高二数学期末考试试题

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浙江宁波市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案 (1)

宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。

选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。

2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的渐近线方程是（）A ．23y x =± B ．32y x =±C ．y =D ．y = 【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为22132x y -=，所以a b =，所以渐近线方程为b y x a =±=．故选：D2．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（） A ．cos ||||v v μθμ⋅=B ．||cos ||||v v μθμ⋅=C ．sin |||vv μθμ⋅=∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=【答案】D【分析】由线面角的向量求法判断【详解】由题意得||sin ||||v v μθμ⋅=，故选：D3．若抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 的方程为（） A ．22x y =- B ．22x y =C ．24x y =-D ．24x y =【答案】D【分析】由已知条件可得12p=，求出p ，从而可求出抛物线的方程. 【详解】因为抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，所以12p=，得2p =，所以抛物线方程为24x y =，故选：D4．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【分析】设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，当1x x <或23x x x <<或4x x >时，0fx，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增，在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ，所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点. 故选：C ．5．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（）A ．1B ．2C D ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .6．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.7．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．（1B ．（1C ．∞）D ．，＋∞）【答案】C【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由题意得2b a >，所以双曲线的离心率c e a ==故选：C.8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '-<，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是（）． A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,∞∞--⋃+ C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】D 【分析】记()()(),0f x g x x x=≠.判断出()g x 的奇偶性和单调性，即可解不等式. 【详解】记()()(),0f x g x x x=≠.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -= 因为()()()()f x f x g x g x x x --==-=--，所以()g x 为奇函数，所以()()()()222222f fg g --==-=--. 因为()20f -=，所以()()220g g -==. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以()g x 在()0,∞+上单减.因为()g x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 在(),0∞-上单减. 不等式()0f x x>即为()0g x >.当0x >时， ()g x 在()0,∞+上单减，且()20g =，所以()0g x >的解集为()0,2；当0x <时， ()g x 在(),0∞-上单减，且()20g -=，所以()0g x >的解集为(),2-∞-. 综上所述：()0f x x>的解集为()(),20,2-∞-.故选：D二、多选题9．下列导数运算正确的有（）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=【答案】BC【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，故错误；对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确；对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确；对于D ， ()()''11ln 222x x x x==，故错误. 故选：BC.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（）． A ．88a = B ．15120S = C ．11a < D ．22a >【答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得：88a =.故A 正确；对于B ：()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=.故B 正确；对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-. 因为1d >，所以11a <.故C 正确；对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-. 因为1d >，所以22a <.故D 错误. 故选：ABC11．已知曲线1C ：函数()nx m f x x m+=-的图像，曲线()()2222:12C x y r -+-=，若1C 的所有对称轴平分2C ，且1C 与2C 有公共点，则r 的值可以等于（）．ABCD ．3【答案】BD【分析】先将()f x 整理成()nm mf x n x m+=+-可得()f x 的所有对称轴都经过(),m n ，故可求得1,2m n ==，再计算()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离即可求得答案【详解】因为()nx m nm mf x n x m x m++==+--，且()f x 是由nm m y x +=向右平移m 个单位长度，向上平移n 个单位长度得到，nm my x+=的所有对称轴都经过()0,0，所以()nx m nm mf x n x m x m++==+--的所有对称轴都经过(),m n ，因为1C 的所有对称轴平分2C ，所以1C 的所有对称轴经过2C 的圆心()1,2M ，所以1,2m n ==，所以()321f x x =+-，设函数()f x 图象上的动点3,21P x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，则()()2233121611MP x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当311x x -=-时，取等号，所以()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离为6，若1C 与2C 有公共点，则6r ≥ 故选：BD12．我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo ．新Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线:1nnC x y +=，则下列有关曲线C 的说法中正．确．的是（）．A ．对任意的n ∈R ，曲线C 总关于原点成中心对称B ．当0n >时，曲线C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C ．当01n <<时，曲线C 围成的图形面积可以为2D ．当1n =-时，曲线C 上的点到原点最近距离为22【答案】ABD【分析】对于A ：利用代数法验证；对于B ：直接求出曲线C 过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，即可判断；对于C ：先判断出||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2，再判断出1n nx y +=在||||1x y +=内部,即可判断；对于D ：表示出距离222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭.令()11x t t -=>-,利用基本不等式求出最小值.【详解】对于A ：在曲线:1nnC x y +=中,以x -替换x ,以y -替换y ,方程不变,则曲线C 关于原点成中心对称.故A 正确；对于B,当0n >时,令0x =,得1y =±；令0y =,得1x =±.曲线C 总过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--.故B 正确；对于C ：当01n <<时,由1n nx y +=,得:1,1x y ≤≤,且等号不同时成立. ∴||||||||1n n x y x y +>+=.又||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2222⨯=，且1n nx y +=在||||1x y +=内部,则曲线C 围成图形的面积小于2.故C 错误.对于D ：当1n =-时,曲线C 的方程为：11||||1x y --+=.不妨令,x y 均大于0,曲线化为111x y +=，即1x y x =-，则222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭. 令()11x t t -=>-,则2222222112(1)2228t t d t t t t t t ++=++=++++≥=，当且仅当221t t =且22t t=,即1t =时等号成立.结合对称性可知,曲线C上点到原点距离的最小值为故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，则1234a a a a ++的值为______．【答案】14##0.25【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】{}n a 是公比为2的等比数列，121113411123148124a a a a a a a a a a ++∴===++ 故答案为：14.14．设点P是曲线32y x =+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【答案】20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】求出23'=y xtan α≥α的范围可得答案. 【详解】∵23y x '=≥∴tan α≥ 又∵0απ≤≤， ∴02πα≤<或23a ππ≤< 则角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.15．已知数列{}n a 满足()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数m 的取值范围是______．【答案】1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由123456a a a a a a <<<<<解出1111m -<，由对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，解出1117m ->，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】因为()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<，所以()()()()()()222222111212313414515616m m m m m m --⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯，解得：1111m -<. 因为对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，由二次函数的性质可得：()()101910212m m ⎧--<⎪+⎨-<⎪--⎩，解得：1117m ->. 所以1111711m <-<，解得：10161117m <<. 所以实数m 的取值范围为1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(]1,01e ⎧⎫-∞+⎨⎬⎩⎭【分析】方程2l en 1xx ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1x f x xx x +=+的图象，即可求解【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，令()()2ln 10e ,x x x x xf x -++=>，则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛⎫-+⋅- +⎪⎭+⎝'= ()222231l e l e n e n x x x x x x x x xx x ----+==-⋅-- 令()()()2211ln e e ln xxx x h x x x x x --⋅=-++⋅=，注意到()10h =，则()10f '=，且当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><，所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <；当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>，所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >；所以当()0,1x ∈时，0fx，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；又()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>，当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立；当0x →时，()f x →-∞；所以()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>的大致图象为：由2ln 1e xx a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，由图象可知0a ≤或11ea =+时满足条件，所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时，实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭故答案为：(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭四、解答题17．已知函数321()213f x x x =-++.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值.【答案】（1）单调递增区间为[]0,4；单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；（2）()min 1f x =；()max 193f x =. 【解析】（1）求出导函数，令0fx，求出单调递增区间；令()0f x '<，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域是R ， 2()4f x x x '=-+，令()0f x '≥，解得04x ≤≤ 令()0f x '<，解得>4x 或0x <，所以()f x 的单调递增区间为[]0,4，单调减区间为(),0∞-和()4,+∞； (2)由()()1f x 在[)1,0-单调递减，在[]0,2单调递增，所以()()min 01f x f ==，而()81928133f =-++=，()11012133f -=++=，故最大值是()9231f =. 18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）利用准线方程2p x =-求解（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2p x =-过()1,0M - 故12p -=-，则2p = 抛物线方程为24y x =（2）设切线方程为1x my =-与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。

河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．直线的倾斜角为（） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误；对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时，取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。

高二数学期末试卷带答案

高二数学期末试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知向量,满足,与的夹角为,则的值为（）A ．1B ．C ．D ．2.设为正数，，，，则三数（）A ．至少有一个不大于B ．都小于C ．都大于D ．至少有一个不小于3.如下图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB=2，∠BAC="90°." 将△ACD 沿AC 折起，使得BD=. 在三棱锥D-ABC 的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是（）A ．面ABD ⊥面BCDB ．面ABD ⊥面ACDC ．面ABC ⊥面ACD D ．面ABC ⊥面BCD4.利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.如果K2≥5.024，那么就有把握认为“X与Y有关系”的百分比为( ) A．25% B．75%C．2.5% D．97.5%5.A．{1,2,3,4} B．{1,2} C．{1,3} D．{2,4}6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A． B． C． D．7.下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小8.集合的子集的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49.如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．10.抛物线截直线所得的弦长等于A． B． C． D．1511.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）12.某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀、并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是（）A． B． C． D．13.双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．14.已知抛物线的焦点弦AB的两端点为，则关系式的值一定等于（）A． B． C． D．15.不等式的解集是（）A． B． C． D．16.已知命题p:3≥3,q:3>4，则下列判断正确的是( )A．p q为真，p q为真，p为假B．p q为真，p q为假，p为真C．p q为假，p q为假，p为假D．p q为真，p q为假，p为假17.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．18.设z=，，则下列命题中正确的是（）A．的对应点在第一象限B．的对应点在第四象限C．不是纯虚数D．是虚数19.若集合，集合，则“”是“”成立的（▲）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件20.直线x=1的倾斜角和斜率是（）A．45°,1B．,不存在C．135°, -1D．,不存在二、填空题21.已知复数满足等式（是虚数单位）.则的最小值是__________.22.命题：“对任意实数m ，”的否定是23..已知极限存在，则实数的取值范围是____________.24.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面DBEF 的距离． 25.如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________.26.已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则 .27.已知函数在区间上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 28.若随机变量，且，，则当__________．（用数字作答）29.对任意的实数，若恒成立，则m 的取值范围为．30.在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）.三、解答题31.如图：区域A 是正方形OABC （含边界），区域B 是三角形ABC （含边界）。

浙江省金华市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

金华2023学年高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.空间直角坐标系中，点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影，则OB =（）A.5B.25C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出B 点坐标，然后直接用距离公式计算即可.【详解】由点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影可得()340B ，，，则5OB == .故选：A.2.椭圆C ：221169x y +=的左焦点为F ，椭圆上的点1P 与2P 关于坐标原点对称，则12||||PF P F +的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令椭圆C 的右焦点F '，由已知条件可得四边形12PFP F '为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C 的右焦点F '，依题意，线段12PP 与FF '互相平分，于是得四边形12PFPF '为平行四边形，因此21||||P F PF '=，而椭圆C ：221169x y +=的长半轴长4a =，所以1211||||||||28PF P F PF PF a '+=+==.故选：D3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，则63a a =（）A.8- B.8C.1或8- D.1-或8【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则因为313S a =，所以12313a a a a ++=，即220q q +-=，解得1q =或2q =-，所以3631a q a==或8-.故选：C.4.攒（cuán ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A.B.C. D.6π【答案】B 【解析】【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中6AB =，23ACB π∠=，所以,36CAB AO π∠==，所以3cos6AO AC π===，所以圆锥的侧面积3S rl ππ==⨯=.故选：B5.已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】写出圆C 的圆心和半径，求出AC 距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r，所以AC ===≥所以点A 到圆C上点的最小距离为32222=.故选：C.6.直线12y xt =+与曲线y =相切，且与圆()2220x y r r +=>相切，则r =（）A.15B.C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】先由直线与曲线y =求出t ，再由直线与圆相切即可求出r【详解】设直线12yx t=+在曲线y=上的切点为(0x ，则()012f x '==，解得01x =，故切点坐标为()1,1，将()1,1代入直线12y x t =+中，解得12t =，所以直线方程为1122y x =+，即210x y -+=，又210x y -+=与圆()2220x y r r +=>相切，则55r ==，故选：B7.在数列{}n a 中，11n n na na a +=+，若46n a =，11a =，则n 的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得1n n n a a +-=，利用累加法可得(1)12n n n a -=+，结合46n a =即可求出n 的值.【详解】由11n n na na a +=+，得1n n n a a +-=，所以21321121(2)n n a a a a a a n n --=-=-=-≥ ，，,，所以112(1)n a a n -=+++- ，又11a =，所以(1)1(2)2n n n a n -=+≥，又11a =满足，所以(1)12n n n a -=+由46n a =，解得10n =.故选：B8.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以2OF 为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于,O M 两点，且PO 平分APM ∠，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，2F P OP ⊥，OM PM ⊥，所以2F P b =，OP a =因为OA a =，所以PAO APO∠=∠又因为PO 平分APM ∠，所以2APM PAO ∠=∠，由90APM PAO ∠+∠=︒，得30PAO ∠=︒，所以260POM PAO ∠=∠=︒，即tan 60ba=︒=所以2e ==故选：B二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知点M 椭圆22:4936C x y +=上一点，椭圆C 的焦点是12,F F ，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C 的长轴长是9B.椭圆C 焦距是C.存在M 使得1290F MF ∠=D.三角形12MF F 的面积的最大值是【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.【详解】22224936194x y x y +=⇒+=，所以229,43,2,a b a b c ==⇒===，对于A ：因为3a =，所以长轴为26a =，A 错误；对于B ：因为c =，所以焦距为2c =B 正确；对于C ：当M 取到上顶点时此时12F MF ∠取到最大值，此时123MF MF a ===，122F F c ==所以(22212331cos 02339F MF +-∠==-<⨯⨯，所以此时12F MF ∠为钝角，所以存在M 使得1290F MF ∠= ，C 正确；对于D ：当M 取到上顶点时此时三角形12MF F 的面积取到最大值，此时122S c b =⨯⨯=D 正确，故选：BCD10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A.数列{}n a 是递减数列B.100a =C.9S 是n S 中最小项D.216S S <【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+，解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确；D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-，由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：B C11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则下列结论正确的是（）A.直线1DB 与平面AEF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.三棱锥D AEF -的体积为23D.点D 到平面AEF 的距离为43【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面AEF 的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B ；根据等体积法可求得三棱锥D AEF -的体积，可判断C ；利用空间距离的向量计算公式，可判断D .【详解】如图，以D 点为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,2,2),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,1),(2,0,2),(2,2,1)D B A E F A G ,对于A,1(2,2,2),(1,2,0),(2,2,1)DB AE AF ==-=-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，可取(2,1,2)n =，而1(2,2,2)DB = ，与(2,1,2)n =不平行，故直线1DB 与平面AEF 不垂直，故A 错；对于B ，1(0,2,1)AG =- ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,()()10,2,12,1,20A G n ⋅=-⋅=,1A G 不在平面AEF 内,故直线1A G 与平面AEF 平行，故B 正确；对于C ，11122213323D AEF F DAE DAE V V S FC --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ,故C 正确；对于D ，(2,0,0)DA = ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,,故点D 到平面AEF 的距离为||23||n DA d n ⋅===，故D 正确，故选：BCD12.已知抛物线2:4C y x =，点(2,0)M -，(2,0)P ，过点P 的直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，下列说法正确的有（）A.128y y =-B.AB的最小值为C.11AP BP +=D.AMP BMP∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】首先设直线l 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立，消去x ，得2480y my --=，分别写出12y y +，12y y 式子，然后逐项验证，对于A 直接得出，对于B 利用弦长公式再结合二次函数求最值即可，对于C ，直接利用两点间的距离公式计算即可，对于D ，利用0AM BM k k +=即可验证.【详解】设直线l 的方程为2x my =+，则由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理，得2480y my --=，因为直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则所以124y y m +=，128y y =-，故A 正确.AB ===≥，m =0时等号成立，故B 正确.AP ==1，同理，可得BP y =2，则AP BP +=11===≠2，故C 不正确.()()()()AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++1221121212212222()()()()()()()y my y my my y y y x x x x +++++==++++12211212121244242222.()()()m mx x -+⨯==++122844022,即AMP BMP ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.【点睛】解决本题的关键就是设出直线l 的方程为2x my =+，这样很大程度减小了运算量，联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线20x y ++=的倾斜角的是______．【答案】3π4【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线20x y ++=的斜率1-，设直线20x y ++=的倾斜角为α，则tan 1α=-，因为[0,π)α∈，所以3π4α=，故答案为：3π4.14.已知函数()()sin 20f x x xf '=-，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【答案】3-【解析】【分析】先求函数()()sin 20f x x xf '=-的导数，利用赋值法求出(0)f '，即可得函数解析式，从而求得π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由于()()2cos 20f x x f ''=-，所以(0)2cos0(0)f f =-''，解得(0)1f '=，所以()sin 2f x x x =-，则()2cos21f x x '=-，所以π32f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故答案为：3-15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m 连环，用n a 表示解下()n n m ≤个圆环所需的最少移动次数，若数列{}n a 满足：11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为偶数）个圆环所需的最少移动次数n a =___________.（用含n 的式子表示）【答案】121n --【解析】【分析】根据通项公式得到243n n a a -=+，构造出等比数列，进而求出121n n a -=-.【详解】因为n 为偶数，当4n ≥时，()12221222143n n n n a a a a ---=-=+-=+，即()2141n n a a -+=+，又2121211a a =-=-=，所以{}1n a +是以212a +=为首项，4为公比的等比数列，故1121242n n n a -+=⨯=，所以121n n a -=-，故答案为：121n --16.已知在平面直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足2PA PB=，则P 点的轨迹Γ为圆_______，过点A 的直线交圆Γ于两点C ，D ，且AC CD = ，则CD =______.【答案】①.()22516x y -+=②.【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =可得圆的方程，利用垂径定理可求CD =【详解】设(),P x y2=，整理得到221090x y x +-+=，即22(5)16x y -+=.因为AC CD = ，故C 为AD 的中点，过圆心()5,0作AD 的垂线，垂足为M ，则M 为CD的中点，则32AM CD ==解得CD =故答案为：22(5)16x y -+=，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 中，11a =，且122(*)n n n a a n N +=+∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析，12n n a n -=⋅（2）()121n n S n =-+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式可求n a .（2）利用错位相减法可求n S .【小问1详解】因为122(*)n n n a a n N +=+∈，111222n n n n a a ++∴-=∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-⨯=，12n n a n -∴=⋅.【小问2详解】0111·22·22n n S n -=+++⋅ ，2n S =()1112122n n n n -⋅++-⋅+⋅ ，12112222n n n S n -∴-=++++-⋅ ()121n n =-⋅-，()121n n S n ∴=-⋅+.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 是棱BC 的中点，（1）求异面直线11,AB DC 所成角的余弦值；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．【答案】（1）6（2）13【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出11,AB DC ,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面1B AD 和平面1ADC 的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(,,0)(0,1,1)22A B B C D C ，,1111(1,0,1),(,,1)22AB DC ==- ,所以111111cos ,6AB DC AB DC AB DC <>== ，所以直线11AB DC ，所成角的余弦值为6；【小问2详解】设(,,)m x y z = 为平面1B AD 的一个法向量，111(,,0),(1,0,1)22AD AB == ,则⋅A =12+12=0 ·B 1 =+=0,∴+=0+=0，1,1,1(1,1,1)x y z m ==-=-∴=-- 令则，，同理111(,,0),(0,1,1)22AD AC == ,则11100,220·0x y n AD x y y z n AC y z ⎧+=⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=+=⎩,可取平面1ADC 的一个法向量为(1,1,1)n =- ，则1cos ,3m n m n m n<>== ,由图可知二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为13.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点21,2M ⎛ ⎪⎝⎭，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆2212x y +=相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且AOB 的面积为23，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =±【解析】【分析】(1)将点M 、N 的坐标代入椭圆方程计算，求出a 、b 的值即可；(2)设l 的方程为：(0)y kx m k =+>，1122,,()()A x y B x y ，，根据直线与圆的位置关系可得2221m k =+，直线方程联立椭圆方程并消去y ，利用韦达定理表示出1212+、x x x x ，根据弦长公式求出AB ，进而列出关于k 的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，N ．则221112a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a b ==，2212x C y ∴+=椭圆的方程为【小问2详解】设l 的方程为：(0)y kx m k =+>l 与圆2212x y +=相切22212m k =∴=+，设点1122,,()()A x y B x y ，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由，∴（1+22)2+4B +22−2=0，则Δ>01+2=−4B 1+2212=22−21+22，12223AOB S AB =⨯=，12AB x ∴==-，3，3=，2221m k =+又，425410k k ∴--=，21k =∴，0k > ，1k ∴=，故211m m =⇒=±，1l y x ∴=±的方程为20.如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，4=AD ，AB =2，AC BD O = ，SO ⊥平面ABCD ，SO =13BF FC =uu u r uu u r ，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7（2）存在，M 与S 重合【解析】【分析】（1）分别取AB ，BC 中点M ，N ，易证,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD 的一个法向量(,,)m x y z = ，再由cos ,m EF m EF m EF⋅<>=⋅ 求解；（2）假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ，再求得平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，然后由0m n ⋅= 求解.【小问1详解】解：分别取AB ，BC 中点M ，N ，则OM ON ⊥，又SO ⊥平面ABCD ，则,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，1(2,1,0),(2,1,0)22A D ---则,),F(1,1,0)，所以3(0,,),(0,2,0),(2,1,22EF DC SC =-==- ，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，2020m SC x y m DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 则，200x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，22)x z m ==-∴=- 令则cos ,7m EF m EF m EF⋅<>==⋅ ，,m EF EF SCD <> 与与平面所成角互余，直线EF 与平面SBC所成角的正弦值为7.【小问2详解】假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD，(2,1,(2,,)SM SC λλλλ==-=- 设，1(12,,)22EM ES SM λλ=+=--+ 则，设平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z =，()30221312022n EF y z n EM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅=--+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩则，令1y =，则111(,1,2121z x n λλλλ--==∴=++ ，平面MEF ⊥平面SCD，22021m n λλ-∴⋅=-=+ ，0λ∴=，∴存在点,M MEF SCD ⊥使得平面平面，此时M 与S 重合.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.（1）证明：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3(1)log 1nn n n b a a =+--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得22024n T >的最小正整数n .【答案】（1）证明见解析，131n n a -=+（2）4【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系式化简出132n n a a -=-，再构造成()1311n n a a -=--即可证明为等比数列同时求出通项公式；（2）化简可得()(1)1n n n b a n =+--，再通过分组求和可得2n T ，判断2n T 的单调性即可求出22024n T >的最小正整数n .【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，()113122n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则()1311n n a a -=--，而110a -≠，所以数列{}1n a -构成以1为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】131n n a -=+，()()13(1)log 131(1)1n n n n n n b a a n -∴=+--=++--，{}n a 的前2n 项和22133122132n n n n --+=+-(){}(1)1nn --的前2n 项和()0123421n -+-+-+⋯+-()()()()01232221n n n⎡⎤=-++-++⋯+--+-=⎣⎦223132n n T n -∴=+2n T 单调递增且66313337320242T -=⨯+=<，883134329220242T -=⨯+=>所以使得22024n T >最小正整数n 为4.22.已知双曲线()2222:100x y a b a b Γ-=>>，过点P ，且Γ的渐近线方程为y =．（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧．①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）①[)6+∞，；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得22,a b ，即可得解；（2）①易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k ，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，则0∆>，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据弦长公式可求得AB ，同理可求得2k 的范围及CD ，再根据12ACBD S AB CD =⋅整理即可得出答案；②设直线AD 的方程为y kx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，根据0∆>求得,t m 的关系，利用韦达定理求得5656,x x x x +，再利用弦长公式求得AD ，易求得,M N 的坐标，即可求出MN ，再根据M ，N 为线段AD 的三等分点，可得3AD MN =，结合AB CD ⊥，可得两个等量关系，从而可得出结论.【小问1详解】解：由题意有b a =b =①，将点P 代入双曲线方程得22361a b -=②，联立①②解得2213a b ⎧=⎨=⎩，故Γ的方程为2213y x -=；【小问2详解】解：①，易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 整理得()22330k x --=，直线1l 与双曲线Γ交于两点，故230k -≠且()21230k ∆=->，则23k <，则1212230,3x x x x k +==--，则AB ==，联立22113y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()2223130k x k --=，直线2l 与双曲线Γ交于两点，故2310k -≠且()2212310k k ∆=->，解得213k >，则23434230,31k x x x x k +==--，则CD =，根据对称性可知四边形ACBD 为菱形，其面积12ACBD S AB CD =⋅====2133k << ，∴22116243k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，，∴(]222221616341(1)2k k k k =∈+++，，∴(]22216301(1)k k -∈+，，[)6ACBD S ∴∈+∞，；②，假设满足题意的直线AD 存在，易知直线AD 斜率存在，设直线AD 的方程为y tx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2223230t x tmx m ----=，则()230t -≠且()()222244330t m m t ∆=++->，解得23≠t 且223t m <+，由韦达定理有56225622333km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，则AD ===，不妨设M 为直线AD 与渐近线y =的交点，联立y tx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M ⎛⎫∴，同理可得N点的坐标为⎛⎫，则MN ==，因为M ，N 为线段AD 的三等分点，3AD MN =，=，整理得22830t m +-=，①AB CD ⊥ ，AO DO ∴⊥，则0AO DO ⋅=，即56560x x y y +=，()()56565656x x y y x x tx m tx m +=+++()()()222225656223211033m tm t x x tm x x m t tm m t t --=++++=++=--，整理得223230t m -+-=,②联立①②得2913t =-，无解，故没有满足条件的直线AD ．。

山东省青岛第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

山东省青岛第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{N |16}A x x =∈<<，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =I （） A ．{|16}x x << B ．{|15}x x << C ．{3,4,5}D ．{2,3,4}2．已知复数z 满足()()1i i 3i z --=+（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（） A ．12i --B ．12i -+C ．1i --D ．1i -+3．函数()2()ln 23f x x x =--的单调递减区间是（）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()3,+∞4．在ABC V 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．15．设直线l 被圆C ：22240x y x y +--=所截得弦AB 的中点为()2,1M ，则直线l 的方程为（）A ．30x y ++=B ．30x y -+=C ．30x y +-=D ．10x y --=6．南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该杯盏的高度为（）A ．23cm 6B ．13cm 4C ．11cm 3 D ．7cm 27．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法中正确的有（）①若3692S S S +=，则q =②4S ，84S S -，128S S -成等比数列； ③若12n n S a -=+，则1a =-；④若{}n a 有偶数项，11a =，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则{}n a 有10项． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时()'f x π>，则不等式()sin f x x π≤在[]3,3-上的解集为（） A ．[][]2,02,3-⋃ B ．[]1,3- C ．[]1,2-D ．[][]3,20,2--⋃二、多选题9．在某影评网站上随机选取六位专业影评人给《流浪地球2》的评分，得到一组样本数据如下：9.1，9.2，9.4，9.4，9.6，9.7，则下列关于该样本的说法中正确的有（） A ．极差为0.6 B ．均值为9.4C ．方差为0.026D ．第80百分位数为9.610．在11x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第7项和第8项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为1024C ．含1x项的系数为165D ．展开式中不含常数项11．某地工业化工厂排风扇发生故障，在抢修人员到来前测得工厂内部空气中有毒物质含量达到了危险状态．经过抢修人员的抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得工厂内的有毒物质浓度为128ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为64ppm ．由检验知该工厂内有毒物质浓度y （单位：ppm ）与排气时间t （单位：分）之间满足函数关系()y f t =，其中()()f t R f t ='（R 为常数）．当有毒物质浓度不高于0.5ppm 时称空气质量为合格等次，则下列说法正确的是（）A ．0.25e R =B ．4ln 2R =-C ．排气32分钟后，工厂内部空气质量为合格等次D ．排气36分钟后，工厂内部空气质量为合格等次12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，以正方体中心O 为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P 为球面上的动点，则下列说法正确的是（）A ．球O 的半径R =B ．球O 1-C ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则13,44PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r D ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则17,44PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r三、填空题13．2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有种． 14．已知一个各侧面均为全等的等腰梯形的正四棱台，其上下底面面积之比为1:4，一个侧面的面积为15．已知,1a x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，()23cos ,cos b x x =r ，0ω>，()f x a b =⋅r r ，1x ，2x 满足()()1212f x f x ωω==，且12min πx x -=，则ω=． 16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且213PF PF =，12PF F △的内切圆圆心为I ，与12F F 切于点A ，直线PI 交x 轴于点Q ，若1294FQ AF =u u u r u u u u r，则双曲线的离心率为．四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足312n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记1n n n b a S +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c tan tan B C =+．(1)求角C 的值；(2)若c =D 为AB 的中点，求中线CD 的范围．19．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上，且//OE 平面SAB ，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ．(1)求证：SE DE =；(2)若2SA AD ==，且平面ABE 与平面BEC ，求AB 的值． 20．目前新冠病毒依然危害着人民的生命健康，国家大力研发新冠疫苗，普及接种来降低新冠病毒对人民的危害程度.现有A ，B ，C ，D 四种成熟疫苗且每种都供应充足，某社区组织居民接种新冠疫苗，前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A ，B ，C ，D 四种号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，社区李医生接种A 种疫苗后，再为居民们接种，记第n 位居民（不包含李医生）接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C ，()n P D ． (1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；(2)李医生认为，一段时间后接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A ，B ，C ，D 四种的概率，解释李医生观点的合理性．参考数据：1051 1.7103-⎛⎫-≈⨯ ⎪⎝⎭21．已知函数()()211ln 12f x x x ax =+-+-，(1)若2x =是()f x 的极值点，求()f x 在区间3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；(2)若方程()2131022f x ax ax a -+-+=有两个不同的根1x ，2x ．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若112e x x λ-<恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知定点()2,0F -，关于原点O 对称的动点P ，Q 到定直线l ：8x =-的距离分别为P d ，Q d ，且||||P QPF QF d d λ==，记P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程，并说明C 是什么曲线； (2)当12λ=时，过点F 的两条互相垂直的直线与曲线C 分别交于A ，B ，C ，D 两点，弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点；(3)在（2）条件下，当M ，N ，F 三点可构成三角形时，求MNF S V 的取值范围．。

重庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

重庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是函数的导函数，则满足的函数是（）A.B.C. D.2.如图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么（）A.两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B.1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C.2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D.“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数，若系数可以发生改变，则改变后对函数的单调性没有影响的是（）A.B.C.D.b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高，他父亲身高，则小王身高的残差为（）A.B.C.D.()f x '()f x ()()f x f x '=()f x ()2f x x =()exf x =()ln f x x =()tan f x x=()32f x x bx cx d =+++,,b c d ()f x b c d cm y cm x 14ˆ2917yx =+167cm 170cm 3cm -2cm -2cm 3cm5.若函数，在时有极大值，则的极小值为（）A.0B.C.D.6.甲､乙､丙､丁､戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有（）A.48种B.96种C.108种D.120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（）A.1.2B.2.4C.2.88D.4.88.若样本空间中的事件满足，则（）A.B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.若随机变量服从正态分布，已知，则（）A.B. C.D.10.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数的图象关于点对称，为偶函数，则（）A. B.C.的图象关于直线对称D.的最小周期是111.设都是不小于3的整数，当时，，设集合，如果与不能同时成立，则（）A.若，则或B.若，则的可能取值为3或4或5C.若的值确定，则D.若为奇数，则的最大值为()()21e xf x x bx =++1x =-16e -()f x 3e --e -32e -Ω123,,A A A ()()()()()113223231221|,,|,|4356P A P A A P A P A A P A A =====()13P A A =1141727528X ()21,2N (0)P X p <=(0)1P X p >=-(2)1P X p <=-(02)1P X p <<=-(12)12P X p<<=-()f x ()f x 'R ()f x 31,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x '312f ⎛⎫=⎪⎝⎭'()()12123f x f x -++=()f x '1x =()f x ',M N 1,2,,1i M =⋯+{}1,2,,i x N ∈⋯(){}11,,1,2,,i i i i A x x x x i M ++=≠= ∣(),a b A ∈(),b a A ∈13M N x ===()()(){}3,1,1,2,2,3A =()()(){}3,2,2,1,1,34N =M N ()112M N N =-N M ()112N N -三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为__________.13.已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为，那么在50次运行中，平均准点班次约为__________次.14.已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈.（1）根据上述信息完成下列列联表；疗效疗法痊愈未痊愈合计服用白开水合计（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论.附：参考公式：.0.10.050.012.7063.8416.63516.（15分）口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”.（1）求第1次至少抽到一个红球的概率；（2）设“一次抽取”中抽到红球的个数为，求的分布列与数学期望.17.（15分）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.6(1)x -5x 92%12,x x ()4ln a f x x x x=--()()1144f x f x +--…()3f a b a >-b 22⨯0.1α=()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++αx αX X 57.9%C KWh v km /h 40100km /h ~()1012ln 0.540C v v v v=++-/KWh（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？18.（17分）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答：12340.68270.95450.99730.99990.00150.45310.95510.9983（1）记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望；（2）当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？（3）若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示.19.（17分）设为自然对数的底数，已知函数.（1）当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程；（2）当实数满足且，求的最大值.53.35105700v⨯+-100km 94km /h Ga ()1,2,,17i x i = %171117i i x x ==∑s =X %()2,X N μσ~k ()k p P k X k μσμσ=-<<+k p 17k p kkp 17kp Z ()3,3X μσμσ∉-+(0)P Z >Z ()3,3X μσμσ∉-+20,0.82x s ==x s μσ()2,X N μσ~1x σ'1,,x s x σ'e ()2(ln 2)f x x =+()f x m 22eln 0,,,e m m m a b ∞⎛⎫+=∈+ ⎪⎝⎭2a b +=()()f a f b +2024年春高二（下）期末联合检测试卷数学参考答案一､选择题1-8BACB DBDA 第8题提示：，解得二､多选题9.AB10.BC11.ABD第11题提示：对A ，当，则，则，则可取1或2，由于不能同时成立，则或，A 成立，当时，则，设，则可以是或或，所以的值可以是，对于，因为不能同时出现，所以满足条件的数对至多，则，下归纳说明奇数时候能取等，已证，若时候存在一个长为的数列满足题意，不妨首项为1，设数列为，当时，在数列前面添加如下的项，（在中插空，交替插入）则新生成的数列共有项满足条件.则D 正确C 错误.三､填空题12.-613.4614.第14题提示：，由题意，是的根，则有，，有，又，即，()()()()()()()()()()23233233233231,P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+=+-∣∣∣∣()()()()()()()()1331333131115,1117P A A P A P A A P A P A A P A A P A P A ==-=-=-∣∣∣()()()()()()133111133115144714P A A P A A P A P A P A A P A ==-=-⨯=∣∣3N ={}1,2,3,1,2,3,4i x i ∈=()()(){}1223341,,,,,,3A x x x x x x x==2x ()(),,,a b A b a A ∈∈()()(){}3,1,1,2,2,3A =()()(){}3,2,2,1,1,34N ={}1,2,3,4ix ∈11x=A ()()(){}1,2,2,3,3,4()()()(){}1,2,2,3,3,4,4,1()()()()(){}1,2,2,3,3,4,4,1,1,3M 3,4,5D ()(),,,a b b a 2C N 2C N M ≤3N =21N k =-221C 1k -+2212C 11,,,k x x -+ 21N k =+2212C 11,,,k x x -+ 41k -1,2,3,2k 21,2k k +1,21,2,2,3,21,4,2,,2,21,21,2k k k k k k k k ++-+ 22212141C 1C 1k k k -+-++=+()3,e e 5∞-+-()222441(0)a x x a f x x x x x'-+=-+=>12,x x 240x x a -+=124x x +=120,Δ1640x x a a =>=->04a <<()()1144f x f x +≤--()()124f x f x +≤-，即有，又，即，令在是增函数，所以.四､解答题15.（13分）解：（1）根据上述信息完成下列列联表；疗效疗法痊愈未痊愈合计服用姜汤301040服用白开水352560合计6535100（2）零假设为：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于0.1.16.（15分）解：（1）设第1次至少抽到一个红球”，则“第1次抽到2个球都是白球”，第1次抽取的样本空间包括个样本点，即，而，所以，即第1次至少抽到一个红球的概率是；（2）由题意知，且每次抽到红球个数的概率相等，1122124ln 4ln 4,ln 1a ax x x x a x x --+--≤-⇒≥e 4a ≤<()3f a b a >-34ln 1b a a a <+--()()()3244ln 1(e 4),310,g a a a a a g a a g a a=+'--≤<=+->[)e,43e e 5b <+-22⨯0H 220.1100(30251035) 2.93 2.70640606535x χ⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯0.1α=2χ0H “A =A =Ω26C 15=()Ω15n =()24C 6n A ==()63()1(11()155n A P A P A n =-=-=-=Ω350,1,2X =()()()21124242222666C C C C 2810,1,2C 5C 15C 15P X P X P X =========即的分布列为：012所以17.（15分）解：（1）由有，令，得所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低（2）设司机的工资为元，则行车的总费用为，由题意知时，，得，即司机每小时的工资为150元.18.（17分）解：（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973，镓含量的概率为0.0027，；（2）由估计得，，发现最小值，该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进；（3）设余下的数据的平均数，则，X X P25815115()8121215153E X =⨯+⨯=()1012ln 0.540C v v v v=++-()22220242v v C v v+-='()0C v '=44km /h v =44km /h 100av()510121003.3510100ln 0.5405700F v v v a v vv ⨯⎛⎫=++-++- ⎪⎝⎭()()221000.54362v v aF v v '+--=94km /h v =()0F v '=150a =()3,3X μσμσ∈-+()3,3X μσμσ∉-+()17(0)1010.997310.95510.0449P Z P Z ∴>=-==-=-=()()17,0.0027,170.00270.0459Z B E Z ∴~∴=⨯=20,0.82x s ==20,0.82μσ==()()3,317.54,22.46μσμσ∴-+=()173,3μσμσ∉-+∴()173,3μσμσ∉-+1712116i i x μ==∑1117, 16x x σμ'-=∴=即.19.（17分）解：（1），设函数的图象上一点为，则该点处的切线为，即切线为，解得或此时或切线的方程为或；（2）设，则，再设，则，由得在上单调递增，同理得在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，容易得到当时，，当时，，时，的最大值为，即，由，得，而，σ'∴=======σ'=()()2ln 2x f x x+=' ()f x ()()200,ln 2x x +()()()200002ln 2ln 2x y x x x x +-+=-()022000002ln 2ln 2ln ,ln 2ln 0x y x x x x x x +=++∴+=01x =21,e∴()002ln 24x x +=0,∴4y x =0y =()224ln e g x x x =-()22ln 4e x g x x '=-()ln x h x x =()21ln xh x x-='()0h x '>()h x ()0,e ()h x ()e,∞+()g x '()0,e ()e,∞+()2e0,g '=∴()2e,e x ∈()0g x '>()2e ,x ∞∈+()0g x '<[)e,x ∞∴∈+()g x ()2e 0g =()2240,ln e g x x x ≤≤eln 0m m +=ln 0,01m m <∴<<()()()222e 2410,e 0e eg g '-=-<=>'必存在，使得，且当时，，当时，，即在上单减，在上单增，而，当时，，当时，，即，当且仅当时等号成立，，故当时，，即当时，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，的最大值为8.∴()01,e x ∈()00g x '=()20,x m x ∈()0g x '<()0,e x x ∈()0g x '>()g x ()20,m x ()0,e x ()()()22222244ln eln eln 0e eg mm m m m m m =-=+-=∴()2,e x m ∈()0g x <∴()2,x m ∞∈+()0g x ≤224ln ex x ≤2e x =()()222(ln 2)ln e f x x x =+= 22e x m >()22224ln e e 4e x x x ≤=22,e m x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()224e 4e f x x x ≤=1x =()()()22,,,4448e m a b f a f b a b a b ∞⎛⎫∈+∴+≤+=+= ⎪⎝⎭1a b ==()()f a f b ∴+。

高二数学期末试卷带答案解析

高二数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为A ．B ．C ．D ．2.在△ABC 中，cosAcosB>sinAsinB ，则△ABC 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 3.设点P(x,y)(xy≠0)是曲线上的点,下列关系正确的是（）A ．B ．C ．D ．的值与1的大小关系不确定4.棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点M,N 分别在线段AB 1,BC 1上,且AM=BN,给出以下结论: ①AA 1⊥MN②异面直线AB 1,BC 1所成的角为60° ③四面体B 1 D 1CA 的体积为④A 1C ⊥AB 1,A 1C ⊥BC 1, 其中正确的结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（） A ．若，则 B ．若，则C ．若，则D ．若，则6.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（） A ．或 B ．或C ．D ．7.抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C． D．8.已知集合，则（）A． B． C． D．9. ( )A． B． C． D．10.已知四个实数成等差数列五个实数成等比数列，则的值等于()A． B． C． D．11.若且，则的最小值是（）A．6 B．12 C．16 D．2412.一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．B．C．D．13.下列命题错误的是: （）A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则”.B．“”是“”的充分不必要条件.C．若为假命题，则均为假命题.D．对于命题14.一圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径（）A． B． C． D．15.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A． B． C． D．16.已知，则（）A． B． C． D．17.有一匹叫的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天,在30场下雨天的比赛中，赢了15场．如果明天下雨，参加赛马的胜率是( )A． B． C． D．18.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（）A．B．C．D．19.已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，点M，N分别是对角线BD，AC的中点，则MN=" "A．2 B． 5 C． D．20.设为函数的导函数，且则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定二、填空题21.阅读图4的程序框图，若输入m=4,n=3,则输出a=______,i=________。

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高二数学期末考试试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a, b ∈R ，若|a+b |=1，则下列各式中成立的是（） A ．|a |+|b |>1B ．|a |+|b |≥1C ．|a |+|b |<1D ．|a |+|b |≤12．下列命题中，正确的是（） A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．平行于同一平面的两条直线互相平行C ．分别和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线D ．若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补 3．抛物线y =4x 2的准线方程是（） A ．x =1B ．14x =-C ．y =－1D ．116y =-4．已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y=x 对称，则圆C 的方程是（） A ．22(1)1x y +-= B ．22(1)1x y ++= C ．221x y +=D ．22(1)1x y ++=5．不等式1|1|2x <+<的解集为（） A ．(3,0)-B ．（0，1）C ．(1,0)(2,3)-D ．(3,2)(0,1)--6．若P 为双曲线22197x y -=的右支上一点，且P 到右焦点的距离为4，则P 到左准线的距离为（） A ．3B ．6C ．152D ．107．如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 分别为正方体相应棱的中点，对于直线AB 、CD 、EF ，下列结论正确的是（） A ．AB ∥CDB ．CD 与EF 异面ADCB EFC ．AB 与CD 相交 D ．AB 与EF 异面8．已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b αααα==，当a b 取最小值时，,a b <>的值为（）A ．0°B ．90°C ．180°D ．60°9．设,,αβγ为不重合的平面，,,l m n 为不重合的直线，给出下列四个命题： ①,,l l αβαβ⊥⊥则； ②若,,,,m n m n ααββαβ⊂⊂则；③若,,n m n m αβα=则； ④若,,,,l m n l m n αββγγαγ===且则.其中是真命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知实数x, y 满足10y x -+≤，则22(1)(1)x y +++的最小值是（）A ．12B ．2CD ．211．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线2y x =无交点，则离心率e 的取值范围是（）A ．B ．C ．(1,2]D ．(1,2)12．E 、F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠EPF 的最大值是（） A ．60°B ．30°C ．90°D ．45°13．若(2,1)p -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点, 则直线AB 的方程为____________. 14．过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)两点，则y 1y 2=_______. 15．已知关于x 的不等式2(6)()0ax x a x a--<-的解集为M ，若3M ∉，则a 的取值范围是________________.16．某单位需购液化气106千克，现在市场上该液化气有两种瓶装，一种是瓶装35千克，价格为140元；另一种是瓶装24千克，价格为120元. 在满足需要的情况下，最少要花费_________________元.三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.17．（本小题满分12分）求经过点A（3，2），圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切的圆的方程.18．（本小题满分12分）如图，ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明：P A∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD.19．（本小题满分12分）一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD和矩形ABCD的三边组成，拱的顶部O距离水面5m，水面上的矩形的高度为2m，水面宽6m，如图所示.一艘船运载一个长方体形的集装箱，此箱平放在船上，已知船宽5m，船面距离水面1.5m，集装箱的尺寸为长×宽×高=4×3×3(m). 试问此船能否通过此桥？并说明理由.21．（本小题满分12分）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点为F，过点F作直A线PF 垂直于该双曲线的一条渐近线1l于33P . （1）求该双曲线方程；（2）设A 、B 为双曲线上两点，若点N （1，2）是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.22．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB的中点，|||2,33AB CD AC BD ==-⊥M 为CD 的中点. （1）求点M 的轨迹方程；（2）过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使0MP PN λ=，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；（3）过1(0,)2的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，且0OP OQ =，求此直线方程.高二数学参考答案1.B2.D3.D4.A5.D6.C7.D8.B9.B 10.A 11.A 12.B 13．x －y －3=0 14．－4 15．[2, 3]∪[9, +∞) 16．50017．解：设圆心坐标为（a , 2a ）.∴5a 2－14a +8=0. ∴a =2或45a =. 故所求圆的方程为482222(2)(4)5,()() 5.55x y x y -+-=-+-=或18．（1）连结AC ，设AC ∩BD =0，连结EO ，∵底面是正方形，∴O 为AC 的中点∴OE 为△P AC 的中位线 ∴P A ∥OE ，而OE ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EBD ，∴P A ∥平面EDB . （2）∵PD ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴BC ⊥PD ，而BC ⊥CD ，PD ∩CD =D. ∴BC ⊥平面PDC . ∵DE ⊂平面PDC , ∴BC ⊥DE . ① 又∵PD ⊥平面AC ，DC ⊂平面AC ， ∴PD ⊥DC ，而PD=DC ， ∴△PDC 为等腰三角形 . ∴DE ⊥PC . ②由①、②可知DE ⊥平面PBC ， ∴DE ⊥PB .又EF ⊥PB , ∴PB ⊥平面DEF . （可建立空间直角坐标系证明。

略）19．解：建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线顶点O 在坐标原点，对称轴与y 轴重合，设抛物线方程为x 2=ay (a <0) 由题设条件知C （3，－3）在抛物线上， ∴9=－3a ， a =－3，即抛物线方程为x 2=－3y.要使船能顺利通过，应有集装箱最高处E 、F 关于y 轴对称. 于是设F （1.5, y 0），则1.52=－3y 0.∴y 0=－0.75 此时点F 距离水面的高度为5－0.75=4.25. 而集装箱高加船高为3+1.5=4.5>4.25，故此船不能通过此桥.20．（1）以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （1，1，0），D 1（0，0，2），E （0，1，1），F （12，12，1）. ∴116(0,1,1),(,,1),||2,||11222D E DF D E DF =-===. 则1112cos ,1||||12D E DF D E DF D E DF -<>==⨯故异而直线D 1E 与DF 所成角为arccos6. （2）设点M （x , 0, 0），则11(1,1,0),(,,0).22BM x EF =--=-由EF ⊥平面BMD 1，有110,22x EF BE -=+= 可得x =0.∴点M 的坐标为M(0,0,0). 故当EF ⊥平面BMD 1时，M 在直线DA 上的D 点处. （也可不建立空间直角坐标系求解。

略）21．解：(1)设半焦距为C ，则F （C ，0），直线l 1的方程为b y x a =，直线PF 的方程为()ay x c b=--解方程组,().by x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得2(,)aabP c c，又已知P 点坐标为 ∴1,a b c === ∴双曲线方程为221.2y x -=（2）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，则有2211,122221.22y x y x ⎧⎪-=⎪⎨⎪-=⎪⎩ ②－①, 得()()2121()()21212y y y y x x x x -+-+=. ∴22121 1.221212y y x x k AB y y x x -+====+-即直线AB 的方程为21(1)y x -=⨯-, 即10.x y -+=22．解：（1）设点M 的坐标为M (x, y )(x ≠0)，则(,1(,1C x y D x y -+又(0,A B 由AC ⊥BD 有0AC BD =，即(,1)(,1)0x y x y -+=，∴x 2+y 2=1（x ≠0）. （2）设P （x, y ），则()0(1),Mx y λ+，代入M 的轨迹方程有2220(1)1(0).x y x λ++=≠即221(0)12()10x y x λ+=≠+，∴P 的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）. 要P 到A 、B 的距离之和为定值，则以A 、B为焦点，故1212(1)0λ-=+. ∴02.λ= 从而所求P 的轨迹方程为9x 2+y 2=1(x ≠0).（3）易知l 的斜率存在，设方程为1.2y kx =+联立9x 2+y 2=1，有223(9)0.4k x kx ++-=设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则3,12122294(9)k x x x x k k -+=-=++.∵0OPOQ =，而12120.x x y y +=∴110121222x x kx kx ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 整理，得223(1)10.2244(9)2(9)k k k k -+-+=++∴k 即所求l的方程为1.2y + ①②。