chap3 多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布
p1 p 2
p j
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第三章 多维随机变量及其分布
第32页
3.2.3
边际密度函数
巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)， 则
X 的密度函数为 ： Y 的密度函数为 ：
1 June 2018
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第三章 多维随机变量及其分布
第33页
注 意 点 (1)
解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为: X Y 其对应的概率分别为： 0 4 P(X=0, Y=4)= 0.54=1/16 1 3 1 3 P(X=1, Y=3)= C4 0.5 0.5 =1/4 2 2 P(X=2, Y=2)= C42 0.52 0.52 =6/16 3 1 P(X=3, Y=1)= C43 0.53 0.51 =1/4 4 0 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16
试求常数 A.
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第三章 多维随机变量及其分布
第23页
解:
0
0
Ae(2x3y ) dxdy
A e dx e3y dy
2x 0 0
1 2 x 1 3 y A e e 2 0 3 0
e )dx
6
(6 2 x ) / 3 0
6
2 (e
2 x
1 7e
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第三章 多维随机变量及其分布
第28页
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 X 和 Y 各自的分布？
概率论与数理统计第三章_多维随机变量及其分布精品教案
第三章 多维随机变量及其分布第二章所讨论的随机变量是一维的，但在实际问题中，某些随机试验的结果需要同时用至少两个随机变量来描述．例如，研究一个国家的经济发展程度，至少要考虑国民生产总值（GNP ）和人均国民生产总值这两个指标。
又如，遗传学家在研究儿子的身高和父亲身高、母亲身高之间的关系时，需要同时考虑三个随机变量．因此，有必要将同一问题中的若干个随机变量视为一个整体，引入多维随机变量的概念。
定义在样本空间Ω上的多个随机变量组成的向量，称为多维随机变量．若12,,,n X X X K 是定义在样本空间Ω上的n 个随机变量，则称向量（12,,,n X X X K ）为n 维随机变量或n 维随机向量．由于二维随机变量和更高维的随机变量没有本质的差异，故本章主要讨论二维随机变量及其分布．二维随机变量的所有结果，都可以平行地推广到)2(>n n 维随机变量的情形．3.1 二维随机变量的联合分布3.1.1 二维随机变量的概率分布定义1 设(,)X Y 是二维随机变量，对于任意实数x y ,，二元函数{}{{}}{}(,)F x y P X x Y y P X x Y y =I @，≤≤≤≤ (3.1)称为二维随机变量（X ,Y ）的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数．若将二维随机变量(,)X Y 看成是平面上随机点(,)X Y 的坐标，那么分布函数(,)F x y 就表示随机点(,)X Y 落在以点(,)x y 为顶点的左下方的无限矩形区域内的概率（如图3-1阴影部分所示）．分布函数(,)F x y 具有以下基本性质：（1）0(,)1F x y ≤≤；且对于任意固定的y ，()0F y -∞=，，对于任意固定的x ，()0F x -∞=，；同时 1)(0)(=∞++∞=∞--∞，；，F F . （2）)(y x F ，分别是变量x 和y 的单调不减函数；（3）(0,)(,),(,0)(,),F x y F x y F x y F x y +=+=即(,)F x y 关于变量x 或y 右连续；图3-1 图3-2（4）对于任意2121y y x x <<，，有1212{}P x X x y Y y <<=，≤≤)()(1222y x F y x F ，，-1211()()0F x y F x y -+，，≥， (3.2)如图3-2所示．3.1.2 二维离散型随机变量及其分布定义2 如果二维随机变量()X Y ,的所有可能取值为有限个或者无限可列个数对，则称()X Y ,为二维离散型随机变量．显然，()X Y ,为二维离散型随机变量的充要条件是X 和Y 均为离散型随机变量．设二维离散型随机变量()X Y ,的所有可能取值为()i j x y ,，12,i j =L ，，，则称概率函数(}12,i j i j p P X x Y y i j ====L ,,,,． (3.3)为二维随机变量()X Y ,的概率分布（分布律），或称为X 和Y 的联合概率分布（联合分布律）．容易看出，其中ij p 满足如下条件：（1）0ij p ≥；（2）∑∑+∞=+∞==111i j ij p ．二维离散型随机变量()X Y ,的分布律可用如下表格表示，并称之为X 和Y 的联合分布表．YX1y2y… j y …1x 11p 12p…j p 1 …2x 21p 22p…j p 2 …M M M…M…i x 1i p2i p… ij p …M M M…M…它们的联合分布函数则由如下式子求出：(){,}i j i jx x y yF x y P X x Y y p≤≤==∑∑，≤≤， (3.4)其中和式是对一切满足,i j x x y y ≤≤的,i j 求和．例1 将两封信随机投入3个空邮筒，设X 、Y 分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求X 和Y 的联合概率分布，并求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率．解 X 、Y 各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，)(Y X ，取（1，2）、（2，1）、（2，2）均不可能. 取其他值的概率可由古典概率计算：221122{00}{01}{10}3939P X Y P X Y P X Y ===========，，，，，21{11},{20}{02},99P X Y P X Y P X Y =========，，，于是，X 和Y 的联合概率分布表为YX1291 92 91 192 92 0291 0 0P {第三个邮筒里至少有一封信}=P {第一、第二个邮筒里最多只有一封信}=}1{≤+Y X P ，由于事件}1{≤+Y X 包含三个基本事件，所以{1}{00}{01}{10}1225,9999P X Y P X y P X Y P X Y +===+==+===++=，，，≤即第三个邮筒里至少有一封信的概率为95.3.1.3 二维连续型随机变量及其分布定义3 设二维随机变量()X Y ,的分布函数为()F x y ,，如果存在非负可积的二元函数(,)f x y ，使得对任意实数y x 、，有()()d d y x F x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰,,， (3.5)则称()X Y ,为二维连续型随机变量，函数()f x y ,称为二维随机变量()X Y ,的概率密度函数，简称概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度函数，简称联合密度.由定义，联合密度()f x y ,具有以下性质：（1）()0(,)f x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞,≥；（2）()d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,；（3）若()f x y ,在点()x y ,处连续，则有2()()F x y f x y x y∂=∂∂,,； （4）设D 是xoy 平面上任一区域，则随机点(,)X Y 落在D 内的概率为{()}()d d DP X Y D f x y x y ∈=⎰⎰,,. (3.6)可以证明，如果一个二元函数()f x y ,同时满足性质（1）和（2），则它一定是某个二维连续型随机变量的概率密度.从几何的角度来看，概率{()}P X Y D ∈,等于以D 为底，以曲面()Z f x y =,为顶的曲顶柱体的体积.例2 设二维随机变量(X , Y )的概率密度函数为(23),0,0(,)0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他求（1）常数k ；(2)分布函数F (x ,y )；(3){}P Y X ≤.解 （1）由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰得 230d d /61x y ke x e y k ∞∞--==⎰⎰,所以 6k =.(2) (23)006d d ,0,0(,)(,)d d 0,x yu v xyeu v x y F x y f u v u v -+-∞-∞⎧>>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其他230,0=0,x y x y --⎧>>⎨⎩（1-e ）(1-e ),其他(3) (23)03{}6d d 5x y yP Y X e x y ∞∞-+≤==⎰⎰.例3 设二维随机变量(X , Y )的密度函数为40101,()0xy x y f x y ⎧=⎨⎩，,,，其它.≤≤≤≤ D 为xoy 平面上由x 轴、y 轴和不等式1<+y x 所确定的区域，求{})P X Y D ∈,.解 如图3-3所示,{}(,)()d d DP X Y D f x y x y ∈=⎰⎰，110d 4d x x xy y -=⎰⎰61=图 3-3定义4 二维均匀分布 设D 为平面上面积为A 的有界区域，若(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1,(,)0,x y DA ⎧∈⎪⎨⎪⎩其他 称(,)X Y 在区域D 上服从二维均匀分布，记(,)X Y ～D U .不难证明，若(,)X Y ～D U ，则其取值落在D 内面积相等的任意区域中的概率相等.定义5 二维正态分布 若二维随机变量(X , Y )的概率密度为2211222222112212()()1(,)exp 22(1)21x x y y f x y μμμμρρσσσσπσσρ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=-⋅-⋅+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪-⎣⎦⎩⎭, +∞<<∞-+∞<<-∞y x ,, 其中参数ρσσμμ，，，，2121均为常数，且10021<>>ρσσ，，，则称()X Y ,服从参数为2121σσμμ，，，及ρ的二维正态分布，记作221212()~(X Y N μμσσρ,,,,,）.图 3-4 二维正态分如图3-4所示，二维正态分布以12μμ（,）为中心，在中心附近具有较高的密度，离中心越远，密度越小，这与实际中很多现象相吻合.3.2 边缘分布3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度对于二维随机变量()X Y ,，其分量X 和Y 都是随机变量，也有它们各自的概率分布. 记X 和Y 的分布函数为)(x F X 和)(y F Y ，分别称它们为二维随机变量()X Y ,关于X 和关于Y 的边缘分布函数. 边缘分布函数可以由()X Y ,的联合分布函数)(y x F ，来确定：{}{}()()X F x P X x P X x Y F x ==<+∞=+∞，，≤≤ (3.7) {}{}(),(,)Y F y P Y y P X Y y F y ==<+∞=+∞≤≤ (3.8) 对于二维离散型随机变量()X Y ,，设其概率分布为{}.21Λ，，，，，====j i p y Y x X P ij j i 则X 的边缘分布律为{}{}{}{}12,,,i i i i j P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==++==+L L.1,12.ij i j p p i ∞===∑@L ，， (3.9)且满足.1i ip =∑. 同理，Y 的边缘分布律为：{}{}{}{}12j j j i j P Y y P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==++==+L L ,,,.1,12.ij j i p p j ∞===∑@L ，， (3.10)且满足.1j jp =∑.例1 设)(Y X ，的概率分布由下表给出，求X 和Y 的边缘分布律.YX -120. 10. 21 0. 3 0. 05 0. 12 0. 15 0 0. 1解 {}{}100-====Y X P X P ，+{}00==Y X P ，+{}20==Y X P ，0.10.200.3=++=．同理可求得：45.01.005.03.0}1{=++==X P ，25.01.0015.0}2{=++==X P ，55.0}1{=-=Y P ， 25.0}0{==Y P ， }2{=Y P =0. 2．将X 和Y 的边缘分布律列入),(Y X 的联合分布表中，得到下面的表格：Y X -1 0 2.i p1 2 0. 10. 3 0. 15 0. 20. 05 0 00. 1 0. 10. 30.450. 25j p •0. 55 0. 25 0. 2.i p 和.j p 分别是联合分布表中第i 行和第j 列各联合概率之和．对于连续型随机变量()X Y ,，设它的概率密度为),(y x f ，则X 的边缘分布函数为()()()d d x X F x F x f x y y x +∞-∞-∞⎡⎤=+∞=⎢⎥⎦⎣⎰⎰，，，其密度函数为()()()()d X X f x F x F x f x y y +∞-∞''==+∞=⎰，，． (3.11)同理，Y 的密度函数为()()()d Y Y f y F y f x y x +∞-∞'==⎰，． (3.12)通常， )(x f X 和)(y f Y 分别称为()X Y ,关于X 和Y 的边缘密度函数，简称边缘密度①.例2 设随机变量(),X Y 的密度函数为()2,02,01,0,Axy x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其他试求参数A 的值和X 和Y 的边缘密度.解 根据联合密度函数的性质，有()21202,d d d d 13f x y x y Axy x y A +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰, 所以32A =. X 的边缘密度函数()(),d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 当02x ≤≤时，()12031d 22X f x xy y x ==⎰；当0x >或2x >时，()0X f x =；故()1,0220,X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他①也称为边缘分布密度函数或边缘分布密度；还称为边缘概率密度函数或边缘概率密度.“边缘”有时也称为“边沿”或“边际”，即为marginal 的中译名.同理可得 ()23,010,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其他例3 设二维随机变量(),X Y 在区域()}{,|01,0D X Y x y x =≤≤≤≤服从均匀分布，求X 和Y 的边缘概率密度。
高等数学之多维随机变量及其分布
YX
G
2e(2 x y) d x d y 0y
G
O
x
1. 3
练习题
1. 设二 维随 机变量( X ,Y ) 具有 概率 密度
f
(
x,
y)
ce
x2
y
,
0,
x 1, y 0, 其 它.
(1) 确 定 常 数c; (2) 求P{ X 2Y 1};
2.设随机变量X和Y的联合分布函数为F (x, y), 而F1(x)和F2 ( y)分别为X和Y的分布函数，则 a,b, P{X a,Y b} B
a
3.设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为
ey ,0 x y
f (x, y) 0,
其它
求P{X Y 1}.
解:
P{X Y 1} f (x, y)dxdy
y
y=x
G
1/2 dx 1x eydy 1 2 1
0
x
e1/ 2 e
1
0 1/2 1
x
x+y=1
4.设 二 维 随机 变 量( X ,Y )的 分 布 函数 为
例3 设二 维随 机变 量( X , Y ) 具有 概率 密度
2e (2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其 它.
(1) 求分 布函 数F ( x, y); (2) 求概 率 P{Y X }.
解: (1) F ( x, y) y
x
f (u, v)d ud v
yx
F ( x, y)
f (u, v) d ud v
则 称( X ,Y )是 连 续 型 的 二 维 随 机 变量,函 数f ( x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
例 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 （1）求常数A，B，C； （2）求P{0<X<2,0<Y<3} 解: F (∞
, ∞ ) = A[B +
x y F ( x , y ) = A[ B + arctg ( )][ C + arctg ( )] 2 3
π
2
][ C +
π
2
] = 1 ( y )] = 0 3
设(X,Y)的概率密度
c x 2 ≤ y < x f ( x, y ) = others 0
(1)求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度. 解:(1)由归一性
1 x
∫ dx ∫ cdy
0 x2
=1 c = 6
∞
(2) f X ( x) =
0 x < 0 or x > 1 = x ∫ 6dy = 6 ( x x 2 ) 0 ≤ x ≤ 1
x2
∞
∫ f ( x, y)dy
§4 相互独立的随机变量
定义 设F(x,y)及FX(x),FY(y)称分别是二维随机变 量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，如果对任意 实数x, y，有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y} 即事件 {X≤x}与事件 {Y≤y}独立，则称随机变量X 与Y相互独立。 显然,上述定义表明随机变量X与Y独立的充分必 要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y)
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
X Y y1 y2 p11 p21 ... pi1 ... p12 p22 ... pi2 ... … ... ... ... yj … P1j ... P2j ... ... Pij ... ...
chap3多维随机变量
pi j …
┇
∑
i
pi j
…
┇
P{X= xi} ∑
j
p1 j
∑
j
p2 j
… ∑ pi j …
j
1
例: 一整数 N 等可能地在1, 2, … , 10 十个值中取一个值,
D=D(N)是能整除 N 的正整数的个数, F=F(N)是能整除 N 的 素数的个数, 试确定 D 和 F 的联合分布律及边缘分布律. 解: 先由 N 的取值确定 D 和 F 的取值: D的可能取值 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 为1, 2, 3, 4; D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 F 的可能取值 F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 为0, 1, 2 ; 再确定取值的概率,如: P{ D = 1, F = 0} = P { N = 1} = 1 / 10, P{ D = 2, F = 1}= P ({ N = 2} ∪ { N = 3} ∪ { N = 5} ∪ { N = 7}) = 4 / 10
概率密度的性质:
F ( x, y ) = ∫
y −∞
dy ∫
x −∞
f ( x, y ) dx
f (x, y) 为 ( X, Y ) 的概率密度, 则 (1)非负性 f ( x, y) ≥ 0 (2)归一性
+∞ +∞
∫ − ∞ ∫ − ∞ f ( x , y ) dx dy = 1
G
(3)对 xoy 面上的任一区域 G ,
F ( +∞ , + ∞ ) = 1 等性质.
F ( x , y ) = P{ X ≤ x , Y ≤ y } FX ( x ) = P { X ≤ x } 在二维随机变量( X , Y ) 中: FY ( y ) = P {Y ≤ y } X 的分布函数称为 ( X , Y ) 关于 X 的边缘分布函数, Y 的分布函数称为 ( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布函数;
第三章 多维随机变量及其分布
(4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性) F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
20 November 2018
第三章 多维随机变量及其分布
第6页
3.1.3 联合分布列 二维离散随机变量
若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量.
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第三章 多维随机变量及其分布
第29页
3.2.2 边际分布列
巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij， 则
X 的分布列为：
Y 的分布列为：
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第三章 多维随机变量及其分布
第30页
X
Y
y1 y 2
p11 p12 p21 p22 pi 1 pi 2
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第三章 多维随机变量及其分布
第7页
二维离散分布的联合分布列
称 pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ..., 为(X,Y) 的联合分布列，其表格形式如下: X Y
y1
p11 p21 … pi1 …
y2
p12 p22 … pi2 …
… yj …
1, 0 x 1, y x f ( x, y) 其 它 0,
试求：
(1) 边际密度 pX ( x) 和 pY ( y); 1 1 (2) P( X ) 和 P(Y ). 2 2
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第三章 多维随机变量及其分布
第34页
注 意 点 (1)
第三章 多维随机变量及其分布
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
第三章 多维随机变量及其分布
求概率 (1)PX 1,Y 3;(2)PX Y 3
解 PX 1,Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3 1 (6 x y)dy
0 28
11 08
(6 y
xy
1 2
y2)
3 2
dx
3 8
4 2
12
续解 ……….
PX Y 3 f (x, y)dxdy
1. 3
y
y x
o
x
四、小结
在这一节中，我们与一维情形相对照，介绍了 二维随机变量的分布函数 ,离散型随机变量的分 布律以及连续型随机变量的概率密度函数.
例 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
f
(x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
其他
解答 PX Y 4 X 1
4
PX Y 4, X 1
2
PX 1
12
2
dx
4x 1 (6 x y)dy
1 2 8
7 48 7
2
dx
4 1 (6 x y)dy
1 28
3 8 18
第二节 边缘分布
边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 小结
称为二维随机变量 X ,Y 的分布函数, 或者称为随机
变量 X 和 Y 的联合分布函数.
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x, y在点 x, y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x, y
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即有 (1 e x )(1 e y ) 0 x ,0 y F ( x, y ) 0 其它
( 2) P{( X , Y ) G} f ( x , y ) dxdy
G
[
0
1
1 y
0
e e dx ]dy
y
x
1 2e
第三章
多维随机变量及其分布
我们开始学习——多维随机变量
它是第二章内容的推广
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维随机变 量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量 来描述还不够，而需要用几个随机变量来描 述. 在打靶时,命中点的位置是由 一对随机变量(两个坐标)来确定 的.
0
1
x
12 2 x (2 x ), 5
0 x 1
注意取值范围
例2 设(X,Y)的概率密度是 cy (2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 0 , 其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 注意积分限 .
24 解: (2) fY ( y ) y (2 x )dx y 5 y 2 24 3 y y=x y ( 2 y ), 0 y 1 5 2 2
列表如下
二维联合分布全面地反映了二维随机变 量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变 注意这两个分布正好是 量X,Y也具有自己的概率分布. 那么要问: 表的行和与列和. 二者之间有什么关系呢? 从表中不难求得: P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8,
1 X 0 1 Y 0 第一次摸出白球 第一次摸出黑球 第二次摸出白球 第二次摸出黑球
设采用无放回摸球方式，求（Ｘ,Ｙ）的联合 分布．
二维随机变量（X,Y） 连续型 X和Y 的联合密度函数 f ( x , y) P{( x, y) A} f ( x, y )dxdy
（2）求 ( X , Y )落在如下图所示的三角 形域 G 内的概率。
y
x+y=1 G 0 x
解： ) F ( x , y ) (1
y
ห้องสมุดไป่ตู้
x
f (u , v ) dudv
y x e ( u v ) dudv 0 x ,0 y 0 其它
f ( x, y )dy
d dy FY ( y )
(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
fY ( y )
FY ( y ) lim F ( x, y) dy
x
y
f ( x, y)dx
例2 设(X,Y)的概率密度是
cy (2 x), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 0 , 其它
( 2 ) 对于任意固定的 y , F ( , y ) 0 某个二维随机变量 对于任意固定的 x , F ( x , ) 0, F ( , ) 0, F ( , ) 1
的分布函数
(3) F ( x , y )分别关于 x , y右连续 , 即 F ( x , y ) F ( x 0, y ); F ( x , y ) F ( x , y 0)
A
一维随机变量X 连续型 X的密度函数
P{a X b}
A 2
f ( x )dx
a
b
f ( x, y ) 0
f ( x) 0
f ( x, y )dxdy 1
f ( x)dx 1
不难得出，对连续型随机变量(X,Y)， 其概率密度与分布函数的关系如下：
1
0.2642
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求 (X,Y)的概率函数 . 解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=3, Y=3)=1/8
设G是平面上的有界区域，其面积为A. 若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度 1 , ( x , y) G f ( x , y) A 0, 其它 例 则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
向平面上有界区域G上任投一质点，若质 点落在G内任一小区域B的概率与小区域的 面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则 质点的坐标（ X,Y）在G上服从均匀分布.
fY ( y )
f ( x , y )dx
对任意随机变量 (X,Y)，
X和Y的联合分布函数为
F ( x, y )
FX ( x) lim F ( x, y ) dx
y x
则(X,Y)关于X的边缘分布函数为
f X ( x)
d dx
FX ( x )
推广到随机变量
设有两个随机变量 X,Y ， 在给定Y取某 个或某些值的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随 机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和 身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定 的概率分布. 身高Y 体重X
的分布
身高Y 的分布
体重X
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率函数为
P(Y yi ) p j pij ,
i
j 1,2,
对连续型随机变量 ( X,Y )，
X和Y的联合概率密度为
f ( x, y )
则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
f X ( x)
f ( x, y )dy
( X,Y )关于Y的边缘概率密度为
联合分布与边缘分布的关系
由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
一般，对离散型随机变量 ( X,Y )，
X和Y 的联合概率函数为
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率函数为
P( X xi ) pi pij , i 1,2,
1 0, 2 0, | | 1
记作（ X,Y）～N(1 , 2 , , , )
2 1 2 2
则称 ( X , Y )服从参数为 1 , 2 , 1 , 2 , 二维正态分布，
二维正态分布的两个边缘密度仍是 正态分布 . 留给同学们自己证明.
我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量 的联合分布、边缘分布.
k=1,2, …
P( X xi ,Y y j ) pij,
i, j =1,2, …
pij 0, i, j 1,2, pij 1 i j
pk 0, k=1,2, … pk 1
k
例：袋中有两个白球和三个黑球，现在从中 依次摸出两球，设
请注意与一维情形的对照 .
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X
X的分布函数
F ( x, y) P( X x, Y y )
x, y
F ( x ) P( X x ) x
易知， F ( x, y ) 1 0
二维分布函数F(x,y)具有下述性质:
求 (1) c的值； （2）两个边缘密度.
解：(1) f ( x, y)dxdy
[ cy (2 x)dy ]dx
0 0 1 2 0 1 x
由
f ( x, y )dxdy 1
确定C
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
1 x 1 2 f ( x , y) exp{ [( ) 2 2(1 ) 1 21 2 1 2 x 1 y 2 y 2 2 2 ( )( )( ) ]} 1 2 2 1
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度
其中
1, 2 , 1, 2 , 均为常数,且
飞机的重心在空中的位置是由三个随机 变量 (三个坐标）来确定的等等.
定义：设 X 1 ( ), , X n ( )是定义在同一样本空间 上的随机变量，则称这 n 个随机变量构成的一个 n 维向量 ( X 1 ( ), , X n ( ))为 n 维随机变量或 n 维随 机向量。
( 4) 对任意 x1 x2 , y1 y 2，有 F ( x 2 , y 2 ) F ( x1 , y 2 ) F ( x 2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) 0
二维随机变量（X,Y） 离散型 联合分布 X和Y 的联合概率函数
一维随机变量X 离散型 X的概率函数 P( X xk ) pk ,
c =24/5
例2 设(X,Y)的概率密度是
cy (2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 注意积分限 0 , 其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 解: (2)
y
fX ( x) 0 y=x
x
24 y(2 x )dy 5
请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
那么要问，在什么情况下，由边缘分布 可以唯一确定联合分布呢？
第三节 条件分布
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率