2013绵阳三诊数学(理)(试题及答案)
绵阳三诊数学理科(详细)答案
绵阳市高2012级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准（详解）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCD BA CACAB AD11题：两个方程联立，消x 用向量得到y1与y2的关系，从而得到a 与c 的关系12题：先排十位和千位的数字，在分析其他位置的数字 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(410-，) 14．±2 15．arcc os 31 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（I ）由m //n ，可得3sin x =-c os x ，于是tan x =31-．∴922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x xx x x ． …………………………4分（II ）∵在△ABC 中，A +B =π-C ，于是C B A sin )sin(=+， 由正弦定理知：C A C s in s in 2s in 3⋅=， ∴23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m +n )·n=(sin x +c os x ，2)·(sin x ，-1) =sin 2x +sin x c os x -2 =22sin 2122cos 1-+-x x=23)42sin(22--πx ，∴ 232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-．即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分18．解：（I ）设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i =0，1，2)，“j 个人游戏B闯关成功”为事件B j (j =0，1，2)，则“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0． ∴ P (A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0) =P (A 1B 0)+P (A 2B 1)+P (A 2B 0)=P (A 1)·P (B 0)+P (A 2)·P (B 1)+P (A 2)·P (B 0)=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C 367=．即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367．……4分（II ）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．361)31()21()0(202202=⋅⋅==C C P ξ， 61366)21(3132)31(2121)1(2021222212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C P ξ， 361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C C C P ξ， 3136122121)32(3132)21()3(1222212222==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==C C C C P ξ，91364)32()21()4(22==⋅==ξP ．∴ ξ的分布列为：10分 ∴ E ξ=37914313361326113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． ………………………12分19．解法一：（I ）证明：连结AD 1交A 1D 于F ，则F 为中点，连结EF ，如图．∵ E 为中点， ∴ EF //BD 1．又EF ⊂面A 1DE ，BD 1⊄面A 1DE ，∴ BD 1//面A 1DE ．……………………………………………………………3分 （II ）在Rt △ABD 中，AB =2AD =2，可得BD =5， ∴ 252111=⨯⨯=∆DD BD S BDD ，212111111=⨯⨯=∆DD D A S DD A ，设A 1到面BDD 1的距离为d ，则由1111DD A B BDD A V V --=有1113131DD A BDD S AB S d ∆∆⋅=⋅⋅， 即212312531⋅⋅=⋅⋅d ，解得 552=d ，即A 1到面BDD 1的距离为552．……………………………………………8分（III ）连结EC ． 由ABAE 21=，有32=AE ，34=EB ，过D 作DH ⊥EC 于H ，连结D 1H ， 由已知面AA 1D 1D ⊥面ABCD 且DD 1⊥AD ，∴DD 1⊥面ABCD ．由三垂线定理知：D 1H ⊥EC ， ∴ ∠DHD 1为D 1-EC -D 的平面角． Rt △EBC 中，由34=EB ，BC =1，得35=EC ．又DH ·EC =DC ·BC ，代入解得56=DH ，∴在Rt △DHD 1中，65561t an 11===∠DHDD DHD ．∴65arctan1=∠DHD ，即二面角D 1-EC -D 的大小为65arctan ．…………12分解法二：（I ）同解法一．………………3分A 1D 1ADECFH（II ）由面ABCD ⊥面ADD 1A ，且四边形AA 1D 1D 为正方形，四边形ABCD 为矩形，可得D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥D C ，DC ⊥DA ．于是以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AB =2AD =2知：D (0，0，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)，B (1，2，0)， ∴ DB =(1，2，0)，1DD =(0，0，1)，B A 1=(0，2，-1)． 设面BDD 1的一个法向量为n 1)1(11z x ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DD DB n n 即⎩⎨⎧==+，，00211z x ∴)012(1，，-=n ．∴ 点A 1到面BDD 1的距离552||||111=⋅=n n B A d ． …………………………8分（III ）由（II ）及题意知：E (1，32，0)，C (0，2，0)，)1321(1-=，，E D ，)0341(，，-=EC ．设面D 1EC 的一个法向量为)1(222，，y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00212EC E D n n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+，，03401322222y x y x 可得)12132(2，,n =．又易知面DEC 的一个法向量是=1DD (0，0，1)， 设D 1-EC -D 的大小为θ，则6161616611cos 1212=⨯==θ，得61616arccos=θ．即D 1-EC -D 的大小为61616arccos ．………………………………………12分20．解：（I ）)0()(2>+-='a xb xa x f ，由题，1)1(='f ，得-a +b =1． ∴ b =a +1．又切点(1，a+c )在直线x -y -2=0上，得1-(a +c )-2=0，解得c =-a -1． ………………………………………………………………4分 （II ）g (x )cx b xa x ---=ln1ln )1(+++--=a x a x a x ， ∴ 222))(1()1(11)(xa x x xax a x xa xa x g --=++-=+-+='2，令0)(='x g ，得x =1，或x =a ．………………………………………………8分 i)当a ≥1时，由0<x ≤1知，)(x g '≥0， ∴ g (x )在(0，1]上递增． ∴ g (x )ma x =g (1)=2．于是a ≥1符合条件． ………………………………………………………10分 ii)当0<a <1时，当0<x <a 时，0)(>'x g ；a <x <1时，g '(x )<0， ∴ g (x )在(0，a )上递增，g (x )在(a ，1)上递减． 得g (x )max =g (a )>g (1)=2，与题意矛盾． ∴ 0<a <1不符合题意．综上知实数a 的取值范围为[)∞+，1．………………………………………12分 21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b +c =4，即|AC |+|AB |=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3． ∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y yx．………………………………4分（II ）由⎩⎨⎧=-++=，，0124322y x m kx y消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8k mx +4(m 2-3)=0． ∴ Δ=(8k m )2-4(3+4k 2)×4(m 2-3)>0， 整理得：4k 2>m 2-3．①令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，，222122143)3(4438k m x x k km x x设MN 的中点P (x 0，y 0)，则，2210434)(21kkm x x x +-=+=2021210433)(21)(21km kx m m kx m kx y y y +=+=+++=+=，…………………7分i)当k =0时，由题知，)30()03(，，⋃-∈m ．……………………………8分 ii)当k ≠0时，直线l 方程为x k y 121-=+，由P (x 0，y 0)在直线l 上，得2243421433km km +=++，得2m =3+4k 2．②把②式代入①中可得2m -3>m 2-3，解得0<m <2. 又由②得2m -3=4k 2>0，解得23>m ．∴223<<m ．验证：当(-2，0)在y =k x+m 上时，得m =2k 代入②得4k 2-4k +3=0，k 无解． 即y =k x+m 不会过椭圆左顶点. 同理可验证y =k x +m 不过右顶点．∴ m 的取值范围为(223，)．………………………………………………11分综上，当k =0时，m 的取值范围为)30()03(，，⋃-；当k ≠0时，m 的取值范围为(223，)．……………………………12分22．解：（I ）由题意，得22n n n a a S +=（n ∈N *）．于是21112++++=n n n a a S ，两式相减，得221112n n n n n a a a a a -+-=+++，即a n +1+a n =(a n +1+a n )(a n +1-a n )， 由题，a n >0，a n +1+a n ≠0，得a n +1-a n =1，即{a n }为公差为1的等差数列． 又由21112a a S +=，得a 1=1或a 1=0（舍去）．∴ a n =1+(n -1)·1=n (n ∈N *)．……………………………………………5分 （II ）证法一：由（I ）知na n11=，于是nT n 131211+⋅⋅⋅+++=，于是当n ≥2时，13211--+⋅⋅⋅+++=n n T T T T R=)1131211()31211()211(1-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++n=113322)1(-+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n=11113121-+--+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n n n n=n n n -+⋅⋅⋅+++)131211(=n (T n -1). ………………………………………………………………10分 法二：①当n =2时，R 1=T 1=11a =1，2(T 2-1)=2()1211-+=1，∴ n =2时，等式成立．②假设n =k （k ≥2）时，等式成立，即)1(1-=-k k T k R ， 当n =k +1时，k k k T R R +=-1 =k k T T k +-)1( =k T k k -+)1( =k a T k k k --+++)1)(1(11=k k T k k -+-++)11)(1(1=k T k k --++1)1(1 =)1)(1(1-++k T k ． ∴ 当n =k +1时，等式也成立．综合①②知，原等式对n ≥2，n ∈N *均成立． …………………………10分（III ）由（I ）知，∑∑==-=ni ni iia 13131．由分析法易知，112++->k k k ， 当k ≥2时，11123-⋅<k k kkk k 2112⋅-⋅+=)11(112++-+⋅-<k k k k1111+⋅---+=k k k k 1111+--=k k ，∴ 333131211n+⋅⋅⋅+++)121()4121()311(1nn --+⋅⋅⋅+-+-+<)1111(+--+n n111222+--+=n n．即22211113+<+++∑=-ni ia n n． ………………………………………14分。
绵阳市高2013届一诊考试——理数
绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCBCC AADDB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-414．215．450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 16．①③ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)·(1，x )=x+ cos2x =2 sin(2x+6π)， ……………………………………………6分∴ 最小正周期22T ππ==， 令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ， 即f (x )的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分 （Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x )取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2π)=-1．即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由S 3+S 5=58，得3a 1+3d +5a 1+10d=8a 1+13d =58， ①∵ a 1，a 3，a 7成等比数列，a 32=a 1a 7， 即(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d )，整理得a 1=2d ， 代入①得d =2， a 1=4，∴ a n =2n+2． …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a 8=18，b 5·b 6+b 4·b 7=2b 5·b 6=18，解得b 5·b 6 =9． ∵ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6)=5log 3(b 5·b 6) =5log 39=10． ……………………………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，． 由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分 20．解：（Ⅰ）∵a sin A =(a -b )sin B +c sin C ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）由 C =π-(A +B )，得sin C =sin(B +A )=sin B cos A +cos B sin A ， ∵ sin C +sin(B -A )=3sin2A ，∴ sin B cos A +cos B sin A +sin B cos A -cos B sin A =6sin A cos A ，整理得sin B cos A =3sin A cos A ． ………………………………………………8分 若cos A =0，即A =2π时，△ABC 是直角三角形，且B =6π，于是b =c tan B =2tan6π=，∴ S △ABC =12bc=． ……………………10分 若cos A ≠0，则sin B =3sin A ，由正弦定理得b =3a ．②联立①②，结合c =2，解得a=b= ∴ S △ABC =12ab sin C =12=．综上，△ABC的面积为或．………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）当t=1时，2a n -2=0，得a n =1，于是数列{a n }为首项和公比均为1的等比数列． ……………………………1分 当t ≠1时，由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1， 由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n +1=2ta n +1-t -1， 两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ， , ∴121n n a ta t +=+（常数）． ∴ 数列{a n }是以1为首项，21tt +为公比的等比数列．………………………4分 （Ⅱ）∵ q = f (t )=21tt +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )= 1n n b b +，∴11111n n n nb b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，于是1nn b =， ∴ 1n b n=．………………………………………………………………………8分 （III ）当t =13时，由（I ）知a n =11()2n -，于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，…设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ，当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=(1)2k k +， ∴ m 62=626319532⨯=，m 63=636420162⨯=． 设S n 表示数列{c n }的前n 项和，则S 2016=[1+12+21()2+…+621()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62] 显然 1+12+21()2+…+621()2=636211()1221212-=--， ∵ (2n )2-(2n -1)2=4n -1，∴ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62=-1+22-32+42-52+62-…-612+622=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61) =3+7+11+…+123 =31(3123)2⨯+=1953． ∴ S 2016=62122-+1953=1955-6212． ∴ S 2012=S 2016-(c 2016+c 2015+c 2014+c 2013)=1955-6212-(6212+62+62+62) =1769-6112．即数列{c n }的前2012项之和为1769-6112．…………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x'=-， ∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a =1． 于是11()1xf x x x-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）∀x 1∈(0，+∞)，f (x 1) ≤f (1)=0，即f (x 1)的最大值为0， 由题知：对∀x 1∈(0，+∞)，∃x 2∈(-∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立， 只须f (x )ma x ≤g (x )ma x ．∵ 22()x kx k g x x ++=2k x k x =++2k x k x ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭≤2k -， ∴ 只须k k 22+-≥0，解得k ≥1．………………………………………10分（Ⅲ）要证明2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n n n --+++<+ (n ∈N*，n ≥2)．只须证22222ln 22ln 32ln 21232(1)n n n n n --+++<+ ， 只须证2222222ln 2ln 3ln 21232(1)n n n n n --+++<+ ．由（Ⅰ）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f (x )为减函数， f (x )=ln x -x +1≤0，即ln x ≤x -1， ∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，22222ln 11111111(1)1n n n n n n n n n -<=-<-=-+++， 222222ln 2ln 3ln 23n n +++ <111221⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭211211212(1)n n n n n --=--+=++，∴ 2222ln 2ln3ln 21234(1)n n n n n --+++<+ ．………………………………………14分。
绵阳三诊热身考试理科数学试题参考答案
绵阳南山中学2023年春绵阳三诊热身考试理科数学试题参考答案题号123456789101112答案BCCBBADCADAD1.B 2．C 解析因为复数z ＝5i1－2i ＝5i 1＋2i1－2i 1＋2i＝－2＋i ，所以z ＝－2－i ，其对应的点为(－2，－1)，在第三象限．3.C 解析由|x －2|＜1得，1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3⇒x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞11＜x ＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选C.4.B5.B【解析】因为sin α，所以cos 5α=±，因为α为钝角，所以cos 5α=-，则sin 1tan cos 2ααα==-，所以()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ----=--===-⎡⎤⎣⎦+-⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭.6．A解析对于①，若α∥β，m ⊥α，l ⊂β，则m ⊥l ，故①正确，排除B ；对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α，又l ⊂β，所以α⊥β.故④正确．7．D解析f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－x cos （－x ）e |－x |＝－x cos xe |x |＝－f (x )，故f (x )为奇函数，排除C ；f (1)＝cos 1e >0，排除A ；f (2)＝2cos 2e 2<0，排除B ，故选D.7．C 解析法1：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A (0,0)，B (3,0)，C (－1，3)，∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(－4，3)－83，∴AD →AB →＝(3,0)，∴AB →·AD →＝3×13＋0×233＝1.法2：AB →·AD →＝)32(BC AB AB +⋅)3231(AC AB AB +⋅==19.A 【解析】由题意得11π5π3π121224T -==，所以2π3T =，故3ω=，因为5π3π2π12k ϕ⨯+=+，Z k ∈，所以π2π4k ϕ=-+，Z k ∈，即()ππsin 32πsin 344f x A x k A x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又因为π3ππ5πsin sin 22244f A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0A >解得A =即()π34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将()f x 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数()πππ3sin 3644g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A11．A 【解析】设点(),P m n ，则22221m n a b -=，即有22222n b m a a =-，①以AB 为直径的圆经过点Q 可知AQ PB ⊥，所以21PB k k ⋅=-，即21PB k k =-，由()(),0,,0A a B a -，则1PB n nk k m a m a==+-，，可得21PB n k m a k ==--，由1220k k +=，则1212k k -=，所以2122212k n n n k m a m a m a -=⨯==-+-，②由①和②得2212b a =，由222232c a b a =+=，得双曲线的离心率c e a ==A ．13．【答案】9【详解】6(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数为21669C C -=，故答案为：9.14．【答案】70【详解】分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况，或者用间接法．直接法：C 15C 24＋C 25C 14＝70.间接法：C 39－C 35－C 34＝70.15.【答案】12【详解】设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则2 3.841K >，由222235236183 3.841822x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==>⋅⋅⋅，解得10.24x >，因为,26x x 为整数，所以若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人.16.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,A ·A =-6,S △ABC =3,则A=，a=解析因为A·A =-6,所以bccos A=-6,又S △ABC =3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=3π4.又b=3,所以c=22.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A,得a 2=9+8-2×3×22×-22=29,所以a=29.16.【答案】74721，【解析】（1）由余弦定理得，EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，解得CD＝2；在△CDE 中，由正弦定理得sin∠CED＝；（2）cos ∠AEB＝cos －α，cos α＝＝Rt△EAB 中，cos∠AEB＝，BE＝4。
四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案
绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷l 至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2=-4y 的准线方程是A. x=-1B. x=2C.y=1D. y=-2 3. 若复数z 满足z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数z= A. 1+i B. -1-i C. 1-i D. -1+i4. 设数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2广是“数列{a n }是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则|a+2b|=A.C. 4 D . 126. 函数f(x)=7. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M 处的条件为A. 31≥kB. 15≥kC. k>3lD. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ，若函数f(x)在区间)85,6(ππ上单调递增，则0的取值范围是9. )0(122>>=+b a by 与离心率为2的双曲线)0,0(12222>>=+n m ny m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若cos 21=∠PF FA.22 C.1010D. 510 10. 已知函数f(x)=ln(e x +a)(e 是自然对数的底数，a 为常数）是实数集R 上的奇函数，若函数f(x)=lnx-f(x)(x 2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e + B. )1,0(2ee +C. ),1(2+∞+e eD. )1,(2ee +-∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a 的值是____ 12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____13.设变量x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数z=2x+y 的最大值是_______15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),)(x f '是函数f(x)的导数，如果],[b a ∈∃ξ，使得f(b)-f(a)= ))((a b f -'ξ,则称ξ为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.已知{a n }是等差数列，a 1=3, Sn 是其前n 项和，在各项均为正数的等比数列{b n }中， b 1=1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3+3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式；18. (本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED 丄平面ABCD,ED=1,EF//BD 且EF=BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题满分12分）函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y=f(x)的 图象.g已知椭圆C: 0(12222>>=+b a b y a x 原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=e x-ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[+∞∈x ，都有不等式f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围； (III)设*N n ∈,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn )(<1-e e绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．31415．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间[)8090，的频率是： 1-(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)⨯10=0.24，利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是： 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分（Ⅲ）成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人，成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况．∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍)，d =2． ∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ++==+，于是2112n n c S n n ==-+， ∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++ 311212n n =--++<32． …………12分 18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴ EF ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．ABCD EF O而BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分 （Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF DO ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高，且高h =EF FO OE ⋅＝． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2． 再由()sin(2)11212f ππϕ=⋅+=，得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-，即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)x π-．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：sin sin sin A B A B +=．∵ 32sin sin sin sin 3a b c R A B C π====(R 为△ABC 的外接圆半径)，∴2R =，∴ sin A =2a R ，sin B =2bR ．∴2222a b a b R R R R+=⋅，即 a b +=． ① 由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ， 即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23-(舍去)，故△ABC 的面积S △ABC=1sin 2ab C =…………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，∴b ，解得b =1．再由 a =b +c ，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ， ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++，由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(，当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数． 当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分 （Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立，即不等式2x e x x a x--<对任意[2)x ∈+∞，成立．设2()x e x x g x x --=(x ≥2)，于是22(1)()x x e x g x x --'=．再设2()(1)x h x x e x =--，得()(2)x h x x e '=-．由x ≥2，得()0h x '>，即()h x 在[2)+∞，上单调递增， ∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x'=>， ∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增， ∴ 2min[()](2)32e g x g ==-，∴ 232e a <-，即实数a 的取值范围是2(3)2e -∞-，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x ．令i x n=-(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n <-≤i ne -，即(1)n i n -≤i e -，∴1()n n n -≤1e -，2()n n n -≤2e -，3()n n n -≤3e -，…，1()n n ≤(1)n e --， 显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n ---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111n n e e e ee e e -----==<---， 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e +++<-…（）（n ∈N *）成立．……………4分。
四川省成都市2013届高三第三次诊断考试 数学理科 Word版含答案 (2013成都三诊)
成都市2013届高中毕业班第三次诊断性检测 数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷(选择题)1至2页，第II 卷(非选择题)3至 4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共50分）―、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，有且 只有_项是符合题目要求的.1. 复数z =(A) 51 (B) 5 (C)- 5 (D) i 5 2. 已知向量a=(—2，4)，b=( —1，m).若a//b，则实数m 的值为 (A)- 21 3 对x ∈R ，“关于x 的不等式f(x)>0有解”等价于(A) R x ∈∃0，使得f(x 0)>0成立 （B) R x ∈∃0，使得f(x 0）≤0成立(C) R x ∈∀，f(x)>0 成立 （D) R x ∈∀，f(x)≤0 成立4. 设圆:x 2+y 2-2y —3= 0 与y 交于 A(0,y 1),B(0,y 2)两点.则y 1：y 2 的值为(A) 3 (B)-3 (C)2 (D)-2 5. 巳知角a 的终边与单位圆交于点)55,552(-，则sin2a 的值为(A)54 6. 若，a=31312,2log =b ，则c=21)31(- (A)a<b<c (B)b<c<a (C)c<a<b (D)c<b<a 7已知a ，β，γ是三个不同的平面,L ，M 是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是(A)若l 丄a,l//β则 a//β(B)若γ丄a ，γ丄β，则 a//β(C)若l//m 且 L ⊂A ，M ⊂β，L //Β，m//a ，则 A //Β精品文档就在这里-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(D)若l ，m 异面,且 l ⊂a ，m ⊂β，l//β，m//a ，则 a//β8. —个化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18 吨;生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲种肥料产生的利 润是10万元,生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66 吨.如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是(A)50万元 （B)30万元 （025万元 （D)22万元9. 第十二届《财富》全球论坛将于2013年6月在成都举行，为了使大会圆满举行，组委 会在大学生中招聘了 6名志愿者，其中甲大学有2名，乙大学有3名，丙大学有1名.若将他 们安排在连续六天的服务工作中，每人一天，那么同一所大学的志愿者不安排在相邻两天服 务的概率为(A) 121 (B) 101 (C) 152 (D) 61 在直角坐标系中，如果不同两点A(a ，b)，B(—a 一b)都在函数y=h(x)的图象上， 那么称[A ，B]为函数h(x)的一组“友好点”（[A,B]与[B,A]看作一组).已知定义在),0[+∞上的函数f(x)满足f(x+2)= 2x.则函数⎩⎨⎧<≤---≤<=08,;80),()(x x x x f x g 的“友好点”的组数为(A) 4(B)5 (C)6 (D)7第II 卷(非选择题，共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分，共25分.11.已知某算法的程序框图如图所示，则输出的S 的值是 ____.12. 62)1(xx +展开式的常数项是_____(用数值表示). 13. 若正实数x,y 满足x+y=2，且. M xy≥1恒成立，则M 的最大值为_______ 14.已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a b y a x 与抛物线y 2=8x 有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2，则 |MF|=_____.15. 定义平面点集R 2={x,y)|x ∈R,y ∈R 丨，对于集合2R M ⊆，若对0,0>∃∈∀r M P ，使得{P ∈R 2||PP 0|<r}M ⊆，则称集合从为“开集”.给出下列命题：①集合{x,y)| (x —1)2 + (y —3)2<1}是开集；②集合{x,y)|x ≥0， y>0}是开集；③开集在全集R 2上的补集仍然是开集； ④两个开集的并集是开集.其中你认为正确的所有命题的序号是______三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16. (本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n =2X4n 一2，n ∈N *.(I ）求数列{a n }的通项公式a n(II ）设数列{b n }满足b n = log2a n ，求3221...11+++=n b b b b T 代数式表示)17.(本小题满分12分）在ΔABC 中,a,b,c 分别是角A ，B，C 的对边，若=a BC BA .= (I)求sinB 的值；(II)设函数f(x)=2sinAcos 2x －cosAsin2x,x ∈R ，求f(x)的单调递增区间.18. (本小题满分12分） 随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越多.某高校向一基地 学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出10名优秀学生，然后参与高校设置的 考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个方案，每个方案都有M(文化)、N(面试)两个考核内 容，最终选择考核成绩总分第一名的同学定为该高校在基地校的保送生.假设每位同学完成 每个方案中的M 、N 两个考核内容的得分是相互独立的.根据考核前的估计，某同学完成甲 方案和乙方案的M 、N 两个考核内容的情况如下表：精品文档就在这里-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------已知该同学最后一个参与考核，之前的9位同学的最高得分为125分.(I)若该同学希望获得保送资格，应该选择哪个方案？请说明理由，并求其在该方案下 获得保送资格的概率；(II)若该同学选用乙方案，求其所得成绩X 的分布列及其数学期望EX.19. (本小题满分12分）如图，四边形BCDE 是直角梯形，CD//BE ，CD 丄BC,CD=丄平面ABC;又已知ΔABC 为等腰直角三角形，AB=AC=4，M ，F 分别为BC ，AE 的中点.(I) 求直线CD 与平面DFM 所成角的正弦值；(II)能否在线段£M 上找到一点G ，使得FG 丄平面BCDE?若 能，请指出点G 的位置，并加以证明;若不能，请说明理由(III)求三棱锥F-DME 的体积.20. (本小题满分13分）0(122>>=+b a b y (I)求椭圆C 的方程；(II)已知点B 1(-2,0)，B 2(2，0)，过B 1的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，交圆0:x2 +y 2 =8 于M 、N 两点，设|MN|=t ，若]72,4[∈t 求ΔB 2PQ 的面积S 的取值范围.21. (本小题满分14分） 已知函数f(x)=x 2+ln(x-a)，a ∈R.(I)若f(x)有两个不同的极值点，求a 的取值范围； (II)当—2时，令g(a)表示f(x)在[-1，0]上的最大值，求g(a)的表达式；*,1...312111ln N n n n ∈++++<++精品文档就在这里-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品文档就在这里-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
四川省绵阳市高三数学第三次诊断性考试试题理(扫描版)
绵阳市高2013级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．AADCD CBBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2 12．-540 13．11.514．-52≤m ≤52 15．①② 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解 ：（I ）第四组的人数为[1-(0.004+0.008+0.016+0.04)×10]×50=16，中位数为40+[0.5-(0.004+0.016)×10]÷0.04=47.5．………………………4分 （II ）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人， 于是ξ=0，1，2，∴ P (ξ=0)=513634=C C ，P (ξ=1)=53362412=C C C ，P (ξ=2)=51361422=C C C ， ∴ ξ的分布列为ξ 0 1 2P51 53 51 (10)分∴ E ξ=0×51+1×53+2×51=1． ………………………………………………12分17．解：（I ）在△ABC 中，由正弦定理有，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ， 代入b =a cos C +c sin A 中，即得2R sin B =2R sin A cos C +2R sin C sin A ，∴ sin B =sin A cos C +sin C sin A ．…………………………………………………3分 ∵ sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )， ∴ sin(A +C )=sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C +sin C sin A ， 整理得，cos A sin C =sin C sin A ， 由sin C ≠0，可得cos A =sin A ，∴ A =4π． ………………………………………………………………………5分（II ）在△ABC 中，sin B =54cos 12=-B ， 由A BCB AC sin sin =即22554=AC ，解得AC =24，………………………………7分 又∵ cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=-cos A cos B +sin A sin B=-5322⨯+5422⨯=102， ∴ AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C =32+25-2×24×5×102=49，∴ AB =7， ……………………………………………………………………10分于是由BA BD 71=可得BD =1，∴ CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos B =1+25-2×1×5×53=20，∴ CD =52．…………………………………………………………………12分18．解：（I ）当n =1时，a 1=S 1=4)1(21+a ，整理得(a 1-1)2=0，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n -1-n S =4)1(4)1(212+-+-n n a a ， 整理得0)1()1(212=+---n n a a ，即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ， ∵ a n >0，∴ 1-+n n a a >0， ∴ 21=--n n a a ，∴ {a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴ a n =1+2(n -1)=2n -1． ………………………………………………………5分（II ）)121121(21)12)(12(111+--=+-=+n n n n a a n n ， ∴ T n =211a a +321a a +…+11+n n a a=)]121121()5131()311[(21+--+⋅⋅⋅+-+-n n=)1211(21+-n=12+n n， …………………………………………………………………8分由题知12+n n≤λ(2n +1)对∀n ∈N *恒成立，即 λ≥2)12(+n n对∀n ∈N *恒成立， …………………………………………9分 令b n =2)12(+n n ，则222221)12()32(2)12()12()32(1++++-=+-++=-+n n n n n n n b b n n ， ∵ 对∀n ∈N *，2n +1≥3，∴ -(2n +1)2+2<0，即01<-+n n b b ，于是n n b b <+1，∴ {b n }是单调递减数列， ……………………………………………………11分即数列{b n }的最大值为b 1=91，∴ λ≥91，即λ的最小值为91．………………………………………………12分19．（I ）证明：由题意，AD //EF ，∵ EF ⊂面BEF ，AD ⊄面BEF ，∴ AD //面BEF ． ………………………………………………………………2分 又∵ AD ⊂面ABCD ，面ABCD ∩面BEF =l ，∴ AD //l ， ………………………………………………………………………3分 由主视图可知，AD ⊥CD ，由侧视图可知，DE ⊥AD ， ∵ CD ∩AD =D ， ∴ AD ⊥面CDE ．∴ l ⊥面CDE ．……………………………………………6分 （II ）如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1)，∴ EF =(1，0，0)，BF =(0，-1，1)，……7分 设面BEF 的一个法向量n =(x ，y ，z )，E F z M则由EF ·n =0，BF ·n =0可得 ⎩⎨⎧=+-=，，00z y x 令y =1，则z =1， ∴ n =(0，1，1)， …………………………9分 设M (0，0，m )，则MC =(0，2，-m )， ∴ cos<MC ，n >=554222=+⋅-m m ， 解得m =32或m =6（舍）， 即存在满足点M ，此时M 的位置在线段DE 的32处（靠近E 点）．……12分 20．解：（I ）设焦点F (c ，0)，则22=a c ，从而a 2=2c 2， 由题意有11)(22=+ba c ，即11212=+b ，解得b 2=2，又由a 2=b 2+c 2，于是2c 2=2+c 2，解得c 2=2，a 2=4，∴ 椭圆E 的方程为12422=+y x ． ………………………………………………4分（II ）依题意可知BC ⊥AC ，且∠BCO =∠ACO =45º，于是直线BC 的斜率为k BC =1，直线AC 的斜率为k AC =-1， ………………6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (0，y 0)，则1101-=-=x y y k AC ，1202=-=x y y k BC ， ∴ x 1=y 0-y 1=-k (x 1-1)+y 0，x 2=y 2-y 0=k (x 2+1)-y 0， 相加得x 1+x 2=k (x 2-x 1)． ………………8分联立⎩⎨⎧=++=，，42122y x kx y 消去y ， 整理得(1+2k 2)x 2+4kx -2=0，∴ x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2212k+-．………………………………………10分 把x 1+x 2=k (x 2-x 1)两边同时平方，可得(x 1+x 2)2=k 2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]，代入可得(2214k k +-)2=k 2[(2214k k +-)2-4×(2212k+-)]， 化简可得4k 2+1=2，或k 2=0，解得k =21±，或k =0，即存在满足条件的k 值，k =21±，或k =0．…………………………………13分21．解：（I ）xa x a x x a x x f ])1([))(1()1()(λλλλλλλλ-+--=--+='，∵ a >0，1-λ>0，λ>0，x >0，∴ 当x >a 时，)(x f '>0；0<x <a 时，)(x f '<0．∴ f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，+∞)上单调递增，∴ f (x )有最小值f (a )=(1-λ)ln a ，没有最大值． ………………………………4分（II ）对∀m >0，∃x 0>0，使得1)1(00-+x x g <m 成立．其理由如下：………5分 x y CB A O令h (x )=ln(x +1)-x ，则1)(+-='x xx h ， 显然当x ≥0时，)(x h '≤0，所以h (x )在[)∞+，0上单调递减， ∴ h (x )≤h (0)=0，即ln(x +1)-x ≤0，于是可得当x >0时，ln(x +1)<x ，则01)1ln(<-+xx ，故1)1(-+xx g <m 等价于ln(x +1)+(m -1)x >0． ………………………………7分 设)(x ϕ=ln(x +1)+(m -1)x ，m >0，x >0，则1)1(111)(++-=-++='x m x m m x x ϕ， 当m ≥1时，)(x ϕ'>0，)(x ϕ在(0，+∞)上单调递增， ∴ 对∀x 0>0均有φ(x 0)> φ(0)=0恒成立，当0<m <1时，由)(x ϕ'>0可得0<x <m m -1，由)(x ϕ'<0可得x >mm-1，于是)(x ϕ在(0，m m -1)上是增函数，在(m m-1，+∞)是减函数，∴ 对∀x 0∈(0，mm-1)均有φ(x 0)> φ(0)=0恒成立．综上，对任意正数m ，都存在正数x 0满足条件． ………………………10分 （Ⅲ）证明：由（I ）知，对∀x >0，a >0，0<λ<1时， 都有ln[λx +(1-λ)a ]-λln x ≥(1-λ)ln a ．即ln x λ+λ-1ln a ≤ln[λx +(1-λ)a ]，令λ1=λ，λ2=1-λ，a 1=x ，a 2=a ，则)ln(2121λλa a ≤)ln(2211λλa a +， ∵ y =ln x 在(0，+∞)上是增函数，∴ 2121λλa a ≤2211λλa a +．……………………………………………………14分。
2013年初中毕业统一考试数学卷(四川省绵阳卷)(Word版)
绵阳市2013年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试数学第一卷（选择题，共36分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1）ABC．D．2．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（）3．2013H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A．1.2×10-9米B．1.2×10-8米C．12×10-8米D．1.2×10-7米4．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■5．把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（）6．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形7．如图，要拧开一个边长为a =6cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（ ） A． B ．12mm C． D．8．朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（ ）A ．4个B ．5个C ．10个D ．12个9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底总G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ ）A ．20米 B． C．米 D．10．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ） A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm11．“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（ ）7题图 βαG D C B A 9题图HG OD C BA 10题图A ．16B ．15C ．25D ．3512．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M =（i ，j ）表示正奇数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2013=（ ） A ．（45，77） B ．（45，39） C ．（32，46） D ．（32，23）第二卷（非选择题，共114分）二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案
绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷l 至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2=-4y 的准线方程是A. x=-1B. x=2C.y=1D. y=-23. 若复数z 满足z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数z= A. 1+i B. -1-i C. 1-i D. -1+i4. 设数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2广是“数列{a n }是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则|a+2b|=A.7. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M 处的条件为 A. 31≥k B. 15≥k C. k>3l D. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ，若函数f(x)在区间)85,6(ππ 上单调递增，则0的取值范围是 A [87,3ππ]B [43,65ππ--]C (32,ππ--] [ππ,8-)D (3,ππ-] [ππ,87) 9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与离心率为2的双曲线)0,0(12222>>=+n m n y m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若31cos 21=∠PF F ,则椭圆的离心率为 A.42 B.22C.1010 D.51010. 已知函数f(x)=ln(e x+a)(e 是自然对数的底数，a 为常数）是实数集R 上的奇函数，若 函数f(x)=lnx-f(x)(x 2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e+ B. )1,0(2ee + C. ),1(2+∞+e e D. )1,(2ee +-∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a 的值是____ 12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____13. 设变量x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数z=2x+y 的最大值是_______14. 己知534sin )3sin(-=++a a π，且32ππ-<<-a 则cosa=______15. 定义在区间[a, b ]上的函数y=f(x), )(x f '是函数f(x)的导数，如果],[b a ∈∃ξ，使得f(b)-f(a)= ))((a b f -'ξ,则称ξ为[a,b]上的“中值点”.下列函数：① f(x)=2x+l, ② f(x)=x 2-x+l,③ f(x)=lnx+l,④3)21()(-=x x f ，其中在区间[0, 1]上的“中值点”多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.17. (本小题满分12分）已知{a n }是等差数列，a 1=3, Sn 是其前n 项和，在各项均为正数的等比数列{b n }中， b 1=1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3+3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式； (II)设n n S c 2=，数列{c n }的前n 项和为T n ,求证23<n T18. (本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED 丄平面ABCD,ED=1, EF//BD 且EF=BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题满分12分）函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y=f(x)的 图象. (I )求函数y =g(x)的解析式；(II)已知ΔABC 中三个内角A ，B ， C 的对边分别为a, b ，c ，且满足)122(π+A g +)122(π+B g ＝26sinAsinaB,且C=3π，c=3，求ΔABC 的面积.20. (本小题满分13分）已知椭圆C: )0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，以原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=e x-ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[+∞∈x ，都有不等式f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围；(III)设*N n ∈,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn )(<1-e e绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π 13．3 14．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间[)8090，的频率是： 1-(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)⨯10=0.24，利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是：45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分（Ⅲ）成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人， 成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人， 设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况．∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍)，d =2．∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ++==+，于是2112n n c S n n ==-+，∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++ 311212n n =--++<32． …………12分 18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．而BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分（Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC ，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt△EFO 斜边EO 上的高，且高h =EF FO OE ⋅=． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2． 再由()sin(2)11212f ππϕ=⋅+=，得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-，即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)x π-．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：sin sin sin A B A B +=．∵ 32sin sin sin sin 3a b c R A B C π====(R 为△ABC 的外接圆半径)，AB C D EF O∴2R =，∴ sin A =2a R ，sin B =2b R ．∴2222a b a b R R R R+=⋅，即a b +=． ① 由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23-(舍去)， 故△ABC 的面积S △ABC=1sin 24ab C =．…………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，b ，解得b =1．再由 a 2=b 2+c 2，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ， ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++，由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(，当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数． 当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分（Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立，即不等式2x e x x a x--<对任意[2)x ∈+∞，成立．设2()x e x x g x x --=(x ≥2)，于是22(1)()x x e x g x x --'=．再设2()(1)x h x x e x =--，得()(2)x h x x e '=-． 由x ≥2，得()0h x '>，即()h x 在[2)+∞，上单调递增，∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x'=>，∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增，∴ 2min[()](2)32e g x g ==-，∴ 232e a <-，即实数a 的取值范围是2(3)2e -∞-，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x．令i x n=-(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n <-≤i ne -，即(1)n i n -≤i e -，∴1()n n n -≤1e -，2()n n n -≤2e -，3()n n n -≤3e -，…，1()n n ≤(1)n e --，显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n ---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111n n e e e ee e e -----==<---， 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e +++<-…（）（n ∈N *）成立．……………4分希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
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绵阳市高中2010级第三次诊断性考试数学（理）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 已知全集U=R,集合A ＝{x||x|≤1}，B={x|x≤1},则B A C U )(等于（ ）A. {x|x≤-1}B. {x|x<-1}C. {-1}D. {x|-1<x|≤1}2.设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q ：2,210x R x x ∀∈-+≥.则下 列命题为真命题的是（ ）A q p ∧B )(q p ⌝∧C )()(q p ⌝∧⌝D q p ∧⌝)(221(0)y a b b+=>>的渐近线方程为2y x =±，则该曲线的离心率为（ ）5.函数f(x)=x-sinx 的大致图象可能是（ ）7.如图所示，在ΔABC 中,D 为BC 的中点，BP 丄DA,垂足为P,且BP=2,则BP BC .=（ ）A. 2B. 4C. 8D. 168.已知E 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+1422y y x y x ，表示区域内的一点，过点E 的直线l 与M:(x-1)2+y 2=9相交于A,C 两点，过点E 与l 垂直的直线交圆M 于B 、 D 两点，当AC 取最小值时，四边形ABCD 的面积为（ ）x 1,x 212[,]()a b x x ∈≠A. 6B. 4C. 3D. 2第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数z 满足z.i=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z=________ 12.执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.)(R FB OA ∈=λλ，则k=___ ___15.若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 的个数为*)(n a ,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{*)(n a }，我们把它叫做 数列{a n }的“星数列”.已知对于任意的n ∈N *, a n =n 2给出下列结论:②(a 5)*=2;③数列*)(n a 的前n 2项和为2n 2-3n+1;④{a n }的“星数列”的“星数列”的通项公式为**))((n a ＝n 2以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分）绵阳某汽车销售店以8万元A辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.(I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？(II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表.若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分）如图，已知平面PAB丄平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AD : AB=3 : 2,ΔPAB为等边三角形，F是线段BC上的点且满足CF=2BF.(I)证明：平面PAD丄平面PAB(II)求直线DF与平面PAD的所成角的余弦值.函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y=f(x)的 图象.19. (本小题满分12分）已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2+8. (I)求公差d 的值;最大正整数m 的值；已知椭圆C:0(12222>>=+b a by ax 心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线 02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图. (I)求椭圆C 的方程；(II)若过点M(1,0)的直线与椭圆C 相交于P 、Q 两点，如果3.5O P O Q -≤≤- 足||||.PM M Q t PM M Q +=，求实数t 的取值范围.21. (本小题满分14分）绵阳市高2010级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．BDACA BCDBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2-i 12．11 13．25 14．3 15．②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x 万元/辆，年利润为y 万元．则由题意得年销售量为100-2x ，∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x 2+6x+200=-0.2(x-15)2+245． 故当x=15时，y 取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．∴ 当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．∴ P(X=0)=22452101645C C C +=；P(X=0．5)=111141452102445C C C C C +=；P(X=1)=115121051459C C C ==．∴ X 的分布列为：∴ X 的数学期望E(X)=1645×0+2445×0．5+19×1=1745．∴ X 的数学期望为1745．………………………………………………………12分 17．解：（Ⅰ）取AB 的中点为O ，连接OP ，∵ △PAB 为等边三角形， ∴ PO⊥AB．①又平面PAB⊥平面ABCD ， ∴ PO⊥平面ABCD ， ∴ PO⊥AD．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD⊥AB．②∵ AB 与PO 交于点O ， 由①②得：AD ⊥平面PAB ， ∴ 平面PAD ⊥平面PAB ． ……………………………………………………6分（Ⅱ）以AB 的中点O 为原点，OB 所在直线为x 轴，过O 平行于BC 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，AD=3，∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(0，0，，D(-1，3，0)．∴ DF =(2，-2，0)，AP =(1，0，AD=(0，3，0)，若直线DF 与平面PAD 的所成角为θ，则sin θ=|cos<n ，DF>|=||2||||D F n D F n ⋅=⋅ ，又由图形可知，θ为锐角，∴cos θ=12．∴直线DF 与平面PAD 的所成角的余弦值为12． …………………………12分18．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2．∵()sin(2)11212f ππϕ=⋅+=，∴ 2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴()sin(2)3f x x π=+．∴()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-，即函数y=g(x)的解析式为g(x)=sin(2)6x π-． ………………………………6分（Ⅱ）∵ 2sin22BA +=1)3(++πC g ，∴ 1-cos(A+B)=1+sin(2C+2π)，∵ cos(A+B)=-cosC ，sin(2C+2π)=cos2C ，于是上式变为cosC=cos2C ，即cosC=2cos 2C-1，整理得2cos 2C-cosC-1=0， 解得cosC=12-或1（舍），∴ C=23π．由正弦定理得：sin cC =2R=4，解得于是由余弦定理得：cosC=12-=22122a b ab +-，∴ a 2+b 2=12-ab ≥2ab ，∴ ab ≤4(当且仅当a=b 时等号成立)．∴ S △ABC =12absinC=4ab∴ △ABC………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，∵ S 4=2S 2+8，即4a 1+6d=2(2a 1+d)+8，化简得：4d=8，∴11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+．∴ T n =12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121n n -+-+-+⋅⋅⋅+--+ =11(1)221n -+≥13，又∵ 不等式T n ≥21(5)18m m -对所有的n ∈N*恒成立，∴ 13≥21(5)18m m -，化简得：m 2-5m-6≤0，解得：-1≤m ≤6．∴ m 的最大正整数值为6．……………………………………………………8分 （Ⅲ）由d=2，得 a n =a 1+2n-2，又∵2n n na b a +==1+2n a =11112a n ++-，又函数11()11f x x a =++-在112a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，和112a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上分别是单调减函数， 且112a x <-时y<1；112ax >-时y>1． ∵ 对任意的n ∈N*，都有b n ≤b 4成立，∴ 3<112a -<4， 解得-6<a 1<-4，即a 1的取值范围为(-6，-4)．……………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=2ca=．∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x+y+2=0相切，∴ ，解得b=1．再由 a 2=b 2+c 2，可解得：a=2．∴ 椭圆的标准方程为2214xy +=．……………………………………………5分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，OP OQ⋅ =-4∉[35-，29-]，不成立； ∵ 直线的斜率不为0，设P(x 1，y 1)(y 1>0)，Q(x 2，y 2)(y 2<0)， 直线的方程可设为：x=my+1，代入椭圆方程2214xy +=得：(m 2+4)y 2+2my-3=0∴ y 1+y 2=224mm -+，y 1y 2=234m -+，而x x =(my +1)(my +1)=22444mm -+，∴OP OQ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=22144mm -+，即35-≤22144mm -+≤29-，解得12≤m 2≤1；∵1PM y ==；2M Q y == ；又∵||||||||PM M Q t PM M Q t PM M Q +=⋅=⋅ ，∴211212111111)||||y y t y y y y MQ PM -=+=-=⋅12y y=⋅3===∴ 当12≤m 2≤1时，解得3≤t ≤9．…………………………………13分21．解：（Ⅰ）∵ ()f x '=22(21)xex x-，∴ 当2x-1>0，即x>12时，()f x '>0，于是f (x)在1()2+∞，上单调递增；∴ 当2x-1<0，即x<12时，()f x '<0，于是 (x)在1()2-∞，上单调递减． ∵ m>0，∴ m+2>2．①m ≤12≤m+2，即0<m ≤12时，f (x)在(m ，12)上单减，在(12，m+2)上单增，∴f (x)min =f (12)=2e ；②当m>12时，f (x)在[m ，m+2]上单调递增，∴f (x)min =f (m)=2mem ；∴ 综上所述：当0<m ≤12时，f (x)min =2e ；当m>12时，f (x)min =2mem ．……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）构造F(x)=f (x)-g(x)(x>1)，则由题意得F(x)=22ln 0xett x t x --->(x>1)，()F x ' =22222xxxee tt xx -+-=22(21)()xx et x--(x>1)，①当t ≤e 2时，e 2x -t ≥0成立，则x>1时，()F x '≥0，即F(x)在(1)+∞，上单增，∴ F(1)=e 2-2t≥0，即t ≤212e，故t ≤212e．②当t>e 2时 ，()F x '=0得x=12或12lnt ．∴ F(x)在(1，12lnt)上单减，在(12lnt ，+∞)上单增， ∴ F(x)min =F(12lnt)=-2tln(12lnt)-t<0．∴不成立． ∴ 综上所述：t ≤212e．………………………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当x>0时，2()xef x x =≥2e ，∴ 2xxe≤12e (x>0)，∴ 2221nnn nen e =≤2112ne ⋅．∴211nii i e==⋅∑22223211112()3()()nee e n e +++⋅⋅⋅+≤2221111(1)223en+++⋅⋅⋅+<2221111(1)221311en +++⋅⋅⋅+--- =11111111111[1(1)]2232435211en n n n +-+-+-+⋅⋅⋅+-+---+=11111[1(1)]2221enn ++--+<78e ．………………14分。