第1章 数学基础3-卷积、相关、傅里叶级数.ppt
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傅里叶ppt课件
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
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33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
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20
傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
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40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的 位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
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41
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
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10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
04-数学基础3-卷积、相关、傅里叶级数
*
[d (x+d/2 - d (x-d/2)]
利用卷积性质求卷积的例子
A
-a f(x) x 0 a
练习0-11 ：用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x)
k
h(x) x -a 0 a
*
=
？
若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式 利用卷积的线性性质 利用d函数的卷积性质 利用卷积的平移性质
即任意函数与d(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a b a
=
a
rff(x，y) = rff(-x，-y)
0-14. 已知函数
f(x) = rect (x+2) + rect (x-2)
求函数f(x) 的自相关，并画出图形。
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:
g ( x) Cn 1
傅里叶级数课件分解
若两个函数
与
在
上可积, 且
则称
与
在பைடு நூலகம்
上是正交的, 或在
上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在
上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数
之间的关系.
定理12.2 若在[-π,π]上
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
光滑弧段所组成,它至
收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在
该点的左、右极限的算术平均值
而当 f 在点 x 连续时,则有
即此时f的傅里叶级数收敛于
. 这样便有
上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在
上收敛
于 f .
推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在
上每一点都存在
, 如果在不连续
点补充定义
, 或
, 则
还有
(iii) 在补充定义
在
上那些至多有限个不存在
导数的点上的值后 ( 仍记为
),
在[a, b]上可积.
从几何图形上讲, 在
区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
时,
于是当
当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
定理 12.1 若级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
与
在
上可积, 且
则称
与
在பைடு நூலகம்
上是正交的, 或在
上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在
上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数
之间的关系.
定理12.2 若在[-π,π]上
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
光滑弧段所组成,它至
收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在
该点的左、右极限的算术平均值
而当 f 在点 x 连续时,则有
即此时f的傅里叶级数收敛于
. 这样便有
上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在
上收敛
于 f .
推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在
上每一点都存在
, 如果在不连续
点补充定义
, 或
, 则
还有
(iii) 在补充定义
在
上那些至多有限个不存在
导数的点上的值后 ( 仍记为
),
在[a, b]上可积.
从几何图形上讲, 在
区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
时,
于是当
当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
定理 12.1 若级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
卷积的傅里叶级数
卷积的傅里叶级数卷积是信号处理领域中一个重要的概念，它在频域中的表示方式即为傅里叶级数。
本文将详细探讨卷积的傅里叶级数表示方法，并分析其在信号处理中的应用。
一、傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数表示周期信号的方法。
对于周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = ∑(n=-∞)^(∞) c_n * exp(j*2πn*t/T)其中，c_n为傅里叶系数，表示信号在频域中的振幅。
傅里叶级数的系数计算可以使用积分或离散采样方法。
二、卷积与傅里叶级数的关系对于两个周期函数f(t)和g(t)，它们的卷积表示为：(f * g)(t) = ∫(0)^(T) f(τ) * g(t-τ) dτ卷积操作可以看作是两个信号在时域上的叠加与乘积运算。
根据卷积的性质，可以得出卷积定理：两个函数的傅里叶级数的卷积等于它们的傅里叶级数的乘积。
即，若f(t)和g(t)的傅里叶级数分别为：f(t) = ∑(n=-∞)^(∞) a_n * exp(j*2πn*t/T)g(t) = ∑(n=-∞)^(∞) b_n * exp(j*2πn*t/T)则它们的卷积(f * g)(t)的傅里叶级数为：(f * g)(t) = ∑(n=-∞)^(∞) a_n * b_n * exp(j*2πn*t/T)三、卷积的傅里叶级数的应用卷积的傅里叶级数具有良好的数学性质和广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用领域。
1. 信号滤波卷积可以用来实现信号滤波，通过将待滤波的信号与滤波器的冲激响应进行卷积运算，可以实现对信号频率的选择性抑制或增强。
傅里叶级数的卷积表示方法为滤波算法提供了理论基础。
2. 图像处理在图像处理中，卷积常用于实现模糊、锐化、边缘检测等操作。
通过将图像与相应的卷积核进行卷积运算，可以改变图像的特征和质量。
傅里叶级数的卷积性质为图像处理算法提供了便利。
3. 信号分析卷积的傅里叶级数可以用来分析信号的频谱特性。
数学分析课件 傅里叶级数
03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。
《高数课件：傅里叶级数与傅里叶变换》
《高数课件：傅里叶级数 与傅里叶变换》
傅里叶级数是数学中的一种重要工具，用于将任意函数展开为三角函数的无 穷级数。本课件将介绍傅里叶级数的定义、应用领域以及性质。
什么是傅里叶级数？
傅里叶级数是将周期函数分解为一组频率不同的正弦和余弦函数的总和。它在信号处理、图像处理等领域有广 泛的应用。
傅里叶级数的性质
线性性质
傅里叶级数具有线性叠加性质，可以对信号进 行加法和乘法操作。
对称性质
有些函数的傅里叶级数具有对称性，可以利用 对称性简化级数的计算。
周期性质
傅里叶级数可以看作是周期函数的频谱表达， 具有与原函数相同的周期。
收敛性质
傅里叶级数在一定条件下收敛，能够逼近原函 数的近似值。
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是将一个函数在连续频域和时域之间进行转换的数学工具。它为信号的频谱分析提供了一种强大的 方法。
傅里叶变换的频谱解释
频域 高频成分 低频成分 频谱幅度 频谱相位
时域 快速变化的信号 缓慢变化的信号 信号幅度的变化情况 相邻波形之间的偏移角度
傅里叶变换的应用案例
信号处理
傅里叶变换广泛应用于音频、图 像和视频信号的处理和压缩。
图像处理
傅里叶变换在图像频域滤波、图 像锐化和边缘检测等方面具有重 要作用。
通信系统
傅里叶变换用于信号的调制、解 调以及频谱分析，是现代通信系 统的关键技术之一。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特例，是一种将函数展开为频谱成分的方法。
傅里叶级数与傅里叶变换的应用领域
1Hale Waihona Puke 音乐傅里叶变换在音乐信号分析和合成中有广泛 的应用。
2 图像处理
傅里叶级数是数学中的一种重要工具，用于将任意函数展开为三角函数的无 穷级数。本课件将介绍傅里叶级数的定义、应用领域以及性质。
什么是傅里叶级数？
傅里叶级数是将周期函数分解为一组频率不同的正弦和余弦函数的总和。它在信号处理、图像处理等领域有广 泛的应用。
傅里叶级数的性质
线性性质
傅里叶级数具有线性叠加性质，可以对信号进 行加法和乘法操作。
对称性质
有些函数的傅里叶级数具有对称性，可以利用 对称性简化级数的计算。
周期性质
傅里叶级数可以看作是周期函数的频谱表达， 具有与原函数相同的周期。
收敛性质
傅里叶级数在一定条件下收敛，能够逼近原函 数的近似值。
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是将一个函数在连续频域和时域之间进行转换的数学工具。它为信号的频谱分析提供了一种强大的 方法。
傅里叶变换的频谱解释
频域 高频成分 低频成分 频谱幅度 频谱相位
时域 快速变化的信号 缓慢变化的信号 信号幅度的变化情况 相邻波形之间的偏移角度
傅里叶变换的应用案例
信号处理
傅里叶变换广泛应用于音频、图 像和视频信号的处理和压缩。
图像处理
傅里叶变换在图像频域滤波、图 像锐化和边缘检测等方面具有重 要作用。
通信系统
傅里叶变换用于信号的调制、解 调以及频谱分析，是现代通信系 统的关键技术之一。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特例，是一种将函数展开为频谱成分的方法。
傅里叶级数与傅里叶变换的应用领域
1Hale Waihona Puke 音乐傅里叶变换在音乐信号分析和合成中有广泛 的应用。
2 图像处理
《傅里叶级数》课件
FFT基于分治策略，将大问题分解为小问题，从而显著提高了计算效率。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
数学分析课件傅里叶级数
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有函数具有共同的周期 2π. 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
π
π π
cos mx cos nxdx sin mx sin nxdx
0 0
(m (m
nn)),,
π π
cos mx sin nxdx 0 .
π
(7)
而(5)中任何一个后页 返回
不等于零, 即
π cos2 nxdx
π
π 12dx 2 π
π
π sin2
π
xdx
π,
(8)
若两个函数 与 在 [a, b] 上可积, 且
b
a ( x) ( x)dx 0
证 由定理条件, 函数 f 在[ , ]上连续且可积. 对
(9)式逐项积分得
π
f ( x)dx π
a0
2
π
dx
π
(an
n1
π
π cos nxdx bn
π
sin nxdx).
π
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
π π
f
( x)dx
a0 2
2π
a0π,
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一、三角级数·正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
前页 后页 返回
一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一
种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数
y Asin( x )
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任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a b a
=
a
*
b
练习
0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的 透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为 N. 0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆 孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位 相板，透过率怎样变化？
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:
g ( x) Cn 1
g ( x) df g ( x) exp( j 2p fx)dx exp( j 2p fx)
展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn
由于t ∞ 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和 积分
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 三角傅里叶级数:
a0 g ( x) (an cos 2pnf0 x bn sin 2pnf0 x), 2 n1
(n 0, 1, 2... ),
f0
1
t
展开系数
a0
t
2
t
0
g ( x)dx
an
rff(x，y) = rff(-x，-y)
1-14. 已知函数
f(x) = rect (x+2) + rect (x-2)
求函数f(x) 的自相关，并画出图形。
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数
若右边园孔上加p 位相板, 则 t ( x, y)
=
x2 y2 circ l/2
*
[d (x+d/2 - d (x-d/2)]
利用卷积性质求卷积的例子
A
-a f ( x) 0 a x
练习0-11 ：用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x)
k
h(x) 0 a x
若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x)
对于非零复函数f(x),
*
f(x) , 其自相关就是自卷积
rff (0)>0 为实值
|rff (x)| < rff (0)
证明: 利用施瓦兹不等式
（阅读：吕乃光《傅里叶光学》 P14-15）
作业
1-13. 证明实函数f(x，y)的自相关是实的偶函数，即：
*
-a
=
？
若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式 利用卷积的线性性质 利用d函数的卷积性质 利用卷积的平移性质
练习 1-12
若f(x) * h(x) = g(x), 证明 (1) f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) (2) h(x) * f(x) = g(x)
§1-3 卷积 convolution
五、包含脉冲函数的卷积 根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f ( x) d ( x) f ( )d ( x )d f ( x)
即任意函数与d(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
写成两部分对称exp( j 2p fx)dx
g ( x) G( f ) exp( j 2p fx)df
这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
(3)
x x x f h b g b b b
§1-4 相关 correlation
信息处理中的重要运算
一、互相关 cross correlation
考虑两个复函数f(x)与g(x), 定义：
rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * ( ) g ( x )d (1)
展开系数Cn 频率为n/t的分量
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2p n x)dx exp( j 2p n x) t t t 2 n t
t
2
t
0
g ( x) cos( 2pnf 0 x)dx bn
t
2
t
0
g ( x) sin( 2pnf 0 x)dx
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
三角傅里叶展开的例子
周期为t =1的方波函数
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
1 2
f ( x)
2
一、互相关 cross correlation(续) 与卷积的关系
由(2)式易见：
rfg ( x) f * ( x) g ( )]d g ( x) f * ( x)
(3)
1. 当且仅当f*(-x)=f(x) [f(x)是厄米的], 相关才和卷积相同. 一 般情况下,相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭 运算时f(x) 不需折叠 2. 互相关不满足交换律 rfg(x)=f(x) ★g(x) ≠ g(x) ★ f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭. 由(3)式直接推论得:
rfg(x)= rgf*(-x)
(4)
§1-4 相关 correlation
二、自相关 auto-correlation
当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为
rff ( x) f ( x)★f ( x) f ( ) f * ( x)d
或:
rff ( x) f ( x)★f ( x) f ( ' x) f * ( ' )d '
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c
n
exp( j 2pnf0 x), (n 0,1,2... ),
f0
1
t
展开系数
cn
t
1
t
0
g ( x) exp( j 2pnf 0 x)dx
p
cos( 2p x )
2 cos( 6p x) 3p
前3项的和
1/2
an
2/p 频谱图
1 2 2 cos( 2px) cos( 6px) ...... 2 p 3p
…
fn
0
1
3
-2/3p
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 f(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数
y
l
x
d
练习: 1-10 (透过率 = 输出/输入)
y
l
yy x
=
l
x
d
*
x
d
0
t ( x, y)
=
x2 y2 circ l/2
*
[d (x+d/2) + d (x-d/2 ) ]
p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1
为函数f(x)与g(x)的互相关函数. 作变量替换x+ = ’, 则
rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * ( ' x) g ( ' )d ' (2)
(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.
互相关是两个函数间存在相似性的量度.
§1-4 相关 correlation
n
C
t 2 2
n
exp( j 2p n x)
1
t
n级谐波频率:n/t
t t
g ( x) exp( j 2p n x)dx
1
相邻频率间隔: 1/t
t
1 1 1 t 2 g ( x) t g ( x) exp( j 2p n x)dx exp( j 2p n x) t t 2 n t
由(4)式立即可得:
rff(x)= rff*(-x)
复函数的自相关函数是厄米函数(实 部为偶函数,虚部为奇函数) 实函数的自相关为实偶函数
§1-4 相关 correlation
二、自相关 auto-correlation 重要性质
由(3)式:
rff ( x) f ( ) f *[( x )]d f ( x) f * ( x)
a b a
=
a
*
b
练习
0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的 透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为 N. 0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆 孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位 相板，透过率怎样变化？
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:
g ( x) Cn 1
g ( x) df g ( x) exp( j 2p fx)dx exp( j 2p fx)
展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn
由于t ∞ 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和 积分
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 三角傅里叶级数:
a0 g ( x) (an cos 2pnf0 x bn sin 2pnf0 x), 2 n1
(n 0, 1, 2... ),
f0
1
t
展开系数
a0
t
2
t
0
g ( x)dx
an
rff(x，y) = rff(-x，-y)
1-14. 已知函数
f(x) = rect (x+2) + rect (x-2)
求函数f(x) 的自相关，并画出图形。
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数
若右边园孔上加p 位相板, 则 t ( x, y)
=
x2 y2 circ l/2
*
[d (x+d/2 - d (x-d/2)]
利用卷积性质求卷积的例子
A
-a f ( x) 0 a x
练习0-11 ：用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x)
k
h(x) 0 a x
若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x)
对于非零复函数f(x),
*
f(x) , 其自相关就是自卷积
rff (0)>0 为实值
|rff (x)| < rff (0)
证明: 利用施瓦兹不等式
（阅读：吕乃光《傅里叶光学》 P14-15）
作业
1-13. 证明实函数f(x，y)的自相关是实的偶函数，即：
*
-a
=
？
若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式 利用卷积的线性性质 利用d函数的卷积性质 利用卷积的平移性质
练习 1-12
若f(x) * h(x) = g(x), 证明 (1) f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) (2) h(x) * f(x) = g(x)
§1-3 卷积 convolution
五、包含脉冲函数的卷积 根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f ( x) d ( x) f ( )d ( x )d f ( x)
即任意函数与d(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
写成两部分对称exp( j 2p fx)dx
g ( x) G( f ) exp( j 2p fx)df
这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
(3)
x x x f h b g b b b
§1-4 相关 correlation
信息处理中的重要运算
一、互相关 cross correlation
考虑两个复函数f(x)与g(x), 定义：
rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * ( ) g ( x )d (1)
展开系数Cn 频率为n/t的分量
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2p n x)dx exp( j 2p n x) t t t 2 n t
t
2
t
0
g ( x) cos( 2pnf 0 x)dx bn
t
2
t
0
g ( x) sin( 2pnf 0 x)dx
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
三角傅里叶展开的例子
周期为t =1的方波函数
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
1 2
f ( x)
2
一、互相关 cross correlation(续) 与卷积的关系
由(2)式易见：
rfg ( x) f * ( x) g ( )]d g ( x) f * ( x)
(3)
1. 当且仅当f*(-x)=f(x) [f(x)是厄米的], 相关才和卷积相同. 一 般情况下,相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭 运算时f(x) 不需折叠 2. 互相关不满足交换律 rfg(x)=f(x) ★g(x) ≠ g(x) ★ f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭. 由(3)式直接推论得:
rfg(x)= rgf*(-x)
(4)
§1-4 相关 correlation
二、自相关 auto-correlation
当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为
rff ( x) f ( x)★f ( x) f ( ) f * ( x)d
或:
rff ( x) f ( x)★f ( x) f ( ' x) f * ( ' )d '
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c
n
exp( j 2pnf0 x), (n 0,1,2... ),
f0
1
t
展开系数
cn
t
1
t
0
g ( x) exp( j 2pnf 0 x)dx
p
cos( 2p x )
2 cos( 6p x) 3p
前3项的和
1/2
an
2/p 频谱图
1 2 2 cos( 2px) cos( 6px) ...... 2 p 3p
…
fn
0
1
3
-2/3p
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 f(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数
y
l
x
d
练习: 1-10 (透过率 = 输出/输入)
y
l
yy x
=
l
x
d
*
x
d
0
t ( x, y)
=
x2 y2 circ l/2
*
[d (x+d/2) + d (x-d/2 ) ]
p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1
为函数f(x)与g(x)的互相关函数. 作变量替换x+ = ’, 则
rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * ( ' x) g ( ' )d ' (2)
(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.
互相关是两个函数间存在相似性的量度.
§1-4 相关 correlation
n
C
t 2 2
n
exp( j 2p n x)
1
t
n级谐波频率:n/t
t t
g ( x) exp( j 2p n x)dx
1
相邻频率间隔: 1/t
t
1 1 1 t 2 g ( x) t g ( x) exp( j 2p n x)dx exp( j 2p n x) t t 2 n t
由(4)式立即可得:
rff(x)= rff*(-x)
复函数的自相关函数是厄米函数(实 部为偶函数,虚部为奇函数) 实函数的自相关为实偶函数
§1-4 相关 correlation
二、自相关 auto-correlation 重要性质
由(3)式:
rff ( x) f ( ) f *[( x )]d f ( x) f * ( x)