版高中数学第一章三角函数16三角函数模型的简单应用学业分层测评新人教A版必修4

1.6 三角函数模型的简单应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin 160πt ＋110.其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A ．60
B ．70
C ．80
D ．90
【解析】 由题意可得f ＝1T ＝160π2π＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80，故选C.
【答案】 C
2．如图1­6­5，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
图1­6­5
A ．2π s
B ．π s
C ．0.5 s
D ．1 s
【解析】 依题意是求函数s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6的周期，T ＝2π2π＝1，故选D.
【答案】 D
3．函数f (x )的部分图象如图1­6­6所示，则下列选项正确的是( )
图1­6­6
A ．f (x )＝x ＋sin x
B ．f (x )＝cos x
x
C ．f (x )＝x cos x
D ．f (x )＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2
【解析】 观察图象知函数为奇函数，排除D 项；又函数在x ＝0处有意义，排除B 项；取x ＝π2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝0，A 项不合适，故选C. 【答案】 C
4．一种波的波形为函数y ＝－sin π
2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图
象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】 函数y ＝－sin π
2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.故
选C.
【答案】 C
5．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
A ．y ＝a cos πx
6
B ．y ＝a cos x －1 π
6＋k (a ＞0，k ＞0)
C ．y ＝－a cos x －1 π
6＋k (a ＞0，k ＞0)
D ．y ＝a cos πx
6
－3
【解析】 当x ＝1时图象处于最低点，且易知a ＝－5.9＋22.8
2＞0.故选C.
【答案】 C 二、填空题
6．某简谐运动的图象满足函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(φ>0)，其初相和频率分别为－π和3
2
，则它的相位是________. 【导学号：70512019】 【解析】 由题意知φ＝－π，f ＝32，则T ＝23＝2π
ω，∴ω＝3π，∴相位为3πx －π.
【答案】 3πx －π
7.如图1­6­7是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位
移，则这个振子振动的函数解析式是________. 【导学号：00680029】
图1­6­7
【解析】 由题图可设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝2， 又T ＝2(0.5－0.1)＝0.8， 所以ω＝2π0.8＝5
2
π，
所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52πt ＋φ， 将点(0.1,2)代入y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π2t ＋φ中，
得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1， 所以φ＋π4＝2k π＋π
2，k ∈Z ，
即φ＝2k π＋π
4，k ∈Z ，
令k ＝0，得φ＝π
4，
所以y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π2t ＋π4. 【答案】 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π2t ＋π4
三、解答题
8．交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
【解】 (1)当t ＝0时，E ＝2203sin π
6＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏．
(2)电压的最大值为2203伏，
当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1
300
秒时第一次取得这个最大值．
9．如图1­6­8，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一
部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)(x ∈[0,4])的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的最后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．
图1­6­8
【解】 由题意得A ＝23，T 4＝3，又T ＝2π
ω
，
∴ω＝π6，∴y ＝23sin π
6x .
当x ＝4时，y ＝23sin 2π
3＝3，
∴M (4,3)．
又点P (8,0)，∴|MP |＝ 8－4 2
＋ 0－3 2
＝5(km)．
[能力提升]
1．如图1­6­9所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为2°(若β很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC 的值约为( )
图1­6­9
A ．70 m
B ．86 m
C ．102 m
D ．118 m
【解析】 假设气球到人的距离AC 为s ， ∴6＝s ×sin 2°＝s ×2×2π
360，
∴s ≈171.887 m，
∴h ＝BC ＝s ×sin 30°＝85.94 m≈86 m. 【答案】 B
2.如图1­6­10所示，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d 米(在水面下则d 为负数)，则d (米)与时间t (秒)之间满足关系式：d ＝A sin(ωt ＋φ)＋k ⎝
⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2.当P 点从水面上浮现时开始计算时间．有以
下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π
6
；④k ＝5.则其中所有正确结论的序号是________．
图1­6­10
【解析】 由题意知A ＝10，k ＝5，T ＝604＝15秒，ω＝2πT ＝2π
15
，所以d ＝10sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π15t ＋φ＋5.
又当t ＝0时，d ＝0，所以10sin φ＋5＝0，所以sin φ＝－12，又－π2<φ<π
2，所以
φ＝－π
6
.
【答案】 ①②④
3．当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表．
(1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿的月平均气温作出一个函数模型； (2)当自然气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜于旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间．
得如图所示的曲线．
由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，我们
可以考虑用t ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 来描述．
由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃， 则A ＝17.9－9.52＝4.2；k ＝17.9＋9.52＝13.7.
显然2πω＝12，故ω＝π
6
.
又x ＝2时y 取最大值，依ωx ＋φ＝0， 得φ＝－ωx ＝－π6×2＝－π3.
所以t ＝4.2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫πx 6－π3＋13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式．
(2)作直线t ＝13.7与函数图象交于两点(5，13.7)，(11,13.7)．这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间．。