福建省莆田一中2019届高三上学期第一学段(期中)考试数学(理)试题

莆田一中2019学年度上学期第一学段高三数学(理)试卷命题人:高三数学备课组 审核人: 肖志强(考试时间:120分钟 分值:150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = （ ）AA 、2B 、2-C 、12 D 、12- 2. 已知R c b a ∈,,，那么下列命题中正确的是（ ）CA ．若b a >，则22bc ac >B ．若cbc a >，则b a > C ．若033<>ab b a 且，则b a 11> D ．若022>>ab b a 且，则ba 11< 3.若m ＞0且m ≠1，n ＞0，则“log m n ＜0”是“（m －1）（n －1）＜0”的（ ）AA 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 4. 下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 ( ) DA ．x y cos =B ．1--=x yC ．xxy +-=22lnD ．x x e e y -+= 5.在ABC ∆中，A tan 是以－4为第3项，4为第5项的等差数列的公差，B tan 是以31为第3 项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是（ ）AA. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形6．函数)sin()(ϕω+=x A x f （200πϕω<>>，，A ）的图象如右图所示，为了得到x x g ωsin )(=的图像，可以将)(x f 的图像（ ）CA ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度7.已知点P 为△ABC 所在平面上的一点，且13AP AB t AC =+,其中t 为实数，若点P 落在△ABC的内部，则t 的取值范围是( )DA ．104t <<B ．103t <<C ． 102t <<D ．203t << 8.以下命题：①若=则//a b ；② )1,1(-=a 在)4,3(=b 方向上的投影为51；③若△ABC 中,,7,8,5===c b a 则20BC CA =；④若0a b ⋅<,则向量a 与b 的夹角为钝角.则其中真命题的个数是( ) BA. 1B. 2C. 3D. 4 9.已知数列}{n a 是等差数列,若它的前n 项和n S 有最大值,且11101a a <-,则使0n S >成立的最小自然数n 的值为( )BA. 10B. 19C. 20D. 2110.直线l 与函数[]sin (0,)y x x π=∈的图像相切于点A ，且//l OP ，O 为坐标原点，P 为图像的极大值点，与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA BC =（）BA. 24πB. 244π- C. 2π D. 2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置11．已知n ∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－15)n ，则n ＝__________.－1或212.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =，且136,,a a a 成等比数列,则5a 的值为 .413.已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则目标函数2z x y =-的最大值为 .714. 若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分 次 7 15. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)2nn a n =-⋅，我们用错位相减法求其前n 项和n S ：由23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+-⋅…得23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+-⋅…两式项减得：2312222222(21)2nn n S n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅…，求得1(23)26n n S n +=-⋅+。

类比推广以上方法，若数列{}n b 的通项公式为22n n b n =⋅，则其前n 项和n T 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n S 的前项和n T . 16.解：(1)又当2n ≥时11(2)(2)n n n n n a S S a a --=-=--- 1n n a a -=-∴12n n a a -=， 11a =∴数列{}n a 是等比数列,其首项为1,公比为12， ∴11()2n n a -=………………………………………………………………….6分（2）2n n S a =-=112()2n --， ∴0111112()2()2()222n n T -=-+-++-11()22112nn -=-- 11222n n -=-+………………………….13分17.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x 轴的非负半轴，点2(1,2cos )P θ在角α的终边上，点2(sin,1)Q θ-在角β的终边上，且1OP OQ ⋅=-.（1）求cos 2θ；（2）求,P Q 的坐标并求cos()αβ-的值.【解析】（1）∵ 1OP OQ ⋅=-， ∴ 22sin 2cos 1θθ-=-， …………2分∴1cos 2(1cos 2)12θθ--+=-，∴ 1cos 23θ=. …………6分 （2）由（1）得：21cos 22cos 23θθ+==，∴ 4(1,)3P …………7分 21cos 21sin 23θθ-== ,∴ 1(,1)3Q - …………8分∴ 5||3OP ==，||OQ ==， ∴ 4sin 5α=，3cos 5α=，sin 10β=-，cos 10β=12分∴ cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=…………13分18．（本小题满分13分）在△AB C 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(sin ,)P A b c =+，(,sin sin )q a c C B =--,满足p q +=p q - （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设1(sin(),)32m C π=+, (2,cos2)(1)n k A k =>, ⋅m n 有最大值为3，求k 的值.18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由条件|p +q |=| p －q |，两边平方得p ·q ＝0，………1分 又p =（sinA,b+c ）,q =（a －c,sinC －sinB ）,代入得（a －c ）sinA ＋（b+c ）（sinC －sinB ）＝0，根据正弦定理， 可化为a （a －c ）+（b+c ）（c －b ）=0,…………3分 即222a cb ac +-=，又由余弦定理222a cb +-＝2acosB, 所以cosB ＝12，B ＝3π……6分 （Ⅱ）m =（sin （C+3π）,12）,n =（2k,cos2A ） （k>1）, m ·n =2ksin （C+3π）+12cos2A=2ksin （C+B ） +12cos2A..........8分 =2ksinA+2cos A -12=-2sin A +2ksinA+12=-22(sin )A k k -++12（k>1）......11分 而0<A<23π,sinA∈（0,1], 故当sin ＝1时，m·n 取最大值为2k-12=3,得k ＝74....13分 19.（本小题满分13分）某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2)因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ；使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．19、（本小题满分13分）解：(1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理： AC2＝42＋62－2×4×6×cos ∠ABC ＝42＋22－2×2×4cos ∠ADC.所以cos ∠ABC ＝12，∵∠ABC ∈(0，π)，故∠ABC ＝60°.S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋12×2×4×sin120°＝83(万平方米)．…………………………………………3分 在△ABC 中，由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2AB ·BC ·cos ∠ABC∴R ＝2213(万米) ………………………………………………7分(2)∵S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ， 又S △ADC ＝12AD ·CD ·sin120°＝23，设AP ＝x ，CP ＝y.则S △APC ＝12xy ·sin60°＝34xy. ……………………………9分又由余弦定理AC2＝x2＋y2－2xycos60° ＝x2＋y2－xy ＝28.∴x2＋y2－xy ≥2xy －xy ＝xy.∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号……………………11分 ∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93， ∴最大面积为93万平方米．………………………………13分20．（本小题满分14分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=1,ln 1,)(23x x a x c bx x x x f 的图象过坐标原点O,且在点))1(,1(--f 处的切线的斜率是5-.（Ⅰ）求实数c b 、的值；（Ⅱ）求)(x f 在区间[]2,1-上的最大值；（Ⅲ）对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？说明理由.20（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当1<x 时，c bx x x x f +++-=23)(，则b x x x f ++-='23)(2。