【全国百强校】浙江省宁波市效实中学等十校2016届高三3月联考数学(理)答案(PDF版)
2016届浙江宁波效实中学高三上期中考试数学(理)试题--解析版
2016届浙江宁波效实中学高三上期中考试数学（理）试题及解析一、选择题 1．“()62k k ππα=+∈Z ”是“tan 23α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：∵tan 232()=+()362k k k Z k Z πππααπα=⇔=+∈⇔∈，∴应是充要条件，故选C ．【考点】1．三角函数的定义；2．充分必要条件．2．设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,αββγ⊥⊥，则//αγ B ．若,//m αββ⊥，则m α⊥C ．若,m n αα⊥⊥，则//m nD ．若//,//m n αα，则//m n 【答案】C【解析】试题分析：A ：α，γ可能的位置关系为相交，平行，故A 错误；B ：m 可能在α上，可能与α斜交，故B 错误；C ：根据线面垂直的性质，可知C 正确；D ：m ，n 可能的位置关系为相交，平行，异面，故D 错误，故选C ．【考点】空间中直线平面的位置关系．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112 【答案】C【解析】试题分析：根据三视图可该几何体为三棱锥与立方体的组合，如下图所示，故所求体积314443803V =+⨯⨯⨯=，故选C ．【考点】1．三视图；2．空间几何体的体积计算． 4．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，3521,21a a =-=+，则2326372a a a a a ++=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．842- 【答案】A【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴22223263733553522()8a a a a a a a a a a a ++=++=+=，故选A ．【考点】等比数列的性质．5．函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为（ ）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【答案】A【解析】试题分析：令2()2x k k Z πϕπ+=+∈，∴422k x ππϕ=+-⇒64223k πππϕπ<+-<，11111220666663k k k k πϕϕπππ⇒-<<+⇒-<<+⇒-<<⇒=，此时2(,)266x πππϕ=-∈-，故选A ．【考点】三角函数的性质．6．函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．104a -≤<B ．14a ≤- C ．114a -≤≤- D ．1a ≤-【答案】D【解析】试题分析：∵21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，∴0121221421a a a a a <⎧⎪⎪-≤⇒≤-⎨⎪-≥+-⎪⎩，故选D ． 【考点】分段函数的单调性．【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是21421a a -≥+-，将分段函数在R 上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升．7．已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围是（ ） A ．6[,1)3 B ．63[,)32 C ．13[,)22 D ．16(,]23【答案】B【解析】试题分析：如图所示，设B 到平面α，C 到平面α的射影，D 到平面α的射影分别为E ，F ，P ， 设BE a =，CF b =，则2a b DP +=，由题意可知2222244()3()EF AP AD DP a b ==-=-+，22221AE AB BE a =-=-，22221AF AC CF b =-=-，∴222AE AF EF +=2221113()2a b a b b a ⇒-+-=-+⇒=，由011112012a a a <<⎧⎪⇒<<⎨<<⎪⎩， ∴11222sin 332a a a DPa DAP AD++∠===，由函数1()2f x x x =+在12(,]22上单调递减， 2[,1)2上单调递增，∴可知2163()()max{(),(1)}sin [,)2232f f a f f DAP ≤<⇒∠∈，故选B ．【考点】立体几何综合题．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解． 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足： ①()(2)0f x f x +-=； ②(2)()f x f x -=-；③当[1,1]x ∈-时，21,[1,0],()cos ,(0,1],2x x f x x x π⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩则函数1()()2x y f x =-在区间[3,3]-上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】A【解析】试题分析：当(1,2)x ∈时，2(0,1)x -∈，∴()(2)cos(2)cos22f x f x x x ππ=--=--=，同理可知，当[2,3]x ∈时，2()43f x x x =-+，又∵(2)()f x f x -=-，∴()(2)f x f x =-， 即()f x 的图象关于直线1x =-对称，故如下图，画出()f x 在[3,3]-上的图象，以及||1()()2x g x =的图象，由图可知，零点个数为5个，故选A ．【考点】1．函数与方程；2．数形结合的思想．【思路点睛】解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化． 二、填空题9．已知全集U =R ，集合{13}A x x =-≤≤，集合{}2log (2)1B x x =-<， 则AB = ；()U A B = ．【答案】[1,4)-，[1,2]-．【解析】试题分析：2log (2)102224(2,4)x x x B -<⇒<-<⇒<<⇒=， ∴[1,4)AB =-，()[1,2]U AC B =-．【考点】1．对数的性质；2．集合的运算．10．若指数函数()f x 的图象过点(2,4)-，则(3)f = ；不等式5()()2f x f x +-<的解集为 ． 【答案】18，(1,1)-． 【解析】试题分析：设指数函数为()(0xf x a a =>且1)a ≠，∴231114(3)()228a a f -=⇒=⇒==，5151()()()222112222x x x f x f x x +-<⇒+<⇒<<⇒-<<，即不等式的解集是(1,1)-． 【考点】指数函数的性质． 11．数列{}n a 的前n 项和为26n S n n =-，则2a = ；数列{}n a 的前10项和1210a a a +++= ．【答案】3-，58． 【解析】试题分析：当1n =时，115a S ==-，当2n ≥时，2216(1)6(1)27n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，∴22273a =⨯-=-，∴1210113531131397949582a a a ++++=+++++⋅⋅⋅+=+⨯=+=． 【考点】1．数列的通项公式；2．数列求和． 12．若2sin 2cos (0)5αααπ+=-<<，则tan α= ；cos(2)4πα+= ．【答案】43-． 【解析】试题分析：22222sin 4cos 4sin cos 4sin 2cos 5sin cos 25αααααααα+++=-⇒=+ 22tan 44tan 44tan tan 1253αααα++⇒=⇒=-+或24tan 7α=-， 当24tan 7α=-时，224sin 2cos sin 525sin 247cos cos 725αααααα⎧⎧+=-=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩，不合题意，舍去，同理当4tan 3α=-时，4sin 5α=，3cos 5α=-，此时cos(2)(cos 2sin 2)42πααα+=-22sin 2sin cos )αααα=--= 【考点】1．同角三角函数基本关系；2．三角恒等变形． 13．已知,x y 均为正实数，且32x y +=，则2x yxy+的最小值为 ．【答案】72+【解析】试题分析：32721217(3)()222y xx y x yx y xy x y +++=++⋅=≥=+当且仅当3232x y y x x y+=⎧⎪⎨=⎪⎩即x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，即2x y xy +的最小值是72【考点】基本不等式求最值．14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，若1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数，是奇数，且329S =，则2015S = ．【答案】4725．【解析】试题分析：∵329S =为奇数，且当n a 是奇数时，131n n a a +=+是偶数，∴1a ，2a ，3a 中必有两个偶数，一个奇数，若1a 为奇数，2a ，3a 是偶数：111131312952a a a a ++++=⇒=，216a =，38a =，44a =，52a =，61a =，74a =，∴从第四项起，数列{}n a 是以3为周期的数列，而201236702=⨯+，∴201551687670424725S =+++⨯++=．【考点】1．分类讨论的数学思想；2．数列求和．【思路点睛】本题是以数列为载体来考查归纳分类讨论的能力，解决此类问题除了用到数列定义，通项公式和前n 项和公式外，还和函数单调性，周期性，不等式的性质，基本不等式联系在一起，解决问题涉及不等式中的比较法，分析法，综合法等，体现了函数与方程，分类讨论，转化与化归等思想方法 15．已知O 为三角形ABC 的外心，22,,120AB a AC BAC a==∠=，若AO x AB y AC =+，则36x y +的最小值为 ．【答案】6+【解析】试题分析：∵AO x AB y AC =+，∴222422AO AB xAB yAB AC a x y a ⋅=+⋅⇒-=①，同理222422AO AC xAB AC y AC x y a a ⋅=⋅+⇒-+=②，联立①②，可得22221323a x a a y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴22222222111362462322622a x y a a a a a a ++=++=++≥+⋅=+，当且仅当 1242112()2a a a =⇒=时，等号成立，即36x y +的最小值是622+．【考点】1．平面向量的数量积；2．基本不等式．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 三、解答题16．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4379,22a a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求证：123111134n S S S S ++++<． 【答案】（1）21n a n =+；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）将条件中的式子转化为只与1a ，d 有关的方程，解出1a 与d ，即可得到通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式首先求出1nS ，再利用裂项相消法即可求得新数列{}n a 的前n 项和，即可得证不等式．试题解析：（1）∵等差数列{}n a ，49a =，3722a a +=， ∴11*139321()28222n a d a a n n N a d d +==⎧⎧⇒⇒=+∈⎨⎨+==⎩⎩；（2）由（1）可知，1()(321)(2)22n n a a n n n S n n +⋅++⋅===+，∴11111()(2)22n S n n n n ==-++， ∴123111111111111113(1)(1)2324+222124n S S S S n n n n ++++=-+-+⋅⋅⋅-=+--<++． 【考点】1．等差数列的通项公式及其前n 项和；2．裂项相消法求数列的和． 17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．已知2a c =，且2A C π-=．（1）求cos C 的值；（2）当1b =时，求ABC ∆的面积S ． 【答案】（1）255；（2）13． 【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为C 的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得a ，c 的值，再利用三角形面积计算公式即可求得S 的值． 试题解析：（1）∵2a c =，∴sin 2sin A C =①，又∵2A C π-=，∴sin sin()cos 2A C C π=+=②，联立①②，即可求得5sin 5C =，25cos 5C =；（2）由（1）结合余弦定理可知，2222cos c a b ab C =+-222554122153c c c c ⇒=+-⋅⋅⋅⇒=或55c =，由已知易得2A π>，∴1212a b c c >⇒>⇒>，∴53c =，112551sin 122353S ab C ==⨯⨯⨯=． 【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，PA ⊥面ABCD ，3PA =，E ，F 分别为BC ，PA 的中点．FE BDACP（1）求证：//BF 面PDE ；（2）求二面角D PE A --的大小的正弦值； （3）求点C 到面PDE 的距离． 【答案】（1）详见解析；（22107；（321． 【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的中点，利用三角形的中位线性质产生线线平行，再利用线面平行的判定，进一步将其转化到线面平行即可；（2）根据已知条件，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再利用已知数据即可求解；（3）利用P CDE C PDE V V --=，从而即可求得所求距离．试题解析：（1）如图所示，取PD 中点G ，连结GF ，GE ，∵E ，F 分别为BC ，PA 的中点，∴可证得//FG BE ，FG BE =，∴四边形BFGE 是平行四边形，∴//BF EG ，又∵EG ⊂平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴ //BF 面PDE ；（2）作DH AE ⊥于H 点，作HI PE ⊥于I 点，连结DI ，易证DH ⊥平面PAE ，∴DH PE ⊥，又∵PE HI ⊥，HI DH H =，∴PE ⊥平面DIH ，∴PE DI ⊥， ∴DIH ∠即为二面角D PE A --的平面角，在Rt DIH ∆中，23102sin 107721DH DIH DI ∠==⋅=；（3）∵P CDE C PDE V V --=，∴33112121337372CDE CDE PDE PDE S PA S PA S h h S ∆∆∆∆⨯⨯⨯=⨯⇒===⨯⨯．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角的求解；3．体积法求线面距离．【方法点睛】立体几何大题通常会考查两条异面直线所成的角，求二面角的平面角，点到面的距离等，要综合运用平行垂直关系等判定定理，性质定理，及支线与平面所成角的概念，二面角的概念，作出相应的角，再通过平面几何知识进行计算，求点到平面的距离，通常可考虑体积法，此外，空间向量也是解决立体几何大题的一种方法．19．若0x R ∈满足00()f x x =，则称0x 为()f x 的不动点． （1）若函数2()f x x ax a =++没有不动点，求实数a 的取值范围； （2）若函数()ln 3f x x =-+的不动点0[,1),x n n n ∈+∈Z ，求n 的值；（3）若函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++有不动点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）322322a -<<+（2）2n =；（3）(,323]-∞-．【解析】试题分析：（1）根据条件可知，()f x 没有不动点，等价于方程()f x x =无实数根，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据零点定理求得()f x x =的根所在的区间，即可求得n 的值；（3）()f x 有不动点，等价于()f x x =有解，从而可知4212x x xa a +⋅++=，从而问题进一步等价于关于t 的一元二次方程2(1)10t a t a +-++=至少有一正根，利用韦达定理，即可求解a 的取值范围． 试题解析：（1）由已知可得，问题等价于()f x x =无实数根，即2(1)1x a x a +-++无实数根，∴2(1)40a a ∆=--<，33a -<+；（2）令()f x x =，∴ln 3x x -+=，即ln 30x x +-=，令()ln 3g x x x =+-，()g x 在(0,)+∞上递增，(2)0g <，(3)0g >，0(2,3)x ∈，2n =；（3）令()f x x =， 则4212x x x a a +⋅++=，又令2(0)xt t =>，从而可得2(1)10t a t a +-++=，故问题等价于关于t 的一元二次方程2(1)10t a t a +-++=至少有一正根，若方程有一根为0：此时1a =-，12t =，20t =，符合题意，若方程的根不为0，考虑都为负根，由韦达定理可知121210110t t a a t t a +=-+<⎧⇒>⎨=+>⎩，因此方程至少有一正根需1a ≤，又∵0∆≥⇒3a ≤-或3a ≥+，∴实数a 的取值范围是(,3-∞-．【考点】1．材料阅读；2．零点存在定理；3．韦达定理．20．二次函数()f x 的图象过原点，且对x ∀∈R ，恒有231()62x f x x --≤≤+．设数列{}n a 满足111,()3n n a a f a +==．（1）求函数()f x 的表达式； （2）证明： 1n n a a +>； （3）证明：*121()242n n na a a n N -≤+++<∈． 【答案】（1）2()22f x x x =-+；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）由已知条件可设2()f x ax bx =+，在231()62x f x x --≤≤+中，令1x =-，从而可知4(1)1(1)44f f a b -≤-≤-⇒-=-⇒-=-，4b a =+，再根据22231(4)x ax bx ax a x --≤+=++恒成立，利用判别式是非正数，即可求得a 的值；（2）利用递推公式1()n n a f a +=，结合初始值，可证明102n a <<，从而可得10n n a a +->；（3）首先由（2）易证122n n a a a +++<，再根据已知条件猜想111()223n n a ≥-⋅，利用数学归纳法证明即可求证所证不等式． 试题解析：（1）由已知条件可设2()f x ax bx =+，在231()62x f x x --≤≤+中，令1x =-，从而可知4(1)1(1)44f f a b -≤-≤-⇒-=-⇒-=-，4b a =+，又∵22231(4)x ax bx ax a x--≤+=++恒成立，即2(3)(4)10a x a x ++++≥对任意x R ∈恒成立，∴2230(4)4(3)(2)0a a a a +>⎧⎨∆=+-+=+≤⎩资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 2a ⇒=-，∴2()22f x x x =-+；（2）∵1()n n a f a +=，∴212(12)n n n n n n a a a a a a +-=-+=-，下面用数学归纳法证明对任意*n N ∈，均有102n a <<，当1n =时，113a =成立，假设n k =时，命题成立，即102k a <<，当1n k =+时，221111222()(0,)222k k k k a a a a +=-+=--+∈，∴当1n k =+时，命题也成立，故对任意*n N ∈，均有102n a <<，∴1(12)0n n n n a a a a +-=->，即1n n a a +>；（3）由（2）可知121112222n n a a a +++<++⋅⋅⋅+=，下面用数学归纳法证明111()223n n a ≥-⋅，当1n =时，结论成立，假设假设n k =时，命题成立，即111()223k k a ≥-⋅，22111222()22k k k k a a a a +=-+=--+ 221111*********[()]()()22322223223k k k +>---+=-≥-，∴当1n k =+时，命题也成立，故对任意*n N ∈，均有111()223n n a ≥-⋅，∴1211[1()]1111133()12224432413n n n n n n a a a -+++≥-⋅=-+⋅>--，故命题得证．【考点】1．二次函数与数列综合题；2．数学归纳法；3．放缩法证明不等式．【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2．重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3．数学归纳法．。
浙江省宁波市2016届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
宁波市2015学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0,1,2,3,4M =，{}21log (2)2N x x =<+<，则=N M（ ▲ ）A. {1} B ． {2,3} C ．{0,1} D ． {2,3,4} 2.已知a R ∈,则“|1|||1a a -+≤”是“函数xy a = 在R 上为减函数”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若2a b -与非零向量ma nb +共线，则n m等于 （ ▲ ）A ．2- B.2 C.12-D.124．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 （ ▲ ）侧视图俯视图A ．84 B ．76+ C ．78+ D ．80+5．已知平面α与平面β交于直线l ,且直线a α⊂,直线 b β⊂, 则下列命题错误．．的是 （ ▲ ） A ．若,a b αβ⊥⊥，且b 与l 不垂直，则a l ⊥ B ．若αβ⊥，b l ⊥，则a b ⊥C ．若a b ⊥，b l ⊥，且a 与l 不平行，则αβ⊥D ．若a l ⊥，b l ⊥，则αβ⊥6.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对任意x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （ ▲ ）A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ． 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ． ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦7．已知实数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则151959149a a a a a a ++ （ ▲ ）A ．有最大值12 B ．有最小值12 C ．有最大值52 D ．有最小值528. 已知12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，其离心率为e ，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴，直线1F B 的交点分别为,M R ，若1RMF ∆与2PQF ∆的面积之比为e ，则e 的值为 （ ▲ ）32C. 2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 9.已知log 2,log 3a a m n ==，则2m na +=__▲__，用,m n 表示4log 6为__▲__.10.已知抛物线24x y =的焦点F 的坐标为__▲__，若M 是抛物线上一点，||4MF =，O 为坐标原点，则MFO ∠=__▲__.11.若函数221,0(),0(2),0x x x f x a x g x x ⎧++>⎪==⎨⎪<⎩为奇函数，则a =__▲__，((2))f g -= __▲__.12．对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x R ∈恒成立，则称()f x 为关于a的“倒函数”.已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“倒函数”， 且当]1,0[∈x 时，)(x f 的取值范围为]2,1[，则当[1,2]x ∈时，()f x 的取值范围为__▲__，当]2016,2016[-∈x 时，()f x 的取值范围为__▲__.13. 已知关于x 的方程2220(,)x ax b a b R ++-=∈有两个相异实根，若其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41b a --的取值范围是__▲__. 14．若正数,x y 满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为__▲__. 15. 在ABC ∆中，10,30BAC ACB ∠=︒∠=︒ ，将直线BC 绕AC 旋转得到1B C ，直线AC 绕AB 旋转得到1AC ，则在所有旋转过程中，直线1B C 与直线1AC 所成角的取值范围为__▲__．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2a =，242cossin 25B C A ++=. （Ⅰ）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，求b 的取值范围； （Ⅱ）当ABC ∆的周长取最大值时，求b 的值.17．（本题满分15分） 如图，在多面体EF ABCD - 中，,ABCD ABEF 均为直角梯形，2ABE ABC π∠=∠=,DCEF 为平行四边形，平面DCEF ⊥ 平面ABCD .（Ⅰ）求证：DF ⊥ 平面ABCD ；（Ⅱ）若ABD ∆是等边三角形，且BF 与平面DCEF, 求二面角A BF C --的平面角的余弦值.AE18．（本题满分15分）已知函数2()1f x x =-．（Ⅰ）对于任意的12x ≤≤，不等式24|()|4()|(1)|m f x f m f x +≤-恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数1[1,2]x ∈，存在实数2[1,2]x ∈ ，使得122()|2()|f x f x ax =-成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分15分）已知12,F F 为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，2F 在以Q 为圆心，1为半径的圆2C 上，且12||||2QF QF a += .（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点(0,1)P 的直线1l1C 于,A B 两点，过P 与1l 直的直线2l 交圆2C 于,C D 点，M 为线段CD 中点，求MAB ∆面积的取值范围.20．（本题满分15分） 对任意正整数n ，设n a 是方程21xx n+=的正根. 求证：（Ⅰ）1n n a a +>；（Ⅱ）2311111112323n a a na n+++<++++.宁波市2015学年第一学期期末试卷高三数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．A 2. B 3．C 4. B 5．D 6.C 7．D 8．A二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算． 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. 12，2m n m + 10.（0，1），23π11. 0，-25 12.1[,1]2，1[,2]2 13. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭14.24- 15.5[,]1818ππ三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分） 解:242cos sin 25B C A ++=41cos()sin 5B C A ⇒+++=即1sin cos 5A A ⇒-=- 又0A π<<，且22sin cos 1A A +=，有3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………3分（1）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，则有sin a b A =或a b ≥ 则b 的取值范围为10(0,2]{}3； ……………………7分 （2）设ABC ∆的周长为l ，由正弦定理得(sin sin )sin 102[sin sin()]3al a b c a B C AB A B =++=++=+++102[sin sin cos cos sin ]322(3sin cos )2)B A B A B B B B θ=+++=++=++……………………10分其中θ为锐角，且sin 10cos 10θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，max 2l =+cos B B ==.……………………12分此时sin sin ab B A== ……………………14分 （注：也可利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合基本不等式求解） 17．（本题满分15分）（Ⅰ）证明：因为2ABE ABC π∠=∠=，所以AB ⊥ 平面BCE又//EF CD ,所以//EF ABCD 平面，从而有////AB CD EF ，………………3分 所以CD ⊥ 平面BCE ，从而CD CE ⊥， 又//CE DF ，所以CD DF ⊥， 又平面DCEF ⊥ 平面ABCD ， 所以DF ⊥ 平面ABCD . ……………………7分 （Ⅱ）过C 作CH BE ⊥交BE 于H ，HK BF ⊥交BF 于K ,因为AB ⊥ 平面BCE ，所以 CH AB ⊥，从而F H BE C A ⊥平面， 所以CH BF ⊥，从而BF CHK ⊥平面 ，所以BF KH ⊥即HKC ∠为C BF E -- 的平面角，与 A BF C --的平面角互补. ……………10分 因为BC DCEF ⊥ ，所以BF 与平面DCEF 所成角为BFC ∠.由tan CB BFC CF ∠===，所以2222CB CD CE =+ ，………12分 由ABD ∆是等边三角形，知30CBD ∠=︒，所以CB = 令CD a =，所以,,CB CE ===,4CH a CK ===.所以sin CH CKH CK ∠==，1os 4c CKH ∠=. 所以二面角A BF C --的平面角的余弦值为14-. ……………………15分FCDABEHKA法二：因为,,CB CD CE 两两垂直，以C 为原点，,,CD CB CE 所在直线为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系. 不妨设1CD = .因为BC DCEF ⊥，所以BF 与平面DCEF 所成角为BFC ∠ . 由tan CB BFC CF ∠===，所以2222CB CD CE=+ ，…………9分 由ABD ∆是等边三角形，知30CBD ∠=︒，所以CB CE ===(1,0,0),D B E F ………………11分(1,0,5),(0,3,0)CF CB == ，(2,0,0),(1,BA BF ==平面ABF 的一个法向量1111(,,)n x y z =，平面CBF的一个法向量2222(,,)n x y z =则 111120x x=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 且222200x ⎧=⎪⎨=⎪⎩取12(0,5,3),(n n ==- ……………………13分 则1212121cos ,4||||n n n n n n ⋅<>==⋅.二面角A BF C --的平面角与12,n n 的夹角互补. 所以二面角A BF C --的平面角的余弦值为14-. ……………………15分18. 解：（Ⅰ）由24|()|4()|(1)|m f x f m f x +≤-对任意的12x ≤≤恒成立. 得22224(1)4(1)2m x m x x -+-≤-对任意的12x ≤≤恒成立.整理得22(41)240m x x +--≤对任意的12x ≤≤恒成立. ……………………3分即有222244x x m x -++≤对任意的12x ≤≤恒成立.又22215[,]4241114244x x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈. 故214m ≤，则实数m 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ……………………6分 （Ⅱ）11()(12)y f x x =≤≤的值域为1[0,3]D =， ……………………7分 令()|2()|g x f x ax =- 即2()|22|g x x ax =--.原问题等价于当[1,2]x ∈时，()g x 的值域为[0,]t ，其中3t ≥. ………………9分 令2()22,(12)h x x ax x =--≤≤ . （1）当14a≤时，即4a ≤时，(1)()(2)h h x h ≤≤. 所以(1)(2)0h h ≤且(1)3h ≤-或(2)3h ≥ . 即03a ≤≤且3a ≥ 或32a ≤. 所以302a ≤≤或3a =. ……………………11分 （2）当24a≥时，即8a ≥时，(2)()(1)h h x h ≤≤ 所以(1)(2)0h h ≤，无解； ……………………13分 （3）当124a<< ，即48a <<时，()()max{(1),(2)}4a h h x h h ≤≤因为(1)0h a =-< ，所以(2)620h a =-≥ ，从而3a ≤ 无解. …………………15分 综上，所求a 的取值范围为302a ≤≤或3a =. 19．（本题满分15分）21=，此圆与x 轴相切，切点为0)所以c =,即222a b -= ,且2F ，1(F ……………………2分又12||||312QF QF a +=+=. ……………………4分 所以2a = ，2222b a c =-=所以椭圆1C 的方程为22142x y +=. ……………………6分 （Ⅱ）当1l 平行x 轴的时候，2l 与圆2C 无公共点，从而MAB ∆不存在； 可以设1:(1)l x t y =-，则2:10l tx y +-= .由22142(1)x y xt y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得2222(2)240t y t y t +-+-= 则12|||ABy y =-=. ……………………8分 又圆心Q 到2l 的距离11d =<得21t <. ……………………10分又,MP AB QMCD ⊥⊥所以M 到AB 的距离即Q 到AB 的距离，设为2d ， 即2d==. ……………………12分所以MAB ∆面积221||22S AB d t =⋅=+令u =则2(,2]22(23)2u S f u u u u===∈-- . 所以MAB ∆面积的取值范围为(2]3. ……………………15分 20．（本题满分15分）证：由 21n n a a n+=，且0n a > 得 01n a <<.……………………3分 （Ⅰ）22111,11n n n n a a a a n n +++=+=+ 两式相减得221101n n n n a a a a n n++=-+-+ 2211111()()n n n n n n n n a a a a n na a a a n ++++<-+-=-++． 因为110n n a a n+++>，故10n n a a +->，即1 .n n a a +> ……………………7分法二：n a = ……………………3分=为单调 ……………………7分 （Ⅱ）因为 11n n a a n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以11n n a a n=+， 由01n a << 得 111n a n<+ . ……………………10分 从而当2i ≥时，21111111(1)(11)1i i a i i i i i -<+-=<-- ，121211111111(1)1(1)1111()1111nn i i i i n i i a a i a a i i a n a ===-=-+-<-+--=-<∑∑∑ 所以2311111112323n a a na n+++<++++ . ……………………15分。
百校大联全国名校联盟2016届高三联考试卷三数学理科==
百校大联考全国名校联盟2016届高三联考试卷（二）化学可能用到的相对原子质量：H1 C12 O16 Na23 Mg24 Al27 Mn55 Cu64第I卷（选择题共42分）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共计42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．结合化学与环境相关知识，下列有关说法正确的是A．SO2、NO2、CO2均属于大气污染物B．酸雨是pH小于5.6的降水C．CO2也会导致酸雨的形戒D．大气中O2含量的增加会导致温室效应加剧2．三氟化氮(NF3)气体在潮湿的环境中能发生如下反应：3NF+5H2O=2NO+HNO3+9HF。
下列有关该反应的说法错误的是A．N F3既是氧化剂，又是还原剂B．还原剂与氧化剂的物质的量之比为1：2C．若生成2 mol HNO3，则转移2 mol电子D．NF3中氮元素的化合价为+33．下列说法错误的是A．硝酸能溶解除金、铂外的大多数金属B．汽车尾气中含有NO和COC．浓氨水可检验氯气管道漏气D．制取二氧化氮时，常用水吸收尾气4．N A代表阿伏加德罗常数的值。
下列叙述正确的是A．1 L l mol．L-I FeBr2溶液与l mol氯气反应时转移的电子数为3N AB．0.5 mol．L-1硫酸钠溶液中含有溶质离子总数为1. 5N AC．1 mol硫酸氢钠固体中含阳离子总数N AD．28 g由乙烯和聚乙烯组成的混合气体中含有碳碳双键数为N A5．下列实验操作过程中，最后没有沉淀且溶液呈无色透明的是A．NO2不断通人FeS04溶液中B．CO2不断通人CaCI z溶液中C．NH3不断通入AICl3溶液中D．SO2通人已酸化的Ba(NO3)2溶液中6．下列单质或化合物的性质描述正确的是A．Na HC03水溶液显碱性，溶液中阳离子电荷总数小于阴离子电荷总数B．SiO2不跟碱反应，但可与氢氟酸反应C．NO2难液化，易溶于水并跟水反应D．Fe3O4能与浓盐酸反应生成FeCL2和FeCl37．下列陈述I和Ⅱ均正确，并且有因果关系的是8．下列图示操作正确的是9．在含有下列离子的溶液中通入过量的SO2气体，这些离子仍可以大量共存的是A.B．C． D.10．已知A、B、C、X是四种中学化学中常见的物质，其转化关系符合下图。
浙江省宁波市“十校”2016届高三数学联考试题 理
2016年宁波市高三“十校”联考数学（理科）说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.台体的体积公式：121()3V h S S =，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高.球的表面积公式：24S R π=,球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a R ∈,则“1a <”是“11a>” （ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2. 已知集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，则集合{|x x M ∈且}x N ∉为（ ▲ ）A. (0,3] B ．[4,3]- C ．[4,0)- D ．[4,0]-3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直A．C.4.已知抛物线24x y=，过焦点F的直线l交抛物线于,A B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为30 ，则||||AFBF等于（▲）A．3 B．52C．2 D．325．已知命题p：函数2()|2cos1|f x x=-的最小正周期为π；命题q：若函数(2)f x-为奇函数，则()f x关于(2,0-对称.则下列命题是真命题的是（▲）A．p q∧ B．p q∨ C．()()p q⌝⌝∧ D．()p q⌝∨6. 设nS是公差为(0)d d≠的无穷等差数列{}na的前n项和，则下列命题错误．．的是（▲）A．若0d<，则数列{}nS有最大项B．若数列{}nS有最大项，则0d<C．若数列{}nS是递增数列，则对任意*Nn∈，均有0nS>D．若对任意*Nn∈，均有0nS>，则数列{}nS是递增数列7．已知O为三角形ABC内一点，且满足(1)0OA OB OCλλ++-=，若OAB△的面积与O A△的面积比值为13，则λ的值为俯视图正视图侧视图（ ▲ ） A.32B. 2C. 13D.128.已知函数24()(0)1xf x x x x x =--<-,2()2(0),R g x x bx x b =+->∈.若()f x 图象上存在,A B 两个不同的点与()g x 图象上,A B ''两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为（ ▲ ）A．(5)-+∞， B．5)+∞， C．(51)-， D．51)，第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.已知圆22:250M x y x +++-=，则圆心坐标为 ▲ ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为 ▲ .10. 已知单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项， 则公比q = ▲ ，通项公式为n a = ▲ .11.已知函数21()cos cos ,R 2f x x x x x =--∈，则函数()f x 的最小值为 ▲ ， 函数()f x 的递增区间为 ▲ .12. 已知实数,m n ，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则2m n +的取值范围为 ▲ ，22m n +的取值范围为 ▲ .13. 已知,(0,)2x y π∈，且有2sin x y，tan x y ，则cos x = ▲ . 14. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为▲ .15.如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11AD CC ⊥， 侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =． （Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值．18．（本题满分15分）αA B C D E 1B1C1ACBADM对于函数()f x ，若存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.（Ⅰ）若01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数”，求函数()g x 的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间”，求a 、b 的值.19．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x =-20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.2016年宁波高三“十校”联考数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．B 2. D 3．C 4. A 5．B 6. C 7．A 8．D二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算． 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. (1,-， 0x = 10.12，611232()2nn n a --==⋅ 11. 2-，[,](Z)63k k k ππππ-++∈ 12.3[,4]2，[1,4]13.12 14. 75三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若5b c a c =<，，且2AD DC =，求BD 的长度.解：（Ⅰ）(45,5)m a c b =- 与(cos ,cos )n C B =共线， 54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A C b B B--∴==4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B ∴+= 4sin()4sin 5sin cos B C A A B ∴+== 在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分（Ⅱ）5b c a c ==<，且4cos 5B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105a a ∴+-⋅⋅=解得35a a ==或（舍）……………………………………………9分2AD DC = 1233BD BA BC ∴=+22222141214122c 2cos 99339933BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅∙=++⋅⋅⋅⋅将3a =和5c =代入得：21099BD ==3BD ∴……………………………………………14分17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11A D CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =． （Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值．解：∵11A D CC ⊥，且D 为中点，112AA A D ==， ∴111AC AC AC ===， 又 11,2BC AB BA ===， ∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥，又 1BA BA B = ，∴CB ⊥平面11ABB A ，取1AA 中点F ，则1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直， 以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图， ∴1111(2,0,0),(0,0,1),((2,0,1),(1,0,1),(2B C A A C D M -5分 （Ⅰ）设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0BA x ⋅=-=m ，0BC z ⋅==m ，取,0)=m ， ∵ 1(,22MD =- ，0022MD ⋅=-+= m ，1C1ACADM1A∴ MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 9分（Ⅱ）设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n，1(1,(2,0,0)AC AA ==，1110AC x z ⋅=+= m ，110AA x ⋅== m ，取(0,1=n ， 又由（Ⅰ）知平面ABC的法向量为,0)=m ，设二面角1B AC A --为θ， ∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 15分 18．（本题满分15分）对于函数()f x ，若存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.（Ⅰ）若01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数”，求函数()g x 的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间”，求a 、b 的值.解：（Ⅰ）01b a ==，，2()|2|g x x x =-是“可等域函数”22()|2|=|(1)1|0g x x x x =---≥ ，0n m ∴>≥结合图象，由()g x x =得0,1,3x = 函数()g x 的“可等域区间”为[0,1],[0,3] 当12m n ≤≤≤时，()1g x ≤，不符合要求 （此区间没说明，扣1分）……………………7分 （Ⅱ）222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-因为区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间，所以11a +>即0a >当01a <≤时，则(1)1(1)1f f a a =⎧⎨+=+⎩得12a b =⎧⎨=⎩；…………………………10分当12a <≤时，则()1(1)1f a f a a =⎧⎨+=+⎩无解；………………………………12分xOy当2a >时，则()1(1)1f a f a =⎧⎨=+⎩得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………15分 19．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:(1)l y k x =-垂直平分，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）由已知得12(,0),(,0)A a A a -,(,)P x y ，1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-122249A P A P y y b k k x a x a a ∴==-=--+12PA A △的面积最大值为1262a b ⋅⋅=所以32a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为：22194x y +=（Ⅱ）假设存在曲线E 的弦CD 能被直线:(1)l y k x =-垂直平分当0k =显然符合题 …………8分当0k ≠时，设(,),(,)C C D D C x y D x y ，CD 中点为00(,)T x y 可设CD ：1y x m k=-+ 与曲线22194x y E +=：联立得：2229(4)189360mx x m k k +-+-=， 所以0∆>得222490k m k -+>……（1）式…………………………10分由韦达定理得：0218249C D kmx x x k +==+， 所以02949km x k =+，代入1y x m k =-+得202449k my k =+ 00(,)T x y 在直线:(1)l y k x =-上，得2549km k =+……（2）式…………………12分将（2）式代入（1）式得：24925k +<，得24k <，即22k -<<且0k ≠……14分 综上所述，k 的取值范围为(,2][2,)k ∈-∞-+∞ .20．（本题满分15分） 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T , 求证：231n n T n ≥+. 解：（Ⅰ）令1n =，得113r +=，所以23r =， ……………1分 则12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥， 两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………3分 所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅- ，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥， ……………6分 又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………7分 （构造常数列等方法酌情给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知21(21)2n a n n -=-⋅，所以211111(21)2212n n b a n n n n-===---， 11223+1T ∴=≥不等式成立 11111111(2)123456212n T n n n∴=-+-+-++-≥- 111111*********=1232242123212n T n n n n ∴=++++-+++++++-+++ （）（）111122n T n n n∴=+++++ ……………………………………10分 111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n ∴=+++++++++++-+-++1131421()(21)31n n k n k n k n k n ++=≥+-++-++ （仅在12n k +=时取等号） 4231n n T n ∴≥+即结论231n n T n ≥+成立………………………………15分 （数学归纳法按步骤酌情给分）。
浙江省宁波市“十校”2016届高三下学期联考文数试题 含解析
浙江省宁波市“十校"2016届高三下学期联考文数试题一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.） 1。
已知全集{}6,5,4,3,2,1=U ,集合{}5,3,2=A ，{}4,3,1=B ，则()U AB =（）A 。
{}3B 。
{}5,2 C.{}6,4,1 D.{}2,3,5 【答案】B 。
【解析】试题分析：由题意得,{2,5,6}UB =，∴(){2,5}U A B =，故选B ．考点：集合的运算． 2.在等差数列{}na 中,832=+a a,前7项和749S=，则数列{}n a 的公差等于( ）A ．1B ．2C ．320D ．56【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，744497497S a a =⇒=⇒=，∴1112381372a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，故选B ．考点:等差数列的运算．3. “2=a ”是“直线012=-+y ax 与01)1(=+-+y a x 互相平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C. 【解析】试题分析:若两直线平行，则(1)22a a a -=⇒=或1-,经检验，1a =-时，两直线重合,不合题意,舍去，故2a =，∴是充分必要条件，故选C ． 考点：1。
两直线的位置关系；2。
充分必要条件．4.设α，β，γ是不同的平面,m ，n 是不同的直线，则由下列条件能得出β⊥m 的是（ ）A ．n α⊥，n β⊥,m α⊥B ．m αγ=，αγ⊥,βγ⊥C ．m n ⊥,n β⊂D ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥【答案】A 。
【解析】试题分析：A:由n α⊥，n β⊥可得//αβ，再由m α⊥可得m β⊥，故A 正确；B ：根据面面垂直的性质可知，不能得到m β⊥，故B 错误；C:根据线面垂直的判定可知不能得到m β⊥，故C 错误；D ：根据面面垂直的性质可知，不能得到m β⊥,故选A ． 考点:线面垂直的判定．5.要得到函数cos(2)3y x π=-图象，只需将函数sin(2)2y x π=+图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】D. 【解析】试题分析:sin(2)cos 22y x x π=+=，∴需向右平移6π个单位，故选D ．考点:三角函数的图象变换．6.若实数x ，y 满足条件：30 3200 x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩,则y x +3的最大值为()A ．0B ．3C ．23D ．332【答案】C. 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线l ：30x y +=，平移l ，从而可知，当1x =，3y =时，max (3)23x y +=，故选C ．考点：线性规划．7.已知函数1221,1,1(),1,21log ,1,xx f x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-=⎨⎪+>⎪⎪⎩，()()g x f x k =-，k 为常数，给出下列四种说法：①()f x 的值域是(,1]-∞； ②当12k =-时,()g x的所有零点之和等于③当1-≤k 时，()g x 有且仅有一个零点； ④)1(+x f 是偶函数。
2016年3月2016届高三第二次全国大联考(浙江卷)理数卷(解析版)
第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.定义集合{}|A B x x A x B x A B ⊗=∈∈∉ 或且，设全集{}|110U x x =<<，集合{}|26A x x =<<，{}|57B x x =<<，则()U A B ⊗=ð（ ）A.[6,7)B.(1,2](5,6)[7,10)C.(1,6)D. (1,2](5,6](7,10) 【命题意图】本题主要考查集合的运算，属于容易题。
【答案】B2.下列说法正确的是（ ）A.“29a >”是“3a >”的充分不必要条件B.“0x R ∃∈，使得002sin 22sin x x +>2,sin 22sin x R x x ∀∈+<” C.若A B ∧是假命题，则A B ∨是假命题D.“若0a <，则20x ax a ++<有解”的否命题为“若0a ≥，则20x ax a ++<无解” 【命题意图】本题主要考查常用逻辑用语的各类形式及其真假判断，属于容易题 【答案】D【解析】本题宜采用排除法，选项A 中，29a >可得3a >或3a <-，则29a >不一定得到3a >，而3a >可以得到29a >，故是必要不充分条件，故排除；选项B 中，否定应为2,sin 22sin x R x x∀∈+≤，故排除；选项C 中，设命题A ：6是3的倍数；命题B ：6是4的倍数.则命题A 是真命题，命题B 是假命题，则A B ∧为假命题，但A B ∨是真命题，故排除；故选项D 正确，故选D.3.已知数列{}n a 满足11a =，若n 为奇数时，121n n a a +=+；若n 为偶数时，1n n a a n +=+.则该数列的前7项和为（ ）A.103B.102C.100D.98 【命题意图】本题主要考查数列递推关系式及求和问题，属于容易题. 【答案】A【解析】因为11a =，所以21213a a =+=，3225a a =+=，432111a a =+=，54415a a =+=，652131a a =+=，76637a a =+=.所以1234567a a a a a a a ++++++103=.故选A.4.设三条不同的直线分别为,,m n l ，两个不同的平面分别为,αβ.则下列说法正确的是（ ） A.若//,m n n α⊂，则//m αB.若,m n 为异面直线，且,m n αβ⊂⊂，则//αβC.若,,m n m αβα⊥⊥⊥，则n β⊥D.若//,//,m m l αβαβ= ，则//m l【命题意图】本题主要考查空间直线、平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中等题. 【答案】D【解析】本题宜采用排除法进行判断.选项A 中，该条件下，m α⊂也可能；选项B 中，l αβ= 也可能；选项C 中，直线n 与平面β不一定垂直，也可能平行.故选D.5.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象与x 轴的一个交点(,0)12π-到其相邻的一条对称轴的距离为4π.若3()122f π=，则函数()f x 在[0,]2π上的值域为（ ）A.[1,2]-B.[C.[D.[- 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用.属于中等题. 【答案】C6.已知平面向量,a b满足2a = ，1a b ⋅= .则对于任意的实数m ，(24)ma m b +- 的最小值为（ ）A.2B.1C.12 D.23【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中等题. 【答案】B【解析】由题，2[(24)]242a ma m b ma a b ma b ⋅+-=+⋅-⋅=(24)2cos ma m b θ=+- ，其中θ为向量a 与(24)ma mb +- 的夹角，且[0,)2πθ∈.所以1(24)1cos ma m b θ+-=≥ .故选B.7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F .若左焦点1F 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e 的值为（ ）B.3D.5 【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于中等题. 【答案】C【解析】由题可得，设左焦点1(,0)F c -关于渐近线b y x a =-的对称点为(,)P m n .则22n a m c bn b m c a ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⋅⎪⎩，解得2222,c a ab m n c c -==，即2222(,)c a abP c c -.因为点P 在双曲线上，所以满足2222222(2)41c a a a c c --=，解得2250c a -=，即2225c e a==，所以e =故选C.8.在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -中，12AB AA ==.若点M 在ABC ∆所在平面上运动，且使得1AC M ∆的面积为1，则动点M 的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【命题意图】本题主要考查空间动点的轨迹问题，属于较难题. 【答案】B【解析】由题可得，因为12AB AA ==，所以1AC =.若点M 在空间运动，要使1AC M ∆的面积为定值1，则点M 的轨迹为以1AC 为轴，的圆柱，因为点M 在ABC ∆所在平面上运动，所以可得该点M 的轨迹为椭圆.故选B.第Ⅱ卷（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.已知函数221(2),1()2,1x f x x f x x -->⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则(3)f = ；当0x <时，不等式()2f x <的解集为 .【命题意图】本题主要考查分段函数求值问题，属于容易题. 【答案】2；(1,0)-【解析】1(3)(32)(1)22f f f =-===；因为0x <，所以2211()222x f x -=<=，所以2211x -<，化简得10x -<<，所以不等式的解集为(1,0)-.10.若函数()tan()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为2π，则ω= ；()3f π= . 【命题意图】本题主要考查正切函数求值问题，属于容易题. 【答案】12；2+ 【解析】由题可得，2ππω=，所以12ω=.所以1()tan()24f x x π=+. 所以()tan()364f πππ=+tantan6421tan tan 64ππππ+===-11.已知实数,x y 满足不等式组14020x x y ax y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，若实数12a =，则不等式组表示的平面区域的面积为 ；若目标函数43z x y =+的最大值为15，则实数a 的值为 . 【命题意图】本题主要考查简单的线性规划的应用，属于容易题. 【答案】274；112.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ；表面积为 .【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图以及表面积、体积问题，属于中等题.【答案】4；12+【解析】由题可得，该几何体为一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -被一个截面1BED F （E 为CC 1中点，F 为AA 1中点）所截后剩余部分的几何体，由三视图可知，该几何体的体积为正方体体积的一半，故31242V =⨯=.其表面积为1211621222BED F S S S =+=⨯⨯+=+正方体.13.已知正方形ABCD 中，点(2,1),(6,3)A C -.若将点A 折起，使其与边BC 的中点E 重合，则该折线所在直线方程为 .【命题意图】本题主要考查平面内直线、点的有关对称问题属于中等题. 【答案】28y x =-或250x y --=【解析】因为(2,1),(6,3)A C -，所以AC =，点B 在直线AC 的垂直平分线50x y --=上，且满足点B 到直线:30AC x y +-=的距离为，设(,5)B a a -，则d ，解得6a =或2a =，所以(6,1)B 或(2,3)B -.若(6,1)B ，则边BC 的中点(6,1)E -，所以此时折线所在直线方程为28y x =-；若(2,3)B -，则(4,3)E -，所以此时折线所在直线方程为250x y --=.故满足条件的折线方程为28y x =-或250x y --=.14.若正数,,x y z 满足3456x y z ++=，则1422y zy z x z++++的最小值为 . 【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用.属于较难题. 【答案】73【解析】设2,y z m x z n +=+=，则3453()2(2)326x y z x z y z n m ++=+++=+=，所以132m n+=.所以1421232212172263233y z m n m m n m y z x z m n m n m n +++=+=+=++≥+=++.当且仅当2,22n m n m m n ==时取等号.所以1422y z y z x z++++的最小值为73. 15.已知函数2,0()165,0x x f x x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪-+->⎩，若函数[()]y f f x a =-有6个零点，则实数a 的取值范围是 .【命题意图】本题主要考查分段函数求零点问题，属于较难题. 【答案】41a -≤≤-【解析】由题可知，函数()f x 的图象如图所示.令()f x a t -=，则要使[()]y f f x a =-有6个零点，则由()0f t =，解得0,1,5t =.所以有()f x a =或()1f x a =+或()5f x a =+，且15a a a <+<+.对于上述方程，要满足条件，则其零点的个数可能为2,2,2或1,2,3或3,3,0三种可能.若零点个数分别为2,2,2，则有5150a a a -<<+<+<或510,154a a a -<<+<≤+<，解得41a -≤<-；若零点个数分别为1,2,3，由图知，若54a +=，则1a =-，所以10a +=，满足条件，所以1a =-；若5a <-，510,051a a -<+<≤+<，无解；若零点个数分别为3,3,0，则有011,54a a a ≤<+<+>，无解.综上可知，满足条件的实数a 的取值范围是41a -≤≤-.三．解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本大题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos b C B a =. (1)求角B 的大小；(2)若ABC ∆b 的最小值.【命题意图】本题主要考查解三角形，考查正、余弦定理及三角形的面积公式，考查与基本不等式的综合应用，属于中等题. 【解析】(1)因为cos b C a =，由正弦定理可知：sin cos sin B C A =.…………1分因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，…………3分 cosB =，…………5分即tan B =3B π=…………7分17. （本大题满分15分）如图所示，平面ABC ⊥平面BCDE ，//BC DE ，122BC DE ==，2BE CD ==，AB BC ⊥，,M N 分别为,DE AD 中点.(1)证明：平面MNC ⊥平面BCDE ；(2)若EC CD ⊥，点P 为棱AD 的三等分点（近A ），平面PMC 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为AB 的长度.【命题意图】本题主要考查空间直线、平面的垂直、平行的证明，以及二面角的成角问题，属于中等题. 【解析】(1)证明：因为,M N 分别为,DE AD 中点， 所以//MN AE ，所以//MN 平面ABE . 因为//BC DE ，且122BC DE ==， 所以//BC EM …………2分 所以四边形BCME 为平行四边形.所以//CM BE ，所以//CM 平面ABE . 因为CM MN M = ， 所以平面//MNC 平面ABE .因为平面ABC ⊥平面BCDE ，AB BC ⊥ 所以AB ⊥平面BCDE ，…………5分 所以平面ABE ⊥平面BCDE .所以平面MNC ⊥平面BCDE .…………7分 (2)由题可得，四边形BCDE 是等腰梯形. 因为EC CD ⊥，所以有BD BE ⊥.故可以点B 为坐标原点，以,,BE BD BA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系. 因为4,2ED BE ==，所以BD =.设3AB a =，则(2,0,0),(0,(0,0,0),(0,0,3)E D B A a ，因为点M 为ED中点，所以M .点P 为棱AD 的三等分点（近A ），所以13AP AD =，所以2)P a .因为12BC ED =，所以(C -.设平面ABC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则有30m BA az m BC x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取x =所以m = .…………9分 设平面PMC 的一个法向量为 (,,)n x y z =′′′，则有n 2020PC x y az n MC x ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅=-=⎩′′′′，取'1z =，所以(0,,1)n = .…………12分 设平面PMC 与平面ABC 所成锐二面角的大小为θ，则cos m n m n θ⋅===⋅ 1a =. 所以3AB =…………15分18.（本大题满分14分）已知二次函数()f x ,若()0f x <时的解集为{}|14x x -<<，且(6)28f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()(1)f x m g x m x-=>在区间上是单调递增函数，试求函数()g x 在该区间上的最大值的取值范围.【命题意图】本题主要考查二次函数求解析式问题以及函数的性质的应用，属于中等题.(2)(4)(1)()2[(23)]m m g x x m x+-=+-+因为1m >，故可知函数()g x 在区间(0,上单调递减，在)+∞上单调递增.…………10分因为()g x 在区间上单调递增，所以≤，化简得23280m m +-≤， 解得74m -≤≤.因为1m >，所以14m <≤.…………12分因为函数()g x 的最大值为229460(16)16m m g -+=，所以当14m <≤时，229460(16)16m m g -+=在(1,4]上单调递减.所以3(16)[,27)4g ∈.所以函数()g x 的最大值的取值范围是3[,27)4.…………15分19.（本大题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点64(,)55,,A B M是椭圆C 上的三点，且满足cos sin OM OA OB αα=⋅+⋅ ((0,))2πα∈，其中O 为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)证明:OAB ∆的面积是一个常数．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系，属于较难题.【解析】(1)由方程组22361612525a bc a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩及222c a b =-，解得2,1a b ==.…………3分所以椭圆的标准方程C :2214x y +=.…………6分 (2)由题可得，当AB 与x 轴垂直时，可设直线AB 的方程为：x t =.则11(,),(,)A t y B t y -，且22114t y +=，由cos sin OM OA OB αα=⋅+⋅ 得22104t y -=，解得22112,2t y ==. …………8分 所以OAB ∆面积为11122S AB d =⋅⋅==. 当直线AB 与x 轴不垂直时，则设直线AB 的方程为：y kx m =+，联立方程组2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元化简得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则由韦达定理可得122841kmx x k -+=+，21224(1)41m x x k -=+.…………10分设00(,)M x y ，由cos sin OM OA OB αα=⋅+⋅ 可得012012cos sin cos sin x x x y y y αααα=⋅+⋅⎧⎨=⋅+⋅⎩， 代入2214x y +=，得121204x x y y +=，所以有22412k m +=，…………13分=， 点O 到直线AB的距离为d =， 所以OAB ∆的面积为11122S AB d =⋅==. 综上可知，OAB ∆的面积是常数，其值为1. …………15分20.（本大题满分15分）已知数列{}n a 满足2*11,n n a ca c n N +=+-∈，其中常数1(0,)2c ∈. (1)若21a a >，求1a 的取值范围；(2)若1(0,1)a ∈，求证：对任意*n N ∈，都有01n a <<；(3)若1(0,1)a ∈，设数列{}2n a 的前n 项和为n S .求证：212n S n c>--. 【命题意图】本题主要考查数列的性质的应用，属于难题.【解析】(1)当1n =时，2211a ca c =+-.因为21a a >，所以22111a ca c a =+->，有11(1)(1)0ca c a +--> 因为102c <<， 所以可解得111a c>-或11a <.…………2分 所以1a 的取值范围为1(,1)(1,)c -∞-+∞ …………4分(2)因为2*11,n n a ca c n N +=+-∈，且1(0,)2c ∈，所以20,10n ca c >->，所以10n a +>.即0n a >，由211(1)(1)n n n n a ca c c a a +-=-=-+， 因为0,0n a c >>，所以可知11n a +-与1n a -同号. 所以也与11a -同号.…………7分因为101a <<，所以110a -<. 所以10n a -<， 即1n a <. 综上可知，01n a <<.得证.………… 9分：。
【全国校级联考】浙江省宁波市效实中学等十校2016届高三3月联考理综化学试题解析(解析版)
可能用到的相对原子质量：H:1 Li:7 C:12 O:16 Si:28 Fe:56 Cl:35.5 Na:23 Al:27一、选择题：7．下列有关说法正确的是( )A．从海水中提取溴、碘都涉及置换反应，从矿物质中获取铝、铁、铜、硅都不涉及置换反应B．利用溶解度数据可推测将一些混合物质分离开来的可能性，利用原子半径数据可推测某些原子的氧化性和还原性的强弱C．因为食盐能使细菌变性，所以可以用食盐水杀死H7N9禽流感病毒D．某反应的ΔH＞0、ΔS﹤0，则该反应一定不能正向进行【答案】B【考点定位】考查化学基本反应类型；氧化性、还原性强弱的比较；反应热和焓变【名师点晴】本题考查蛋白质的变性、反应能否自发进行，注意反应能否自发进行取决于焓变和熵变的综合判据，不能把其中一个因素当做判断反应能自发进行的依据，学习中注意该部分知识的积累。
8．下列有关实验的说法正确的是( )A．容量瓶、量筒和滴定管上都标有使用温度，量筒、容量瓶都无“0”刻度，滴定管有“0”刻度；使用时滴定管水洗后还需润洗，但容量瓶水洗后不用润洗B．铝丝先放在NaOH溶液中浸泡1min，取出用蒸馏水冲洗后放在浓硝酸中浸10min，最后放入CuSO4溶液中，铝丝表面无铜析出，说明Al常温下与CuSO4溶液不反应C．用浓盐酸配制1:1(体积比)的稀盐酸(约6mol/L)通常需要用容量瓶等仪器D．固体碘单质受热易升华，说明碘单质的热稳定性差【答案】A考点：考查了化学实验方案的评价的相关知识。
9．X、Y、Z、W、M为原子序数依次增大的短周期主族元素。
已知：①元素对应的原子半径大小为：X<Z<Y<M<W；②Y是组成有机物的必要元素③Z与X可形成两种常见的共价化合物，与W可形成两种常见的离子化台物；④M的电子层数与最外层电子数相等。
下列说法不正确．．．的是( )A．W、M的离子半径及最高价氧化物对应水化物的碱性皆为M＜WB．YZ 2为直线型的共价化合物，W2Z2既含有离子键又含有共价键C．Y与X形成的化合物的熔沸点一定低于Z与X形成的化合物的熔沸点D．Z与M形成的化合物可作为耐高温材料，W、M、X以1:1:4组成的化合物是应用前景很广泛的储氢材料，具有很强的还原性【答案】C【解析】试题分析：X、Y、Z、W、M为原子序数依次增大的短周期主族元素，①元素对应的原子半径大小为：X＜Z＜Y＜M＜W；②Y是组成有机物的必要元素，为C元素；③Z与X可形成两种常见的共价化合物，与W可形成两种常见的离子化台物，X原子半径最小，则X为H元素、Z为O元素、W是Na元素；④M的电子层数与最外层电子数相等，且M元素前边有多种元素，所以M为Al元素。
数学文卷·2016届浙江省宁波市“十校”高三下学期联考(2016.03)word版
绝密★启用前浙江省2016届宁波高三十校联考文科数学 试题卷参考公式：柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π= 其中R 表示球的半径选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}6,5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,2=A ，{}4,3,1=B ，则()U A B =I ð（ ） A. {}3B ．{}5,2C ．{}6,4,1 D ．{}2,3,5 2．在等差数列{}n a 中，832=+a a ，前7项和749S =，则数列{}n a 的公差等于（ ） A ．1 B ．2 C ．320 D ．563． “2=a ”是“直线012=-+y ax 与01)1(=+-+y a x 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设γβα,,是不同的平面，n m ,是不同的直线，则由下列条件能得出β⊥m 的是（ ） A ．αβα⊥⊥⊥m n n ,, B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥IC ．β⊂⊥n n m ,D ．,,n m n αβαβ⊥=⊥I5．要得到函数cos(2)3y x π=-图象，只需将函数sin(2)2y x π=+图象（ ）A ．向左平移3π个单位B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位6．若实数y x ,满足条件：0 200 y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，，，则y x +3的最大值为（ ）A ．0 BC． D ．3327．已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=-<-=,1,log 1,1,21,1,12)(21x x x x x f x, ()()g x f x k =-，k 为常数，给出下列四种说法：①()f x 的值域是(,1]-∞； ②当12k =-时，()g x的所有零点之和等于；③当1-≤k 时，()g x 有且仅有一个零点； ④)1(+x f 是偶函数.其中正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，△1APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．12CD非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9．=++-ππcos 421，10log 2lg 9log 23⋅- = ．10．双曲线22916144x y -=-的实轴长等于 ，其渐近线与圆2220x y x m +-+= 相切，则m = .11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ，表面积等于 .12．在边长为1的等边ABC ∆中，P 为直线BC 上一点，若R AC AB AP ∈+-=λλλ,2)2(，则=λ ，=⋅ .13．函数21cos cos ,[0,]22y x x x x π=⋅--∈的单调递增区间是 .14．已知A 是常数，如果函数()f x 满足以下条件：①在定义域D 内是单调函数；②存在区间[,]m n D ⊆,使得{|(),}[3,3]y y f x m x n An Am =≤≤=++，则称()f x 为“反A 倍增三函数”.若()g x x =是“反A 倍增三函数”，那么A 的取值范围是 .（第8题图）15．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是 . 三、解答题：本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，向量)4,45(b c a -=与)cos ,(cos C B n -=互相垂直.（Ⅰ）求B cos 的值；（Ⅱ）若10,5==b c ，求ABC ∆的面积S ．17．如图，ABC ∆中，O 是BC 的中点，AB AC =，22AO OC ==．将BAO ∆沿AO 折起，使B 点到达B '点．（Ⅰ）求证：OC B AO '⊥平面；（Ⅱ）当三棱锥AOC B -'的体积最大时，试问在线段A B '上是否存在一点P ，使CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为36？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.18．已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)3)(1(4+-=n n n a a S ，（*N n ∈）.(Ⅰ) 求n a ；（Ⅱ）若n nn a b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．已知O 是坐标系的原点，F 是抛物线2:4C x y =的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点，弦AB 的中点为M ，OAB ∆的重心为G ． (Ⅰ)求动点G 的轨迹方程；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的轨迹与y 轴的交点为D ，当直线AB 与x 轴相交时，令交点为E ，求四ACBB ' OP（第17题图）边形DEMG 的面积最小时直线AB 的方程.20．已知函数x ax x f +-=1)(2，R a ∈.(Ⅰ)若2=a ，且关于x 的不等式0)(≤-m x f 在R 上有解，求m 的最小值； (Ⅱ)若函数)(x f 在区间[3,2]-上不单调，求a 的取值范围．2016年宁波市高三十校联考数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBCADCCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9.12 ， 1 10. 6，2516 11. 6π ，1210π+ 12. 1-，12-（第19题图）13. [0,]3π14. 19[,1)16-- 15.3332+ 三、解答题：本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 解：(Ⅰ)因为m n ⊥u r r，所以(54)cos 4cos 0a c B b C --=，……………….…….2分所以(5sin 4sin )cos 4sin cos A C B B C -=， ………… ………………………….4分 所以5sin cos 4(sin cos cos sin )4sin()4sin A B B C B C B C A =+=+=，而sin 0A ≠，所以4cos 5B =. ……… …………………… ………. ……………….7分（Ⅱ）由余弦定理得，241025255a a =+-⨯⨯⨯，化简得，01582=+-a a ，……………………………………… ….. …………….10分 解得，a =3或a =5， ……………………………… ….. ………………………….12分而53sin ,5==B c ，又1sin 2S ca B =,故13953252S =⨯⨯⨯=或131555252S =⨯⨯⨯=. ……………………………….14分17.（Ⅰ）证明：因为AC AB =且O 是BC 的中点，所以,AO BO AO CO ⊥⊥，由折叠知O B AO '⊥，又CO B O O '=I ， 所以OC B AO '⊥平面. … ………………………………….…6 分（Ⅱ）不存在. ……………………………. ……….………7 分 证明如下：当面⊥OA B '面AOC 时，三棱锥B AOC '-的体积最大. 因为面'B OA I 面,'AOC AO B O AO =⊥, 所以 ⊥O B '面ACO . ……………….…9 分 （方法一）连结OP ，因为AO CO O B CO ⊥⊥,'，AO B O O '=I ,所以⊥CO 面OA B ',所以CPO ∠即为CP 与平面B OA '所成的角，…….…12 分 在直角三角形CPO 中，36sin ,2,1=∠=∠=CPO COP CO π，所以63=CP ， 而'ACB ∆中，2',5'===C B AB AC ，设C 到直线AB '的距离为h ，则由215221521'-⋅⋅=⋅=∆h S ACB ，得53=h . …………………………………………………………………………………………14分因为h CP <, 所以满足条件的点P 不存在. . ………………………………..…15 分 （方法二）(前面12分同解法一)在直角三角形CPO 中，OPOCCPO COP CO ==∠=∠=2tan ,2,1π,所以22=OP ,易求得O 到直线'AB的距离为52> ，…………………………….…14 分 所以满足条件的点P 不存在.………………………………………….…15 分（方法三）已证得OC OB OA ,',两两垂直 ，如图建立空间直角坐标系O xyz -， 则(2,0,0),(0,0,1),(0,1,0)A B C 'ACBB 'OP设(20)AP AB λλλ'==-u u u r u u u u r ，，，则(22,1,)CP CA AP λλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，………11分又平面B OA '的法向量(0,1,0)n =r，依题意得，36=，……………………………………13分 得3658512=+-λλ，化简得，0716102=+-λλ ， 此方程无解，…………………………………………14分所以满足条件的点P 不存在. ……………….…15 分18. 解：(Ⅰ) 因为32)3)(1(42-+=+-=n n n n n a a a a S ，所以当2n ≥时，2111423n n n S a a ---=+-， …………………………………….…2 分两式相减得，1212224---+-=n n n n n a a a a a ， ………………………………….…3 分化简得，0)2)((11=--+--n n n n a a a a ， 由于{}n a 是正项数列，所以10n n a a -+≠，所以021=---n n a a ，即对任意*,2N n n ∈≥都有12n n a a --=，…………….…5 分 又由2111423S a a =+-得，211230a a --=，解得31=a 或11a =-（舍去），……6 分所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以12)1(23+=-+=n n a n . ………………… …………………………………….…8 分（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，nn n b 2)12(⋅+=，1231325272(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅L ， ①23412325272(21)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅L ， ② .………………10 分②-①得，12341322(2222)(21)2n n n T n +=-⨯-++++++⋅L ………………………….…13 分114(12)62(21)212n n n -+-=--⨯++⋅- 12(21)2n n +=+-⋅. ……………………… …………………………………….…15 分19. 解：（Ⅰ）焦点(0,1)F ，显然直线AB 的斜率存在，设:AB 1+=kx y ，…………1分联立y x 42=，消去y 得，0442=--kx x ， ……2 分设),(),,(),,(2211y x G y x B y x A ，则124,x x k +=124x x =-，………………….…3 分 所以241122121+=+++=+k kx kx y y ，所以24, 342,3k x k y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩…………………….…6 分 消去k ，得重心G 的轨迹方程为32432+=x y .（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，214(0,),(,0),0,2,33M G kD E k x k x k -≠==，因为23OD OGOF OM==，所以DG //ME ，(注：也可根据斜率相等得到)， ………9 分11 ())DG ME k k k k==--=+，， D 点到直线AB的距离1d ==， ………………………………….…11 分 所以四边形DEMG 的面积4111011(2)()36369k S k k k k =++=+≥⋅=， 当且仅当k k 1310=，即1030±=k 时取等号，此时四边形DEMG 的面积最小, ……14分 所求的直线AB的方程为1y x =+ . ……………………………………………15分 20.解：（Ⅰ）当2=a时，22221||2()|21|21||2x x x f x x x x x x ⎧+-≥⎪⎪=-+=⎨⎪-++<⎪⎩，，………..……..…1 分 结合图象可知，函数在1(,),(,242-∞-上单调递减，在1(,),()242-+∞上单调递增， 22)22()(min -=-=f x f ， ..……..………………………………………………….…3 分由已知得，)(x f m ≥有解，只要min )(x f m ≥，所以2m ≥-，即m 的最小值为22-. ………………………………………………………….…5 分（Ⅱ）（1）若0a =，则1)(+=x x f 在]2,3[-上单调递增，不满足条件； …………….6分（2）若0a <，则012<-ax ，所以aa x a x ax x f 411)21(1)(22++--=++-=, 在1(,)2a -∞上递减，在1(,)2a+∞上递增，故()f x 在]2,3[-上不单调等价于：0,13,2a a<⎧⎪⎨>-⎪⎩解得61-<a ； …………..…8分（3）若0a >，则221,()1,ax x x x f x ax x x ⎧+-≤≥⎪⎪=⎨⎪-++<<⎪⎩…………………………9分结合图象，有以下三种情况：① 当aa 121>，即410<<a 时，函数()f x 在),21[+∞-a 上单调递增，在1(,]2a -∞-上单调递减，()f x 在]2,3[-上不单调等价于10,413,2a a⎧<<⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩解得 4161<<a ；. .…11 分 ② 当a a 121<，即41>a时，函数在1(,),(2a -∞上单调递减，在1()2a +∞上单调递增，由于32-<<恒成立，所以)(x f 在区间[]2,3-上不单调成立，即14a >符合题意； …………..….…13 分③当41=a 时，()f x 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞上递增，因此在[]2,3-上不单调，符合题意. ………………………………………………………………………………14 分综上所述，61-<a 或61>a . … ……… …………………………………………….…15 分。
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在三角形 △ABC 中， sin A 0
（Ⅱ） b 10, c 5，a c 且 cos B
a 2 c 2 2ac cos B b 2 即 a 2 25 2a 5
1 2 AD 2 DC BD BA BC 3 3 2 1 2 4 2 1 1 2 4 1 2 BD BA BC 2 BA BC c2 a 2 2 a c cos B 9 9 3 3 9 9 3 3 2 109 109 将 a 3 和 c 5 代入得： BD ………………………14 分 BD = 9 3
17． （本题满分 15 分） 如图，三棱柱 ABC A1 B1C1 中， D , M 分别为 CC1 和 A1 B 的中点， A1 D CC1 ，
o 侧面 ABB1 A1 为菱形且 BAA1 60 ， AA1 A1 D 2 ， BC 1 ．
解得 a 3或a 5 （舍）……………………………………………9 分
19． （本题满分 15 分） 解： （Ⅰ）由已知得 A1 ( a, 0), A2 ( a, 0) , P( x, y) ，
A1 P , A2 P 两直线的斜率之积为
4 9
y y b2 4 k A1P k A2 P 2 xa xa a 9 1 △PA1 A2 的面积最大值为 2a b 6 2
C
D
C1
（Ⅰ）证明：直线 MD∥ 平面 ABC ； （Ⅱ）求二面角 B AC A1 的余弦值． 解：∵ A1 D CC1 ，且 D 为中点， AA1 A1 D 2 ， B
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A M
A1
B1
∴ A1C A1C1 5 AC ， 又 BC 1, AB BA1 2 ， ∴ CB BA, CB BA1 ， 又 BA BA1 B ， ∴ CB 平面 ABB1 A1 ， 取 AA1 中 点 F ， 则 BF AA1 ， 即
当 k 0 时，设 C ( xC , yC ), D( xD , yD ) ， CD 中点为 T ( x0 , y0 ) 可设 CD ： y
1 xm k
x2 y 2 1 联立得： (4 92 ) x 2 18 m x 9 m 2 36 0 ， 与曲线 E： 9 4 k k 2 2 2 所以 0 得 4k m k 9 0 ……（1）式…………………………10 分 18km 2 x0 ， 由韦达定理得： xC xD 4k 2 9 2 1 9 km 所以 x0 ，代入 y x m 得 y 0 4 k m 2 2 k 4k 9 4k 9 T ( x0 , y0 ) 在直线 l : y k ( x 1) 上，得 5km 4k 2 9 ……（2）式…………………12 分
取 m ( 3,1, 0) ， ∵ MD ( , 又由（Ⅰ）知平面 ABC 的法向量为 m ( 3,1, 0) ，设二面角 B AC A1 为 ， ∵ 二面角 B AC A1 为锐角，∴ cos | ∴ 二面角 B AC A1 的余弦值为 18． （本题满分 15 分） 解： （Ⅰ） b 0，a 1 ， g ( x ) | x 2 2 x | 是“可等域函数”
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……………1 分
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2 1 3 3 an n 1 (n 2) ， 两式相减，得 an 1 n 1
则 S n ( n ) an ，所以 S n 1 ( n ) an 1 ( n 2) ， ……………3 分
1 3
1 3
（数学归纳法按步骤酌情给分）
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m n 1 1 | ， | m || n | 22 4
1 ． ………… 15 分 4
y
g ( x ) | x 2 2 x | = | ( x 1) 2 1 | 0 ， n m 0
结合图象，由 g ( x ) x 得 x 0,1, 3 函数 g ( x ) 的“可等域区间”为 [0,1],[0, 3] 当 1 m n 2 时， g ( x ) 1 ，不符合要求 （此区间没说明，扣 1 分）……………………7 分 （Ⅱ） f ( x ) x 2 ax b ( x a ) b a
6
k ,
3
k ](k Z) 7 5
1 1 6 n 32 ( ) n 1 ， an 2 2 2 3 12． [ , 4] ， [1, 4] 2
10． 15．
13．
1 2
14．
33 6
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本题满分 14 分） 解： （Ⅰ） m (4a 5c,5b) 与 n (cos C , cos B ) 共线，
x
m BC z 0 ，
1 3 ,1) ， m M D 3 3 0 0 ， 2 2 2 2 ∴ m MD ，又 MD 平面 ABC ， ∴直线 MD ∥平面 ABC ． …… 9 分 （Ⅱ）设平面 ACA1 的法向量为 n ( x1 , y1 , z1 ) ， AC (1, 3,1), AA1 (2, 0, 0) ， m AC x1 3 y1 z1 0 ， m AA1 x1 0 ， 取 n (0,1, 3) ，
当 1 a 2 时，则
f (a) 1
当 a 2 时，则
f
f ( a 1) a 1 3+ 5 a 2 .…………………………15 分 f (a ) 1 得 (1) a 1 9+3 5 b 2
无解；………………………………12 分
2
……………7 分
（构造常数列等方法酌情给分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 a2 n 1 (2n 1) 2n ，所以 b n
1 1 1 1 ， a 2 n 1 (2 n 1)2 n 2 n 1 2 n
T1
1 2 不等式成立 2 3+1
1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ( n 2) 1 2 3 4 5 6 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn （ 2 ） = （ ） 1 2 3 2n 2 4 2n 1 2 3 2n 1 2 n 1 1 1 Tn ……………………………………10 分 n 1 n 2 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 2Tn ( )( ) ( ) ( ) n 1 2n n 2 2n 1 n k 2n k 1 2n n 1 n 1 1 1 3n 1 4 （仅在 k 时取等号） 2 n k 2n k 1 (n k )(2n k 1) 3n 1 4n 2n 2Tn 即结论 Tn 成立………………………………15 分 3n 1 3n 1
2 2 2
O
x
因为区间 [1, a 1] 为 f ( x ) 的“可等域区间，所以 a 1 1 即 a 0 当 0 a 1 时，则
f (1) 1 a 1 得 ；…………………………10 分 f ( a 1) a 1 b 2
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将（2）式代入（1）式得： 4k 9 25 ，得 k 4 ，即 2 k 2 且 k 0 ……14 分 综上所述， k 的取值范围为 k ( , 2] [2, ) .
2 2
20． （本题满分 15 分） 解：（Ⅰ）令 n 1 ，得
1 2 r 1 ，所以 r ， 3 3
所以 a 2 a 3 a 4 a n 3 4 5 n 1 ，化简得 a n n ( n 1) ( n 2) ， a1 1 2 a1 a 2 a 3 a n 1 1 2 3 n 1 所以 an n n( n 2) ，
2
……………6 分
2
又 a1 2 适合 an n n( n 2) ，所以 an n n .
z
y
BC , BF , BB1 两两互相垂直， 以 B 为原点， BB1 , BF , BC 分别为 x, y , z 轴，
建立空间直角坐标系如图， ∴ B1 (2, 0, 0), C (0, 0,1), A ( 1, 3 , 0), A1 (1, 3 , 0), C 1 (2, 0,1), D (1, 0,1), M ( 1 , 3 , 0) 5 分 2 2 （Ⅰ）设平面 ABC 的法向量为 m ( x, y , z ) ，则 m BA x 3 y 0 ，
5a 4c cos C 5sin A 4sin C 4b cos B 4sin B 4 sin B cos C 4 cos B sin C 5sin A cos B 4 sin( B C ) 4 sin A 5sin A cos ……………………7 分 5
a3 所 以 所 以 椭 圆 E 的 方 程 为 ： b 2 x2 y2 1 …………………………6 分 9 4 （Ⅱ） 假 设 存 在 曲 线 E 的 弦 CD 能 被 直 线 l : y k ( x 1) 垂直平分
当 k 0 显然符合题
y
A1
O
A2
x
…………8 分
2016 届宁波高三“十校”联考 数学（理科）参考答案