平新乔微观经济学十八讲01

第一讲 偏好、效用……
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles clcsedr2004@
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
1 根据下面的描述，画出消费者地无差异曲线．对于 1.2 和 1.3 题，些出效用函数．
1.1 王力喜欢喝汽水 x ，但是厌恶吃冰棍 y
包括边际效用递减．（“良好性状”语出范里安《现代观点》第三章．）
ii 我认为该小问需要补充α1 + α 2 = 1 才能得证，否则只能证明偏好关系的趋近关系．在解 答中可以看出来，如果α1 + α 2 ≠ 1 ，题目中的效用函数的极限不存在．考研咨询版上网友
的回答是平老师从原题上漏掉的．
8
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
u ( x1 ,
x2 )
=
10( x12
+
2 x1 x2
+
x
2 2
)
−
50
来描述，那么对此消费者而言，商品 1 和商品 2 是完全替代的． 答：此说法正确．
令 t(x1, x2 ) =
u + 50 ，由单调变换的定义知，t 与 u 是同一个偏好的效用函数．且 10
t(x1, x2 ) = x1 + x2 ，即 t 所描述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．因此 u 所描
y − p2 x2 p1
当 x2
= 0 时， u 有最大值
y p1
．此时， x1 的消费量为
y p1
．
即，马歇尔需求函数为 x1 =
y p1
， x2
=
0
10 一个人的效用函数为 u(x1, x2 ) = Ax1α x12−α ，这里 0 < α < 1， A > 0 ．假定存在内点解，
请导出其马歇尔效用函数． 解：解线性规划
，β2
=1−
β1 ．则 u 的一个单调变换结果是
又：
1
t = (β1x1ρ + β 2 x2ρ ) ρ
( ) lim
ρ →0
t ( x1 ,
x2
)
=
lim
ρ →0
e
1 ρ
ln
β1x1ρ
+ β 2 x2 ρ
=e 1 lim ρ →0 ρ
ln ⎜⎝⎛
β1x1ρ
+ β 2 x2 ρ
⎟⎠⎞
= e lim ρ →0
2.2 如果 p1 = 1， p2 = 2 ， y = 10 ．请在图上找出该消费者的最优的消费组合．
2
第一讲 偏好、效用……
在图中，赭线是预算线．与之有公共点集的唯一最高无差异曲线是过点（10，0） 的那条无差异曲线（上图中为橙线）．消费者的最优的消费选择是（10，0）． 3 下列说法对吗？为什么？ 若某个消费者的偏好可以由效用函数
其拉格朗日函数为
max
x1 ,x2
Ax1α
x12−α
s.t. p1x1 + p2 x2 = y
L(λ; x1, x2 ) = Ax1α x12−α + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
使 L(⋅) 最大化的 x1 ， x2 ， λ 满足一阶条件：
∂L ∂x1
= αAx1α −1 x12−α
7
x2
=
(1 − α ) y p2
5 与 6 式即为 x1 与 x2 的马歇尔需求函数．
第一讲 偏好、效用……
（6）
i
更直观地，作 u(x1, x2 ) 的单调变换，令 t(x1, x2 ) = eu
=
x 0.5 1
x 0.5 1
，即为典型的柯布‒道格拉
斯函数形式，具有所有“良好性状的（well-behaved）偏好”的所有特征，当然这些特征中
5.1 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2
此时，函数 u 是线性的．
5.2
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
3
第一讲 偏好、效用……
证明：令 β1
=
α1 α1 + α2
可能的一个无差异曲线是这样：
y
x 0 1.2 李楠既喜欢喝汽水 x ，又喜欢吃冰棍 y ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异
的． 只要满足（0，2）和（3，0）在同一条无差异曲线上就符合题目要求．可能的一 个无差异曲线是这样：
y
2
x 0
3
1.3 萧峰有个习惯，它每喝一杯汽水 x 就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言是
8.4 对于任何 X 中的 x1 与 x 2 ，在下列关系中，只能居其一： x1 > x 2 ， x 2 > x1 ，或
x1 ≈ x2
说明：根据 8.3 的说明，x1 > x 2 与 x 2 > x1 不可能同时成立，那么，当 x1 > x 2 和
x 2 > x1 同时不成立的时候，必有 x1 ≥ x 2 且 x 2 ≥ x1 ，即 x1 ≈ x 2
p1c + p2 s = M
（**）
综合*与**式，可以得到， s = 2M ， c = M
p1 + 2 p2
p1 + 2 p 2
如果价格变成
p1′ 和 p2′ ，同样可以得到 s′ =
2M p1′ + 2 p2′
， c′ =
M p1′ + 2 p2′
．咖啡和糖的
消费比例不会发生变化．
5
第一讲 偏好、效用……
7 令 ≥ 为偏好关系，>为严格偏好关系， ≈ 为无差异关系．证明下列关系 7.1 ≥⊂≥
说明： 感觉能力不济；这道题只能说说自己的想法了。由于偏好的完备性，因此定义在 任何一个选择集上的偏好关系都是唯一的。又由于任何集合都是自己的子集，所
以 ≥⊂≥ 7.2 = ⊂≥
证明：
≈=≥ ∩ ≤⇒≈⊂≥ 7.3 ≈ ∪ >=≥
很明显，她的最优选择必然是
c= 1s 2
（*）
考虑 c ≠ 1 s ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了—— 2
还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 c = 1 s ． 2
她面临的约束条件为：
p1c + p2 s ≤ M
由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此 她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：
多多益善．
1
第一讲 偏好、效用……
yy
x
0
效用函数为 u
=
min{x,
y }
2
1.4 杨琳对于有无汽水 x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍．
y
x
0 效用函数为 u = y
2 作图：如果一个人的效用函数为：
u(x1, x2 ) = max{x1, x2}
2.1 请画出三条无差异曲线．
x2
x1
0
（10，0）
证明：
≈=≥ >=≥
∩ ≤⎫
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
7.4 ≈ ∩ >= ∅
证明：
≈=≥ >=≥
∩ ≤⎫
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
8 证明下列结论（或用具说服力的说理证明）
8.1 > 与 ≈ 都不具有完备性
说明：严格偏好关系真包含于偏好关系，而偏好关系是完备的，因此，严格偏好 关系不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表
示为（假设她的偏好满足单调性）：
u(c, s) = min{c, 1 s} 2
其中， c 代表咖啡的量，以杯为单位； s 表示糖的量，以汤匙为单位．
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
趋近于以下效用函数：
u(x1, x2 ) = min{x1, x2}
6 茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖．如果每汤匙糖的价格是 p1 ，每杯咖啡的价格
是 p2 ，她有 M 元可以花在咖啡和糖上，那么她将打算购买多少咖啡和糖？如果价格变
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
4Hale Waihona Puke 第一讲 偏好、效用……当 x1 = x2 时，有 t(x1, x2 ) ≡ x1 = x2 综上所述，当 ρ → −∞ 时，原效用函数描述的偏好关系趋近于
u(x1, x2 ) = min{x1, x2} 所描述的偏好关系．
如果α1 与α 2 满足α1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → −∞ 时，同时有效用函数
证明：令 β1
=
α1 α1 + α2
，β2
=1−
β1 ．则 u 的一个单调变换结果是
1