2015年河南省郑州四中中考数学三模试卷

2015年河南省郑州四中中考数学三模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．若﹣3+（）=0，则（）中的数应该是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．为配合中国倡导的“一带一路”建设的愿景，成立的亚洲基础设施投资银行（亚投行）截止3月31日关上了申请大门，共有46个国家和地区成为创始成员国，中期计划投资总额即达4700亿美元．其中4700亿美元用科学记数法表示为（）A．47×1010B．4700×108C．4.7×1011D．4.7×1010 3．下列各式计算正确的是（）A．=1 B．a6÷a2=a3C．x2+x3=x5D．（﹣x2）3=﹣x64．临近中招，老师将小华同学“考前五套卷”数学分数统计如下：101，98，103，101，99．老师判断小华成绩还算比较稳定．老师判断的依据是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差5．如图，CD∥AE，∠ACB=90°，AC=BC，∠BCD=20°，则∠EAB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．7．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．2C．4 D．48．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°，则∠B=30°，则k的取值为（）A．B．C．﹣2 D．﹣3二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：=．10．某商品进价200元，标价300元，商场规定可以打折销售，但其利润不能低于5%，该商品最多可以折．11．有三张正面分别写有数字﹣1，1，﹣2，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为m的值，将抽出的卡片放回去，随机再抽一张，以其正面的数字作为n的值，则点（m，n）在第二象限的概率为．12．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥BC于点E，ED平分∠CDA，若BE：EC=1：2，则∠BCD的度数为．13．已知AB是半⊙O的直径，∠D=50°，AD切⊙O于点A，连接DO交半⊙O于点E，作EC∥AB 交半⊙O于C点，连接AC，则∠CAB的度数为．14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0．其中，正确结论的序号是．15．如图，在矩形ABCD中，AD=6，CD=4，AD的中点为E，点F是AB边上一点（不与A、B重合），连接EF，把∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接CG．则线段CG的取值范围是．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：，其中x=2﹣．17．在2015年的政府工作报告中提出了九大热词，某数学兴趣小组就A互联网+、B民生底线、C中国制造2.0、D能耗强度等四个热词进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了名同学；（2）条形统计图中，m=，n=；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是；（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？18．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点．（1）利用尺规∠EAC的平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，若P、Q同时运动．①连接PQ交AC于点O．求证：AO=CO；②填空：当t=秒时四边形APCQ一定是矩形；③填空：当t=秒时四边形APCQ一定是菱形．19．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=（x＞0）的图象交于A（3a，2b﹣9）、B（a，b﹣2）两点．（1）求函数y2的表达式；（2）过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥y轴，试问在线段AB上是否存在点P，使S△PBD=2S△PAC？若存在请求出P点坐标；若不存在请说明理由．21．如图，某水果店购进一批时令水果，在20天内销售完毕．店主将本次销售数据绘制成函数图象．如图1，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图2，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系．（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？22．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．（1）探究发现如图（1），P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的度数．解：将△APC绕点A旋转到△APB′的位置，连接PP′，则△APP′是三角形．∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，∴P'P2+PB2=P'B2∴△BPP′为三角形．∴∠APB的度数为．（2）类比延伸在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；（3）拓展迁移如图（3），在四边形ABCD中，线段AD与BC不平行，AC=BD=a，AC与BD交于点O，且∠AOD=60°，比较AD+BC与a的大小关系，并说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣2，0）、B（5，0）两点，与y交于点C，点P（m，n）为x轴下方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线，D、E为垂足，用含有m的代数式表示四边形OEPD的周长l，并求出周长l的最大值；（3）作直线BC、OP，两直线交于点Q，试问是否存在点P，使得△QOC是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°，则∠B=30°，则k的取值为（）A．B．C．﹣2 D．﹣3考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，易证△AOC∽△OBD，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠B的值，即OA与OB的比值，利用面积比等于相似比的平方，即可求出k值．解答：解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵OA⊥OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=（x＞0）的图象上，∴S△AOC=，S△OBD=||，∴S△AOC：S△OBD=1：|k|，∴（）2=1：|k|，则在Rt△AOB中，tanB==，∴1：|k|=1：3，∴|k|=3∵y=（x＞0）的图象在第四象限，∴k=﹣3．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．故答案为：7．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值．11．有三张正面分别写有数字﹣1，1，﹣2，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为m的值，将抽出的卡片放回去，随机再抽一张，以其正面的数字作为n的值，则点（m，n）在第二象限的概率为．考点：列表法与树状图法．分析：画出树状图，然后确定出在第二象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解．点评：本题考查了列表法与树状图法，第二象限点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥BC于点E，ED平分∠CDA，若BE：EC=1：2，则∠BCD的度数为120°．考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质和已知条件得出∠CED=∠CDE，证出CD=EC=AB，得出BE=AB，再在Rt△ABE中求出∠BAE，得出∠B，即可求出∠BCD的度数．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、三角函数；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．已知AB是半⊙O的直径，∠D=50°，AD切⊙O于点A，连接DO交半⊙O于点E，作EC∥AB 交半⊙O于C点，连接AC，则∠CAB的度数为20°．考点：切线的性质．专题：计算题．分析：根据切线的性质得AD⊥OA，则利用互余可计算出∠AOD=40°，再根据圆周角定理得到∠ECA=∠AOE=20°，然后根据平行线的性质可得∠CAB的度数．14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0．其中，正确结论的序号是②③④⑤．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①根据抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，据此解答即可．②根据抛物线的对称轴x=﹣＜﹣1，可得当x＞﹣1时，y随x增大而减小，据此判断即可．③根据抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，可得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，据此判断即可．④根据y=ax2+bx+c的最大值是2，可得方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2，据此判断即可．⑤首先根据当x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0…（1），然后根据当x=﹣2时，y＞0，可得4a ﹣2b+c＞0，据此判断出3a+c＜0即可．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴结论①不正确．∵抛物线的对称轴x=﹣＜﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小，∴结论②正确．∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论③正确．∵y=ax2+bx+c的最大值是2，∴方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2，∴结论④正确．∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0…（1），∵当x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0…（2），由（1）（2），可得2a+c＜0，又∵a＜0，∴3a+c＜0，∴结论⑤正确．综上，可得正确结论的序号是：②③④⑤．故答案为：②③④⑤．点评：此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．15．如图，在矩形ABCD中，AD=6，CD=4，AD的中点为E，点F是AB边上一点（不与A、B重合），连接EF，把∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接CG．则线段CG的取值范围是＜CG＜2．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：分别求得F点在A、B处时的CG的长度即可求得线段CG的取值范围．解答：解：如图所示，在RT△A，DC中，AD=6，CD=4，∴AC==2，把∠A沿EB折叠，使点A落在点G处，连接AG，DG，∴∠EAG=∠EGA，AE=EG，∵AE=DE，∴EG=ED，∴∠ADG=∠EGD，∴∠AGD=∠AGE+∠EGD=∠DAG+∠ADG=90°，∵AE=3，AB=4，∴BE==5，∵AG•BE=AE•AB，∴AG=，在RT△ADG中，DG===，过G点作MN⊥AD，∴∠AMG=∠AGD=90°，∵∠MAG=∠GAD，∴△AMG∽△AGD，∴==，即==，∴AM=，MG=，∵BN=AM=，MN=CD=4，∴CN=6﹣=，GN=4﹣=，在RT△CNG中，CG==，∴线段CG的取值范围是＜CG＜2，故答案为＜CG＜2．点评：本题考查了翻折的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的面积公式的应用等，求得F与A、B重合时CG的长是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）=，当x=2﹣时，原式==1﹣2．点评：此题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意运算顺序．（1）本次调查中，一共调查了300名同学；（2）条形统计图中，m=60，n=90；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是72°；（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？点评：本题考查条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．18．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点．（1）利用尺规∠EAC的平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，若P、Q同时运动．①连接PQ交AC于点O．求证：AO=CO；②填空：当t=6秒时四边形APCQ一定是矩形；③填空：当t=秒时四边形APCQ一定是菱形．考点：菱形的判定；等腰三角形的性质；矩形的判定．分析：（1）利用尺规作图作出已知角的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质、矩形的性质及菱形的性质分别求得t的值即可．解答：解：（1）作图如下：（2）①∵AP平分∠EAC，∠EAC=2∠B=2∠C，∴∠PAC=∠C，∴AP∥BC，∵点P和点Q的速度均为1cm/s，∴AP=CQ，∴AO=CO；②∵当∠AQC=90°时，四边形AQCP为矩形，此时AQ⊥BC，CQ=BC=6，∴当t=6时，四边形AQCP为矩形；③如图3：当四边形APCQ是菱形时，AQ=CQ，作AD⊥CQ于点D，则CD=BC=6，CQ=AQ=t，QD=t﹣6，在Rt△AQD中，AQ2=QD2+AD2，即：t2=（t﹣6）2+82，解得：t=，∴当t=时，四边形AQCP为菱形．点评：考查了菱形的判定、等腰三角形的性质及矩形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．19．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长；根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．解答：解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，i=tan∠BAF==，∴∠BAF=30°，∴BF=AB=5，AF=5．∴BG=AF+AE=5+15．Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．点评：此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．20．如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=（x＞0）的图象交于A（3a，2b﹣9）、B（a，b﹣2）两点．（1）求函数y2的表达式；（2）过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥y轴，试问在线段AB上是否存在点P，使S△PBD=2S△PAC？若存在请求出P点坐标；若不存在请说明理由．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把A、B两点坐标代入直线AB解析式可求得A、B两点的坐标，再把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k，可求得函数y2的表达式；（2）设出P点坐标为（x，﹣x+4），根据三角形的面积关系可得到关于x的方程，可求得P 点坐标．解答：解：（1）∵函数y1的图象过A、B两点，∴把A、B两点分别代入函数y1的解析式可得，解得，∴A（3，1），B（1，3），∵函数y2的图象过A点，∴1=，解得k=3，∴y2=；（2）由（1）知A（3，1），B（1，3），∴BD=AC=1，∵P点在线段AB上，∴设P点坐标为（x，﹣x+4），其中1≤x≤3，则P到AC的距离为h A=3﹣x，P到BD的距离为h B=3﹣（﹣x+4）=x﹣1，∴S△PBD=BD•h B=×1×（x﹣1）=（x﹣1），S△PAC=AC•h A=×1×（3﹣x）=（3﹣x），∵S△PBD=2S△PAC，∴（x﹣1）=3﹣x，解得x=，且1≤≤3，符合条件，此时﹣x+4=，∴P（，），综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）．点评：本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在（2）中用P点坐标分别表示出△PBD和△PAC的面积是解题的关键．21．如图，某水果店购进一批时令水果，在20天内销售完毕．店主将本次销售数据绘制成函数图象．如图1，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图2，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系．（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？考点：二次函数的应用；一次函数的应用．分析：（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20；针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，25），（20，15）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，日销售量不低于36千克，即y≥36．先解不等式2x≥36，得x≥13，再解不等式﹣9x+180≥36，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有4天；然后根据p=﹣x+35（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可解答．解答：解：（1）分两种情况：①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，∵直线y=k1x过点（15，45），∴15k1=45，解得k1=3，∴y=3x（0≤x≤15）；②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，∵点（15，45），（20，0）在y=k2x+b的图象上，∴解得：∴y=﹣9x+180（15＜x≤20）；综上，可知y与x之间的函数关系式为：y=．（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，∵点（10，25），（20，15）在p=mx+n的图象上，∴解得：∴y=﹣x+35（10≤x≤20），若日销售量不低于36千克，则y≥36．当0≤x≤15时，y=2x，解不等式：2x≥36，得，x≥13；当15＜x≤20时，y=﹣9x+180，解不等式：﹣9x+180≥36，得x≤16，∴13≤x≤16，∴“最佳销售期”共有：16﹣13+1=4（天）；∵y=﹣x+35（10≤x≤20），k=﹣1＜0，∴p随x的增大而减小，∴当13≤x≤16时，x取13时，p有最大值，此时p=﹣13+35=22（元/千克）．答：此次销售过程中“最佳销售期”共有4天，在此期间销售金额最高是第13天．点评：此题考查了一次函数的应用，有一定难度．解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．22．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．（1）探究发现如图（1），P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的度数．解：将△APC绕点A旋转到△APB′的位置，连接PP′，则△APP′是等边三角形．∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，∴P'P2+PB2=P'B2∴△BPP′为直角三角形．∴∠APB的度数为150°．（2）类比延伸在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；（3）拓展迁移如图（3），在四边形ABCD中，线段AD与BC不平行，AC=BD=a，AC与BD交于点O，且∠AOD=60°，比较AD+BC与a的大小关系，并说明理由．考点：几何变换综合题．分析：（1）将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数；（2）把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCP′，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得P′B=PB，P′C=PA，然后求出△BPP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PP′，∠PP′B=45°，再求出∠PP′C=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解；（3）以AC为边向左做等边三角形PAC，连接PB，证明四边形PABD是平行四边形，再利用三角形三边关系证明即可．解答：解：将△APC绕点A旋转到△APB′的位置，连接PP′，则△APP′是等边三角形．∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，∴P'P2+PB2=P'B2，∴△BPP′为直角三角形，∴∠APB的度数为90°+60°=150°故答案为：等边；直角；150°（2）如图1，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCP′，则P′B=PB=4，P′C=PA=2，∵旋转角是90°，∴∠PBP′=90°，∴△BPP′是等腰直角三角形，∴PP′=PB=4，∠PP′B=45°，∵∠APB=135°，∴∠CP′B=∠APB=135°，∴∠PP′C=135°﹣45°=90°，在Rt△PP′C中，由勾股定理得，PC==6；（3）AD+BC＞a，理由如下：如图2所示，以AC为边向左做等边三角形PAC，连接PB，则PA=PC=AC=BD=a，∠PAC=60°，∵∠AOD=60°，∴PA∥BD，∴四边形APBD是平行四边形，∴AD=PB，在△PBC中，可得：PB+BC＞PC，即AD+BC＞a．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣2，0）、B（5，0）两点，与y交于点C，点P（m，n）为x轴下方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线，D、E为垂足，用含有m的代数式表示四边形OEPD 的周长l，并求出周长l的最大值；（3）作直线BC、OP，两直线交于点Q，试问是否存在点P，使得△QOC是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数即可求解；（2）根据P在抛物线上，则可用m表示出n，则四边形的周长即可求解；（3）首先求得线段BC的解析式，即可得到△OBC是等腰直角三角形，然后分OC是底边，CQ是底边和OQ是底边三种情况进行讨论，即可求解．解答：解：（1）根据题意得：，解得：，则抛物线的解析式是：y=x2﹣x﹣5；（2）P（m，n）在抛物线上，则n=m2﹣m﹣5，则l=2m﹣2（m2﹣m﹣5），即l=﹣m2+5m+5．（3）在y=x2﹣x﹣5中，令x=0，解得y=﹣5，则C的坐标是（0，﹣5），则OC=OB=5．设线段BC的解析式是y=kx+b，则，解得：，则线段BC的解析式是y=x﹣5（0＜x＜5）．当OC时等腰三角形的底边时，即OQ=CQ时，则Q的坐标是﹣，把y=﹣代入y=x﹣5得：x=，则Q的坐标是（，﹣）；当CQ是等腰三角形的底边，即OC=OQ时，此时Q和B重合，不符合题意；当OQ是等腰三角形的底边，即OC=CQ时，CQ=5，且∠OCQ=45°，作QF⊥y轴于点F．则CF=QF=，则OF=5﹣=，则Q的坐标是（，）．总之，Q的坐标是：（，﹣）或（，）．点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及等腰三角形的讨论，正确进行讨论是本题的关键．。