选修2-1 命题与四种命题

第六讲：常用逻辑用语题型一：判断命题的真假【例1】 判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】 判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】 判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交；⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直；⑶每一个周期函数都有最小正周期；⑷两个无理数的乘积一定是无理数；⑸若A B Ú，则A B B ≠ ；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根．⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+；⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【例4】 已知三个不等式：000，，c d ab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例5】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【例6】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥．其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例7】 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号） 题型二：四种命题之间的关系【例8】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例9】 写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例10】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”；⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”；⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例11】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”；⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”；⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”；⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．题型三：判断充分，必要条件【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【例2】 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例3】 “函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例4】 已知命题p ：40k -<<；命题q ：函数21y kx kx =--的值恒为负．则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【例5】 “12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【例6】 甲：A B ，是互斥事件；乙：A B ，是对立事件，那么下列说法正确的是（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件【例7】 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空．⑴若a b ∈R ，，则0ab ≠是0a ≠的______条件；⑵若a b ∈R ，，则220a b +≠是0a ≠的________条件；⑶若A B ，均是非空集合，则A B φ≠ 是A B ⊆的___________条件；⑷已知a b ，均为非零向量，则0a b ⋅> 是a 与b 的夹角为锐角的__________条件； ⑸已知αβ，是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，则a 与b 没有公共点是αβ∥的__________条件；⑹不等式|1||2|x x m -++>的解集为R 是(52)()log m f x x -=为减函数的_________条件；⑺在ABC ∆中，“0AB AC ⋅>”是“ABC ∆为锐角三角形”的__________条件； ⑻“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间[2)+∞，上为增函数”的_________条件；⑼若集合2{1}A m =，，{24}B =，，则“2m =”是“{4}A B = ”的__________条件；⑽等比数列{}n a 中，“13a a <”是“57a a <”的__________条件； ⑾11||22k ->是“函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ”的___________条件； ⑿“ππ42α<<”是“tan ()log f x x α=在(0)+∞，内是增函数”的___________条 件； ⒀若a b c ∈R ，，，则“0a >且240b ac -<”是“对任意x ∈R ，有20a x b x c ++>”的________条件；⒁“3m =”是“直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直”的_________条件；⒂“b =a b c ，，三个数成等比数列”的__________条件； ⒃两个向量相等是这两个向量共线的__________条件；⒄设函数2()|log |f x x =，则“01m <<”是“()f x 在区间(21)(0)m m m +>，上不是单调函数”的__________ 条件；题型四：充分，必要条件的求解【例8】 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥C ．a α⊂，b β⊥，αβ∥D ．a α⊂，b β∥，αβ⊥【例9】 设a b ，表示直线，αβ，表示平面，则αβ∥的充分条件是（ ）A ．a b a b αβ⊥⊥∥，，B ．a b a b αβ⊂⊂，，∥C ．a b a b αββα⊂⊂，，∥，∥D ．a b a b βα⊥⊥⊥，，【例10】 给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >．其中可以作为“若a b ∈R ，，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 ． 【例11】 设集合2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（ ）A ．1123m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，B ．0m ≠C ．11023m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，D ．103m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，【例12】 若不等式1x m -<成立的充分不必要条件是23x <<，则实数m 的取值范围是________；【例13】 集合1|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{|}B x x b a =-<，若“1a =”是“A B ≠∅ ”的充分条件，则b 的取值范围可以是（ ）A ．20≤b -<B ．02≤b <C ．31b -<<-D ．12≤b -<【例14】 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．:p a c b d +>+， :q a b >且c d >B ．:11p a b >>，():x q f x a b =-（0a >，且1a ≠）的图像不过第二象限 C ．:1p x =，2:q x x = D ．:1p a >， ():log =a q f x x （0>a ，且1≠a ）在()0+∞，上为增函数 【例15】 1x y>的一个充分不必要条件是（ ） 【例16】 直线1y kx =+的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（ ）A ．0k <B ．1k <-C ．1k <D ．2k >- 题型五：充要条件【例17】 已知，a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例18】 在ABC ∆中，条件甲：A B <，条件乙：22cos cos A B >，则甲是乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【例19】 对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必要条件．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：逻辑连接词【例12】 写出下列命题的“p ⌝”命题：（1）正方形的四边相等；（2）平方和为0的两个实数都为0；（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的任何一个内角是锐角；（4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一个为0；（5）若(1)(2)0x x --≠，则1x ≠且2x ≠.【例13】 把下列各组命题，分别用逻辑联结词“且”“或”“非”联结成新命题，并判断其真假．【例14】 ⑴p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．⑵p ：1是方程2430x x -+=的解；q ：3是方程2430x x -+=的解． ⑶p ：不等式2210x x -+>解集为R ；q ：不等式2221x x -+≤解集为∅． ⑷p ：{0}∅Ü；q ：0∈∅．【例15】 “220a b +≠”的含义为__________；“0ab ≠”的含义为__________．A ．a b ，不全为0B ．a b ，全不为0C ．a b ，至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0【例16】 命题“关于x 的方程(0)ax b a =≠的解是唯一的”的结论的否定是（ ）A ．无解B ．两解C ．至少两解D ．无解或至少两解【例17】 若条件:P x A B ∈ ，则P ⌝是（ ）A ．x A ∈且xB ∉ B ．x A ∉或x B ∉C ．x A ∉且x B ∉D ．x A B ∈【例18】 命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a <或3a ≥B ．0a ≤或3a ≥C ．0a <或3a >D ．03a <<【例19】 命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（ ）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 和命题“非q ”的真值不同D ．命题p 和命题q 的真值不同【例20】 由下列各组命题构成“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ⌝”为真的是（ ）A ．p ：0=∅，q ：0∈∅B ．p ：等腰三角形一定是锐角三角形，q ：正三角形都相似C ．p ：{}{}a a b ，躿，q ：{}a a b ∈，D ．p ：53>，q ：12是质数【例21】 在下列结论中，正确的是（ ）①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件②“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【例22】 若命题“p 且q ”为假，且“p ⌝”为假，则 （）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假【例23】 已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定 （ ）A.p 为真命题B.q 为假命题C.,p q 中至少有一个是假命题D.,p q 都是假命题【例24】 下列判断正确的是 （ ）A.22x y x y ≠⇔≠或x y ≠-B.命题“a 、b 都是偶数，则a b +是偶数” 的逆否命题是“若a b +不是偶数，则a 、b 都不是偶数”C.若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D.已知,,a b c 是实数，关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是空集，必有0a >且0∆≤【例25】 在下边的横线上填上真命题或假命题．⑴若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，那么p q ∧是______；p q ⌝∧是_____；⑵若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，那么p q ∧是______；p q ∨是_______；p ⌝是_______．【例26】 ⑴p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的 条件；⑵p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的 条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．【例27】 如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的________________条件；②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件.【例28】 命题:0p 不是自然数；命题q 是无理数，则在命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”中，真命题是 ；假命题是 .【例29】 甲、乙两人参加一次竞赛，设命题p 是“甲获奖”，命题q 是“乙获奖”，试用p q，及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示：⑴两人都获奖； ⑵两人都未获奖；⑶恰有一人获奖； ⑷至少有一人获奖．【例30】 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④是p s ⌝⌝的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤【例31】 命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根.若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围.题型七：全称量词与存在量词【例32】 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题．⑴平面四边形都存在外接圆；⑵有些直线没有斜率；⑶三角形的内角和等于π；⑷有一些向量方向不定；⑸所有的有理数都是整数；⑹实数的平方是非负的．【例33】用量词符号“∀∃，”表示下列命题，并判断下列命题的真假．⑴任意实数x都有，2210++>；x x⑵存在实数x，2210x x++<；⑶存在一对实数a b，，使20a b+<成立；⑷有理数x的平方仍为有理数；⑸实数的平方大于0．⑹有一个实数乘以任意一个实数都等于0．【例34】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．⑴21x+是整数（x∈R）；⑵对所有的实数x，3x>；⑶对任意一个整数x，2x+为奇数；21⑷末位是0的整数，可以被2整除；⑸角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；⑹正四面体中两侧面的夹角相等；⑺有的实数是无限不循环小数；⑻有些三角形不是等腰三角形；【例35】已知命题p：对任意的x∈R，有sin1⌝是（）x≤，则pA．存在x∈R，有sin1x≥x≥B．对任意的x∈R，有sin1 C．存在x∈R，有sin1x>x>D．对任意的x∈R，有sin1【例36】结论“至少有两个解”的否定的正确说法是（）A．至少有三个解B．至多有一个解C．至多有两个解D．只有一个解【例37】命题p：存在实数m，使方程210++=有实数根，x mx命题q：对任意实数m，方程210++=有实数根，x mx则“非p”和“非q”的形式的命题分别是①存在实数m，使得方程210++=无实根x mx②不存在实数m，使得方程210x mx++=无实根③对任意的实数m，方程210++=无实根x mx④至多有一个实数m，使得方程210++=有实根x mx。