八年级下册数学直角三角形的性质导学案
八级直角三角形整章导学案教案共节(新湘教版)
长乐中学八年级数学导学训练案教课设计编制人：周浩雄审查人：日期：第1课时课题：直角三形的性质和判断（ 1）教课目的1. 使学生理解和掌握直角三角形的性质边和角； 2. 能应用直角三角形性质和判断解决简单的实质问题； 3. 经过研究，察看，猜想，实验，交流，推理等过程，提升数学思想、解决问题的能力和合作学习的精神；教课要点：直角三角形中线性质的推导及应用教课难点：定理的理解和运用、几何语言和逻辑的正确运用一、引自学内容：教材 P2-3二．探一）回首：三角形的内角和；二） . 合作沟通：1.研究一：直角三角形的两个锐角有什么特别的关系。
2．直角三角形的判断：假如直角三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。
3.研究二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
上述定理用几何语言表示。
三）．练习1、教材练习三．结师生小结直角三角形的判断及性质四 .用1、若直角三角形的两个锐角之差是22°，则较小内角的度数是°。
2.如下图，已知 AB ⊥ BD ，AC ⊥ CD ，∠ A=35 °，则∠ D 的度数为（）A 、 35°B 、65°C、55°D、 45°3.如下图， Rt△ ABC 中，∠ BCA=90 °， CD ⊥ AB 于 D，E 是 AC 中点，以下结论必定正确的选项是（）A、∠ 4=∠5B、∠ 1=∠2C、∠ 3=∠4D、∠ B=∠24、如图，在△ ABC 中，∠ B= ∠C，D ， E 分别是ＢＣ，ＡＣ中点，ＡＢ＝８，求ＤＥ的长。
Ａ５、如图， AB ∥CD ，∠ A 和∠ C 的均分线订交于H 点， AC=6(1)△ AHC 是直角三角形吗？为何？(2)求 GH 的长。
BAGHC D6、如图，在四边形 ABCD 中，∠ DAB= ∠BCD=90 °， M 为 BD 中点，Ｎ为ＡＣ中点，求证：ＭＮ⊥ＡＣ。
初中数学八年级《直角三角形性质探究》教学设计
直角三角形是初中数学中直角三角形的一种，直角三角形的最大特点就是其中一个角为90度（直角），其余两个角相加为90度。
直角三角形的性质和定理，是初中数学的基础知识之一、通过《直角三角形性质探究》教学设计，能够帮助学生更好地理解和应用直角三角形的性质和定理。
一、教学目标1.知识目标：可以理解和应用直角三角形的性质和定理掌握直角三角形的其中一个锐角的大小2.能力目标：能够通过边长关系判断直角三角形能够根据已知的边长和角度求解未知边长和角度能够运用直角三角形的概念解决实际问题3.情感目标：培养学生喜爱数学学科，养成良好的数学学习习惯培养学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力。
二、教学重难点1.教学重点：直角三角形的定义和性质直角三角形的应用2.教学难点：运用直角三角形的性质解决实际问题三、教学方法1.归纳法：从已知事例中归纳总结直角三角形的定义和性质。
2.演示法：通过教师讲解和拓展示范，引导学生理解和应用直角三角形的性质和定理。
3.探究法：设计探究性学习环节，引导学生自主发现和探索直角三角形的性质。
四、教学过程1.导入（约5分钟）通过出示一些生活中的图形（如梯形、长方形、直角三角形等），引发学生对直角三角形的兴趣，激发他们对直角三角形的思考。
2.引入（约10分钟）出示一个直角三角形ABC（其中∠B=90度），引导学生观察并进行讨论，引导学生总结出直角三角形的性质和定理。
3.探究性学习（约30分钟）将学生分组，每组给出不同的直角三角形，要求学生利用尺规作图仪器在教室内以及校园内找出一些直角三角形，并测量三边的长度和两个角的大小，通过观察和分析，让学生归纳总结直角三角形的性质。
4.拓展示范（约15分钟）教师通过解决实际问题的例子，帮助学生利用直角三角形的性质解决实际问题，如解决高楼的高度、角度的问题等。
5.练习与巩固（约15分钟）教师布置一些与直角三角形相关的习题，让学生进行练习和巩固，检测学生对直角三角形的理解和应用。
初中数学八下《直角三角形》教案 (3)
数学八年级下册《直角三角形教案》教案【课标要求】1．掌握直角三角形的判定、性质．2．能用面积法求直角三角形斜边上的高．3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题．4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系．5．能根据已知条件求锐角三角函数值．6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值．7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题．8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题．【课时分布】解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课时安排课时数内容1 直角三角形边角关系、锐角三角函数、简单的解直角三角形2 解直角三角形的应用2 解直角三角形单元测试及评析【知识回顾】1．知识脉络2．基础知识直角三角形的特征⑴直角三角形两个锐角互余；建模出数学图形，再添设辅助线求解解直角三角形解直角三角形直角三角形的边角关系实际应用已知一边一锐角解直角三角已知两边解直角三角形添辅助线解直角三角形直接构建直角三角形已知斜边一锐角解直角三角已知一直角边一锐角解直角三角已知两直角边解直角三角形已知斜边一直角边解直角三角形⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a 2+b 2=c 2； ⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2C ＝90°；⑹射影定理：AC 2=AD g AB ,BC 2=BD g AB ,CD 2=DA g DB ． 锐角三角函数的定义： 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c ,则sinA =a c ,cosA =b c ,tanA =a b ,cotA =ba1． 解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°）⑴三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA =A a c ∠的对边＝斜边,cosA = A bc ∠的邻边＝斜边．tanA =A a A b ∠∠的对边＝的邻边,cotA = A bA a∠∠的邻边＝的对边．⑷解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角． ②已知两边．③解直角三角形的应用． 2．能力要求例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的四个三角函数值．【分析】求∠BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD 是在Rt △BCD 中的一个内角，根据定义，仅一边BC 是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和CD ，二是把∠BCD 转化成∠A ，显然走第二条路较方便，因为在Rt △ABC 中，三边均可得出，利用三角函数定义即α sin α cos α tan α cot α30° 12 错误！未找到引用源。
八年级数学下册《直角三角形的性质和判定》教案、教学设计
-完成课本第47页的练习题6，结合勾股定理和逆定理，解决实际问题。
-设计一个直角三角形相关的数学小研究，可以是数学小论文、数学故事、数学游戏等，展示直角三角形在实际生活中的应用。
4.探索性问题：
-探索勾股定理的多种证明方法，了解数学史上的勾股定理证明过程。
-思考：直角三角形的性质和判定方法在解决其他类型几何问题中的应用。
2.强调勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用，提高学生的应用意识。
3.鼓励学生提出疑问，解答学生的疑问，帮助学生巩固所学知识。
4.总结学习方法，培养学生的自主学习能力，为后续学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本节课所学内容，确保学生对直角三角形的性质和判定方法有深入理解，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对直角三角形的性质和判定方法，设计不同难度的练习题，包括基础题、提高题和综合应用题。
2.练习过程：
a.学生独立完成练习题，教师巡回指导。
b.学生互相讨论，共同解决问题。
c.教师选取部分学生进行解答，及时给予反馈和指导。
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，引导学生总结直角三角形的性质和判定方法。
3.解决直角三角形相关问题的策略和方法。
（二）教学难点
1.勾股定理的推导和理解，以及在实际问题中的灵活运用。
2.逆定理的理解和应用，如何从给定的条件判断一个三角形是否为直角三角形。
3.学生在解决综合应用题时，往往难以将直角三角形的性质和判定方法与实际问题有效结合。
教学设想：
1.针对教学重点，采用以下策略：
-利用多媒体教学资源，如动画和实物模型，直观展示直角三角形的性质，帮助学生建立直观印象。
湘教版八年级数学下教案 直角三角形的性质和判定
教学目标
知识与技能：1.理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理
2.能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。
过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。
情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交流活动。
证明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定义)
∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC∠C=60°
∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°
∴
∵D为BC中点，
∴ ∴
∴ .
例3：已知：如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC.
求证：AB=BO.
分析：证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA
由已知中等腰直角三角形的性质，可知 。由此，建立起AE与AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.
证明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E
∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD
∴
∵BC=AC∴
∵DF=AE∴
∴∠ACB=30°
∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75°
∴∠OBA=30°
解：在Rt△ABC中
∵∠ACB=90∠A=30°∴
∵AB=8∴BC=4
∵D为AB中点，CD为中线
∴
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°
在Rt△ADE中， ，
∴
例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC（△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，
DE⊥AC于E.求证： .
分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.
八年级 勾股定理--直角三角形的判定导学案
八年级数学导学案学科：数学 主备人： 审核人_____ 班级____ 姓名____ 课题：勾股定理-----------直角三角形的判定一、自主学习（一）学习目标（重、难点）会用勾股定理判定一个三角形是否是直角三角形（二）自学指导我们都知道：一个直角三角形的两条直角边的平方的和等于斜边的平方。
反之，如果一个三角形的两条边的平方的和等于第三边的平方，那么，这样的三角形是直角三角形吗？如果是，又该怎样判定一个三角形是否是直角三角形？带着问题去预习吧！（三）合作探究1.判断由下列各组线段a 、b 、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.（1）a ＝6.5，b ＝7.5，c ＝4； （2）a ＝11，b ＝60，c ＝61；（3）a ＝38，b ＝2，c ＝310； （4）a ＝433，b ＝2，c ＝414；2. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9.(1)求DC 的长.(2)求AB 的长.(3)求证: △ABC 是直角三角形.二、学生展示C A BD三、学习检测（一）基础题1.如图，下列三角形中是直角三角形的是( )2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）.A ．12，15，17B ．9，16，25C ．5a ，12a ，13a （a>0）D ．2，3，43．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB ＝8，BC ＝15，CA ＝17，则下列结论不正确的是（ ）.A ．△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边B ．△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°C ．△ABC 的面积是60D ．△ABC 是直角三角形，且∠A ＝60°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ：b ：c ＝1：3：2，则下列说法错误的是（ ）.A ．∠C ＝90°B ．c 2－a 2＝b 2C ．c 2＝2a 2D ．若a ＝k ，则c ＝2k （k>0）5．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）.A ．∠A ＝∠B －∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2C ．a ：b ：c ＝4：5：6D ．a 2－c 2＝b 26．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ，16cm ，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为cm 2.（二）综合题在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c. a ＝n 2－16，b ＝8n ，c ＝n 2+16（n>4）.求证: ∠C=90°.（三）拓展题如图，AD=7，AB ＝25，BC ＝10，DC ＝26，DB ＝24，求四边形ABCD 的面积.四、小结反思D 5 12 13 C 5 6 7 B 7 5 8 A 6 3 5A B C D。
直角三角形全等的判定和角平分线的性质学案
DC B A八年级数学下册导学案课题：1.3直角三角形全等的判定学习目标：1、掌握直角三角形全等的判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
※学习重点理解，掌握直角三角形全等的条件：HL ． ※学习难点 直角三角形判定方法的说理过程.教材P19-P20一、 自主学习1、复习思考 (1)判定两个三角形全等的方法： 、 、 、(2)如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 (3)如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ， ①若∠A=∠D ，AB=DE ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法） ②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） ③若AB=DE ，BC=EF ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） ④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）二、探究新知如图，在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，AC=DF ，AB=DE, ∠C=∠F,这两个直角三角形全等吗？归纳：斜边、直角边定理：斜边和一直角边对应相等的两个 全等（可以简写成“ ”或“ ”）。
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、“ ”、“ ”、“ ”，还有直角三角形特殊的判定方法“ ”。
三、巩固练习 1、在下列条件中，不能说明Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′ (其中∠C=∠C ′=90°)全等的是（ ）A ．AC=A ′C ′,∠A=∠A ′ B. AC= A ′C ′, BC=B ′C ′ C.∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′ D. AC= A ′C ′, AB=A ′B ′2、已知，如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角， 求证：(1)△ABC ≌△ABD(2)BD=BC八年级数学下册导学案AB C DE F课题：1.4角平分线的性质学习目标：1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
八年级数学下册 1.2 直角三角形导学案1(新版)北师大版
八年级数学下册 1.2 直角三角形导学案1（新版）北师大版第二节直角三角形（一）学习目标1、1进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
2证明直角三角形的性质定理和判定定理3\结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立学习重难点重点：直角三角形性质定理和判定定理证明和应用难点：结合具体例子了解互逆命题的概念。
旧知识链接直角三角形的定义问题探究请同学们阅读教材14页～16的内容，并完成教材16页的随堂练习（1）预习交流（1）直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余（2）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形（3）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
已知：求证：证明：（4）勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
已知：求证：证明：（5）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
（6）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
模块二合作探究1、如图，BA⊥DA于A，AD =12，DC =9，CA =15，求证：BA∥DC。
2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a=__________。
3、已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=。
（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形、模块三形成提升1、填空：（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为。
（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形。
2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
1）初三（6）班有62位同学；2）等边对等角；3）对顶角相等；4）平行四边形的两组对边相等；5）正方形的四条边都相等；图53、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？：【课外作业】1、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。
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D
疏理 巩固
【课堂小结】 1、这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？ 2、在解决具体问题中你有哪些收获？
C
B
1、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是 AB 边上的中线，那么与 CE 相等的线 段有_________，与∠A 相等的角有________， 2、若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 3、在直角三角形中，斜边及其中线之和为 6 ，那么该三角形的斜边长为 ________． 4、 例题： 如图， 在△ABC 中， AD⊥BC， E、 F 分别是 AB、 AC 的中点， 且 DE=DF. 求证：AB=AC 活力 冲关
自学 自研
（1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？ 归纳：定理 1：
A
C
B
合作 探究
对 学
（ 1 ） 在 直 角 三 角 形 中 ， 有 一 个 锐 角 为 520 ， 那 么 另 一 个 锐 角 度 数 想一想 如果在练习（3）中添加 为 ；
∠A=45 的条件， 那么各个锐 角是多少度？各个线段之间 有什么等量关系？
A 想一想让学生通过等腰直角 三角形这个特殊的直角三角 形的斜边上中线与斜边的等 量关系的研究，转入到对任 意直角三角形斜边上的中线 与斜边的等量关系的思考。
D
C
B
证一证 群 学 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边 AB 的中线. 1 求证：CD= AB（论证过程参照书本） 2 归纳总结: 定理 2： 例 1：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直 角三角形。 1 已知：如图，CD 是△ABC 的 AB 边上的中线，且 CD= AB。 2 求证：△ABC 是直角三角形。 A
金竹山镇中心学校导学案
课题 课堂 流程
直角三角形的性质（一）
环 节
课型 具
新课 3.5.1 班级 体 内
姓名 容
时间 学法 指导
时 间
课堂实录 与反思
学习 目标 温故 知新
1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理. 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 三角形的分类？ 2、三角形的内角和定理是什么？ 3、直角三角形是一类特殊的三角形， 除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?
o
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ∠B= ；
，
（3）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边 AB 上的高，那么，与∠ B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与 ∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有
C
A
D
B
展示 质疑 点拨 提升
猜一猜 量一量 CD= ;AD= BD= ;AB= ; CD= AB 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？
E A
F
5、书本上 87 页的练习。
B D C