2011届高考数学第一轮精品复习课件2

课堂互动讲练
【思维总结】 本例与常规线性 规划不同，主要是目标函数不是直线 形式，此类问题常考虑目标函数的几 何意义，常见代数式的几何意义主要 有以下几点：
(1) x2＋y2表示点(x，y)与原点 (0,0)的距离； (x－a)2＋(y－b)2表示点(x， y) 与(a，b)的距离．
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互动探究 将例2中的目标函数z＝3x－y改 为z＝x＋2y＋2，求z的最值． 解：作出二元一次不等式组
x＋2y≤4 x－y≤1 x＋2≥0
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表示的平面区域， 如图． 由 z＝x＋2y＋2，得 y＝ 1 1 － x＋ z－1， 得到斜率为－ 2 2 1 1 ， y 轴上的截距为 z－1， 在 2 2 随 z 变化的一组平行线，
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【解】 由约束条件 x－4y＋3≤0， 3x＋5y－25≤0， x≥1，
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作出(x，y)的可行域如图所示． x＝1， 由 3x＋5y－25＝0， 22 解得 A(1， )． 5 x＝1， 由 解得 C(1,1)， x－4y＋3＝0，
x－4y＋3＝0， 由 3x＋5y－25＝0，
解得 B(5,2)．
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y y－0 (1)∵z＝ ＝ . x x－0 ∴z 的值即是可行域中的点与 原点 O 的连线的斜率． 2 观察图形可知 zmin＝kOB＝ . 5
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(2)z＝ x2＋y2的几何意义是可 行域上的点到原点 O 的距离． 结合 图形可知，可行域上的点到原点的 距离中， dmin ＝ |OC|＝ 2， dmax ＝ |OB|＝ 29. ∴ 2≤z≤ 29.
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例1 (2009年高考湖南卷改编)已知D是 由不等式组 x－y≥0 所确定的平面区域， x＋ 3y≥0 则圆 x2＋y2＝4 在区域 D 内的弧长为 ( ) 5π 5π A. B. 12 6 3π 3π C. D. 4 2
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【思路点拨】 出两直线的夹角． 作出可行域，求
【答案】
B
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【误区警示】 注意不等式中不 等号有无等号，无等号时直线画成虚 线，有等号时直线画成实线．若直线 不过原点，特殊点常选取原点．
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考点二
求线性目标函数的最值
1．求目标函数的最值，必须先 准确地作出线性可行域，再作出目标 函数对应的直线，据题意确定取得最 优解的点，进而求出目标函数的最 值．
三基能力强化
4．完成一项装修工程需要木工 和瓦工共同完成．请木工需付工资每 人50元，请瓦工需付工资每人40元， 现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y人，请工人的约束条件是 ________．
50x＋40y≤2000 * x∈N 答案： y∈N*
三基能力强化
5．(2009 年高考北京卷)若实数 x＋y－2≥0， x、 满足x≤4， y 则 s＝x＋y y≤5， 的最大值为________．
基础知识梳理
2．线性规划的有关概念
基础知识梳理
名称 约束条件 线性约束 条件 目标函数 线性目标 函数 可行解 可行域 最优解 线性规划 问题 意义 由变量x，y组成的 不等式组 .
由x，y的 一次 不等式(或方程)组成的不等式组 关于x，y的函数 解析式 ，如z＝2x＋3y 关于x，y的 一次 解析式
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由图可知，当直线经过可行域上的 A 1 点时，截距 z－1 最小，即 z 最小， 2 x－y＝1 解方程组 ，得 A(－2，－3)， x＋2＝0 ∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
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当直线与直线 x＋2y＝4 重合时， 1 截距 z－1 最大， 2 即z最大， ∴zmax＝x＋2y＋2＝4＋2＝6. ∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最 小值是－6.
y (2) 表 示点 (x， y)与 原点 (0,0) x 连线的斜率； y－b 表示点 (x， y)与 点 (a， b) x－a 连线的斜率． 这 些 代 数 式 的 几 何 意义 能 使 所求问题得以转化，往往是解决问 题的关键．
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考点四 线性规划的实际应用
在线性规划的实际问题中，主要 掌握两种类型，一是给定一定数量的 人力、物力资源，问怎样运用这些资 源能使完成的任务量最大，收到的效 益最大；二是给定一项任务问怎样统 筹安排，能使完成的这项任务耗费的 人力、物力资源最小．
【解析】 如图阴影部分表示 x－y≥0， 确定的平面区域， x＋ 3y≥0
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所以劣弧 AB 的弧长即为所求． 3 ∵kOB＝－ ，kOA＝1， 3 π π ∴∠BOx＝ ，∠AOx＝ . 6 4 5 ∴∠BOA＝ π. 12 5π 5π ∴劣弧 AB 的长度为 2× ＝ . 12 6
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例4 (解题示范)(本题满分12分) 制订投资计划时，不仅要考虑可 能获得的盈利，而且要考虑可能出现 的亏损．某投资人打算投资甲、乙两 个项目，根据预测，甲、乙两个项目 可能的最大盈利率分别为100%和 50%，可能的最大亏损率分别为30%
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和10%.若投资人计划投资金额不超过 10万元，要求确保可能的资金亏损不 超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个 项目各投资多少万元，才能使可能的 盈利最大？ 【思路点拨】 设投资人对甲、 乙两个项目各投资x万元，y万元，由 题意列出变量x，y满足的条件，利用 线性规划的解题步骤逐步求解．
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【解】 设投资人分别用x万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知
x＋y≤10， 0.3x＋0.1y≤1.8， x≥0， y≥0.
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目标函数z＝x＋0.5y4分 上述不等式组表示的平面区域如 右图所示，阴影部分(含边界)即为可 行域.6分 将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋ 2z，这是斜率为－2，随z变化的一组 平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行 域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y 轴上的截距2z最大，z也最大.8分 M点是直线x＋y＝10与直线0.3x ＋0.1y＝1.8的交点．
满足线性约束条件的 解(x，y) . 所有可行解组成的 集合 . 使目标函数取得最大值或 最小值 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最 小值问题
基础知识梳理
可行解与最优解有何关系？最优 解是否唯一？ 【思考·提示】 最优解必定是 可行解，但可行解不一定是最优 解．最优解不一定唯一，有时唯一， 有时有多个．
第3课时 二元一次不等式 （组）与简单的线性规划问题
基础知识梳理
1．二元一次不等式表示的平面 区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋ By＋C>0在平面直角坐标系中表示直 线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有的点组 成的平面区域(半平面) 不含边界直 线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平 面区域(半平面)含有边界直线．
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考点三 求非线性目标函数的最值
此类问题首先应画出可行域，再 考虑目标函数的几何意义，使所求的 问题进行转化，从而求得目标函数的 最值．
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例3
x－4y＋3≤0， 变量 x，y 满足3x＋5y－25≤0， x≥1，
y (1)设 z＝ ，求 z 的最小值； x 2 2 (2)设 z＝ x ＋y ，求 z 的取值范围．
答案：9
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考点一 二元一次不等式（组）表示的平面区域
判断不等式表示的区域在直线的 哪一侧，只需在直线的某一侧取一个 特殊点(x0，y0)，由Ax＋By＋C的正负 即可判别，当C≠0时，常用原点来判 别．或者是根据B的符号和不等式的 符号来判别，若B的符号和不等式的 符号同号，则不等式表示的区域在直 线上方；若异号，则在直线的下方．
基础知识梳理
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一 侧的所有的点(x，y)，使得Ax＋By＋ C值的符号相同，也就是位于同一半 平面的点，其坐标适合Ax＋By＋ C>0；而位于另一半平面的点，其坐 标适合 Ax＋By＋C<0 .
基础知识梳理
(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某 一侧任取一点，一般取特殊点(x0， y0)，从Ax0＋By0＋C的 符号 来判断Ax ＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示 的区域．
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【名师点评】 正确做出可行域 后，将目标函数变为直线方程斜截式 的形式．首先注意该直线在y轴上的截 距与目标函数z取值大小的关系，再注 意该直线的斜率与可行域边界直线斜 率的关系，以方便地找出最优解，本 题中，将目标函数变形为y＝－2x＋ 2z，其斜率为－2，正好在点M处介于 两边界直线的斜率－1和－3之间．
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解：设公司在甲电视台和乙电视台做 广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益 为z元，由题意得
x＋y≤300， 500x＋200y≤90000， x≥0，y≥0.
目标函数为z＝3000x＋2000y. 4分
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二元一次不等式 组等价于 x＋y≤300， 5x＋2y≤900， x≥0，y≥0.
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2．最优解的确定方法 线性目标函数z＝ax＋by取最大值 时的最优解与b的正负有关，当b>0 时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行 域内向上方平移到端点(一般是两直线 交点)的位置得到的；当b<0时，则是 向下方平移．
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例2 已知关于 x、 的二元一次不等 y x＋2y≤4 式组x－y≤1 .求函数 u＝3x－y x＋2≥0
的最大值和最小值．
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【思路点拨】
作出可行域 → 作出直线3x－y＝0→ 找到最优解 → 求得最大值
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【解】
x＋2y≤4 (1)作出二元一次不等面区域，如图． 由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到 斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u 变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上 的C点时，截距－u最大，即u最小， x＋2y＝4 解方程组 ， C(－ 得 x＋2＝0 2,3)，