§6函数y=Asin(ωx+φ)图象(二)
高二数学函数y=asin(ωx+φ)的图象2
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
2
5
0
2
0
2
0
(1)列表 :
X x y
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
y
2
5
0
2
0
2
0
2
(2)描点 :
O -2
2
2
7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,2), ( ,0) 2 2 2
2）当 a < 0 时，将 y = f(x)图象向下平移 a 个单位；
二、对称变换
y = f(x)
1、y = f( x )
将 y = f(x)的图象在 x 轴正半轴上的图象保留，
并将这部分图象对称地翻折到 x 轴的负半轴上，
这两部分图象共同构成了 y = f( x )的图象；
2、y = f(x)
即得函数 y = f(ax)的图象；
三、伸缩变换 y = f(x) (a > 0 且 a ≠1)
→
2、y = af(x)
1 ）当 a >1 时，将 y = f(x)图象上每一个点的 横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 a倍，
2 ）当 0 < a <1 时，将 y = f(x)图象上每一个点的 横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 a倍，
1 π y = 2sin( x ) 作出函数 3 6 的图象， 并指出它的周期、频率、相位、初相、最值 及单调区间.
例题2
1 π 画出函数y = 2sin( x - )的简图. 3 6
函数yAsin(ωxφ)的图像与性质
图像的形状与特点
01
02
03
04
周期性
函数y=asin(ωxφ)具有周期性， 其图像呈现为一系列重复的波
形。
振幅
振幅与ω有关，ω越大，振幅 越大；反之，ω越小，振幅越
小。
相位
相位与φ有关，φ决定了波形 在水平方向上的位置。
单调性
在每个周期内，函数是单调的 ，先增后减。
参数ω和φ对图像的影响
参数ω
函数y=asin(ωxφ)表示一个正弦函数经过平移、伸 缩和旋转后的变换。其中，ω控制正弦函数的伸缩， φ控制正弦函数的平移，而asin则表示正弦函数经 过了反相变换。
φ是实数，表示正弦函数的平移量，当φ>0时，正 弦函数向右平移，当φ<0时，正弦函数向左平移。
ω是正实数，表示正弦函数的伸缩系数，当ω>1时， 正弦函数被压缩，当0<ω<1时，正弦函数被拉伸。
余弦函数
y=asin(ωxφ)的图像与标准余弦函数y=cos(x)的图像也具有相似性，同样可以 通过调整参数来改变其形状和位置。
03 函数y=asin(ωxφ)的性 质
周期性
函数y=asin(ωxφ)具有周期性，其周 期为2π/∣ω∣。这意味着函数图像将 按照一定的规律重复出现。
周期性是三角函数的重要性质之一， 它有助于我们更好地理解函数的图像 和变化规律。
在未来的应用前景
在物理学中的应用
可以应用于描述物理现象，如波动、振动等。
在工程学中的应用
可以应用于信号处理、图像处理等领域。
在金融领域的应用
可以应用于金融数据分析、股票价格预测等领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
1 2
参数ω对周期的影响 随着ω的增大，函数y=asin(ωx+φ)的周期会减 小；反之，随着ω的减小，函数的周期会增大。
参数φ对相位的影响 当φ增加时，函数图像会沿x轴向右移动；反之， 当φ减小时，图像会向左移动。
3
参数a对振幅的影响
a的大小决定了函数图像的振幅。当a增大时，图 像的振幅增大；反之，当a减小时，振幅减小。
使用数学软件绘制图像
MATLAB
MATLAB是一款强大的数学软件，可以用来绘制各种复杂的函数图像，包括函数 y=asin(ωx+φ)。使用MATLAB，用户可以自定义ω和φ的值，观察图像的变化。
Python (Matplotlib)
Matplotlib是Python的一个绘图库，也可以用来绘制函数y=asin(ωx+φ)。通过 Matplotlib，用户可以轻松地定制图像的样式和颜色。
在通信系统中，信号的传输通常会受到噪声和其他干扰的影响。利用函数 y=asin(ωx+φ)进行信号调制可以提高信号的抗干扰能力和传输质量。例如，在调 频（FM）通信中，调制信号的频率会随着声音信号的变化而变化，解调后可以得到 还原的声音信号。
04 函数y=asin(ωx+φ)的变 种形式
多参数变化的影响
函数图像的基本特征
周期性
极值点
由于正弦函数的周期性，函数 y=asin(ωx+φ)的图像也具有周期性， 周期取决于ω的取值。
函数图像在每个周期内有两个极值点， 极值点的位置和高度取决于参数ω、 φ的取值。
对称性
函数图像具有对称性，包括轴对称和 中心对称，具体对称轴和对称中心取 决于参数φ的取值。
02 函数y=asin(ωx+φ)的图 像绘制
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移 与时间 在物理中 简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间 的 简谐运动中单摆对平衡位置的位移 与时间x的 关系、交流电的电流y与时间 的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 与时间x的关系等都是形 关系、交流电的电流 与时间 的关系等都是形 的函数（其中A, 都是常数） 的函数（其中 ω, φ都是常数）. 都是常数 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间 变化的图象 下图是某次试验测得的交流电的电流 随时间x变化的图象 随时间 y y 6
1. 列表：
1 对于函数y = sin x 2
x
1 x 2
sin 1 x 2
0 0 0
π
π
2
2π
π
3π
3π 2
4π 2π 0
1
y=sin x
1 2
0
－1
2. 描点 作图：
y 1 O −1 π
2π
3π
4π x
y=sinx
函数y=sinωx(ω>0)图象 二、函数 函数 ω ω 图象
y 1 2π O −1 y=sin2x y=sinx π 3π 4π x y=sin1 x
问
法一： 法一：
1 1 y = sin x 的图象与y = sin x的图象的关系： 2 2
图象上各点纵坐标
1 sin x 图象上各点横坐标 y = 1 sin 1 x y= y = sin x 2 2 2 伸长为原来的2倍 伸长为原来的 倍 缩短为原来的一半
1
y = 1 sin x 2
2π O π
7π 6
y = sin(2 x + ) 3
5.6.2函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质的应用第二课时课件人教A版(2019)必修第一册
, 0 对称
B.关于直线 x =
π
, 0 对称
D.关于直线 x =
π
4
3
对称
对称
π
−
6
随堂检测
3. 如图为函数 y = Asin x + ( > 0, > 0, − < < 0)的一部分图象， 求函
数的解析式.
2
【解析】由图可知, A = 3， =
5
6
3
2
− = ，所以最小正周期 =
3
6
2
5
+ , 0 ， ∈ ；由2 − = + ，解得 = + ， ∈ ，故函数
6
2
3
2
2
12
5
的对称轴方程为 =
2
+
12
， ∈ .
π
问题2：函数 = 3sin 2x − 图象的单调递增区间怎样表示?
3
5
【解析】由2 − ≤ 2 − ≤ + 2，解得 − ≤ ≤ +
2
3
2
12
12
�� 5
的单调递增区间为[ −
, + ] ， ∈ .
12
12
，故函数
新知生成
知识点二 函数y = Asin ωx + φ 的性质
1.函数=sin(+)的图象与周期
(1) 相邻的最大值点和最小值点间的距离为半个周期.
(2)函数图象与轴的交点为对称中心，相邻的两对称中心的距离为半个周期.
高二数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象2
y tan x 3
讲授新课
函数y A sin( x )， x [0,)( 其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时： 1 f： f 单位时间内往返振动 T 2 的次数，称为“频率” .
x : :
称为“相位” .
y tan x 3
y tan x 3
讲授新课
函数y A sin( x )， x [0,)( 其中 A 0, 0)的物理意义：
y tan x 3
讲授新课
函数y A sin( x )， x [0,)( 其中 A 0, 0)的物理意义：
y tan x 3
讲授新课
函数y A sin( x )， x [0,)( 其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时： A：这个量振动时离开平衡位置 的最大距离，称为“振幅”. T： T
2
称为“周期” .
往复振动一次所需的时 间，
y tan x 3
1.5函数y=Asin(x+) 的图象
主讲老师：
复习回顾
1. 如何由y sin x的图象得到函数 y A sin( x )图象 ?
复习回顾
1. 如何由y sin x的图象得到函数 y A sin( x )图象 ?
2. A、、对函数 y A sin( x ) 图象的影响?
课堂小结
求函数 y A sin( x )的表达式 :
A由图象的振幅决定； 由图象的周期决定； (2) 代点法.
课后作业
1. 阅读教材P.49-P.55；
2. 阅读教材P.56练习第3、4题；
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 第六节 函数y=Asin(ω+φ)的图象及三角函数的应用
Z,所以函数 g(x)的图象关于点
π
,0
3
,g(x)的图象的对称轴为直线 2x-
A 项错误;令
中心对称,故
π
2π π
5π
<-2 +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤12 +kπ,k∈Z,在区间
3
12
间为
π
0,12
,故 C 项正确;f
项错误.故选 BC.
π
x+ 6
+1=2cos
π
2x+
3
2π
2x- =kπ,得
有的点(
π
x+ 5
的图象,只要把函数 y=3sin
)
4
A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
3
B.横坐标缩短到原来的4,纵坐标不变
4
C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
3
D.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变
4
π
x+5
的图象上所
答案 C
解析 依题意,应把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
4
倍,横坐标不变.
π 3π
0, ,π, ,2π.
2
2
微思考 如图所示为函数y=sin(ωx+φ)的部分图象.利用零点代入求φ时,
ωx1+φ,ωx2+φ取哪些值?
提示 若利用x1这样的零点(图象经过(x1,0)时函数单调递减)代入求φ的值,
应令ωx1+φ=π+2kπ(k∈Z);而如果利用x2这样的零点(图象经过(x2,0)时函数
2
移 φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小值为(
函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2课时)
3
5 3
2
x
-2
y=sin2x y=sin(2x+ ) 3
-3
（1）横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
1 2
倍
y=Sin2x的图象
（2）向左平移 6
y=Sin(2x+ ) 的图象 3 y=3Sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
函数 y A sin(x ) 中 A称为振幅
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都是常数）. 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6
4
2
o
-2
-4 -6
2
4
6
8
x
o
-2
-4 -6
0.01
0.02
1 令X x , 则x 3( X ). 3 6 6
y
(1)列表 :
X x y
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
2
2
5
0
2
0
2
0
-2
O
2
2
(2)描点 :
7 2
5
13 2
x
7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,2), ( ,0) 2 2 2 (3)连线 :
1 f T
2 T 称为周期 | |
称为频率
x 称为相位
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一、一周内容概述
（一）、函数y=Asin(ωx＋)的性质与y=sinx的性质对比
（二）、函数y=Acos(ωx＋φ)的性质可通过上表与函数y=cosx的性质类比得出二、重难点归纳及讲解
例1、已知函数
（1）求它的定义域和值域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期.
分析：求复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶数以及判断其周期性，应用时考虑内层函数与外层函数各自的特点以及它们的相互制约关系.
解答：（1）由题意得sinx－cosx﹥0，即
故定义域为
故值域为
（2）
（3）∵f(x)的定义域不关于原点对称.
∴f(x)是非奇非偶函数.
（4）
∴f(x)是周期函数，且最小正周期T=2π.
例2、函数y=Asin(ωx＋φ)(A﹥0, ω﹥0)
（1）φ取何值时，f(x)为奇函数；
（2）φ取何值时，f(x)为偶函数.
分析：判断函数的奇偶性首先要看定义域是否关于原点对称，然后判断f(-x)与f(x)的关系.
解答：（1）∵x∈R，∴要使f(x)是奇函数，即f(x)＋f(－x)=0，
即Asin(ωx＋φ)＋Asin(－ωx＋φ)=0
∴2Asinφ·cosωx=0
∵cosωx不恒为0，
∴sinφ=0，即φ=kπ.
故φ=kπ时，f(x)为奇函数.
（2）若f(x)是偶函数，则f(x)－f(－x)=0，即
Asin(ωx＋φ)－Asin(－ωx＋φ)=0
∴2Acosφ·sinωx=0
∵sinωx不恒为0，
∴cosφ=0，即φ=.
故φ=(k∈Z)时，f(x)为偶函数.
总结：由此题可类比得出函数y=Acos(ωx＋φ)的奇偶性规律：
φ=时，y=Acos(ωx＋φ)是奇函数.
φ=kπ(k∈Z)时，y=Acos(ωx＋φ)是偶函数.
例3、若f(x)=1－2a－2acosx－2sin2x)的最小值为g(a).
（1）试用a表示出g(a)；
（2）求使的a的值，并对此a求f(x)的最大值.
分析：本题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题，需要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 解答：
（1）f(x)=1－2a－2acosx－2(1－cos2x)
=2cos2x－2acosx－2a－1
令cosx=t，t∈[－1,1]，则
①当，即a﹤－2时
由t=－1得，g(a)=1－2a＋2a=1
②当
③当时，a﹥2时，由t=1得，g(a)=1－4a.
（2）要使g(a)=，则a应在[－2，2]内，
由,得a=－1或a=－3
a=－1时，f(x)=2cos2x＋2cosx＋1=
当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z）时，f(x)的最大值为5.
例4、如图，已知水渠的横断面是等腰梯形，水渠的深度为h，横截面的面积为S，试求当水渠的倾斜角α为何值时，才能使水渗漏量最小，同时也能使水流的阻力最小？
分析：根据题意，要使水渠的水渗漏量及水流的阻力最小，即使(AB＋CD＋BC)的周长最小，因此本题可转化为三角函数的最值问题.
解答：由
当y取最小值。