第七章 参数估计

第四节 样本容量的确定
• 影响样本容量的因素 • （一）总体的变异程度(总体方差)。 在其它条件相同 的情况下，有较大方差的总体，样本的容量应该大一 些，反之则应该小一些。 • （二）允许误差的大小。 允许误差指允许的抽样误差， ˆ 记为 。所以，在其他条件不变的情况下，如 果误差小，那么样本容量就要大一些；反之，则样本 容量可以小一些。 • （三）概率保证度1－α的大小 。概率保证度说明了估 计的可靠程度。所以，在其他条件不变的情况下，如 果要求较高的可靠度，就要增大样本容量；反之，可 以相应减少样本容量。
第七章 参数估计
• 第一节 点估计 • 第二节 区间估计
点估计
• 点估计也称定值估计，它是以抽样得到的样本 指标作为总体指标的估计量，并以样本指标的 实际值直接作为总体未知参数的估计值的一种 推断方法。
• 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最 大似然法、最小二乘法等。这里仅介绍最为简 单、直观又常用的矩估计法和最大似然估计法。
练习
• • • • • 某企业对某批电子元件进行检验，随机抽取100只， 测得平均耐用时间为1000小时，标准差为50小时，合 格率为94%，求： （1）以耐用时间的允许误差范围Δx＝10小时，估计 该批产品平均耐用时间的区间及其概率保证程度。 （2）以合格率估计的误差范围不超过2.45%，估计该 批产品合格率的区间及其概率保证程度。 （3）试以95%的概率保证程度，对该批产品的平均 耐用时间做出区间估计。 （4）试以95%的概率保证程度，对该批产品的合格 率做出区间估计。
• • • •
讲解例题 111页例7.8 112页例7.9 练习：133页第7题
• 一、两个总体均值之差的区间估计
• （二）两个总体均值之差的估计：匹配 样本 • 113页例7.10
• • • • •
二、两个总体比率之差的区间估计 114页例7.11 三、两个总体方差比的区间估计 115页பைடு நூலகம்7.12 练习：133页第8题
（一）矩估计法
• 在统计学中，矩是指以期望为基础而定义的数字特征， 一般分为原点矩和中心矩。 • 设X为随机变量，对任意正整数k，称E（Xk）为随机 变量X的k阶原点矩，记为： • mk＝E（Xk） • 当k＝1时， • m1＝E（X）＝μ • 可见一阶原点矩为随机变量X的数学期望。 • 我们把Ck＝E[X－E（X）]k称为以E（X）为中心的k 阶中心矩。 • 显然，当k＝2时， • C2＝E[X－E（X）]2＝可见二阶中心矩为随机变量X 的方差。
2
估计总体均值 时样本容量的 确定 不重复抽样
ˆ Nt 2 2 n 2 ˆ N x t 2 2
重复抽样 估计成数时样 本容量的确定 不重复抽样
t 2 pq n 2 p
Nt 2 pq n 2 N p t 2 pq
• 117页例7.13 • 例7.14
练习：确定样本容量
• 对某批木材进行检验，根据以往经验，木材长度的标 准差为0.4米，而合格率为90%。现采用重复抽样方式， 要求在95.45%的概率保证程度下，木材平均长度的极 限误差不超过0.08米，抽样合格率的极限误差不超过 5%，问必要的样本单位数应该是多少？
• 求（1）的计算步骤： • ①求样本指标：
x＝ 1000小时
x＝
n ＝ 50 100
＝50 （小时）
＝（小时） 5
• ②根据给定的Δx ＝10小时，计算总体平均数 的上、下限： • 下限 x x＝1000－10＝990 （小时） （小时） • 上限 x＋ ＝1000＋10＝1010 • ③根据t＝Δx/μx＝10/5＝2，查概率表得F （t）＝95.45% • 由以上计算结果，估计该批产品的平均耐用时 间在990～1010小时之间，有95.45%的概率 保证程度。
F (z) 95.45% x 0.8 0.4 2 2 z2 2 2 0.4 100(棵) n 2 样本平均数的单位数 x 0.082
p 90%
p 5%
样本成数的单位数
2 z 2 p(1 p) 2 0.90.1 144(棵) n 2 0.052 p
2 2
2
1 x＝ （ 1502 1453 1367 1650 1493 ＋ ＋ ＋ ）＝ 4 1502 1493 2＋（ － ） 1453 1493 2＋（ － ） 1367 1493 2＋（ － ） 1650 1493 2 － ） 2 （ S ＝ 4－1 ＝140687 . S＝118.61
2．最大似然法 设总体X的概率分布为 Px;
或 0
似然方程
估计量优劣的标准 1、无偏性 是指样本估计量的均值应等于被估计总体 参数的真值，即 E ( ) ˆ
P( X )
无偏
有偏
A
C

X
一、点估计
2、有效性 是指作为优良的估计量，除了满足无偏性外， 其方差应比较小。
P(X )
均值的抽样分布
B A
中位数的抽样分布

X
一、点估计
3、一致性 也称相合性，是指随着样本容量的增大，估计量 越来越接近被估计的总体参数
较大的样本容量
P(X )
B A
较小的样本容量

X
区间估计
• 区间估计的思想： • 区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体 参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均 误差推断总体指标的可能范围。 • 它包括两部分内容：一是这一可能范围的大小； 二是总体指标落在这个可能范围内的概率。 • 区间估计既说清估计结果的准确程度，又同时 表明这个估计结果的可靠程度，所以区间估计 是比较科学的，它是本节阐述的重点。
• 求（4）的计算步骤： • ①求样本指标： • p＝94% 2
p＝p（1－p）＝0.94 0.06＝0.0564
p（ －p） 1 p＝ ＝2.37％ n P＝t p＝1.96 2.37％＝0.046
• ②下限p－Δp＝94%－4.6%＝89.4% • 上限p＋Δp＝94%＋4.6%＝98.6%。 • 所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的合格率 在89.4%～98.6%之间。
• （四）抽样方法不同。
• 在相同的条件下，重复抽样需要更大的样本容量， 而不重复抽样的样本容量则可小一些。
•
单个总体样本容量的确定 在设计抽样时，先确定允许的误差范围和必要的概率保证程度，然
后根据历史资料或试点资料确定总体的标准差，最后来确定样本容 量。
重复抽样
ˆ n t 2 2 / x
• 练习 • 133页第11题
• 我们分别用样本平均数和样本修正方差 来估计总体数学期望和总体均方差，即 有： 1 n ˆ ˆ ＝（X 1，X 2， ，X n）＝ X i＝X n
i 1
ˆ ˆ ＝（X 1，X 2， X n）＝

i 1
n
2 （X i X）
n
例题
• 已知某种灯泡的寿命X～N（μ，），其 2 中，μ，都是未知的，今随机取得4只灯 泡，测得寿命（单位：小时）为1502， 1453，1367，1650，试估计μ和 。 • 解：因为μ是全体灯泡的平均寿命，为样 本的平均寿命，很自然地会想到用去估 计μ；同理用S去估计 。由于
确定样本容量应注意的问题
• 计算样本容量时，一般总体的方差与成数都是未知 的，可用有关资料替代：
– 一是用历史资料已有的方差与成数代替； – 二是在进行正式抽样调查前进行几次试验性调查，用试 验中方差的最大值代替总体方差； – 三是成数方差在完全缺乏资料的情况下，就用成数方差 的最大值0.25代替。
• • • •
两个总体样本容量的确定 118页例7.15 118页例7.16 练习：133页第10题
第五节 不同组织方式下的参 数估计与样本容量的确定
• • • • • • 简单随机抽样——例7.17、7.18 类型抽样——例7.19、7.20 等距抽样——例7.21 整群抽样——例7.22 多阶段抽样——例7.23 重点：不同抽样形式下样本均值、标准 差的计算
x
• 求（2）的计算步骤： • ①求样本指标： • p＝94%
2＝p（ －p）＝0.94 0.06＝0.0564 1 p
p（ －p） 0.0564 1 ＝ ＝2.38％ n 100 • ②根据给定的Δp＝2.45%，求总体合格率的上、下限：
p＝
• 下限 p p＝94％－2.45％＝91.55％ • 上限 p＋ p＝94％＋2.45％＝96.45％ • ③根据t＝Δp /μp＝2.45%/2.38%＝1.03，查概率表 得F（t）＝69.70% • 由以上计算结果，估计该批产品的合格率在91.55%～ 96.45%之间，有69.70%的概率保证程度。
f x; 其中
或概率密度为
是未知参数。
如何求极大似然估 计量呢？
求最大似然估计量的步骤为:
(1)对给定的总体X，写出似然函数
P( x ; )或 f ( x ; )
i i i 1 i 1
n
n
d ln L( x1 , x2 ,, xn ; ) 0 (2)列出似然方程 d
(3)求解上述方程，得关于 的解即为 的最大似然估计量。
5.1.2 点估计的常用方法
含多个参数
1 , 2 ,, m
令
1 , 2 ,, m
* * 1 , 2 ,, m * *
ln L 0 *
最大似然解
L *
• 解：求（3）的计算步骤： • ①求样本指标：
x＝ 1000小时
＝50 （小时）
x＝

n
＝
50 100
＝（小时） 5
• ②根据给定的F（t）＝95%，查概率表得t＝1.96。 • ③根据Δx＝t×μx＝1.96×5＝9.8，计算总体平均耐 用时间的上、下限： x x＝ 1000 9.8＝990.（小时） － 2 • 下限 x＋ x＝ 1000 9.8＝ ＋ 1009.（小时） 8 • 上限 • 所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的平均耐 用时间在990.2～1009.8小时之间。