2003-3《工程数学》期末试题A参考答案
2003-数三真题、标准答案及解析
（2）已知曲线 y x 3a x b 与 x 轴相切，则 b 可以通过 a 表示为 b 4a
3 2
2
2
6
.
【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y 0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处 纵坐标为零，即可找到 b 与 a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有
(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式. 八、 （本题满分 8 分） 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 (0,3) ，使
f ( ) 0.
九、 （本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组
a, 若0 x 1, 而 D 表示全平面， 则 I f ( x) g ( y x)dxdy = 0, 其他， D
a2 .
【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 0 x 1,0 y x 1 时，被积函数才不为零，因此实际 上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】
2 y 3x 2 3a 2 0 ，有 x0 a2.
2
又在此点 y 坐标为 0，于是有
3 0 x0 3a 2 x0 b 0 , 2 2 2 b 2 x0 (3a 2 x0 ) a 2 4a 4 4a 6 .
故
【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3） 设 a>0， f ( x) g ( x)
1 n 2 X i 依概率收敛于______. n i 1
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数 g ( x) (A) 在 x=0 处左极限不存在. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (D) 有可去间断点 x=0.
《工程数学》电大历年期末试题及答案 (2)
工程数学电大历年期末试题及答案第一章：复数及其运算1.1 复数的定义和性质试题：1.请简要叙述复数的定义和性质。
2.复数的共轭运算是指什么？给出其定义和性质。
3.试证明虚数单位i满足i2=−1。
答案：1.复数是由实数和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
复数的性质有：–复数可以相加：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i–复数可以相乘：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i–复数的加法和乘法满足交换律和结合律。
2.复数的共轭运算是指改变虚数部分的符号，即将a+bi变为a-bi。
共轭运算的定义和性质如下：–定义：对于任意复数z=a+bi，其共轭复数为z* = a-bi。
–性质：(a+bi) * (a-bi) = a^2 + b^2，即一个复数与其共轭的乘积等于实数部分的平方加虚数部分的平方。
3.可以通过计算i2来证明虚数单位i满足i2=−1：–i2=(0+1i)∗(0+1i)=−1。
1.2 复数的指数表示和三角函数形式试题：1.请简要叙述复数的指数表示形式和三角函数形式。
2.试证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} =\\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
答案：1.复数的指数表示形式是通过欧拉公式来表达，即$z= r \\cdot e^{i\\theta}$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
复数的三角函数形式是通过复数的实部和虚部来表示，即$z = a + bi = r\\cos\\theta + r\\sin\\theta i$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
2.可以通过欧拉公式来证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$：–欧拉公式表示为$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
工程数学试卷及标准答案
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
工程数学试题A及答案
工程数学试题A及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)的导数是：A. \( 3x^2 - 6x \)B. \( 3x^2 - 6x + 2 \)C. \( x^3 - 3x^2 + 2 \)D. \( 3x^2 - 6x + 3 \)答案：A2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：A. 0B. 1C. \( \pi \)D. \( \infty \)答案：B3. 函数\( y = e^x \)的不定积分是：A. \( e^x + C \)B. \( \ln x + C \)C. \( x e^x + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)答案：A4. 微分方程\( y' + 2y = 0 \)的通解是：A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = C\sin(2x) \)D. \( y = C\cos(2x) \)答案：A5. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是：A. 5B. -2C. 2D. -5答案：B6. 函数\( f(x) = x^2 \)在区间\( [1, 2] \)上的定积分是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数\( y = \ln x \)的二阶导数是：A. \( \frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{1}{x} \)C. \( x \)D. \( x^2 \)答案：A8. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)的逆矩阵是：A. \( \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)答案：C9. 函数\( y = x^3 \)的不定积分是：A. \( \frac{x^4}{4} + C \)B. \( \frac{x^3}{3} + C \)C. \( \frac{x^2}{2} + C \)D. \( \frac{x}{3} + C \)答案：B10. 函数\( y = \sin x \)的不定积分是：A. \( \cos x + C \)B. \( \sin x + C \)C. \( -\cos x + C \)D. \( -\sin x + C \)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的极小值点是 \( x =\_\_\_\_\_ \)。
哈工程2003级高等数学第二学期期末试题答案
2003级高等数学第二学期试卷答案级评分标准一 选择题 (3分×5=15分)1. D2. C3. C4. D5. D二 填空题 (3分×5=15分)1. π314； 2. )22(92k j i -+；3. x x y 12-=；4. 2)1(1x -，x ∈(-1,1)；5. 221π三 简单计算题 (8分×7=56分)1. 解答：对应齐次方程的特征方程为0232=+-r r ,得2,121==r r ，齐次通解为x x e c e c Y 221+=， ………4分令原方程的特解为x e b ax x y )(*+=， 代入原方程，解得1,21-=-=b a ，所以xe x x y )121(*--=， ………2分 原方程通解为xxx e x x e c e c y )2(2221+-+=。
………2分 2. 解答：令0sin),,(=+=x y e z y x f xz ， 则x y x F x y x y ze F y xz x cos 1,cos 2=-= ， xz z xe F =， ………2分 xz xz z x xe x y x y ze F F x z cos 2-=-=∂∂，xz z y xe x y x F F y z cos 1=-=∂∂， ………4分yy x x d z d z dz +=。
………2分3. 解答： )(x f ' =211x +=∑∞=02n n x , ………2分 )(x f =c +∑∞=++012121n n x n , ………2分0arctan )0(=f =0，)(x f =∑∞=++012121n n x n ,)1,1(-∈x 。
………4分4. 解答：zdv y x ⎰⎰⎰Ω+22 =⎰⎰⎰-22210220r r zdz dr r d πθ ………4分 =π158 ………4分 5. 解答：补直线段x y OA ,0:=从0到1，dyy e dx y y e x L x )1cos ()sin (-+-⎰dy y e dx y y e dy y e dx y y e x OA x x OA L x )1cos ()sin ()1cos ()sin (-+---+-=⎰⎰+…4分28101a d D πσ=-=⎰⎰。
工程数学试题及答案
工程数学试题及答案《工程数学试题及答案》1. 数列与级数问题：找出以下等差数列的通项公式，并计算前n项和。
1) 3, 6, 9, 12, ...2) 1, 5, 9, 13, ...答案：1) 通项公式为a_n = 3 + 3(n-1)，前n项和为S_n = n(6 + 3(n-1))/2。
2) 通项公式为a_n = 1 + 4(n-1)，前n项和为S_n = n(2 + 4(n-1))/2。
2. 三角函数问题：求解以下方程在给定区间内的所有解。
1) sin(x) = 0.5，其中0 ≤ x ≤ 2π。
2) cos(2x) = 0，其中0 ≤ x ≤ π。
答案：1) 解为x = π/6, 5π/6。
根据周期性，可加2πn得到无穷解。
2) 解为x = π/4, 3π/4。
根据周期性，可加πn得到无穷解。
3. 极限与连续性问题：计算以下极限。
1) lim(x→0) (3x^2 + 2x) / x。
2) lim(x→∞) (e^x + 2x) / e^x。
答案：1) 极限等于2。
2) 极限等于2。
4. 微分与积分问题：求以下函数的导数和不定积分。
1) f(x) = 3x^2 + 4x + 1。
2) g(x) = sin(x) + cos(x)。
答案：1) f'(x) = 6x + 4，∫f(x)dx = x^3 + 2x^2 + x + C。
2) g'(x) = cos(x) - sin(x)，∫g(x)dx = -cos(x) - sin(x) + C。
5. 偏导数与多重积分问题：计算以下偏导数和二重积分。
1) 求f(x, y) = x^3 + 2xy - y^2的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y。
2) 计算∬(x^2 + y^2)dA，其中积分范围为R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}。
答案：1) ∂f/∂x = 3x^2 + 2y，∂f/∂y = 2x - 2y。
工程数学期末考试试题和标准答案及评分标准模板
《工程数学》试题（A 卷）（考试时间： 90 分钟）一、选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1.函数293x x xy -++=的定义域是（ ）． A.{}3|-≥x x ； B.{}3|≤x x ；C.{}33|≤≤-x x ； D .{}33|≤<-x x . 2.函数x y =在0=x 处( ) ．A.连续且可导；B.不连续且不可导； C 不可导但连续；D.不连续但可导. 3.x x arctan lim +∞→=﹙ ）.A.0；B.不存在 ；C. 2π-； D.2π. 4.若11,1,22()3,1,1,1x x f x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩，则1lim ()x f x →=（ ）.A.2；B. 1；C.1-；D.不存在. 5.函数11)(-=x x f 的水平渐近线是（ ）. A. 1=x ； B. 1-=y ； C. 0=x ； D. 0=y . 6.函数()y f x =在x 处可导是该点可微的（ ）条件.A.必要；B.充分；C.充要；D.无关.7.若),)(b a x f 在（内二阶可导，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则在),(b a 内函数（ ）． A.单调减，凸函数； B. 单调增，凸函数； C. 单调减，凹函数； D. 单调增，凹函数.8.函数22,1(),1x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，在点1x =处（ ）.A.不连续；B.连续；C. ()2f x '=可导且；D.无法判断. 9.设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()()f x g x ≥，则（ ）.A.()d ()d bbaaf x xg x x ≥⎰⎰ ； B.()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰；C.()d ()d f x x g x x ≥⎰⎰ ； D.()d ()d f x x g x x ≤⎰⎰.10. 曲线x y x y ==与2所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）.A. ⎰-1024d )(x x x π； B. ⎰-142d )(x x x π；C. ⎰-102d )(y yy π； D. ⎰-12d )(y y y π.二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1．函数654)(22+--=x x x x f ，则2=x 是_______间断点，3=x 是 _______间断点.2. 复合而成和是由函数函数 earcsin xy =．3．点()1,0是曲线b ax x y +-=233 的拐点，则=a ______,=b ______. 4. 设 ()f x 的一个原函数为1x，则=)(x f . 5. ⎪⎩⎪⎨⎧==tty x 2ee ,=x y d d __________.2.已知y x x y '+=求,cos sin 22. 三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分）1.求x x x2)51(lim +∞→ 2.已知y x x y '+=求,cos sin 22. 3. 已知.d ,2cos e2y x y x求=4.求x x x d e 2⎰. 5.求⎰exdx x 1ln .6.求由曲线2,,1===x x y xy 围成的平面图形的面积. 四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1．证明不等式()()0,1ln 1><+<+x x x xx.《工程数学》试题（B 卷）（考试时间： 90 分钟）一、选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1．函数242y x x x-++=的定义域是（ ）． .A {}2|-≥x x ； B.{}2|≤x x ；C.{}22|≤≤-x x ； D . {}22|≤<-x x2． 当0→x 时，下列变量为无穷小的是（ ）A.;cos x x B. ;sin xxC.;12-xD..sin 1x - 3．x x arctan lim ∞→=﹙ ﹚．A.0 ；B.不存在 ；C. —2π ； D.2π. 4．若⎩⎨⎧>-≤=1,21,)(2x x x x x f ，则1lim ()x f x →=（ ）.2;A .1;B .1;C - .;D 不存在5．函数xx f 1)(=的水平渐近线是（ ）. A. 1=x B. 1-=y C. 0=x D. 0=y6．函数()y f x =在x 处可导是该点连续的（ ）条件.;A 必要 .;B 充分 .;C 充要 .;D 无关7.若),)(b a x f 在（内二阶可导，且0)(,0)(///>>x f x f ，则在),(b a 内函数（ ）．A.单调减，凸函数B. 单调增，凸函数C. 单调减，凹函数D. 单调增，凹函数8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=1,21211,)(2x x x x x f ，在点1x =处（ ）A.连续且可导；B.不连续且不可导； C 不可导但连续；D.不连续但可导.9．设函数()f x 在[,]a b 上连续，则（ ）dx x f dx x f A b ab a⎰⎰≤)()(. dx x f dx x f B bab a⎰⎰≥)()(.dx x f dx x f C b ab a⎰⎰=)()(. dx x f dx x f D bab a ⎰⎰>)()(.10. 曲线12==x x y 与及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ） A. ⎰14dx x πB. ⎰102dx x π C. ⎰10ydy π D. ⎰12dy y π二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1．函数231)(22+--=x x x x f ,则2=x 是_______间断点，1=x 是 _______间断点.2. 复合而成和是由函数函数 sin xey =．3．点（1，3）是曲线y=23bx ax + 的拐点，则a=______,b=______. 4. 设 ()f x 的一个原函数为x sin ，则=)(x f .5. ⎩⎨⎧==3x bty at ,=dx dy __________. 三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分）1.xx x2)31(lim +∞→2.已知')),ln(ln(ln y x y 求=. 3. 已知.dy ,2sin 求x x y = 4.求dx xe x ⎰.5.求⎰-224dx x .6.求由曲线0,1,2===y x x y 围成的平面图形的面积.四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1．证明：当x x x 211,0+>+>时一、单项选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1、D2、C3、D4、B5、D6、C7、A8、A9、A 10、B 二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1、可去（或者第一类）；无穷（或者第二类）2、x u e y uarcsin ,==；3、a=0,b=1；4、21x-；5、t2e . 三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分）1..7(5())5111(lim (3()5111(lim )51(lim 101051)51(102分）分）分）e x x xx x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ 2..7(sin 2cos sin 24()(sin )(sin sin 22'22''分）分）x x x x x x x x y -=-= 3..7()2sin 2(cos 23(2cos 2cos 222分）分）dx x x e x d e xde dy x x x-=+=4. C e x d e dx e x dx xe x x x x +===⎰⎰⎰2222215)((213()(212'2分）分）.（7分） 5.1ln ex xdx ⎰=211ln 2e xdx ⎰（3分）=2221111111ln 2244ee x x x dx e x -⋅=+⎰(7分).6..72ln 235(|)ln 21(3()1(21221分）（分）分）-=-=-=⎰x x dx x x S四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1、证：令f(x)=ln(1+x), 在[]x 0，上连续,在（0，x ）内可导， )(x f '=x11+,（2分） 由拉格朗日中值定理，在（0，x ）内至少存在一点ξ，使得ξ+=-+-+110)01ln()x 1ln x （（4分） 有 ln(1+x)=ξ+1x ,又 0<x <ξ, 1<1+x +<1ξ,x x x x <+<+ξ11,（7分） 所以，x x xx<+<+)1ln(1 （8分）一、单项选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1、D2、C3、B4、B5、D6、B7、D8、C9、A 10、A . 二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1、无穷（或者第二类）；可去（或者第一类）2、x u e y usin ,==；3、29,23=-=b a ；4、x cos ；5、a bt 23.三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分）1..7(5())3111(lim (3()3111(lim )31(lim 6631)31(62分）分）分）e x x xx x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ 2..7(1ln 1)ln(ln 16()(ln ln 1)ln(ln 13())(ln(ln )ln(ln 1'''分）分）分）xx x x x x x x y ===3..7()2cos 22(sin 3(2sin 2sin 分）分）dx x x x x xd xdx dy +=+= 4. .7(4()(''分）分）C e xe dx e x xe dx e x dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰5.令2,2;0,0,cos 2sin 2π======t x t x tdt dx t x 当当则.（1分）⎰-224dx x =tdt ⎰202cos 4π（3分）=⎰+20)2cos 1(2πdt t （4分）=20|)2sin 21(2πt t +(6分)=π.（7分））6..7315(|313(10312分）（分）分）===⎰x dx x S 四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1、证：令x x x f 211)(+-+=, )(x f '=02x1121>+-+x ,0>x （3分）0)0()(,0],0[)(=>>f x f x x x f 单调递增，在，（6分） ,0211)(>+-+=x x x f 即x x 211+>+.（8分）[此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好]。
工程2003上半年试题A解答
工程数学2003年上半年试题A 解答一、计算下列积分的值C 是正向的圆周|z |=1.（每小题5分，共10分） 1）⎰-C z z 2d ， 2）⎰Cz zcos d 解：1）2）的积分所包围的区域内被积函数都解析，因此积分都为0。
二、将函数311z +展开成z 的幂级数，并指出其收敛半径（10分） 解：+-+-=+9633111z z z z，|z |<1. 三、设随机变量ξ的概率密度ϕ(x )为：⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其它x x ϕ，求E ξ, D ξ. (10分)解: 21d d )(10===⎰⎰∞∞-x x x x x E ϕξ, 31d d )(10222===⎰⎰∞∞-x x x x x E ϕξ,因此, 121413122=-=-=ξξξE E D .四、一大楼装有5个同类型的供水设备。
调查表明在任一时刻t , 每个设备被使用的概率为0.1, 问在同一时刻恰有2个设备被使用的概率是多少？(10分)解: 设ξ为同一时刻被使用的设备的数目, 则ξ~B (5, 0.1), 恰有2个设备被使用的概率为0729.0729.001.02459.01.0)2(3225=⨯⨯⨯===C P ξ. 五、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个红球，乙袋中盛有一个白球，两个红球。
由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到红球的概率。
（10分） 解: 设A 为从甲袋取出的是红球, B 为从乙袋中取出的是红球, 则583.012742324331)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P六、由长期统计资料得知，某一地区在4月下雨(记为事件A)的概率为4/15，刮风(记为事件B)的概率为7/15，即刮风又下雨的概率为1/10，求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B )。
（10分） 解: 由题意P (AB )=1/10, 因此214.0143701515/710/1)()()|(=====B P AB P B A P七、已知随机变量ξ只能取0，1，2，3四个值，相应的概率为k k k k 167,85,43,21，试确定常数k 。
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工程数学期末试题A 参考答案
一、 填空题（每小题3分，共30分） 1、 随机性、独立性 。
2、∑==n
i i
X n
X 1
1
， ,.........2,1,)(1
1
=-=
∑=k X X n
B k
n
i i
k 。
3、0μμ>； 0μμ≠。
4、 4
22π
i
e ， )4
sin
4
(cos
22π
π
i +。
5、2
i z ±≠， 2
2
2
46'
)
14(1
2441024)(+--++=
z z z z z z f 。
6、i π2。
7、 3 。
8、
∑∞
=---1
1
1
)
1(n n n nz。
9、收敛（绝对收敛）。
10、3-=x 。
二、 选择题(每小题3分，共30分)
1、 A;
2、D ;
3、B ；
4、A ;
5、D ；
6、B;
7、B;
8、C;
9、C; 10、A 三、 解：)(1X E =α=θθ
θ
3
220
2
=
⎰dx x
x
，
将样本均值X 代替1α得θ的矩估计为X 23ˆ=θ。
总体的似然函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤==
∏∏
=-=其他,00,2)()(1
21
θθ
θi n
i i n n n
i x x x f L 由于对数似然方程：
02)ln
2ln ln 2()(ln 1
=-=
++-=∏
=θ
θθ
θ
θn
x n n d d d L d n
i i
无解，则直接由)(θL 表达式可以看出θ越小，)(θL 越大，同时2,1,=≥i x i θ，…….,n ，故θ的极大似然估计值为)(1max ˆn i n
i X X ==≤≤θ
解：
)11
(
21
)
)((11
12
i
z i
z i i z i z z +-
-=
-+=
+
=
)211
(21
i
i z i
z i +--
-
当i i z 20<-<时 上式为
)21121
(21i
i z i
i
z i -+
--=
i
i z i
z i 2111
21-+
--
=
∑
∞
=---
-0
)2(
)1(1
21k k
k
i
i z i
z i
当i i z 2>->∞时 上式为
)211)
(1
(21i z i i z i
z i -+
---
=
∑
∞
=----
-0
)2(
)1(21
21k k k
i
z i i
i z i z i
=
∑
∞
=----
-0
1
)2(
)1(1
21
k k k
i
z i i
z i
五、（10分）
解：1=z 是函数2
)
3)(1()(+-=
z z e
z f z
的一阶级点
=]1),([Re z f s 16
)3)(1()
1(lim 2
1
e z z e
z z
z =
+--→
3-=z 是函数2
)
3)(1()(+-=
z z e
z f z
的二阶级点
=
-]3),([Re z f s 165)
3)(1()3(lim )!12(1
3
2
2
3--→-=+-+-e
z z e
z dz d
z
z
则⎰=+-4
2
)
3)(1(z z
dz z z e
=i π2(16
e 16
53
--
e
)
解：该定解问题是：⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤===><<=0
)0,(,),(0,)0,(0),(),0(0
,10,2x u l x c x l c l h c x x c h
x u t l u t u t x u a u t xx tt
有分离变量法可知其通解为：
∑
∞
=+=
1sin
)sin
cos
(),(n n n x l
n t l
a n
b t l a n a t x u πππ
∑
∞
=+-
=
1sin
)cos
sin
)((),(n n
n t x l
n t l
a n l
a n
b t l
a n l
a n a t x u πππππ
∑
∞
==
1sin
)0,(n n x l
n a x u π
∑∞
==
1
sin
)0,(n n
t x l
n l
a n
b x u ππ
0=n b ⎰
⎰
--+
=
c
l
c
n xdx l
n x l c
l h l
xdx l
n x c
h l
a 0
sin
)(2sin
2ππ
=l
c n c l n hl c n hl πππsin
))(22(
2
2
2
2
-+
=l
c n c
l c
n hl
ππ
sin
)11(
22
2-+。