广西南宁市宾阳中学2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版).doc

2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|3．直线x+y﹣a=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则实数a=（）A．1 B．﹣2 C．﹣D．﹣5．已知函数，那么f（ln2）的值是（）A．0 B．1 C．ln（ln2）D．26．已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄β，则n∥α，且n∥β．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，，c=log32．则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．直线x﹣2y=0与直线2x﹣4y+a=0的距离为，则a的值为（）A．±5 B．±10 C．10 D．29．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．510．函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）11．设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l 的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣12．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的体积为（）A．B．C．50πD．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）13．过l1：2x﹣3y+2=0与l2：3x﹣4y+2=0的交点且与直线4x+y﹣4=0平行的直线方程为．14．函数的零点是．15．偶函数f（x）的定义域为R，且在[0，+∞）上是减函数，则f（﹣）f（a2﹣a+1）（填“≥”、“≤”或“＞”、“＜”或“=”）16．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则直线EF 与CD所成的角的度数为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）根据下列条件，求直线的方程：（1）过两直线3x﹣2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0．（2）当a为何值时，直线l1：y=﹣x+2a与直线l2：y=（a2﹣2）x+2平行．18．（12分）设函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab的两个零点分别是﹣3和2．（Ⅰ）求f（x）；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域．19．（12分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（1﹣a）+f （1﹣2a）＜0．若f（x）是（﹣1，1）上的减函数，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAV⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：VB∥平面M OC；（Ⅱ）求三棱锥V﹣A BC的体积．21．（12分）设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁U B={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A∩∁U B={2，5}．故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【解答】解：y=是偶函数，在（0，+∞）单调递减，故排除A，y=e x是增函数，但不具备奇偶性，故排除B，y=﹣x2+1是偶函数，但在（0，+∞）单调递减，故排除C，y=lg|x|是偶函数，且x＞0时，y=lgx单调递增，故选D．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，熟练掌握常见基本函数的奇偶性、单调性可给解决问题带来很大方便．3．直线x+y﹣a=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．【解答】解：直线x+y﹣a=0 即y=﹣x+a，故直线的斜率等于﹣，设直线的倾斜角等于α，则0≤α＜π，且t anα=﹣，故α=150°，故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出直线的斜率是解题的关键．4．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则实数a=（）A．1 B．﹣2 C．﹣D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线的垂直关系可得a×1+2×1=0，解方程可得．【解答】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，∴a×1+2×1=0，解得a=﹣2故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．5．已知函数，那么f（ln2）的值是（）A．0 B．1 C．ln（ln2）D．2【考点】函数的值．【分析】由ln2＜1，由分段函数得f（ln2）=e ln2﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（ln2）=e ln2﹣1=2﹣1=1．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数定义、对数性质的合理运用．6．已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄β，则n∥α，且n∥β．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据面面垂直的判定定理即可判断出；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，只有当m，n是相交直线时，才能得出α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交或n∥α，即可判断出；④根据线面平行的判定与性质定理即可判得出．【解答】解：已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面．①根据面面垂直的判定定理可得：若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，因此正确；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，只有当m，n是相交直线时，才能得出α∥β，因此不正确；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交或n∥α，因此不正确；④根据线面平行的判定与性质定理可得：若α∩β=m，n∥m，且n⊄β，则n∥α，且n∥β，或n⊂α，因此不正确．综上可得：只有①正确．故选：A．【点评】本题综合考查了线面平行于垂直的位置关系，属于基础题．7．已知，，c=log32．则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数运算与对数运算的互逆性求出b，再根据对数函数的单调性判断a、b、c 的范围，可得答案．【解答】解：=5⇒b=log5=﹣log52＞﹣log55=﹣1且b＜0；0＜c=log32＜1；a=﹣log23＜﹣log22=﹣1，故a＜b＜c，故选A．【点评】本题借助对数值大小的比较，考查了对数的性质及对数函数的单调性，关键是利用对数的单调性求出a、b、c的范围．8．直线x﹣2y=0与直线2x﹣4y+a=0的距离为，则a的值为（）A．±5 B．±10 C．10 D．2【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线x﹣2y=0化为2x﹣4y=0，∵直线x﹣2y=0与直线2x﹣4y+a=0的距离为，∴=，化为|a|=10，解得a=±10．故选：B．【点评】本题考查了两条平行线之间的距离公式，属于基础题．9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．10．函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解．【分析】根据函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）＜0，f（3）＞0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点．【解答】解：由于函数f（x）=lnx+x3﹣9在（0，+∞）上是增函数，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+18＞0，故函数f（x）=lnx+x3﹣9在区间（2，3）上有唯一的零点，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题．11．设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l 的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣【考点】直线的斜率．【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值，求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选A．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观，本题类似的题目比较多．可以移动一个点的坐标，变式出其他的题目．12．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的体积为（）A．B．C．50πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意知球面上的四点P、A、B、C是长方体的一个角，扩展为长方体，长方体的对角线就是外接球的直径，求出直径即求出外接球的体积．【解答】解：球面上的四点P、A、B、C，又PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为l==5，外接球的半径为R=；∴球的体积为：V==．故选D．【点评】本题考查了四面体的外接球体积的求法问题，解题时把四面体扩展为长方体，长方体的对角线就是球的直径．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）13．过l1：2x﹣3y+2=0与l2：3x﹣4y+2=0的交点且与直线4x+y﹣4=0平行的直线方程为4x+y﹣10=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．【分析】联立方程，解方程组可得直线交点，由平行关系可设直线的方程为4x+y+c=0，代点可得c值，可得直线方程．【解答】解：联立，解得，由平行关系可设所求直线的方程为4x+y+c=0，代点（2，2）可得c=﹣10，∴直线的方程为：4x+y﹣10=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．14．函数的零点是1．【考点】函数零点的判定定理．【分析】直接令y=0，解方程，即可得出结论．【解答】解：=0，即=1，∴x=1，故答案为1．【点评】本题考查函数的零点，考查学生的计算能力，比较基础．15．偶函数f（x）的定义域为R，且在[0，+∞）上是减函数，则f（﹣）≥f（a2﹣a+1）（填“≥”、“≤”或“＞”、“＜”或“=”）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得a2﹣a+1=（a﹣）2+≥，结合函数在[0，+∞）上是减函数，可得f（）≤f（a2﹣a+1），又由函数为偶函数，则有f（﹣）=f（），综合可得f（﹣）≤f（a2﹣a+1），即可得答案．【解答】解：根据题意，a2﹣a+1=（a﹣）2+≥，由函数在[0，+∞）上是减函数，则有f（）≥f（a2﹣a+1）又由f（x）为R上的偶函数，则f（﹣）=f（）则有f（﹣）≥f（a2﹣a+1）故答案为：≥．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，涉及代数式的大小比较，关键是比较（a2﹣a+1）的大小．16．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则直线EF 与CD所成的角的度数为30°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AD的中点G，连接GE，GF，∠FEG即为EF与CD所成的角，由此能求出直线EF与CD所成的角的度数．【解答】解：设CD=2AB=4，如图所示，取AD的中点G，连接GE，GF∵E、F分别为AC、BD中点，∴GE∥CD，且GE=CD=2则∠FEG即为EF与CD所成的角，GF∥AB，且GF=AB=1又∵EF⊥AB，∴EF⊥GF，∴∠FEG=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2016秋•宾阳县校级期末）根据下列条件，求直线的方程：（1）过两直线3x﹣2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0．（2）当a为何值时，直线l1：y=﹣x+2a与直线l2：y=（a2﹣2）x+2平行．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）由，解得两直线的交点坐标为（﹣1，﹣1）．又所求直线垂直于直线x+3y+4=0，可得所求直线斜率k=3，利用点斜式即可得出．（2）利用平行线的充要条件即可得出．【解答】解：（1）由，解得，∴两直线的交点坐标为（﹣1，﹣1）．又∵所求直线垂直于直线x+3y+4=0，∴所求直线斜率k=3，…∴所求直线方程为：y+1=3（x+1），化为：3x﹣y+2=0．（2）直线l1的斜率k1=﹣1，直线l2的斜率k2=a2﹣2，因为l1∥l2，所以a2﹣2=﹣1且2a≠2，解得：a=﹣1．所以当a=﹣1时，直线l1：y=﹣x+2a与直线l2：y=（a2﹣2）x+2平行．…（10分）【点评】本题考查了直线的方程交点、相互平行与垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•宾阳县校级期末）设函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab的两个零点分别是﹣3和2．（Ⅰ）求f（x）；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值域．【分析】（I）转化为ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两根为﹣3和2，由韦达定理可得a，b的方程组，解之可得；（Ⅱ）配方可得函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=，可得函数在x∈[0，1]上单调递减，可得最值．【解答】解：（I）由题意可知ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两根为﹣3和2，故可得﹣3+2=，﹣3×2=，解之可得a=﹣3，b=5故可得f（x）=﹣3x2﹣3x+18；（Ⅱ）由（I）可知，f（x）=﹣3x2﹣3x+18=﹣3图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=，又x∈[0，1]，故函数在x∈[0，1]上单调递减，故当x=0时，函数取最大值18，当x=1时，函数取最小值12故所求函数f（x）的值域为[12，18]【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，涉及二次函数区间的最值得求解，属中档题．19．（12分）（2016秋•宾阳县校级期末）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（1﹣a）+f（1﹣2a）＜0．若f（x）是（﹣1，1）上的减函数，求实数a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据f（x）的奇偶性得出f（1﹣a）＜﹣f（1﹣2a）=f（2a﹣1），再利用单调性得出1﹣2a＞2a﹣1，结合定义域求出a的范围．【解答】解：∵f（1﹣a）+f（1﹣2a）＜0，∴f（1﹣a）＜﹣f（1﹣2a）．∵f（﹣x）=﹣f（x），x∈（﹣1，1），∴﹣f（1﹣2a）=f（2a﹣1），∴f（1﹣a）＜f（2a﹣1）．又∵f（x）是（﹣1，1）上的减函数，∴，解得0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．【点评】本题考查了函数奇偶性与单调性的应用，属于中档题．20．（12分）（2016秋•宾阳县校级期末）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAV⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：VB∥平面M OC；（Ⅱ）求三棱锥V﹣A BC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由O，M分别为AB，VA的中点，知OM∥VB．由此能证明VB∥平面MOC．（Ⅱ）推导出OC⊥AB，从而OC⊥平面VAB．由三棱锥V﹣ABC的体积与三棱锥C﹣VAB 的体积相等，能求出三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB．又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC．…解：（Ⅱ）因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB．在等腰直角三角形ACB中，，所以AB=2，OC=1．所以等边三角形VAB的面积．又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C﹣VAB的体积等于．又因为三棱锥V﹣ABC的体积与三棱锥C﹣VAB的体积相等，所以三棱锥V﹣ABC的体积为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（12分）（2016秋•宾阳县校级期末）设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a ≠1）且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）由题意知，从而解得定义域，再由f（1）=2求a；（2）由（1）知，f（x）=log2（1+x）（3﹣x），由x∈[0，]知（1+x）（3﹣x）∈[3，4]，从而求最值．【解答】解：（1）由题意知，，解得﹣1＜x＜3；故f（x）的定义域为（﹣1，3）；再由f（1）=2得，log a（1+1）+log a（3﹣1）=2；故a=2；（2）f（x）=log2（1+x）（3﹣x），∵x∈[0，]，∴（1+x）（3﹣x）∈[3，4]，故f（x）在区间[0，]上的最大值为f（1）=2；f（x）在区间[0，]上的最小值为f（0）=log23．【点评】本题考查了对数函数与二次函数的性质应用，属于基础题．22．（12分）（2016秋•宾阳县校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用三角形中位线定理和正方形的性质证出EF∥AB，根据线面平行的判定定理证出EF∥平面PAB，同理证出EG∥平面PAB，再根据面面平行判定定理，即可证出平面PAB∥平面EFG；（2）取PB中点Q，连结DE、EQ、AQ．由线面垂直的判定与性质，结合已知条件证出AD ⊥平面PDC，从而得到AD⊥PC，再由等腰直角△PCD中DE是斜边的中线，证出DE⊥PC，利用线面垂直判定定理，可得PC⊥平面ADQ．由此得到存在Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．【解答】解：（1）∵△PCD中，E、F分别是线段PC、PD的中点，∴EF∥CD，又∵四边形ABCD为正方形，得AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．同理可证：EG∥平面PAB，∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面PAB∥平面EFG；（2）Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．证明如下取PB中点Q，连结DE、EQ、AQ，由于EQ∥BC∥AD，且AD、QE不相等，所以ADEQ为梯形，由PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，得AD⊥PD，∵AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，∵PC⊂平面PDC，∴AD⊥PC，∵△PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，∴DE⊥PC，∵AD、DE是平面ADQ内的相交直线，∴PC⊥平面ADQ．【点评】本题在特殊的四棱锥中证明线面垂直和面面平行，着重考查了空间平行、垂直的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．。