演示文稿河内塔问题3
河内塔问题讲题稿
小学数学讲题稿河内塔问题浏阳市新文学校周小芬大家上午好，今天我的讲题内容是河内塔问题。
如图所示：有编号为1、2、3号的三根杆子，在1号杆上有呈金字塔状排列的三颗珠子，你能借助2号把1号杆上的珠子移到3号杆而不改变珠子的上下顺序吗？最少移动多少次？移动规则如下：（1）每次只能移动一颗珠子；（2）大珠子不能放到小珠子上面。
如果A杆上有4个珠子呢？至少移动多少次？一、题目分析河内塔问题源于印度的一个神话，本题动手操作性和综合性强，学生不容易根据题目中的已知条件和问题，找到解题方法。
因此我的教学思路是：1.认真分析题目条件和要求。
2.让学生边操作边思考，并做好记录，逐步总结出规律和方法。
3.一题多解，发散思，拓展延伸。
在学生动手操作之前，先强调操作的要求：1、不改变上下顺序；2、保证移动次数的最少；3、隐藏的已知条件是：1、2、3号杆都可以作为珠子的临时中转杆；约束条件是：中转杆上的珠子必须保持金字塔状。
二、由学生容易进入的误区探究出珠子移动次数最少的规律（题目的已知条件中要求借助2号杆，那么学生很容易理解成只能用2号杆作为中转，所以会在每次移动时先将最上面的那颗最小的珠子移入2号杆，但是，这样移动，能保证是最少的移动次数吗？）给学生足够的操作探究的时间，让不同层次的学生尝试用自己的方法去解决这个问题。
全班交流，会出现大致以下情况：1、每次都先将最小珠移至2号杆，导致部移动次数不都是最少。
2、有学生举棋不定，无从入手。
3、有学生会将珠子在三根杆上来回移动，重复多次。
4、有学生将珠子移入中转杆时，顺序颠倒。
5、有学生会总结出最少移动次数的操作方法。
6、其他。
比较结果，得出最优策略，结果如下：结果如下探究出珠子移动次数最少的规律：1、1号杆珠子为单数，最小珠先移入3号杆中转2、1号杆珠子为双数，最小珠先移入2号杆中转三、发现规律，拓展升华根据所得出的结果找出河内塔问题的最终规律：利用递推法，根据前一项和后一项珠子移动的最少次数，递推出它的规律是：后一项珠子移动次数是前一项的2倍多1；根据珠子移动的最少次数，发现它组成了一个规律为2的n次方减1的数列。
《Hanoi塔问题》课件
在游戏设计和人工智能领域，Hanoi塔问题可以作为解决游戏策略和决策问题的 模型。例如在围棋、象棋等游戏中，可以利用Hanoi塔问题的解法来设计更强大 的游戏AI。
PART 04
Hanoi塔问题的扩展和变 种
REPORTING
带限制的Hanoi塔问题
总结词
带限制的Hanoi塔问题是指在移动盘 子时，需要满足一些特定的限制条件 。
分治策略解法的优点是能够将问题分 解为更小的子问题，降低问题的复杂 度。但缺点是需要仔细设计子问题的 分解方式和合并方式，以确保能够正 确地解决问题。
PART 03
Hanoi塔问题的应用
REPORTING
在计算机科学中的应用
算法设计
Hanoi塔问题可以作为解决复杂算法问题的模型，例如在解决图论、动态规划 等算法问题时，可以利用Hanoi塔问题的特性来设计更高效的算法。
决。
在Hanoi塔问题中，递归解法的基本思 路是将问题分解为三个子问题：将n个 盘，最后将第n个盘子从
A柱移动到B柱。
递归解法的优点是思路简单明了，易于 理解。但缺点是对于大规模问题，递归 解法的时间复杂度较高，容易造成栈溢
出。
动态规划解法
动态规划解法是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来避免重复计算的方法。
数学模型的应用
汉诺塔问题可以通过数学模型进行描述和解决，如使用递归公式或动态规划方法。理解如何将实际问题转化为数 学模型，并运用数学工具进行分析和解决，是数学应用的重要能力。
对解决问题的方法论的启示
解决问题的思维方式
汉诺塔问题提供了一种独特的思维方式，即通过不断将问题分解为更小的子问题来解决。这种思维方 式有助于我们在面对复杂问题时，能够更加清晰地理解和分析问题，从而找到有效的解决方案。
河内塔研究报告
河内塔研究报告河内塔是一种经典的数学益智游戏，由于其简单而有趣的规则，已经成为了许多人喜爱的智力挑战。
本次研究报告旨在对河内塔进行深入研究和分析，并探讨其数学原理和解法。
首先，我们来了解河内塔的规则。
游戏中有三个柱子，分别称为A、B和C。
开始时，柱子A上有若干个盘子，这些盘子按照从小到大的顺序叠放。
目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子C上，期间可以借助柱子B进行中转，但有以下限制：1. 每次只能移动一个盘子；2. 移动过程中，大盘子不能放在小盘子上面。
这是一个递归问题，可以通过递归函数来解决。
下面介绍一种基本的解法思路：1. 对于只有一个盘子的情况，直接将盘子从柱子A移动到柱子C；2. 对于有两个或更多盘子的情况，可以分为三个步骤：a. 将上面的 n-1 个盘子从柱子 A 移动到柱子 B；b. 将最大的盘子从柱子 A 移动到柱子 C；c. 将之前移动到柱子 B 上的 n-1 个盘子移动到柱子 C。
通过递归调用这个过程，即可完成整个河内塔的移动。
除了递归解法，还可以使用其他方法来解决河内塔问题。
例如，可以使用栈来模拟游戏过程：首先将所有待移动的盘子按从大到小的顺序依次入栈，然后进行循环操作：- 如果栈非空，判断当前栈顶盘子能否移动到目标柱子，如果可以则移动并输出移动步骤，同时将盘子出栈；- 否则，进行下一次循环。
通过不断出栈和移动操作，最终可以将所有盘子从柱子A移动到柱子C。
以上是河内塔的基本解法和思路，通过研究和分析，我们可以发现河内塔具有一定的数学规律和模式。
在移动过程中，每次移动都是在不同柱子之间进行，即从A到C，或从A到B再到C，或从C到A再到B再到C。
这涉及到了数列的求和操作，每次移动的步数可以表示为2^n-1，其中n 是盘子的个数。
在实际应用中，河内塔还有一些变种，比如增加了移动次数限制、增加了盘子的数量等。
通过对河内塔的深入研究和理解，我们不仅可以锻炼自己的数学思维能力，还可以运用河内塔的原理和解法来解决其他类似的问题。
《河内塔问题》PPT
我叫汉诺塔
• 传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣
庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着 64个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一 个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一 个个地从这根棒移到第三根棒上，规定可利用中 间的一根棒作为帮助，但每次只能移一个，而且 大的不能放在小的上面，等将全部金盘移到第三 根上时就成功了。相传神同时发了咒语，当所有 的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。 那么，众僧们要移动多少次呢？后来，这个传说 就演变为汉诺塔游戏，也叫河内塔游戏。
最少移动的次数 1 3 3＋1＋3 ＝ 7 7＋1＋7 ＝ 15 15＋1＋15＝31 31＋1＋31＝63 ┋
• 64个金环，众僧们要移动 1844 6744 0737 0951 1615次
京 兆 亿 万
读作：一千八百四十四京 六千七百四十四兆 零七百三十七亿 零九百五十一万 一千六百一十五
数级： 个级 万级 亿级 兆级 京级 垓级 ┋
三个珠子的移动图解：三个珠子的移动只有两种移动方法： 如果第一次移动时，把最小红珠子放到③号杆上是优选法。 如下： • （一）原题图： 移动第一次：
•
•
移动第二次：
移动第三次：
•
• •
移动第四次：
移动第五次：Leabharlann • •移动第六次：
移动第七次：
四个珠子的移动图解：
四个珠子：开始第一个珠子要放在②号杆上： • （一）原题图： • 第一次移动：
•
第二次移动：
第三次移动：
• •
第四次移动：
第五次移动：
• （七）第六次移动：
（八）第七次移动：
• •
第八次移动：
第九次移动：
小学人教四年级数学策略(汉诺塔)
河内塔游戏活动目标：1.本活动以河内塔做为媒介，从“玩”入手，让学生在“玩”的过程中，体会最佳策略，初步感受递推法解决实际问题的方法。
2.能用有条理的、清晰的语言阐述自己的想法，学会用简单的方式记录活动过程3.培养学生的观察、分析、比较，综合思考能力。
活动材料：河内塔玩具、活动单活动过程：活动一：（初步感知尝试把玩）1.师：出示河内塔玩具谈话:今天老师给大家带来了一个玩具，见过吗？你知道这个玩具叫什么吗？课题：“河内塔”想知道这个玩具怎么玩吗？2.（课件出示游戏玩法）任务：将一根柱上的圆盘全部移动到另一根柱上。
规则：1.每次只能移动一个盘子，只能在3个柱子之间移动；2.移动过程中，小盘子一定要放在大盘子的上面，不可颠倒；3.读一读，问：谁看懂了游戏规则，和大家说一说。
4.在学生介绍的基础上老师结合操作介绍游戏规则问：你想玩吗？那我们也来玩一玩。
老师给你3分钟时间，请边玩边注意这个游戏的规则。
（完好后把盘放回信封）5.你知道吗，很多的数学家都研究过这个游戏。
关于它还有一个古老传说，想不想听听。
传说印度教的主神梵天在创造世界的时候，在一块黄铜板上插着三根宝石针，并且在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。
僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声巨响中灭亡……师：传说中的河内塔上只有64个盘子，按照上面的规则移动完成后，我们的世界怎么可能灭亡呢？这中间究竟蕴含了什么样的奥秘呢？今天我们也来研究一下河内塔，揭开这个古老传说中的奥秘吧。
这个河内塔上有64个金环，要是直接移动是不是有些麻烦，那你想从几个开始？7.在学生回答的基础上小结：对于复杂的问题，我们可以从它最简单的形式开始研究，在研究的过程中找到规律就好办了。
活动二：一盘游戏（学生说一说，教师简单演示过程）活动三：二盘游戏1.学生分组活动，两人一组轮流玩。
汉诺塔问题的详解课件
03 汉诺塔问题的变 种和扩展
多层汉诺塔问题
01
02
03
定义
多层汉诺塔问题是指将多 层的盘子从一个柱子移动 到另一个柱子，同时满足 汉诺塔问题的规则。
难度
随着盘子层数的增加，解 决问题的难度呈指数级增 长。
子从中间柱子移动到目标柱子。
递归解法的优点是思路简单明了，易于 理解。但是，对于较大的n值，递归解 法的时间复杂度较高，容易造成栈溢出
。
分治策略
分治策略是解决汉诺塔问题的另一种方法。它将问题分解为若干个子问题，分别求解这些子 问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治策略的基本思路是将汉诺塔问题分解为三个阶段：预处理阶段、递归转移阶段和合并阶 段。预处理阶段将n-1个盘子从起始柱子移动到中间柱子，递归转移阶段将第n个盘子从起 始柱子移动到目标柱子，合并阶段将n-1个盘子从中间柱子移动到目标柱子。
制作汉诺塔问题的动画演示
除了使用Python或数学软件进行可视化演示外，还可以使 用动画制作软件来制作汉诺塔问题的动画演示。这些软件 提供了丰富的动画效果和编辑工具，可以创建生动有趣的 演示。
在动画演示中，可以使用不同的颜色和形状来表示不同的 柱子和盘子。通过添加音效和文字说明，可以增强演示的 视觉效果和互动性。最终的动画演示可以保存为视频文件 ，并在任何支持视频播放的设备上播放。
使用Python的图形库，如matplotlib或tkinter，可以创建汉诺塔的动态演示。 通过在屏幕上绘制柱子和盘子，并模拟移动过程，可以直观地展示汉诺塔问题的 解决方案。
Python代码可以编写一个函数来模拟移动盘子的过程，并在屏幕上实时更新盘 子的位置。通过递归调用该函数，可以逐步展示移动盘子的步骤，直到所有盘子 被成功移动到目标柱子上。
河内塔问题简介
由来法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。
印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。
不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。
僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
[2]不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。
这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。
假设有n 片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。
此后不难证明f(n)=2^n-1。
n=64时，假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下：18446744073709551615秒这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。
真的过了5845.54亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。
印度传说和汉诺塔故事相似的，还有另外一个印度传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人──宰相西萨·班·达依尔。
国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里赏给我一粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。
请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
3 规则的学习与教学
手段— 手段—目标分析法
“传教士与野人过河”问题 传教士与野人过河”
给定：在河的同一边，有三个传教士和三个野人， 给定：在河的同一边，有三个传教士和三个野人，他们都 要过河，大家都会划船；现在只有一条船， 要过河，大家都会划船；现在只有一条船，一次只能载两 人，任何时候野人多于传教士时传教士就会被吃掉； 任何时候野人多于传教士时传教士就会被吃掉； 目标：传教士和野人都安全过河； 目标：传教士和野人都安全过河； 障碍：传教士和野人怎样搭配渡河？ 障碍：传教士和野人怎样搭配渡河？
psychology
第一步：先过去两个食人兽，再回来一个； 第一步：先过去两个食人兽，再回来一个； 或先过去一个传教士和一个兽，传教士回来） （或先过去一个传教士和一个兽，传教士回来） 第二步：再过去两个食人兽，再回来一个； 第二步：再过去两个食人兽，再回来一个； 再过去两个兽，再回来一个兽，下面的一样） （再过去两个兽，再回来一个兽，下面的一样） 第三步：过去两个传教士， 第三步：过去两个传教士，再回来一个传教士 和一个食人兽； 和一个食人兽； 第四步：再过去两个传教士，回来一个食人兽； 第四步：再过去两个传教士，回来一个食人兽； 第五步：过去两个食人兽，再回来一个食人兽； 第五步：过去两个食人兽，再回来一个食人兽； 第六步：最后两个食人兽过去。 第六步：最后两个食人兽过去。
熊的问题
一只熊从Ａ点出发，向南跑１公里， 一只熊从Ａ点出发，向南跑１公里，然后 转向东跑１公里，再转向北跑１ 转向东跑１公里，再转向北跑１公里便回 到了出发地Ａ点。请问这只熊是什么颜色？ 到了出发地Ａ 请问这只熊是什么颜色？
psychology
学习心理与教学
主讲：蔡丹 博士 主讲： 上海师范大学教育学院应用心理学系
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河内塔问题
• 传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里 留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个金 留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着 个金 最大的一个在底下，其余的一个比一个小， 环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小， 依次叠上去。 依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一个个地 从这根棒搬到另一根棒上， 从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一 根棒作为帮助，但每次只能搬一个， 根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不 能放在小的上面。相传神同时发了咒语， 能放在小的上面。相传神同时发了咒语，当所有 的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。 的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。 那么，众僧们要移动多少次呢？ 那么，众僧们要移动多少次呢？
“汉诺塔游戏” 汉诺塔游戏” 汉诺塔游戏
如果①号杆上有 个圆片 最少要移多少次？ 个圆片， 如果①号杆上有64个圆片，最少要移多少次？
移动规则如下： 移动规则如下：
（1）每次只能移动一个圆片； ）每次只能移动一个圆片； （2）大圆片不能放到小圆片上面。 ）大圆片不能放到小圆片上面。 （3） ①号柱子圆片全部移至③号柱子才算成功。 ） 号柱子圆片全部移至③号柱子才算成功。
河内塔问题移动次数最少的规律
• • • • • • •
圆片的个数⁄个 1个圆片 2 3 4 5 ┋
最少移动的次数⁄次 1 1×2+1 ＝3 3×2+1＝7 7×2+1＝15 15×2+1＝31 ┋
• 最少要移动多少次？ 最少要移动多少次？
64个金环，众僧们最少要移动 18446744073709511615次
• （五）移动第四次： •
（六）移动第五次：
• （七）移动第六次： •
（八）移动第七次：
四个珠子的移动图解： 四个珠子的移动图解： 四个珠子：开始第一个珠子要放在②号杆上： • （一）原题图： • （二）第一次移动：
• （三）第二次移动：
（四）第三次移动：
• （五）第四次移动： •
（六）第五次移动：
汉诺塔游戏
执教者： 执教者：吴旦
“汉诺塔游戏” 汉诺塔游戏” 汉诺塔游戏
“终极任务”： 终极任务” 终极任务
借助②号柱把① 借助②号柱把①号柱上的圆 片移到③号柱， 片移到③号柱，不改变圆片 的上下顺序， 的上下顺序，最少移动多少 次？
①
②
③
移动规则： 移动规则：
（1）每次只能移动一个圆片； ）每次只能移动一个圆片； （2）大圆片不能放到小圆片上面。 ）大圆片不能放到小圆片上面。 （3） ①号柱子圆片全部移至③号柱子才算成功。 ） 号柱子圆片全部移至③号柱子才算成功。
河内塔问题
• 传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙 里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64 里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着 个金环，最大的一个在底下， 个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一 个小，依次叠上去。 个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们 一个个地从这根棒搬到另一根棒上， 一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利 用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个， 用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个， 而且大的不能放在小的上面。 而且大的不能放在小的上面。相传神同时发了 咒语，当所有的金环全部移完时， 咒语，当所有的金环全部移完时，就是世界末 日到来的时候。那么，众僧们要移动多少次呢？ 日到来的时候。那么，众僧们要移动多少次呢？
• 都移完要多长时间？ 都移完要多长时间？
• 一年有多少秒？（ 60×60×24×365）秒 • 需要多少年？[18446744073709511615÷ (60 60 24 365)] ≈5846 (60×60×24×365)] ≈5846亿年
• 线段上共有 个点（包括两个端点），那 线段上共有10个点（包括两个端点），那 个点 ）， 么这条线段上一共有多少条不同的线段？ 么这条线段上一共有多少条不同的线段？
• （七）第六次移动珠子的移动只有两种移动方法： 如果第一次移动时，把最小红珠子放到③号杆上是优选法。 如下： • （一）原题图： （二）移动第一次：
•
• （三）移动第二次： •
（四）移动第三次：
• （九）第八次移动： •
（十）第九次移动：
• （十一）第十次移动：
河内塔问题
• 传说中开天辟地的神勃拉玛在印度古庙贝拿勒 斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒， 斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上 面套着64个金环 最大的一个在底下， 个金环， 面套着 个金环，最大的一个在底下，其余的 一个比一个小，依次叠上去。 一个比一个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦 地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上， 地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上， 规定可利用中间的一根棒作为帮助， 规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只 能搬一个，而且大的不能放在小的上面。 能搬一个，而且大的不能放在小的上面。相传 神同时发了咒语，当所有的金环全部移完时， 神同时发了咒语，当所有的金环全部移完时， 就是世界末日到来的时候。如果每秒移动一次， 就是世界末日到来的时候。如果每秒移动一次， 那么，众僧们按规则都移完要多长时间呢？ 那么，众僧们按规则都移完要多长时间呢？
（十二）第十一次移动：
• （十三）第十二次移动： •
（十四）第十三次移动：
• （十五）第十四次移动： •
（十六）第十五次移动：
河内塔问题
• 最少要移多少次？ 最少要移多少次？
• 都移完要多长时间？ 都移完要多长时间？
河内塔问题移动次数最少的规律
• • • • • • • •
圆片的个数⁄个 1个圆片 2 3 4 5 6 ┋
最少移动的次数⁄次 1 3 3＋1＋3＝7 7＋1＋7＝15 15＋1＋15＝31 31＋1＋31＝63 ┋