四年级上河内塔问题
四年级上河内塔问题
学生容易进入的误区：
每次都先将最小珠移入2号杆, 质疑：这样移,能保证移动的次数最少吗
突破方法：
学生动手移一移,
争辩质疑,提炼方法
给学生足够的操作探究的时间,让不同层次的学生尝试用自己的方法 去解决这个问题,全班交流,大致会出现以下情况： 1、每次都先将最小珠移至2号杆,导致部分移动次数不是最少, 2、举棋不定,无从入手, 3、会将珠子在三根杆上来回移动,重复多次, 4、将珠子移入中转杆时,颠倒顺序, 5、会出现移动次数最少的操作方法, 6、其他, 比较结果,提炼最优法,化繁为简,操作演示,
与2有缘
21 22 23 24 25 26 27
接到通知的学生 的人数
1
3
7 15 31 63 127
由前后项的关系递推出：接到通知的学生人数=21 n
找次品
这里有5瓶钙片,其中有一瓶 少了3片,你能用什么办法把 它找出来吗
3 111
9 441
12 4 44
5 11111
9 3 33
5 221
9 2 222 1
四个珠子：开始第一个珠子要放在②号杆上：
• 一原题图：
二第一次移动：
•
• 三第二次移动：
四第三次移动：
• 五第四次移动： •
六第五次移动：
• 七第六次移动：
八第七次移动：
• 九第八次移动： •
十第九次移动：
• 十一第十次移动： 十二第十一次移动：
十三第十二次移动十四第十三次移动：
十五第十四次移动 十六第十五次移动：
合情推理,从3个、5个、9个中找次品,归纳推理出把待测的物品平均分 成3份是本题的最优法,
解题策略
讲题过程中,我主要采用合情推理的数学思想方法,从移动1颗、 2颗、3颗这些特殊的事例发现和总结一般性的结论,建立数学 模型,课程标准明确要求教师在教学过程中,应该设计适当的 学习活动,引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画 图等活动发现一些规律,猜测某些结论,发展合情推理能力,同 时,我也应用类比的数学思想,从河内塔问题迁移到打电话、找 次品等数学活动进行类比,从而揭示了知识之间的内在联系,事 物发展的本质属性,
演示文稿河内塔问题3
河内塔问题
• 传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里 留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个金 留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着 个金 最大的一个在底下，其余的一个比一个小， 环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小， 依次叠上去。 依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一个个地 从这根棒搬到另一根棒上， 从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一 根棒作为帮助，但每次只能搬一个， 根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不 能放在小的上面。相传神同时发了咒语， 能放在小的上面。相传神同时发了咒语，当所有 的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。 的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。 那么，众僧们要移动多少次呢？ 那么，众僧们要移动多少次呢？
“汉诺塔游戏” 汉诺塔游戏” 汉诺塔游戏
如果①号杆上有 个圆片 最少要移多少次？ 个圆片， 如果①号杆上有64个圆片，最少要移多少次？
移动规则如下： 移动规则如下：
（1）每次只能移动一个圆片； ）每次只能移动一个圆片； （2）大圆片不能放到小圆片上面。 ）大圆片不能放到小圆片上面。 （3） ①号柱子圆片全部移至③号柱子才算成功。 ） 号柱子圆片全部移至③号柱子才算成功。
河内塔问题移动次数最少的规律
• • • • • • •
圆片的个数⁄个 1个圆片 2 3 4 5 ┋
最少移动的次数⁄次 1 1×2+1 ＝3 3×2+1＝7 7×2+1＝15 15×2+1＝31 ┋
• 最少要移动多少次？ 最少要移动多少次？
64个金环，众僧们最少要移动 18446744073709511615次
• （五）移动第四次： •
（六）移动第五次：
• （七）移动第六次： •
《河内塔问题》PPT
我叫汉诺塔
• 传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣
庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着 64个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一 个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一 个个地从这根棒移到第三根棒上，规定可利用中 间的一根棒作为帮助，但每次只能移一个，而且 大的不能放在小的上面，等将全部金盘移到第三 根上时就成功了。相传神同时发了咒语，当所有 的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。 那么，众僧们要移动多少次呢？后来，这个传说 就演变为汉诺塔游戏，也叫河内塔游戏。
最少移动的次数 1 3 3＋1＋3 ＝ 7 7＋1＋7 ＝ 15 15＋1＋15＝31 31＋1＋31＝63 ┋
• 64个金环，众僧们要移动 1844 6744 0737 0951 1615次
京 兆 亿 万
读作：一千八百四十四京 六千七百四十四兆 零七百三十七亿 零九百五十一万 一千六百一十五
数级： 个级 万级 亿级 兆级 京级 垓级 ┋
三个珠子的移动图解：三个珠子的移动只有两种移动方法： 如果第一次移动时，把最小红珠子放到③号杆上是优选法。 如下： • （一）原题图： 移动第一次：
•
•
移动第二次：
移动第三次：
•
• •
移动第四次：
移动第五次：Leabharlann • •移动第六次：
移动第七次：
四个珠子的移动图解：
四个珠子：开始第一个珠子要放在②号杆上： • （一）原题图： • 第一次移动：
•
第二次移动：
第三次移动：
• •
第四次移动：
第五次移动：
• （七）第六次移动：
（八）第七次移动：
• •
第八次移动：
第九次移动：
2016上公开课用的河内塔问题教案
河内塔问题------教学设计新建三小徐珍珠教学内容：新人教版四年级上册第111页，河内塔问题。
教学目标：1、让学生在学习过程中，根据解决问题的需要，经过自己的探索，体验化繁为简找规律这一解决数学问题的基本策略。
2、经历收集有用的信息进行归纳、类比与猜测、再验证猜测，这一系列数学思维过程，发展学生的归纳推理能力。
3、能用有条理的、清晰的语言阐述自己的想法。
4、在解决问题的活动中，学习与他人合作，懂得谦让，能相互帮助。
5、在老师的鼓励与引导下，能积极地应对活动中遇到的困难，在学习活动中获得成功体验。
教学重点：在教学过程中，渗透化归的思想,指导学生根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。
教学难点：在解决问题过程中，引导学生进行有条理的思考，训练学生对自己的结论做出条理清晰的说明。
教学具准备：PPT课件、河内塔教具、河内塔学具、游戏记录表。
教学过程：课前谈话：孩子们，这节课是一节游戏与数学相结合的课，将会是一节很有趣的数学课，那你们有没有准备好要积极思考，大胆发言呀？准备好了，老师非常期待你们的精彩表现!首先，我们先来学习一个简单的数学知识：2我们可以写成2一次方，2乘2也就是两个2相乘可以写成2的2次方等于4，2乘2乘2可以写成2的3次方等于8，以此类推：4个2相乘可以写成2的4次方等于8再乘以2得16.同学们学得很好，现在请同学们做一道找规律填空题：2 4 8 16 ……（）第10数是几？（）第N数是几？请同学们拿出草稿本，想想，算算，找找规律。
我们不要怕失败，因为失败是成功之母。
找到了，规律是第几个数，就是几个2相乘的积。
那第20个数呢，你们再想一想，游戏引入同学们都喜欢玩游戏，老师这儿就有一种很好玩的游戏你们肯定想试试。
这个游戏要用到的玩具叫河内塔。
（出示课件）（它是由一块底盘，三根杆子和一些圆盘组成的）大家现在还想知道什么呢，是不是怎么玩呢？大家别着急，它的游戏规则和一个传说有关，请同学们认真听老师讲一个关于河内塔的古老的传说，游戏规则就在这个传说里面。
河内塔问题数学
河内塔问题在小学数学四年级上册（人教版）第120页有一道思考题“河内塔问题”。
教参对这道题的解法做了一些简要的说明。
网上也能查到一些相关的文章，不过大都比较专业不大好懂。
其实，这道题源于印度的一个古老传说。
我最早是从美国著名理论物理学家科普作家乔治·盖莫夫的名著《从一到无穷大——科学中的事实和臆测》中读到的，内容挺引人入胜，在此，推荐给有兴趣的网友。
“在世界中心贝拿勒斯的圣庙里，安放着一个黄铜板，板上插着三根宝石针。
每根针像韭菜叶那样粗细。
梵天（印度教的主神勃拉玛）在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上放下了由大到小的64个金片。
这就是所谓梵塔。
不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则，把这些金片在三根针上移来移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪根针上，小片永远在大片的上面。
当所有的64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
”课本安排了经过简化的这样一道题目，是想让学有余力的学生初步感知一下化归这种数学思想方法，用意很好。
不过我觉得，倒不如先以阅读的形式或者听老师讲故事的形式，让学生对问题的全貌有所了解，借以引起学生的兴趣，再让学生从移动1个金片开始，去探究其中的规律。
(1)如果①号针上只有1个金片。
把金片移到③号针上只需要移1次；(2)如果①号针上有2个金片。
先把小金片移到②号针上，再把大金片移到③号针上，再把小金片移到③号针上，总共需要移3次；12你能借助②号杆把①号杆上的珠子移到③号杆而不改变珠子的上下顺序吗？最少移动多少次？移动规则如下：（1）每次只能移动1个珠子；（2）大珠子不能放在小珠子上面。
如果①号杆上有4个珠子呢？(3)如果①号针上有3个金片。
像(2)那样(针号稍有改变)，先把上面的2个金片移到②号针上，需要移3次。
再把最后1个大金片移到③号针上需要移1次。
再把②号针上的2个金片移到③号针上又需要移3次。
小学人教四年级数学策略(汉诺塔)
河内塔游戏活动目标：1.本活动以河内塔做为媒介，从“玩”入手，让学生在“玩”的过程中，体会最佳策略，初步感受递推法解决实际问题的方法。
2.能用有条理的、清晰的语言阐述自己的想法，学会用简单的方式记录活动过程3.培养学生的观察、分析、比较，综合思考能力。
活动材料：河内塔玩具、活动单活动过程：活动一：（初步感知尝试把玩）1.师：出示河内塔玩具谈话:今天老师给大家带来了一个玩具，见过吗？你知道这个玩具叫什么吗？课题：“河内塔”想知道这个玩具怎么玩吗？2.（课件出示游戏玩法）任务：将一根柱上的圆盘全部移动到另一根柱上。
规则：1.每次只能移动一个盘子，只能在3个柱子之间移动；2.移动过程中，小盘子一定要放在大盘子的上面，不可颠倒；3.读一读，问：谁看懂了游戏规则，和大家说一说。
4.在学生介绍的基础上老师结合操作介绍游戏规则问：你想玩吗？那我们也来玩一玩。
老师给你3分钟时间，请边玩边注意这个游戏的规则。
（完好后把盘放回信封）5.你知道吗，很多的数学家都研究过这个游戏。
关于它还有一个古老传说，想不想听听。
传说印度教的主神梵天在创造世界的时候，在一块黄铜板上插着三根宝石针，并且在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。
僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声巨响中灭亡……师：传说中的河内塔上只有64个盘子，按照上面的规则移动完成后，我们的世界怎么可能灭亡呢？这中间究竟蕴含了什么样的奥秘呢？今天我们也来研究一下河内塔，揭开这个古老传说中的奥秘吧。
这个河内塔上有64个金环，要是直接移动是不是有些麻烦，那你想从几个开始？7.在学生回答的基础上小结：对于复杂的问题，我们可以从它最简单的形式开始研究，在研究的过程中找到规律就好办了。
活动二：一盘游戏（学生说一说，教师简单演示过程）活动三：二盘游戏1.学生分组活动，两人一组轮流玩。
河内塔问题简介
由来法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。
印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。
不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。
僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
[2]不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。
这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。
假设有n 片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。
此后不难证明f(n)=2^n-1。
n=64时，假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下：18446744073709551615秒这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。
真的过了5845.54亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。
印度传说和汉诺塔故事相似的，还有另外一个印度传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人──宰相西萨·班·达依尔。
国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里赏给我一粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。
请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
3 规则的学习与教学
手段— 手段—目标分析法
“传教士与野人过河”问题 传教士与野人过河”
给定：在河的同一边，有三个传教士和三个野人， 给定：在河的同一边，有三个传教士和三个野人，他们都 要过河，大家都会划船；现在只有一条船， 要过河，大家都会划船；现在只有一条船，一次只能载两 人，任何时候野人多于传教士时传教士就会被吃掉； 任何时候野人多于传教士时传教士就会被吃掉； 目标：传教士和野人都安全过河； 目标：传教士和野人都安全过河； 障碍：传教士和野人怎样搭配渡河？ 障碍：传教士和野人怎样搭配渡河？
psychology
第一步：先过去两个食人兽，再回来一个； 第一步：先过去两个食人兽，再回来一个； 或先过去一个传教士和一个兽，传教士回来） （或先过去一个传教士和一个兽，传教士回来） 第二步：再过去两个食人兽，再回来一个； 第二步：再过去两个食人兽，再回来一个； 再过去两个兽，再回来一个兽，下面的一样） （再过去两个兽，再回来一个兽，下面的一样） 第三步：过去两个传教士， 第三步：过去两个传教士，再回来一个传教士 和一个食人兽； 和一个食人兽； 第四步：再过去两个传教士，回来一个食人兽； 第四步：再过去两个传教士，回来一个食人兽； 第五步：过去两个食人兽，再回来一个食人兽； 第五步：过去两个食人兽，再回来一个食人兽； 第六步：最后两个食人兽过去。 第六步：最后两个食人兽过去。
熊的问题
一只熊从Ａ点出发，向南跑１公里， 一只熊从Ａ点出发，向南跑１公里，然后 转向东跑１公里，再转向北跑１ 转向东跑１公里，再转向北跑１公里便回 到了出发地Ａ点。请问这只熊是什么颜色？ 到了出发地Ａ 请问这只熊是什么颜色？
psychology
学习心理与教学
主讲：蔡丹 博士 主讲： 上海师范大学教育学院应用心理学系
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• （三）第二次移动：
（四）第三次移动：
• （五）第四次移动： •
（六）第五次移动：
• （七）第六次移动：
（八）第七次移动：
• （九）第八次移动： •
（十）第九次移动：
• （十一）第十次移动：
（十二）第十一次移动：
（十三）第十二次移动
（十四）第十三次移动：
第一轮： 1颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第一次
①
②
③
第一轮： 1颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第二次 至少2次.
①
②
③
第一轮： 1颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第一次 至少1次.
①
②
③
第二轮： 2颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第一次
第二轮： 2颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第二次
第二轮： 2颗珠子
小学数学讲题稿
汪清四小 邹艳霞
选题
“河内塔问题”
你能借助2号把1号杆上的珠子移到3号杆而不改变珠子的上下顺序吗？ 最少移动多少次？ 移动规则如下： （1）每次只能移动一颗珠子； （2）大珠子不能放到小珠子上面。 如果A杆上有4个珠子呢？至少移动多少次？
1
2
3
题目分析
河内塔问题源于印度的一个神话，本题动手操作性强，学生不
发现规律，提炼方法
珠子颗数
至少移动次数
数列规律
前一项与后一项的规律
1 2 3 4 5 n
1 3 7
2—1
21 — 1 22 — 1
23 — 1 24 — 1 25 — 1
1 1×2+1 =3 3×2+1 =7 7×2+1=15 15×2+1=31
是 n-1颗珠子移动次数的2倍多1
4—1
8—1
15 16—1
。
1
4 1 2 3 4 4 3 4 2 3 3 4 4 4
4
2
3
4
5
6
7
…
1 2 21 1
2 4
4 8
8 16 24 15
16 32 25 31
32
64
64 128 26 27
22 23 3 7
63 127 n
由前后项的关系递推出：接到通知的学生人数 = 2
—1
找次品
3 1 1 5 1 1 1 1 1 5 2 2 1 1
？ 32—1
2n — 1
分三大步骤：1、小珠子移至2号杆。 2、最大珠移至3号杆。 3、2号杆移至3号杆。
拓展延伸 打电话
一个合唱队共有15人，暑 假期间有一个紧急演出，老师 需要尽快通知到每一个队员。 如果用打电话的方式，每分钟 通知1人，至少要几分钟？
时间 比前一分钟多几 人接到通知 接到通知的总人 数（含老师） 与2有缘 接到通知的学生 的人数
（十五）第十四次移动
（十六）第十五次移动：
•
最小珠先入不同杆至少次数结果分析
1号杆珠子 颗数 最小珠先移 入2号杆至少 移动次数
最小珠先移入 3号杆至少移 动次数
1
2次
2 3次
5次
3
11次
4 15次
24次
1次
7次
1号杆珠子为奇数，最小珠先移入3号杆中转
保证移动次数最少的规律
1号杆珠子为偶数，最小珠先移入2号杆中转
容易根据题目中的已知条件，很快找到解题方法。因此我的教学思
路是： 1. 学生认真分析题目条件和要求。（不改变上下顺序，保证移动次
数最少？隐藏的已知和约束条件？）
2. 学生动手操作、记录。 3. 质疑探究,提炼方法。
4. 发散思维,拓展延伸。
学生容易进入的误区：
每次都先将最小珠移入2号杆。
质疑：这样移，能保证移动的次数最少吗？
这里有5瓶钙片，其中有一瓶 少了3片，你能用什么办法把 它找出来吗？
9 4 4 9 3 3 9 2 2 2 2 1 3 1 4 12 4 4
合情推理，从3个、5个、9个中找次品，归纳推理出把待测的物品平均 分成3 份是本题 的最优法。
解题策略
讲题过程中，我主要采用合情推理的数学思想方法，从
移动1颗、2颗、3颗这些特殊的事例发现和总结一般性的结论，
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第八次
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第九次
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第十次
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第十一次 至少11次.
第三轮： 3颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第一次
第三轮： 3颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第二次
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第二次
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第三次
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第四次
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第五次
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第六次
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第七次
建立数学模型。课程标准明确要求教师在教学过程中，应该 设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归
纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展
合情推理能力。同时，我也应用类比的数学思想，从河内塔 问题迁移到打电话、找次品等数学活动进行类比，从而揭示 了知识之间的内在联系，事物发展的本质属性。
第三轮： 3颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第三次
第三轮： 3颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第四次
第三轮： 3颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第五次
第三轮： 3颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第六次
第三轮： 3颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第七次 至少7次
四个珠子的移动图解： 四个珠子：开始第一个珠子要放在②号杆上：
先入2号，至少移几次？ 第三次 至少3次.
第二轮： 2颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第一次
第二轮： 2颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第二次
第二轮： 2颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第三次
第二轮： 2颗珠子
先入3号，至少移几次？ 第四次 至少4次.
第三轮： 3颗珠子
先入2号，至少移几次？ 第一次
讲题反思
1、在解题过程中，我安排学生通过动手操作、合作探究，由
简单到复杂，一步一步递推出解决河内塔问题的方法，培养了
学生良好的思维习惯，也积累了数学学习的活动经验。
2、本题实质上是一个很经典的数学问题，里面涉及到优胜法， 最优解，最值，递推，大数与小数等一系列的数学方法与思想。 由于时间的关系，不能一一阐述。
突破方法：
学生动手移一移。
争辩质疑，提炼方法
给学生足够的操作探究的时间，让不同层次的学生尝试用自己 的方法去解决这个问题。全班交流，大致会出现以下情况： 1、每次都先将最小珠移至2号杆，导致部分移动次数不是最少。 2、举棋不定，无从入手。
3、会将珠子在三根杆上来回移动，重复多次。
4、将珠子移入中转杆时，颠倒顺序。 5、会出现移动次数最少的操作方法。 6、其他。 比较结果，提炼最优法，化繁为简，操作演示。