1.1.3 余弦定理(第1课时)
高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)
a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
1.1.2余弦定理(第1课时)
9
中，当 C 为锐角时，
a 2 b2 c 2 ; 当C 为钝角时，a 2 b2 c 2 .
3.挑战题：三角形的三边为连续的自然数，且最大角 为钝角，则最小角的余弦值为多少？
七、归纳小结
活动6：说一说，结一结
1.我最大的三点收获是： 2.我最大的两点反思是： 3.我最大的一点困惑是：
10
11
问题3：联系三角形两边及其夹角的知识有哪些？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题5：课本上用向量的方法证明余弦定理，主要用到什么 知识？
5
问题6：请你用其他的方法证明余弦定理？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题7：尝试用多种语言描述余弦定理？
6
四、深度理解
活动3：辨一辨，思一思
问题8：根据问题情境2、课本例题3，思考如下变式问题。
1.掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理之间的关系； —— 学会
3
2.能证明余弦定理；
——会学 3.体会余弦定理的美学价值，体验合作学习的快乐，增强 学习信心。 ——乐学
二、寻找联系
活动1：读一读，想一想
问题1：初中学习判断两个三角形全等判定定理有哪些？
4
问题2：正弦定理是从哪些判定定理来精确刻画边角之间 的数量关系？
7
变式：如图2，A、B两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C，测得 CA 182m, CB 126m, ACB 63 , 求AB两地之间的距离（精确到1m）
五、交流分享
活动4：用一用，展一展
8
讨论余弦定理与勾股定理之间的联系与区别
六、实践反馈
活动5：练一练，查一查
1.必做题：完成课本第8页练习1； 2.选做题：用余弦定理证明：在
余弦定理与正弦定理第1课时 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
归纳小结
问题3 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？
（2）余弦定理的变式有哪些？三角形的面积公式是什么？
（1）我们发现了余弦定理，三角形面积公式的另一种表达形式；
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
（1）求cos C；
（2）求△ABC的面积．
解答： （1）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得b2＋25－5b＝49，
解得b＝－3（舍）或b＝8．
（2）由（1）得： Δ
2 + 2 − 2 49 + 64 − 25 11
∴ cos =
=
=
．
2
2×7×8
14
1
1
= sin = × 8 × 5 sin 60° = 10 3．
2
2
2
a
b
h
A
c
B
初步应用
例1 如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点为O．甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别为4 km/h，4.5 km/h．3 h后两人相距多远？（精确到0.1 km）
C
Q
80°
B
O
D
3 h后两人相距16.4 km．
（详解参考教材P109例1的解析．）
= ｜｜2 − 2 ⋅ + ｜｜2
b
c
＝a2＋b2－2ab cos C，
C
同理可证：
a
B
所以c2＝a2＋b2－2abcos C．
a2＝b2＋c2－2bccos A，
余弦定理的教案
余弦定理的教案余弦定理的教案作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
如何把教案做到重点突出呢？以下是小编收集整理的余弦定理的教案，欢迎阅读与收藏。
余弦定理的教案1一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。
本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。
余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。
其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。
二、教学目标知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。
2、掌握余弦定理的推导、证明过程。
3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。
过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。
2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。
3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。
2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。
三、教学重难点重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。
难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。
四、教学用具普通教学工具、多媒体工具（以上均为命题教学的准备）余弦定理的教案2一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
高中数学必修五 目录
第一章解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
1课时
1.1.2 余弦定理
第1课时
1.2 应用举例
第1课时高度、距离
第2课时角度及其他问题
第3课时正余弦定理在几何中的应用章末检测卷第二章数列
2.1 数列的概念与简单表示法
1课时
2.2 等差数列
第1课时等差数列的概念
第2课时等差数列的性质
2.3 等差数列的前n项和
第1课时等差数列前n项和公式
第2课时等差数列习题课
2.4 等比数列
第1课时等比数列的概念
第2课时等比数列的性质
2.5 等比数列的前n项和
第1课时等比数列的前n项和公式
第2课时等差、等比数列综合应用
第3课时数列求和
章末检测卷
第三章不等式
3.1不等关系与不等式
1课时
3.2一元二次不等式及其解法
第1课时一元二次不等式及其解法
第2课时一元二次不等式的应用
3.3二元一次不等式(组与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式(组与平面区域
1课时
3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时简单的线性规划问题
第2课时简单的线性规划问题的应用3.4基本不等式第1课时基本不等式
第2课时基本不等式的应用
章末检测卷。
余弦定理(第一课时)
余弦定理（第一课时）课例：浙江省宁波市北仑中学 史芝佐点评：浙江省宁波市北仑中学 安凤吉一、课例与分评（一）教学目标1．使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2．使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3．通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4．通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。
[ 点评：知识目标分级详细、适当，能力目标和德育目标具体，并且有很强的针对性，这是上好一节课的前提条件 ]（二）教学重点、难点重点：余弦定理及其发现和证明。
难点：余弦定理的证明。
关键：建立适当的直角坐标系。
（三）教具三角板，投影仪，投影片1、2[ 点评：重点、难点、关键抓得准，才能在教学过程中采取有效的措施，突出重点、突破难点，从而实现教学目标 ]（四）教学过程1．复习提问T （师，下同）：叙述任意角的三角函数的定义。
（在黑板上作图1）S （生，下同）：, , sec , , , cos , sin yr cse r y y x ctg x y tg r x r y =====αααααα 它们分别叫做角 的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，统称为三角函数。
2．发现T ：请同学们考虑并回答下面的问题：在直角三角形中，已知两个锐角和三边共五个元素中的几个怎样的元素，可求其余元素？S ：两个元素。
T ：是否有不同的意见和补充？S 1：其中至少有一边。
T ：好！在这样的条件下，其余元素均可求，这时直角三角形是确定的，那么，在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？[ 点评：由于现在学生还不会求斜三角形的其余元素，因而说确定这个三角形是恰当的，可见，教者对于教学语言是进行了仔细斟酌的，这对于一名青年教师来说是难能可贵的。
]S 2：三个，其中至少有一边。
人教版高中数学必修26.4.3 余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件(二)
【跟踪训练3】
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2＋b2＋ 2ab＝c2，则角 C 为( )
π 3π π 2π A.4 B. 4 C.3 D. 3
小试牛刀
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用锐角三角形
(× )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一( × )
2．已知在△ABC 中，a＝1，b＝2，C＝60°，则 c 等于 ( )
答案 A
题型三 余弦定理在边角转化中的应用
例 3（1）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 已知 bcos C＋ccos B＝2b，则ab＝________.
（2）在△ABC 中，若 lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lg b－lgb＋1 c， 则 A＝________.
a2＋b2－c2 解析 （1）由余弦定理得 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋ c·a2＋2ca2c－b2＝22aa2＝a，所以 a＝2b，即ab＝2.
解析 由余弦定理得
cos
a2＋c2－b2 1＋3－7 B＝ 2ac ＝2×1× 3＝－
3 2.
又∵0°<B<180°，
∴B＝150°.
答案 150°
2．在△ABC 中，已知 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，则 A＝ ________. 解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，
人教A版数学必修5-1.1.2 余弦定理(第一课时) 教学设计
编写时间：2021年月日2021-2022学年第一学期编写人：形体系，确定边角边和边边边是两类可解的解三角形问题，使学生产生进一步探索解决问题的动机. （二） 分析问题，确定方案探究一：已知两边及其夹角解三角形问题：怎样确定解决问题的方案？设置意图：通过学生的独立思考，畅所欲言，确定思路，让更多的学生有的放矢，明确解决问题的方向.学生活动：小组合作，相互讨论，展示结果.过程说明：通过确定方案，放手让学生自己探究发现证明余弦定理.必要时加以引导如：第三边可以放在直角三角形中求解吗？涉及边长和夹角，三角形是三条线段首尾相接所组成的封闭图形，可以用向量的等式来表示吗？两点之间的距离，能用坐标法求解吗？设置意图：将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度联想去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明.使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高. （三） 发现定理，分析内涵不同方法探索并证明余弦定理之后，通过观察余弦定理结构特征，层层深入，去分析余弦定理的内涵.思考：观察C ab b a c cos 2222-+=的结构特征，谈一谈你对等式的理解.设置意图：分析等式的外延和内涵，自然的得到余弦定理及其推论. （四） 解决问题，理解定理得到了余弦定理，继续完成已知边角边求解角的过程，和已知三边解三角形的过程.探究二：已知三边解三角形设置意图：通过解三角形的过程，不但发现余弦定理，还能在求解中进一步理解和应用余弦定理. （五） 例题展示，巩固定理例：在ABC ∆中，已知,30,3,32︒===A b c 解三角形.设置意图：巩固熟悉余弦定理，从例题的思考，展示，交流，点评中使学生对正余弦定理解三角形有进一步的体验. （六） 课堂小结，提炼过程思考：余弦定理及其推论发现和证明的过程是怎样的？在这个过程中你有 什么体会？设置意图：小结环节设置了两个问题：谈过程，谈体会.目的是不但让学生经历整个探究学习过程，还能在此基础上对本节课有整体的认识，说出整个过程的环节，感受以及发现证明定理运用的方法等. （七） 布置作业，课后探究（1） 课本10P A 组3,4题（2） 拓展思考：相等和不等是一对辩证的关系，请根据角的范围讨论余弦定理中所蕴含的相等和不等关系.设置意图：作业一是巩固熟悉利用余弦定理解三角形，作业二的目的是进一步挖掘余弦定理的内涵.。
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3 ，b=
7 ，B=30°，
求边长c的值. 4
例4 已知△ABC的周长为20，A=30°，a=7，求这个三角 形的面积.
10 3
例5 在△ABC中,已知a=8,b=7,B=60°,求C及S△ABC. c1=3,c2=5. S△ABC=
1 ac1 sin B 6 3 2
1 ac 2 sin B 10 3 2
c 2 = a 2 + b2 - 2ab cosC
思考3：通过类比，a2，b2分别等于什么？
c 2 = a 2 + b2 - 2ab cosC
a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A
b = a + c - 2ac cos B
思考4：上述三个等式称为余弦定理.如何用文字语言描述 角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方 和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.
探究（二）：余弦定理的变式
思考5：已知三角形的三边a，b，c，求三内角A，B，C， 其计算公式如何？
b2 + c 2 - a 2 cos A = 2bc
c +a - b cos B = 2ca
2 2 2
a 2 + b2 - c 2 cosC = 2ab
探究（一）：余弦定理的推导
思考1：在△ABC中，已知边a，b和角C，从向量的角度考 虑，可以求出c边的长吗？ A
b
c
uuu r uuu r uur A B = CB - CA
B
C
a
2
AB AB ( AC BC) ( AC BC) AC 2 2 AC BC BC 2 AC 2 AC BC cosC BC
小结：
通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时 又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦 定理所能解决的两类有关三角形问题: （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，
（2）余弦定理的应用范围：
课堂练习：P8；1、2
作业：P4；习题1.1；A组3、4
1.1.3 余弦定理
第1课时
问题提出
1.正弦定理的外在形式是什么？其数学意义如何？
a = sin A b = sin B c = 2R sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，且 等于外接圆直径. 2.上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,解决了在三 角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解 三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解 决,
利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角. 这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P8例4 属这类情况. (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会
理论迁移
例1 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，
2
b 2 2ba cosC a 2 ,
c 2 = a 2 + b2 - 2ab cosC
思考2：如图所示建立直角坐标系，点A，B的坐标分别是 什么？根据两点间的距离公式可得出 c 2 = a 2 + b2 - 2ab cosC ？ y
A A(bcosC，bsinC)
b C a x
B B(a，0)
解三角形. a2≈1676.82，a≈41cm，sinC≈0.544，C≈33°， B≈106°.
例2 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm， 解三角形. cosA≈0.5543，A≈56°20′，cosB≈0.8398， B≈32°53′，C≈90°47′.
例3 在△ABC中，已知a=