1.9 二次函数的应用二(抛物线与几何图形问题)(课时测试)-2016届九年级数学二轮复习(解析版)

初中数学中考二轮复习第一章 专题整合第九节 二次函数的应用二（抛物线与几何图形问题）（测） 时间：30分钟，总分：100分 班级： 姓名：一、选择题（每小题5分，共30分）1．（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ）A ．60m 2B ．63m 2C ．64m 2D ．66m 2【答案】C ．【解析】试题分析：设BC =xm ，则AB =（16﹣x ）m ，矩形ABCD 面积为ym 2，根据题意得：(16)y x x =-=2(8)64x --+，当x =8m 时，y max =64m 2，则所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2．故选C ．考点：二次函数的应用；应用题；二次函数的最值；二次函数的最值．2．用长度为2l 的材料围成一个矩形场地，中间有2个隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．l 【答案】A ．【解析】设隔墙的长为x （0＜x ＜6），矩形面积为y ，y =242L x x -⋅=x （L ﹣2x ）=22x Lx -+=222()48L L x --+，∴当x =4L 时，y 最大．故选A ． 考点：二次函数的应用．3．如图，正方形ABCD 的边长为10，以正方形的顶点A 、B 、C 、D 为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x ，且0＜x ≤5，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ． 【解析】由题意得y =π2x ，属于二次函数，由自变量的取值为0＜x ≤5，有实际意义的函数在第一象限，故选D ．考点：二次函数的应用；多边形内角与外角；正方形的性质；扇形面积的计算；数形结合．4．一个长方形的周长是8cm ，一边长是xcm ，则这个长方形的面积y 与边长x 的函数关系用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 【解析】一个长方形的周长是8cm ，一边长是xcm ，则另一边的边长为（4﹣x ）cm ，长方形的面积y =x （4﹣x ）=24x x -+=2(2)4x --+，（0＜x ＜4），抛物线y =24x x -+的对称轴为x =2，开口向下，符合抛物线性质的图象只有A ．故选A ．考点：二次函数的应用；二次函数的图象；数形结合．5．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m ，则池底的最大面积是（ ）A ．600m 2B ．625m 2C ．650m 2D ．675m 2【答案】B ．【解析】设矩形的一边长为xm ，则其邻边为（50﹣x ）m ，若面积为S ，则：S =x （50﹣x ）=250x x -+=2(25)625x --+．∵﹣1＜0，∴S 有最大值．当x =25时，最大值为625．故选B ． 考点：二次函数的应用．6．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（ ）平方厘米．（不计重合部分）A ．253B ．288C ．206D ．245【答案】A ．【解析】建立如图（2）所示的平面直角坐标系，过切点K 作KH ⊥OD 于点H ．依题意知 K （x ，2）．易求开口向上抛物线的解析式：249y x =，所以2429x =，解得 x x =，∴OH =HG ，∴BC =BO +OH +HG +GC =3+3=6+S 矩形ABCD =AB •BC =4×（6+=24+厘米）．如图3，S 矩形A ′B ′C ′D ′=6BC =6×（6+）（平方厘米）．所以，2S 矩形ABCD +2S 矩形A ′B ′C ′D ′+2AB •AE =178+（平方厘米）． 2×（24+）+2×（36+）+2×4×6=168+≈253（平方厘米）．故选A ．考点：二次函数的应用．二、填空题（每小题5分，共30分）7．（2015莆田）用一根长为32cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm 2．【答案】64．【解析】试题分析：设矩形的一边长是xcm ，则邻边的长是（16﹣x ）cm ．则矩形的面积S =x （16﹣x ），即S =2216(8)64x x x -+=--+，∴S 有最大值是：64．故答案为：64．考点：二次函数的最值；最值问题．8．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x 厘米，面积为y 平方厘米，写出y 关于x 的函数解析式：．【答案】225y x x =-+．【解析】由题意得：矩形的另一边长=50÷2﹣x =25﹣x ，则y =x （25﹣x ），即225y x x =-+．故答案为：225y x x =-+．考点：由实际问题列二次函数关系式．9．有长24m 的篱笆，一面利用长为12m 的围墙围成如图所示中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃垂直于墙的一边长为xm ，面积为Sm 2．则S 与x 的函数关系式是 ，x 的取值范围为 ．【答案】S =（24﹣3x ）x ；4≤x ＜8．【解析】由题意得：S =（24﹣3x ）x ，∵围墙长12m ，∴24﹣3x ≤12，解得：x ≥4，∵3x ＜24，∴x ＜8，∴4≤x ＜8．故答案为：S =（24﹣3x ）x ；4≤x ＜8．考点：由实际问题列二次函数关系式．10．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD ，用篱笆围成的另外三边总长为24m ，设BC 的长为x m ，矩形的面积为y m 2，则y 与x 之间的函数表达式为 ．【答案】21122y x x =-+． 【解析】由题意得：y =12（24﹣x ）x ，即21122y x x =-+．故答案为：21122y x x =-+． 考点：由实际问题列二次函数关系式．11．如图，用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD 、AB 平行，则矩形框架ABCD 的最大面积为 m 2．【答案】4．【解析】∵AB 为x 米，则AD =1233x -=4﹣x ，S 长方形框架ABCD =AB ×AD =(4)x x -=2(2)4x --+，当x =2时，S 取得最大值=4；∴长方形框架ABCD 的面积S 最大为4m 2．故答案为：4．考点：二次函数的应用．12．小峰家要在一面长为38m 的墙的一侧修建4个同样大小的猪圈，并在如图所示的4处各留1.5m 宽的门，已知现有的材料共可修建长为42m 的墙体，则能修建的4个猪圈的最大面积为 ．【答案】144．【解析】设垂直于墙的长为x 米，则平行于墙的长为42﹣4（x ﹣1.5）=48﹣4x ，∵墙长为38米，∴48﹣4x ≤38，即x ≥2.5，∵总面积S =x （48﹣4x ）=2448x x -+=24(6)144x --+，∴当x =6米时，S 最大值=144（平方米），故答案为：144．考点：二次函数的应用；几何图形问题．三、解答题（共40分）13．（2015安徽省）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m 的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；（2）x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）23304y x x =-+（0＜x ＜40）；（2）当x =20时，y 有最大值，最大值为300平方米． 【解析】（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，∴AE =2BE ，设BE =a ，则AE =2a ，∴8280a x +=，∴1104a x =-+，12202a x =-+，∴11(20)(10)24y x x x x =-++-+ =23304x x -+，∵1104a x =-+＞0，∴x ＜40，则23304y x x =-+（0＜x ＜40）； （2）∵23304y x x =-+=23(20)3004x --+（0＜x ＜40），且二次项系数为34-＜0，∴当x =20时，y 有最大值，最大值为300平方米．考点：二次函数的应用；应用题；最值问题；二次函数的性质；综合题．14．（2015吉林省）如图①，半径为R ，圆心角为n °的扇形面积是2360n R S π=扇形，由弧长l =180n R π，得2360n R S π=扇形=12•180n R π•R =12lR ．通过观察，我们发现S 扇形=12lR 类似于S 三角形=12×底×高． 类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，AB 的长为1l ，CD 的长为2l ，线段AD 的长为h （即两个同心圆半径R 与r 的差）．类比S 梯形=12×（上底+下底）×高，用含1l ，2l ，h 的代数式表示S 扇环，并证明； （2）用一段长为40m 的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD 的长h 为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）S 扇环=121()2l l h +；（2）当h =10时，最大面积是100． 【解析】（1）S 扇环=121()2l l h +，证明如下： 设大扇形半径为R ，小扇形半径为r ，圆心角度数为n ，则1l =180n R π，2l =180n r π， 所以图中扇环的面积S =22360360n R n r ππ-=22()360n R r π-=()()360n R r R r π-+=()360n h R r π+=1()2180180n R n r h ππ⋅+=121()2l l h +，故猜想正确；（2）根据题意得：12l l +=40﹣2h ，则S 扇环=121()2l l h +=1(402)2h h -=220h h -+=2(10)100h --+，∵﹣1＜0，∴开口向下，有最大值，当h =10时，最大值是100，即线段AD 的长h 为10m 时，花园的面积最大，最大面积是100m 2．考点：圆的综合题；压轴题；最值问题；二次函数的最值；阅读型．15．（2015三明）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A （1，﹣1）的抛物线经过点B （5，3），且与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O 到直线AB 的距离；（3）点M 在第二象限内的抛物线上，点N 在x 轴上，且∠MND =∠OAB ，当△DMN 与△OAB 相似时，请你直接写出点M 的坐标．【答案】（1）21(1)14y x =--；（2；（3）M （﹣2，54），（﹣17，80）． 【解析】（1）设抛物线的解析式为2(1)1y a x =--，将B 点坐标代入函数解析式，得：2(51)13a --=，解得14a =．故抛物线的解析式为21(1)14y x =--； （2）由勾股定理，得2OA =2211+=2，2OB =2253+=34，2AB =22(51)(31)-++=32，∴222OA AB OB +=，∠OAB =90°，O 到直线AB 的距离是OA；（3）设M （a ，b ），N （a ，0），当y =0时，21(1)104x --=，解得13x =，21x =-，D （3，0），DN =3﹣a ．①当△MND ∽△OAB 时，NM DN OA AB ==，化简，得43b a =- ①，M 在抛物线上，得21(1)14b a =-- ②， 联立①②，得：2431(1)14b a b a =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得13a =（不符合题意，舍），22a =-，b =54，M 1（﹣2，54）， ②当△MND ∽△BAO 时，NM DN BA OA ==，化简，得124b a =- ③，联立②③，得：21241(1)14b a b a =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得13a =（不符合题意，舍），217a =-，b =12﹣4×（﹣17）=80，M 2（﹣17，80）．综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，54），（﹣17，80）．考点：二次函数综合题；分类讨论；相似三角形的性质；压轴题．。