轴的扭矩图
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扭转及扭矩图
(rad/m)
或
T 180 [ ] m ax GI max P
(°/m)
例、(同上例)d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m， G=80GPa，[ ]=0.5°/m，(1)试校核轴的刚度；(2)计算 相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。
解：① 刚度计算
9kN.m 3kN.m B
T2
1m
C
1m
D
9kN.m 3kN.m
3kN.m
T3
ΣMx=0：-T2+9-3=0
CD段： T2=6kN.m
6kN.m + x 3kN.m
ΣMx=0：-T3-3=0
T3=-3kN.m
四、薄壁圆筒扭转实验时的切应力与切应变
m t 2π r 2 t
rF g L
切应力互等定理
T l 180 AD AD F ＝ 0 . 635 AD G I P
计 算 变 形 时 ︐ 扭 矩 应 取 代 数 值 ︒
T
轴两端截面之间的相对扭转角为：
F ＝ F ＋ F ＋ F ＝ 0 . 805 BD BC CA AD
在相互垂直的两个平面上，剪应力成对存在且数值相等， 且都垂直于这两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离该 交线。
t Gg 剪切虎克定律 G－切变模量（剪切弹性模量） E 对各向同性材料： G 2(1 )
五、圆轴扭转时的应力
等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力：
MA=15.9kN.m ， MD＝6.37kN.m 。
(1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。
(2) 若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。
扭矩图(精)
在AD段内将轴沿3-3截面切开，任取右段为研究对象， 截开面上扭矩T3仍设为正，由平衡方程
M x 0
M D T3 0
得
T3 MD 446N m
同理，在CA段内将轴沿2-2截面切开，任取左段研究，
其上扭矩T2仍设为正，由平衡方程
M x 0
T2 MC MB 0
段内，其值为Tmax=700Nm。
结论：任一截面上的扭矩等于截面一侧（左或右）所有
扭转外力偶矩的代数和，当外力偶转向与所求截面扭矩正
向相反时，外力偶矩取正；反之取负，即
解: (1)计算外力偶矩
由公式
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
谢谢观看，再！
T2 MC MB 700N m
在AD段内将轴沿3-3截面切开，任取右段为研究对象，
截开面上扭矩T3仍设为正，由平衡方程
M x 0
M D T3 0
得
T3 MD 446N m
结果为正，表明的方向与假设的方向相同，既为正扭矩。
（3）作扭矩图 由扭矩图可知，轴最大扭矩发生在AC
MD
9549
PD n
9549
14 300
Nm
446N m
（2）用截面法求各段内力 在BC段内，将轴沿截面1-1
分成两段，并任取左段研究，将扭矩T1设为正，由平衡方
程
M x 0
T1 M B 0
T1 M B 350N m
T1为BC段内各截面上的扭矩值，结果中负号表示的实 际方向与图中所设的方向相反，按右手螺旋法则，为负扭 矩。
绘制扭矩图
为表示扭矩沿轴线的变化情况，可绘制扭矩图。作图时， 横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩。
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
扭矩、扭矩图
AB T L / GIP
GI P称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 27
例2.
空心圆轴如图，已知MA=150N· m，MB=50N· m MC=100N· m，材料G=80GPa， 试求（1）轴内的最大切应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
MA
8
A
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。 解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
PA 400 M A 9.55 9.55 5.46kN m n 700 PB 120 M B M C 9.55 9.55 1.64kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m 9 n 700
A
f22
2) 计算各段应力:
f24
MA
f18
MB
MC
C
BC段： N-mm-MPa单位制
A
1000
B
1000
t max 2
T2 T2 3 pD2 d WT 2 [1 ] 16 D2
3
T /N· m
150
100 B C
100 10 16 3 4 86.7MPa 22 p[1 - (18 / 22) ]
13
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8.3.1 圆轴扭转的应力公式
1. 变形几何条件
变形前
变形后
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性 转动角df，原来的方形ABCD变成为菱形ABCD。
理论力学第四章扭转
由 M x 0, T Me 0 得T＝M e
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
材料力学--外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 ppt课件
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。
ppt课件 22
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4 已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确 定二轴的重量之比。 解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
解：1.外力偶矩
P 400 1 T1 M e1 9549 9549 7640 N m n 500 240 T2 M e 3 T1 4580N m 400
ppt课件 31
§3.5
2.扭矩图
圆轴扭转时的变形
d1
A
M e1
d 0.945 D Wt 0.2 D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
（2） 强度校核
max
T 1930 6 66.7 10 Pa 6 Wt 29 10 66.7MPa [ ]ppt 课件 70MPa
3 2
d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ 1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
ppt课件 24
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.5 已知：输入功率P1＝14kW,P2= P3=P1/2， n1=n2=120r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.[]=30MPa。.
ppt课件 22
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4 已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确 定二轴的重量之比。 解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
解：1.外力偶矩
P 400 1 T1 M e1 9549 9549 7640 N m n 500 240 T2 M e 3 T1 4580N m 400
ppt课件 31
§3.5
2.扭矩图
圆轴扭转时的变形
d1
A
M e1
d 0.945 D Wt 0.2 D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
（2） 强度校核
max
T 1930 6 66.7 10 Pa 6 Wt 29 10 66.7MPa [ ]ppt 课件 70MPa
3 2
d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ 1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
ppt课件 24
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.5 已知：输入功率P1＝14kW,P2= P3=P1/2， n1=n2=120r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.[]=30MPa。.
概述传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图薄壁
1
§3–1 概 述
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
A
B O
A
BO
Me
Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移
2
工 程 实 例
另见课本图3.1、图3.2
反之为负。
5
4 扭矩图：表示各横截面上扭矩沿杆件轴线变化的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
例前轴的扭矩图如下：
T
强度计算（危险截面）。
x
6
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
32
D4 (1 4 )
32
( Dd )
d
D O
24
④ 应力分布
（实心圆截面）
（空心圆截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
25
⑤ 确定最大剪应力：
由
T
Ip
知：当
R
d 2
,
max
Td
max
2 Ip
T
G [ ]
37
AB段:
d1
4
32 T
G [ ]
4
32 7030180 3.142 80109 1
84mm
BC段:
d2
4
32 T
§3–1 概 述
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
A
B O
A
BO
Me
Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移
2
工 程 实 例
另见课本图3.1、图3.2
反之为负。
5
4 扭矩图：表示各横截面上扭矩沿杆件轴线变化的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
例前轴的扭矩图如下：
T
强度计算（危险截面）。
x
6
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
32
D4 (1 4 )
32
( Dd )
d
D O
24
④ 应力分布
（实心圆截面）
（空心圆截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
25
⑤ 确定最大剪应力：
由
T
Ip
知：当
R
d 2
,
max
Td
max
2 Ip
T
G [ ]
37
AB段:
d1
4
32 T
G [ ]
4
32 7030180 3.142 80109 1
84mm
BC段:
d2
4
32 T
§7-1 圆轴扭转的力学模型 §7-2 扭矩和扭矩图
让学生看图再加想象自己总结
穿插在讲解例题当中讲解
四、扭矩图：
[导入]：为了显示整个轴上各截面扭矩的变化规律，以便分析最大扭矩（Tmax）所在截面的位置，常用横坐标表示轴各截面位置，纵坐标表示相应横截面上的扭矩。
[练习]：书本习题113页9
【小结】
本节重点讲了扭转的概念，外力偶矩的计算方法，扭矩的相关知识及怎么样画扭矩图。
【作业】
书本习题112页6
教学参考及教具（含电教设备）：工程力学教学参考书，绘图工具
授课执行情况及分析：
板书设计或授课提纲
§7-1圆轴扭转的力学模型§7-2扭矩和扭矩图
一、扭转的概念
二、外力偶矩的计算
三、扭矩
四、扭矩图
【复习提问】
前面我们讲过杆件的几种变形形式？都从几个方面入手来学习？
【引入新课】
今天我们再来学习第三种变形形式扭转。
归纳方法：
假设某截面上的扭矩均为正号，则该街面上的扭矩等于截面一侧（左或右）轴上的所有外力偶矩的代数和。
计算扭矩时外力偶矩的正负号规定：使右手拇指与截面外法线方向一致，若外力偶矩的转向与其他四指的转向相同，则取负号，反之取正号。这样正的外力偶矩产生正的扭矩，负的外力偶矩产生负扭矩。当外力偶矩的代数和为正时，截面上的扭矩为正，反之为负
【讲授新课】
一、扭转的概念
[讲解]：受力特点：
变形特点：
二、外力偶矩的计算
[讲解]：公式：M=9550P/n
注意：确定外力偶矩M转向时，凡输入功率的主动外力偶矩的转向与轴的转向一致。凡输出功率的主动外力偶矩的转向与轴的转向相反。
三、扭矩
[图解]：
[讲解]表示符号：
单位：
正负号的判定：
计江苏省技工院校
穿插在讲解例题当中讲解
四、扭矩图：
[导入]：为了显示整个轴上各截面扭矩的变化规律，以便分析最大扭矩（Tmax）所在截面的位置，常用横坐标表示轴各截面位置，纵坐标表示相应横截面上的扭矩。
[练习]：书本习题113页9
【小结】
本节重点讲了扭转的概念，外力偶矩的计算方法，扭矩的相关知识及怎么样画扭矩图。
【作业】
书本习题112页6
教学参考及教具（含电教设备）：工程力学教学参考书，绘图工具
授课执行情况及分析：
板书设计或授课提纲
§7-1圆轴扭转的力学模型§7-2扭矩和扭矩图
一、扭转的概念
二、外力偶矩的计算
三、扭矩
四、扭矩图
【复习提问】
前面我们讲过杆件的几种变形形式？都从几个方面入手来学习？
【引入新课】
今天我们再来学习第三种变形形式扭转。
归纳方法：
假设某截面上的扭矩均为正号，则该街面上的扭矩等于截面一侧（左或右）轴上的所有外力偶矩的代数和。
计算扭矩时外力偶矩的正负号规定：使右手拇指与截面外法线方向一致，若外力偶矩的转向与其他四指的转向相同，则取负号，反之取正号。这样正的外力偶矩产生正的扭矩，负的外力偶矩产生负扭矩。当外力偶矩的代数和为正时，截面上的扭矩为正，反之为负
【讲授新课】
一、扭转的概念
[讲解]：受力特点：
变形特点：
二、外力偶矩的计算
[讲解]：公式：M=9550P/n
注意：确定外力偶矩M转向时，凡输入功率的主动外力偶矩的转向与轴的转向一致。凡输出功率的主动外力偶矩的转向与轴的转向相反。
三、扭矩
[图解]：
[讲解]表示符号：
单位：
正负号的判定：
计江苏省技工院校
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6—6 轴的扭矩图·功率N 、转速n 和外力偶矩间的关系
轴在受到垂直于其轴线的一对力
偶矩作用时，轴将受到扭转。
(1)N ·n ·间的关系
在工程实践中，作用于轴上的外力偶矩常常不是直接给出的。
经常给出的是轴所传递的功率和转速。
设通过轮子传递的功率为N 千瓦(kW)，轴的转速为每分钟n 转(r/min)，则作用此轮上的外另偶矩可如下求得(图6-15)：
N 个kW 的功率相当于每分钟作功：
它应等于
作用于轮上的外力偶矩每分钟内所作的功：
=n ×
(N ·)
由两者相等可得：
当给出的功率N 是以马力(Ps)为单位时，因1PS=735.5N ·m ／秒,故外身偶
矩的
计算公式就是：
此即作用手轴上的外力偶矩(N ·m)和轴所传递的功率N (kW 或PS )、轴 的
转速n (r ／min )间的关系。
(2)扭矩图 知道了作用在轴上的诸外力偶矩，则轴内任一横截面上的扭矩，也可根据截面
一边所有外力偶矩(或所有外力对轴线x 之矩)的代数和而求得，
用式子表达即：
式中是截面二边的任一广义力，它可代表力也可以代表力偶。
各项前的正、负号也
是按变形方式来规定的，如图6-16所示，即以引起右旋扭转变形的扭矩为正，反之为负。
m m m
m m m 2
W m n
M m i P
例6-6 设有一传
动轴如图6-17a 所示，其转速n=300r ／min ，轮1输入的功
率=50kW ，轮2、轮3输出的功率分别为=20kW 和=30kW 。
试作该轴的扭矩图。
解：1)首先由公式(6-8)求出作用在各轮子上的外力偶矩：
=9549·／n
=9549·50／200
=2387 N ·m
同理，
’
=9549·20／200
=955N ·
=9549·30／200
=1432 N ·m
2)由公式(6-10)分段列出扭矩表达式：
1N 2N 3
N 1m 1N 2m m 3
m
3)由此可作出扭矩图，如图6-l7b 所示。
由图可见，轴内
的最大扭矩发生在
右段，其
值=1432
N ·。
对于等截面轴来说，若将主动轮放在轴的一端，则其扭矩图将如图6-18所示。
这时轴内的最大扭矩将
增至=2387N ·。
显然，这种布置是不合理的。
@@@@@@@@@@@@
大学里的机械设计书上就有，最小实心轴径公式：d=A*(p/n)^(1/3)，系数A 可以取97-149(根据所选轴的材料事业确定），P 为功率（单位Kw ），n 为转速（单位转/分）
举个例子：P=250Kw ，n=750rpm ，取A=100，则得d=69.336mm ，取整得d=70mm ，若上面有一个键槽则需增加5%，d=69.336*1.05=72.803mm ，取d=75，若为双键则需增加
1
max n M m max n M m
0%。
若是重要轴还要进行弯扭合成强度计算和刚度计算等等。
最好对照手册算一遍。