信号与系统课件

L
2mπ
τ
1 2 3 Q ω = 2π f ∴ f = f 0 = , , ...
f (t ) = f (t + T )，半周重叠（偶谐函数） 无奇次谐波，只有直流 和偶次谐波 2
T 半周镜像（ − f (t ) = f (t + )，半周镜像（奇谐函数） 无偶次谐波，只有奇次 谐波分量 2
六、傅里叶有限级数
• • • • 如果完全逼近， 如果完全逼近，则 n=∞ ; 实际中， 是有限整数。 实际中，n=N, N是有限整数。 是有限整数 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 愈接近 若用2N＋ 项逼近 项逼近， 若用 ＋1项逼近，则
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 意义： 1.从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦 从信号分析的角度， 从信号分析的角度 分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供 了途径。
2. 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响 从系统分析角度，
应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同 时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后， 是衰减还是增强一目了然。
∑
∞
n =1
c n cos( n ω 1 t + ϕ n )
jn ω 1 t
n = −∞
∑
∞
Fn e
cn = 2 Fn
2 = T
∫
T
f (t )e
− jn ω 1 t
dt
周期信号频谱的数学表达式
周期信号的特点： 二.周期信号的特点： 周期信号的特点 离散性 谐波性 收敛性
三.Dirichlet condition 1.在一个周期内 若有间断点存在 间断点的数目应 在一个周期内,若有间断点存在 间断点的数目应 在一个周期内 若有间断点存在,间断点 是有限个.(若 连续 连续*收敛于 是有限个 若t连续 收敛于 f(t)) 2.极大值和极小值数目是有限个 极大值和极小值数目是有限个. 极大值和极小值数目是有限个
找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点） 1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
2 Eτ 包络线方程为 cn = T
sin
ωτ
2
ωτ
2
sin
ωτ
2 =0
与横轴的交点由下式决定： 与横轴的交点由下式决定： 即：
ωτ
2
ωτ
2
= π ,2π ,3π L
2π 4π 6π
ω = ω0 =
τ τ τ
p92.(3-12式,见下面说明 式 见下面说明 见下面说明)
指数形式的傅里叶级数的系数 F(nω1) = Fn
1 Fn = T1
∫
t 0 + T1
t0
f (t ) e
− jn ω 1 t
dt
两种傅氏级数的系数间的关系 F0 = c0 = d 0 = a0
1 Fn = Fn e = (an − jbn ) 2 1 − jϕ n F−n = F−n e = (an + jbn ) 2
奇谐 偶谐
例如:周期三角函数是偶函数 例如 周期三角函数是偶函数
f(t) E
t
-T1/2 T1/2
1 1 E 4E f (t ) = + 2 (cosω1t + cos3ω1t + cos5ω1t + .....) 2 π 9 25
例如周期锯齿波是奇函数
f(t) E/2 0 T1/2 -E/2 T1/2 t
频域分析：傅立叶变换 复频域分析：拉氏变换 Z域分析：Z变换 三角函数式的傅立叶级数 复指数函数式的傅立叶级数
{cos nω1 t , sin nω1t } jnω t {e }
1
周期信号傅立叶级数 §3.2周期信号傅立叶级数分析 周期信号傅立叶级数分析
级数的定义 三角形式) 一. Fourier级数的定义(三角形式 级数的定 三角形式
∫
f ( t ) cos ω 1 t . dt
b1
∫
T1 2 0
f ( t ) sin ω 1 t . dt
a2 = 0 , b2 = 0
a n − jbn Fn = 2
周期偶函数只含直流和 an cos nω1t
f (t ) = a 0 +
• 其中 是实数 其中a是实数
an 4 = T1
∑
∫
∞
n =1
T 2
3 .
−
∫
f
T 2
( t )
dt
〈∞
注意:条件(3) 为充分条件但不是必要条件: 条件(1),(2)是必要条件但不是充分条件
四、周期信号的功率特性
• P为周期信号的平均功率 为周期信号的平均功率
1 t0 +T1 2 P = f (t ) = ∫ f (t )dt T1 t0
2
• 符合帕斯瓦尔定理
P =
n = −∞
∑
∞
Fn
2
(见 P 93 , 3 − 13 式 )
五、对称信号的傅里叶级数
三种对称： 三种对称： • 偶函数 ：f (t )=f (-t) (全波对称） 全波对称） 全波对称 • 奇函数 ：f (t )= - f (-t) nT 1 • 奇谐函数 ：半周期对称 f ( t ) = − f ( t ± ) 2 • 任意周期函数有： 任意周期函数有：
f (t) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t)
n= 1 ∞
1 a0 = ∫ f (t)dt (直 分 ) 流 量 T T 2 2π an = ∫ f (t) cos nω1tdt.......(ω1 = ) T T T 1
2 bn = ∫ f (t) sin nω tdt 1 T T
nω1τ ∞ sin Eτ 2 e jnω1t f (t ) = ∑ nω1τ T n = −∞ 2
2.画频谱图 2.画频谱图
的表达式可知， 由复振幅 cn 的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所
sin x 的形式----称为抽样函数。 ----称为抽样函数 的形式----称为抽样函数。 构成的包络是 x
T1 f (t ) = − f (t ± ) 2
nT1 nT 1 f (t + ) = f (t ± ) 2 2
的波形： 奇谐函数 的波形：
f (t )
T1/2 -T1/2 0 t
奇谐函数的傅氏级数
奇谐函数的偶次谐波的系数为0 奇谐函数的偶次谐波的系数为
a1 4 = T1 4 = T1
T1 2 0
2 N 2 2 0
§ 3.3典型周期信号的傅里叶级数
•周期矩形脉冲信号 周期矩形脉冲信号 •周期锯齿脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 •周期三角脉冲信号 周期三角脉冲信号 •周期半波余弦信号 周期半波余弦信号 •周期全波余弦信号 周期全波余弦信号 我们重点讨论周期矩形脉冲信号的频谱， 我们重点讨论周期矩形脉冲信号的频谱，由 此得出的某些结论，适用于所有的周期信号。 此得出的某些结论，适用于所有的周期信号。
第三章 傅立叶变换法 §3.1引言 引言 1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的频谱 利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的频谱 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱 3.理解信号的时域与频域间的关系。 理解信号的时域与频域间的关系。 理解信号的时域与频域间的关系 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 用傅立叶变换的性质进行正逆变换 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
傅里叶生平
• 1768年生于法国 年生于法国 • 1807年提出“任何周 年提出“ 年提出 期信号都可用正弦函 数级数表示” 数级数表示” • 1829年狄里赫利第一 年狄里赫利第一 个给出收敛条件
傅立叶的两个最主要的贡献—— 傅立叶的两个最主要的贡献
• “周期信号都可表示为成谐波关系的 周期信号都可表示为成谐波关系的 正弦信号的加权和” 正弦信号的加权和”——傅里叶的 傅里叶的 第一个主要论点 • “非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点 傅里叶的第二个主要 =
4 bn = T1
∑
∞
b
n =1
n
sin
n ω 1t
∫
T1 2 0
f ( t ). sin n ω 1 t . dt
a0 = 0
an = 0
2
bn Fn为虚数 F = F n −n = − j
奇谐函数 ：
沿时间轴移半个周期； 沿时间轴移半个周期； 反转； 反转； 波形不变； 波形不变； 半周期对称
S N (t ) = a 0 + ∑ ( a n cos ω 1t + bn sin ω 1t )
n =1
N
误差函数和均方误差
• 误差函数 • 均方误差
εN (t) = f (t) − SN (t)
1 2 2 E N = ε (t ) = f (t ) − [a + ∑ (an + bn )] 2
a n cos n ω 1 t
T1 2
t0 + t0
f ( t ) cos n ω 1 t . dt
• bn=0 • Fn是实数
f (t ) =
n = −∞
∑ F ( nω ) e
1
∞
jnω1t
an F =Fn = n − 2
周期信号的对称性与傅立叶系数的关系。 周期信号的对称性与傅立叶系数的关系。
f1 (t ) = a 0 + ∑ (a n cos n ω 1t + bn sin n ω 1t )