六柱Hanoi塔问题研究
实验二 HANOI塔问题
实验二递归程序设计一、实验目的1、理解PROLOG编制递归程序的方法：边界条件与递归部分的设计；2、熟悉运用递归分析、解决问题的方法。
二、实验内容及步骤（一)Hanoi塔问题：如上图，目的是把左边的所有盘子移到右边的杆子上。
一次只能移动一个盘子，可以使用中间的杆子作为临时存放盘子的地方。
在移动的过程中，小盘子必须放在大盘子之上。
分析：用递归来解决这个问题。
如果只有一个盘子，直接移过去就行了，这是递归的边界条件。
如果要移动N个盘子，就要分三步走：1、把N-1个盘子移动到中间的杆子上（把右边的杆子作为临时存放盘子的位置）2、把最后一个盘子直接移到右边的杆子上。
3、最后把中间杆子上的盘子移到右边的杆子上（把左边的杆子作为临时存放盘子的位置）。
上面第一、三步用到了递归。
我们看到，通过递归把N个盘子的问题变成了两个N-1个盘子的问题。
如此下去，最后就变成了2个一个盘子的问题了，这也就是说问题被解决了。
1）Hanoi塔的Prolog代码：hanoi(N):-move(N,left,middle,right).move(1,A,_,C):-inform(A,C),!.{!为cut操作，截断进一步搜索}move(N,A,B,C):-N1is N-1,move(N1,A,C,B),inform(A,C),move(N1,B,A,C).inform(Loc1,Loc2):-nl,write(“Move a disk from”Loc1“to”Loc2).？-hanoi(3).主程序为hanoi，它的参数为盘子的数目。
它调用递归谓词move来完成任务。
三个杆子的名字分别为left、middle、right。
第一个move子句是边界情况，即只有一个盘子时，直接调用inform显示移动盘子的方法。
后面使用cut，是因为：如果只有一个盘子，就是边界条件，无需再对第二条子句进行匹配了。
第二个move子句为递归调用，首先把盘子数目减少一个，再递归调用move，把N-1个盘子从A杆通过C杆移到B杆，再把A杆上的最后一个盘子直接从A杆移到C杆上，最后再递归调用move，把B杆上的N-1个盘子通过A杆移到C杆上。
《Hanoi塔问题》课件
在游戏设计和人工智能领域，Hanoi塔问题可以作为解决游戏策略和决策问题的 模型。例如在围棋、象棋等游戏中，可以利用Hanoi塔问题的解法来设计更强大 的游戏AI。
PART 04
Hanoi塔问题的扩展和变 种
REPORTING
带限制的Hanoi塔问题
总结词
带限制的Hanoi塔问题是指在移动盘 子时，需要满足一些特定的限制条件 。
分治策略解法的优点是能够将问题分 解为更小的子问题，降低问题的复杂 度。但缺点是需要仔细设计子问题的 分解方式和合并方式，以确保能够正 确地解决问题。
PART 03
Hanoi塔问题的应用
REPORTING
在计算机科学中的应用
算法设计
Hanoi塔问题可以作为解决复杂算法问题的模型，例如在解决图论、动态规划 等算法问题时，可以利用Hanoi塔问题的特性来设计更高效的算法。
决。
在Hanoi塔问题中，递归解法的基本思 路是将问题分解为三个子问题：将n个 盘，最后将第n个盘子从
A柱移动到B柱。
递归解法的优点是思路简单明了，易于 理解。但缺点是对于大规模问题，递归 解法的时间复杂度较高，容易造成栈溢
出。
动态规划解法
动态规划解法是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来避免重复计算的方法。
数学模型的应用
汉诺塔问题可以通过数学模型进行描述和解决，如使用递归公式或动态规划方法。理解如何将实际问题转化为数 学模型，并运用数学工具进行分析和解决，是数学应用的重要能力。
对解决问题的方法论的启示
解决问题的思维方式
汉诺塔问题提供了一种独特的思维方式，即通过不断将问题分解为更小的子问题来解决。这种思维方 式有助于我们在面对复杂问题时，能够更加清晰地理解和分析问题，从而找到有效的解决方案。
Hanoi塔问题Hanoi塔问题...
PARTITION过程
以 2 8 7 1 以 6 10 13 5 3 8 5 3 6 2 4 为例 11为例
PARTITION(A, p, r) x←A[r] i←p-1 for j ← p to r-1 do if A[j] ≤ x then i ← i+ 1 exchange A[i] ↔A[j] exchange A[i+1] ↔A[r] return i+1
10
递归举例-汉诺(Hanoi)塔问题
汉诺(Hanoi)塔问题分析
n=1时，直接a->b即可 n>1时，借助c实现移动，可先将n-1个圆盘按照规 则a->c，再将大圆盘a->b，最后将n-1个圆盘c->b 可以通过递归实现
伪码： hanoi(int n,int a,int b,int c) { if(n>0){hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b); hanoi(n-1,c,b,a)} }
logb a −
b b b
logb a
)
19
主方法的应用
请注意，上述三种情况没有覆盖所有的f(n) 在应用时需要注意是否符合这三种情况 T(n) = 4T(n/2) + n T(n) = 4T(n/2) + n2 T(n) = 4T(n/2) + n3 T(n) = 4T(n/2) + n2/lgn T(n) = 2T(n/2) + nlgn
20
分治法
分治法的基本策略
分解（Divide）：将原问题分解为子问题 解决（Conquer）：求解子问题 合并（Combine）：组合子问题的解得到原问题的 解
21
分治法的适用条件
汉诺塔移动超详细步骤分解4到6层
汉诺塔移动超详细步骤分解4到6层汉诺塔（Tower of Hanoi）是一个经典的数学谜题和递归问题。
它由三根柱子和一些大小不同的圆盘组成，初始时，所有圆盘按照从大到小的顺序堆叠在一根柱子上，目标是将这些圆盘全部移动到另一根柱子上，并且在移动过程中，大盘不能放在小盘上面。
接下来，我们将详细分解 4 到 6 层汉诺塔的移动步骤。
一、4 层汉诺塔的移动步骤首先，让我们来看看 4 层汉诺塔的情况。
我们有 4 个圆盘，分别标记为 1（最小）、2、3、4（最大）。
1、把 1、2 号圆盘从 A 柱移动到 B 柱。
先把 1 号圆盘从 A 柱移动到 C 柱。
再把 2 号圆盘从 A 柱移动到 B 柱。
最后把 1 号圆盘从 C 柱移动到 B 柱。
2、把 3 号圆盘从 A 柱移动到 C 柱。
3、把 1、2 号圆盘从 B 柱移动到 C 柱。
先把 1 号圆盘从 B 柱移动到 A 柱。
再把 2 号圆盘从 B 柱移动到 C 柱。
最后把 1 号圆盘从 A 柱移动到 C 柱。
5、把 1、2 号圆盘从 C 柱移动到 A 柱。
先把 1 号圆盘从 C 柱移动到 B 柱。
再把 2 号圆盘从 C 柱移动到 A 柱。
最后把 1 号圆盘从 B 柱移动到 A 柱。
6、把 3 号圆盘从 C 柱移动到 B 柱。
7、把 1、2 号圆盘从 A 柱移动到 B 柱。
先把 1 号圆盘从 A 柱移动到 C 柱。
再把 2 号圆盘从 A 柱移动到 B 柱。
最后把 1 号圆盘从 C 柱移动到 B 柱。
经过以上 15 步，4 层汉诺塔就从 A 柱成功移动到了 B 柱。
二、5 层汉诺塔的移动步骤对于 5 层汉诺塔，我们有 5 个圆盘，分别标记为 1（最小）、2、3、4、5（最大）。
1、把 1、2、3 号圆盘从 A 柱移动到 B 柱。
先把 1、2 号圆盘从 A 柱移动到 C 柱。
再把 3 号圆盘从 A 柱移动到 B 柱。
然后把 1、2 号圆盘从 C 柱移动到 B 柱。
3、把 1、2、3 号圆盘从 B 柱移动到 C 柱。
汉诺塔问题
盐城工学院C++课程设计二级学院:信息学院班级:姓名:学号:指导老师:1．报告简介1．1 汉诺塔问题简介在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。
印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔（如下图）。
不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必在大片上面。
当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题。
”图1-11．2 问题思想解决为满足题目中盘子的移动问题，必须遵循的条件是：一次仅能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘的上面。
设要解决的汉诺塔共有N个圆盘，对A杆上的全部N个圆盘从小到大顺序编号，最小的圆盘为1号，次之为2号，依次类推，则最下面的圆盘的编号为N。
第一步：先将问题简化。
假设A杆上只有一个圆盘，即汉诺塔只有一层N，则只要将1号盘从A杆上移到B杆上即可。
第二步：对于一个有N（N>1）个圆盘的汉诺塔，将N个圆盘分成两部分：“上面的N-1个圆盘”看成一个整体，为了解决N个圆盘的汉诺塔，可以按下面图示的方式进行操作：（1）将A杆上面的N-1个盘子，借助B杆，移到C杆上；图1-2（2）将A杆上剩余的N号盘子移到B杆上；图1-3（3）将C杆上的N-1个盘子，借助A杆，移到B杆上。
图 1-41．3 预期目标运行程序后，首先显示：图 1-5选择 1 后，要求输入盘子的数目，即N输入后，显示递归调用时盘子移动的过程图 1-6继续选择 2 ，要求输入盘子的数目，即P输入后，显示非递归调用时盘子移动过程。
图 1-72．需求分析编写汉诺塔程序用到的知识有：符号常量的定义，循环语句，函数，栈与应用；2．1 符号常量的定义常量就是在程序运行过程中其值不发生变化的量。
汉诺塔实验报告
汉诺塔实验报告汉诺塔实验报告引言：汉诺塔是一种经典的数学谜题，它激发了人们对逻辑思维和解决问题的热情。
本次实验旨在通过模拟汉诺塔游戏，探究其背后的数学原理和解决方法，并分析实验结果。
实验目的：1. 理解汉诺塔问题的规则和目标。
2. 掌握汉诺塔问题的解决方法。
3. 分析实验结果，总结汉诺塔问题的数学特性。
实验过程：首先，我们需要了解汉诺塔的规则。
汉诺塔由三个柱子组成，分别命名为A、B 和C。
开始时，所有的盘子都放在柱子A上，且按照从小到大的顺序叠放。
目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子C上，期间可以利用柱子B作为辅助。
接下来，我们使用计算机程序模拟汉诺塔游戏。
通过编写算法，我们可以实现自动化的盘子移动过程。
我们设定盘子的数量为n，初始时所有盘子都在柱子A上。
通过递归算法，我们可以将柱子A上的n个盘子移动到柱子C上。
实验结果：我们进行了多次实验，分别模拟了不同数量的盘子移动过程。
通过观察实验结果，我们可以得出以下结论：1. 移动次数：根据经验公式2^n-1，我们可以计算出移动n个盘子所需的最小步数。
实验结果验证了这一公式的正确性，进一步证明了汉诺塔问题的数学特性。
2. 时间复杂度：随着盘子数量的增加，移动所需的时间也呈指数级增长。
这是因为递归算法的时间复杂度为O(2^n)，需要大量的运算时间。
3. 解决方法：我们发现，无论盘子数量多少，解决汉诺塔问题的方法都是相同的。
通过将问题分解为更小规模的子问题，我们可以逐步移动盘子，最终达到目标。
4. 空间复杂度：在我们的模拟实验中，我们使用了计算机程序来模拟汉诺塔游戏。
这意味着我们不需要实际的物理空间来放置盘子，大大降低了实验的难度和成本。
结论：通过本次实验，我们深入了解了汉诺塔问题的规则和解决方法。
我们通过模拟实验验证了数学公式，并观察到了汉诺塔问题的特殊性质。
此外，我们还了解到递归算法的时间复杂度和空间复杂度，这对于进一步研究和解决类似问题具有重要意义。
汉诺塔问题的详解课件
03 汉诺塔问题的变 种和扩展
多层汉诺塔问题
01
02
03
定义
多层汉诺塔问题是指将多 层的盘子从一个柱子移动 到另一个柱子，同时满足 汉诺塔问题的规则。
难度
随着盘子层数的增加，解 决问题的难度呈指数级增 长。
子从中间柱子移动到目标柱子。
递归解法的优点是思路简单明了，易于 理解。但是，对于较大的n值，递归解 法的时间复杂度较高，容易造成栈溢出
。
分治策略
分治策略是解决汉诺塔问题的另一种方法。它将问题分解为若干个子问题，分别求解这些子 问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治策略的基本思路是将汉诺塔问题分解为三个阶段：预处理阶段、递归转移阶段和合并阶 段。预处理阶段将n-1个盘子从起始柱子移动到中间柱子，递归转移阶段将第n个盘子从起 始柱子移动到目标柱子，合并阶段将n-1个盘子从中间柱子移动到目标柱子。
制作汉诺塔问题的动画演示
除了使用Python或数学软件进行可视化演示外，还可以使 用动画制作软件来制作汉诺塔问题的动画演示。这些软件 提供了丰富的动画效果和编辑工具，可以创建生动有趣的 演示。
在动画演示中，可以使用不同的颜色和形状来表示不同的 柱子和盘子。通过添加音效和文字说明，可以增强演示的 视觉效果和互动性。最终的动画演示可以保存为视频文件 ，并在任何支持视频播放的设备上播放。
使用Python的图形库，如matplotlib或tkinter，可以创建汉诺塔的动态演示。 通过在屏幕上绘制柱子和盘子，并模拟移动过程，可以直观地展示汉诺塔问题的 解决方案。
Python代码可以编写一个函数来模拟移动盘子的过程，并在屏幕上实时更新盘 子的位置。通过递归调用该函数，可以逐步展示移动盘子的步骤，直到所有盘子 被成功移动到目标柱子上。
河内塔问题简介
由来法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。
印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。
不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。
僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
[2]不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。
这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。
假设有n 片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。
此后不难证明f(n)=2^n-1。
n=64时，假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下：18446744073709551615秒这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。
真的过了5845.54亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。
印度传说和汉诺塔故事相似的，还有另外一个印度传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人──宰相西萨·班·达依尔。
国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里赏给我一粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。
请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
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运用 分治与 递归 策略 ，研 究六柱 Ｈａ ｏ 塔 问题 。 ｎｉ
１ 问题 与算 法
１ ）问题 假设有 ６ 个柱子 Ａ、 、 、 、 、Ｆ Ｂ ｃ Ｄ Ｅ ，Ａ柱上有 ｎ 个大小不等的盘子 ，从底部依次从大到
２ ３
４
１ ２
３
１ ２
３
３ ５
７
３ ５
７
５ ６
７
３ ３
３
４ ４
４
１ １ １ ５
１ ９
９ １ ３
１ ７
子数 记为 Ｒ（ ， ） 。 ５ ｎ ） 这样 ， ＨＡ６算 法 解 决 ｎ个盘 子 的 用
塔 问 题 的 时 间 复 杂 度 （ 少 步 数 ）公 式 及分 次移 动 的剩 余 盘 子 数 公 式 ， 并 用 数 学 归纳 法进 行 了证 明 。 最
［ 键 ｉ Ｈａ ｏ 塔 ；算 法 ； 时 间复 杂 度 ； 区 ；剩余 盘 子 数 关 ａ］ ｎ ｉ ［ 图 分 类 号 ］Ｏ１ ２ ４ 中 ２． ［ 献 标识 码］ Ａ 文 ［ 章 编 号 ］ １７ —１ ０ （０ ８ １ ０ ６ ４ 文 ６ ３ ４ ９ ２ ０ ）０ 一Ｎ ０ 一Ｏ
把 Ｂ柱上的 （ — ｒ 个盘 子 ， ｎ ） 借助 于 ｃ 、Ｄ、Ｅ 、Ａ柱 ，移 到 Ｆ柱 上 ， 要 训（ ， — ｒ 步 ， 需 ６ｎ ） 操作过 程结束 。
据此 ，计算 出总步 数 ：
厂 ｎ， ）一 ２ ６ ｎ— ｒ （ ｒ ｗ（ ， ）＋ ，５ ｒ （ ，）
表 １ Ｒ Ｓ ｎ、 ６， 与 ｗ Ｓｎ 、 （。） 系 （ 。） Ｒ（。） （。）ｗ ６，的关 １ １
Ｒ（ ） ５。
１ １
Ｒ（ ） ６．
１
ｗ（ ， ５ ）
１
（ ） ６，
１
式 中， （ ，） ｆ ｎ ｒ 称为 时间 复杂 度 函数 。 随后对 所有 的 ｒ １ （ ≤
ｒ ｎ 逐一进 行试算 ， 择 一个 ｒ ， ≤ ） 选 ０ 使得 厂 ｎ ｒ） （ ，０ 取得 最 小值 ， 定义 此时 的 ｒ（ ｒ 有 多 个值 ， 最 小 的 ｒ 值 ） 并 ０若 ０ 取 ０ 为 Ｒ（ ， ） 称 为六柱 塔 的 剩余 盘 子 数 （ 柱塔 的 剩余 盘 ６ｎ ， 五
六柱 Ｈａ ｏ 塔ຫໍສະໝຸດ 问题需 要 的最少 移动 步数 满 足 ： ｎｉ
８
９
４
５
４
４
２ ３
２ ７
２ １
２ ５
ｗ（ ，）一 ｍｉｆ（ ， ） ｍｉ ２ ６ ｎ一 ， ６ｎ ｎ ｎｒ 一 ｎ［ｗ（ ， ＇ ）
１ ｒ ” ≤ ≤ １ ｒ ” ≤ ≤
１ ０ １ １ １ ２
６ ６ ６
５ ６ ７
３ １ ３ ９ ４ ７
２， ９ ３ ３ ３ ７
＋ ｗ（ ，） ：ｆ ｎＲ（ ，） （） ５ｒ］＝ ｉ ， ６ｎ］ ＝ １
Ｈａ ｏ 塔 问题 是典 型 的递归 问题 。文献 ［ ］ 解决 ｎ个 盘子 的 三柱 Ｈａ ｏ 塔 问题 ，证 明 了需要 的最 ｎｉ １ ｎｉ
少 移动步数 ；文献 ［ ］用 Ｆ ａ 算 法 和数学 归纳法证 明了解决 ｎ个 盘子 的 四柱 Ｈａｏ 塔 问题需要 的最 ２ ｒｍｅ ｎｉ 少移 动步数 ；文献 Ｅ］ 解决 了五 柱 Ｈａｏ 塔 问题 ，用 数学 归纳法 证 明 了完成 个 盘 子的五 柱 Ｈａｏ 塔 ３ ｎｉ ｎｉ
步数 为 训（ ，） 把 Ａ 柱上 的 盘子分 成上 、下 两部分 ， ６ｉ ， 下部 分有 ｒ 盘 子（ ≤ ｒ ｎ ， 个 １ ≤ ） 上部 分有 （ — ｒ） ｎ 个
盘子 。 操作 程序 如下 ：①用 六 柱 Ｈａ ｏ 塔 问题 的 ＨＡ６算法 ，把 Ａ柱 上部 分 的 （ — ｒ 个盘子 ，借助 于 其 ｎｉ ｎ ） Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ柱 ，移 到 Ｂ柱 上 ， 需要 ｗ（ ， — ｒ ； 求解 五柱 Ｈａ ｏ 塔 问题 的 Ｆ 算法 ［ 把 Ａ柱上剩 ６ ｎ ）步 ② ｎｉ Ａ ３ 余的ｒ 个盘子 ， 助 于 Ｃ、Ｄ、Ｅ柱 ，移到 Ｆ柱上 ， 要 训（ ，） ； 用六 柱 Ｈａ ｏ 塔 问题 的 ＨＡ６ 借 需 ５ｒ 步 ③ ｎｉ 算法
维普资讯
长江 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） ２０ 年 ３ 第 ５ 第 １ ： ０８ 月 卷 期 理工 Ｊ ｕｎｌ ｆ ａｇｚ ｎｖｒｉ （ ａ ｃＥ ｉ Ｍａ。 ０ ８ ｏ． ｏ ：Ｓｉ Ｅ ｇ ｏｒａ ｏ ｎ ｔ Ｕ ｉｅｓｙ Ｎ ｔ ｉ ｄｔ Ｙ ｅ ｔ Ｓ ） ｒ２ ０ 。Ｖ １５ＮＯ ｌ ｃ ＆ ｎ
六 柱 Ｈａ ｏ 塔 问题 研 究 ｎｉ
赵 天 玉 ，张 卫 （ 长江大学信息 与数学学院， 湖北 荆州４４２） ３０３
［ 要 ］ 运 用 分 治 与 递 归方 法 ．得 到 一 个 求 解 六 柱 Ｈａ ｏ 塔 问题 的 算 法 ． 用 这 种 算 法 对 问题 进 行 求 解 ． 摘 ｎｉ 得 出了 ≤ １ ５时 移 动 盘 子 的 最 少 步 数 ， 用 分 割 自然 数 集 的 思 想 。 出 了用 该 算 法 求 解 个 盘 子 的 六柱 Ｈａ ｏ 采 给 ｎｉ
小堆放 ，现借 助 Ｂ、 ｃ、Ｄ、Ｅ柱将 盘 子移 到 Ｆ柱 上 ，一 次移 动一个 盘 子 ，不允许 把 大盘子 放到 小盘子 上
面 。它的求解 算法 是怎 样 的？所 需要 的最少 移动 步数是 多少 ？ ２ ）算法 用分 治与递 归方 法 求解 。 由于盘子 数较少 时 ，问题很 容易 求解 。因此 ， 假设 盘 子数 ｉ ｎ ＜ 时算法 已经确 定 ， 不妨 称为 ＨＡ ６算 法 。记 ＨＡ６ 法求解 ｉ 算 个盘 子 的六柱 Ｈａ ｏ 塔 问题需 要 的最少移 动 ｎｉ