ，1)0(0)()0()()(=≠⋅=f x f f x f x f ，故，因，则lim ()()∆∆x f x f →==001，)()(lim )(lim 0x f x f x x f x cx x ∆⋅=∆+→∆→∆对任意=⋅=f x f f x ()()()0，即在任意点处连续f x x ()。