数学竞赛用数列求和(1)
(完整版)数列求和常见的7种方法
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝
[例16]已知数列{an}： 的值.
解：∵ （找通项及特征）
＝ （设制分组）
＝ （裂项）
∴ （分组、裂项求和）
＝
＝
提高练习：
1．已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，
⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列；
⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列；
2．设二次方程 x - +1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
∴ 原等式成立
答案：
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.
解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°
∴ ＝
＝ ＝
∴当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和： ………………………①
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
…………..②（反序）
又因为
①+②得（反序相加）
＝89
∴S＝44.5
题1已知函数
（1）证明： ；
（2）求 的值.
初三数学竞赛题
初三数学竞赛题
以下是两道经典的初三数学竞赛题：
1. （数列求和）1 + 11 + 111 + 1111 + ... 的和是多少？
答案：本题考察的是数列求和。
我们可以将每一项表示为10^n - 1的形式，其中n为项数。
然后利用错位相减法求和。
2. （几何证明）证明任意三角形的三边满足勾股定理。
答案：考虑三角形ABC，其中AB、AC和BC分别是三角形的三边。
我们
将证明$AB^2 + AC^2 = BC^2$。
首先，延长AC至D，使得CD = AB，并连接BD。
然后，根据三角形的全等定理，我们可以证明三角形ABD与
三角形BCD全等。
因此，角ABD = 角BDC，并且BD = BD。
最后，根据三角形的全等定理，三角形ABD与三角形BCD是全等的。
以上两题仅作为示例，竞赛题目往往更难、更复杂，需要扎实的基础知识和严密的逻辑推理。
建议通过持续的数学学习和大量的习题练习来提升自己的数学水平。
数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法小 n⑻ a n) n(n 1),1、等差数列求和公式：S n - — na i d2 22、等比数列求和公式：S nna1a1(1 q n)1 qn 13S n k 丁5 1)k 12n31 2 5S n k ［匚1)］k 1 2［例1］已知log3 x(q 1)a1 a.q1 q(q 1)4、S nnk2k 11—n(n 1)(2 n 1)6解：由log3 x1 亠2 3，求XX x log 23x n的前n项和. log 2 3log 3 x log 322由等比数列求和公式得2S n x x （利用常用公式）［例2］设S n= 1+2+3+ …+n, n€ N*,求f(n) 解：由等差数列求和公式得S nS n"f(门)(n 32)S n 11""c, 64n 34 -n x(1 x n)1 x丄)卍=1 -丄1 1 2n2S n(n 32)S n 112n(n 1)，nn234n 6450 的最大值. S n50•••当n 8，即8 时，f (n).8 max 50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列［例3］求和：S n 1 3x 5x 7x (2n 1)x n 1解：由题可知, ｛（2n 1）x n1｝的通项是等差数列设xS n1x 3x2 5x3 7x4(2n①一②得(1 x)S n 1 2x 2x22x3再利用等比数列的求和公式得：（1x)S n1-(n 1)( n 2)2（利用常用公式）这种方法主要用于求数列｛a n •b n｝的前n｛2n —1｝的通项与等比数列｛x n1｝的通项之积1)x n2x4n 1S (2n 1)x (2n S n 2(1 x)（设制错位）2x n 1(2nn 12^ (2n1)x n (1 x) 1)x nn1)x（错位相减）2 4 6 ［例4］求数列一，-y,亍，2 2 2解：由题可知，｛£n2 畫前n项的和.n｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛步｝的通项之积三、反序相加法求和数列相加，就可以得到 n 个（a , a n ）.［例 5］求证：C 0 3C n 5C ；（2n 1）C ： （n 1）2n①+②得2S (sin 21cos 21 ) (sin 2 2 cos 2 2 )S = 44.5设S n1 S n24尹4①一②得（1 1)S n2S n2歹1尹n 2 2* i2n列 .........2n刘………2 2 T3 T4 2 2 2n尹2n（设制错位）（错位相减）证明：设S nC3C 1 5C 2(2n 1)c n ............................................. ……•①把①式右边倒转过来得S n(2n 1)C：(2n 1)c n 13c nC 0C n（反序）又由 mC nC ：m 可得S n(2n 1)C 0 (2n 1)c n 3C ；1C n.............C n..……②①+②得2S n (2n2)(C 0 C ：n 1C nC n n ) 2(n1) 2n（反序相加）S n(n 1) 2n2求 sin 1 sin 22 sin 2 3sin 2 88・2 “sin 89 的值解：设S sin21sin 22 ・2 sin > 3sin 2 88sin 2 89 ••….... ①将①式右边反序得S sin 289・2sin 88sin 23sin 22.2 .sin 1 ••….... •② （反序）22这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原(反序相加)2 2(sin 89 cos 89 ) = 89题 1 已知函数1）证明：（2）求的值.解：（ 1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以练习、求值: 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 1 4, —2 a (2 a 1 ［例7］求数列的前n 项和：1 1,— a1 解：设 S n (1 1) ( 4) a将其每一项拆开再重新组合得1 1 1S n (1 2F) (1a aa当a = 1时，S n n 匹卫=27,7) (丄 n 1 a (3n 1)n23n 2) 3n 2)(分组) (分组求和)11 1 1 11丄当 a 1 时，& 丄(3n 1)n1 - a ［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n 项和. (3n 1)n 2解：设 a k k(k 1)(2k 1) 2k 3 3k 2n S n k(k 1)(2k k 11)n(2 k 313k 2 k)将其每一项拆开再重新组合得 n3S n = 2kk 1k 2（分组）=2(13 23 n 3) 3( 12 22 n 2) (1 2 n)n 2(n 1 1)22 n(n 1)(2 n 1)n(n 2 1)（分组求和）n(n 1)2(n2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 .裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 .通项分解 （裂项）如: (1) a n f(n 1) f(n) (2) sin1 cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n (3) a n1 n(n 1)(4) a n(2n)2 (2n 1)(2 n 1)1 112(2n 1 1 2n 1)(5)a nn(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n a nn 21n(n 1) 2n2(n 1) n n(n 1)1 2n1 n 2n 11 (n 1)2n，则S " 1(n 1)2"(7)a n(An B)(A n C)C B (An BAn C )(8) a n一 ------- I n 1 m n 、n 11 1[例9]求数列 -------1 - 的前n 项和..2 .2.3. n 、n 1 [例 10] [例 11] 解: :设a n则S n..n（裂项）（裂项求和）在数列｛a n ｝中, 解:a n(,3、2)1 一 n)，又b n-—，求数列｛b n ｝的前n 项的和.1 2n 1 n2 n n 1 2 2• 数列{b n }的前n 项和1 1 -)(22a nb nS n8[(1 =8(11 3)8nn 1 1 (3 1 4)1 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os891 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os89si n1tan(n 1) tan n)sn cos(n 1)1 1 1cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89 1 {(ta n 1 tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3n求证:设S••• Stan 2 ) [tan 89 tan 88 ]}sin 111)=cos1 sin 211(tan 89 sin 1tan 0 )=—sin 1cot1 =害 sin 21原等式成立（裂项）（裂项求和）（裂项） （裂项求和）答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n.[例12] 求cos1° + cos2° + cos3° + •…+ cos178° + cos179° 的值.解：设S n= cosl° + cos2° + cos3° + ••• + cos178° + cos179°••• cosn cos（180 n ）（找特殊性质项）二S n= (cosl ° + cos179 ) + ( cos2° + cos178 ) + ( cos3° + cos177 °) + • • •+ ( cos89°+cos91 °)+ cos90°（合并求和）=013］数列{a n}: a1 1,a2 3,a3 2,a n 2 a n 1 a n ，求S2002.解：设S2002= a1 a2 a3 a2002由a1 1, a2 3, a3 2, a n 2 a n 1 a n 可得a4 1, a5 3, a6 2,a7 1, a8 3, a 9 2, a10 1, a11 3, a12 2,a6k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2, a6k 4 1, a6k 5 3, a6k 6 2a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5a6k 6 0（找特殊性质项）S2002 = a1a2a3 a2002 （合并求和）=(a i a 2 a 3a 6) (a 7a 8a i2)@6k 1a 6k 2 a 6k 6 )(a i993 a i994a i998 )a i999a 2oooa 2ooi a 2oo2=a i999a 2oooa 2ooia 2oo2=a 6k ia 6k 2a 6k 3a 6k 4=5由等比数列的性质 m n p qa m a n a p a q和对数的运算性质 log a M log a N log a M N 得=io七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n 项和，是一个重要的方法.［例 I5］求i ii iii iii i 之和.n 个i解：由于iii ii -9999!(io ki)（找通项及特征）k 个 i9k 个i9••• i ii iiiiii in 个ii i =-(io i) 9 i— (io i) 9^(io 3i) 9^(io n i) 9（分组求和）i I 2=-(io io io 3n、io )丄(i iii)99n 个i［例14］在各项均为正数的等比数列中，若a 5a 69,求 log 3a ilog 3 a 2 log 3 a io 的值.解：设 S n log 3 a 1 log 3 a 2log 3 a io （找特殊性质项）S n (log 3 a i log 3 a io ) (log 3 a 2 log 3 a g ) (log 3 a 5 log 3 a 6)（合并求和）=(log 3a i a io ) (log 3 a 2 a g ) (log 3 a 5 a 6)=log 3 9log 3 9log 3 91 10(10n 1) n9 10 1 9=丄(10n1 10 9n)81［例16］已知数列｛a n｝: a n ,求(n 1)(a n a n 1)的值•(n 1)(n 3) n1解：T (n 1)(a n a n 1) 8(n 1)[-13) 1] （找通项及特征）(n 1)(n (n 2)(n 4)=8 [- 1（设制分组）(n 2)(n 4) (n 3)(n 4)1 1 1 1=4 (——-)8(——-) (裂项)n2n4 n3n41 1 1 1(n 1)(a n a n1) 4 ( ) 8 ( ) (分组、裂项求和)n 1 n 1 n 2 n 4 n 1 n 3 n 41 1 1=4 (- -) 83 4 413提高练习：1.已知数列a n中，S n是其前n项和，并且S n 1 4a n 2(n 1,2,L ),a1⑴设数列b n a n 1 2a n(n 1,2, ），求证:数列b n 是等比数列；a⑵设数列C n n,（n 1,2, ），求证：数列C n是等差数列;22 、2.设二次方程a n x - a n+1X+1=0（n € N）有两根a 和B，且满足6 a -2 a3 +6 3 =3 .⑴试用a n表示a n 1;2⑵求证；数列他-亍｝是等比数列F7⑶当的二—时、求数列％｝的通项公式.3．数列a n 中，a1 8,a4 2 且满足a n 2 2a n 1 a n n N ⑴求数列a n 的通项公式；⑵设Sn | a1 | | a2 | | a n |，求S n ；。
数列求和与极限的专题讲解
[例 4] 求数列
2 4 6 2n , 2 , 3 ,⋅ ⋅ ⋅, n ,⋅ ⋅ ⋅ 前 n 项的和 . 2 2 2 2 2n 1 解：由题可知，{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n = + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n （设制错位） S n = 2 + 3 + 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + n +1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①－②得 (1 − ) S n = + 2 + 3 + 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + n − n+1 （错位相减） 2 2 2 2 2 2 2 1 2n = 2 − n −1 − n +1 2 2 n+2 ∴ S n = 4 − n −1 2
2) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( n + 1 − n )
1 2 n 2 + + ⋅⋅⋅ + ，又 bn = ，求数列 {bn }的前 n 项的和 . an ⋅ an+1 n +1 n + 1 n +1
解：
1 2 n n + + ⋅⋅⋅ + = n +1 n +1 n +1 2 2 1 1 ∴ bn = = 8( − ) n n +1 n n +1 ⋅ 2 2
1 1+ 2 , 1 2+ 3 1 ,⋅ ⋅ ⋅, 1 ,⋅ ⋅ ⋅ 的前 n 项和.
[例 9] 求数列
四年级思维 第2讲 简单数列求和一
第3讲：简单数列求和（一）知识要点:许多同学都知道这样一个故事:大数学家高斯在很小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。
那高斯是用什么方法来巧妙进行计算的呢?因为1到100这100个自然数有这样的关系:1+100=101,2+99=101,3+98=101…一共有多少个101呢?因为一共有100个数,每两个数一组,一共有100÷2=50(组),也就是说有50个101。
所以1+2+3+……+100=101×50=5050。
若干个数按一定的规律排成一列,称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第一项开始,后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为该数列的公差。
这种数列有极简便的求和方法:等差数列的和=(首项十末项)×项数÷2。
通过这一讲的学习,我们不仅掌握有关这种数列求和的方法,而且还能学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。
例1、1+2+3+4+5+6+………+99+100练习1、89+90+91+92+93+94+95+96+97+98例2、求下列各式的和。
(1)1+3+5+7+9+……+97+99(2)2+4+6+8+10+……+98+100练习2(1)1+3+5+7+9+……+47+49(2) 2+4+6+8+10+……+48+50例3、把一堆苹果分给8个小朋友,如果要使每个小朋友都能拿到苹果,而且每人拿到的苹果个数都不同这堆苹果至少要有多少个?练习3、某市举行数学竞赛,比赛前规定,前12名可以获奖,比赛结果第一名1人,第二名并列2人,第三名并列3人……第十二名并列12人,得奖的一共有多少人?例4、把27枚棋子放到7个不同的空盒子中,如果要求每个盒子都不能空,且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多,问能否办到?说明理由。
练习4、有10个盒子,56只乒乓球,能不能把56只乒乓球放进盒中,并且各个盒子里的乒乓球只数不相等?(每个盒子至少放一只球)例5、小明家的一个时钟,在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟的点数,每半点也敲一下。
竞赛中的数列问题
竞赛中的数列问题
数列问题在各类竞赛中都占有重要的地位，不仅在数学竞赛中，在其他学科的竞赛中，数列问题也经常出现。
本文将介绍一些竞赛中常见的数列问题及其解决方法。
一、基础数列问题
基础数列问题主要考察学生对数列基本概念和性质的理解。
例如，求一个数列的前n项，数列的通项公式，数列的极限等等。
解决这类问题，需要学生掌握数列的基本概念和性质，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。
二、数列求和问题
数列求和问题也是竞赛中常见的题型，主要包括等差数列求和、等比数列求和、分组求和等等。
解决这类问题，需要学生掌握各种数列求和的方法，并能够根据具体问题选择合适的方法。
三、数列综合问题
数列综合问题通常涉及到多个知识点，需要学生具有较强的综合运用能力。
例如，一些数列问题会涉及到函数、方程、不等式等知识，需要学生能够灵活运用这些知识解决实际问题。
四、特殊数列问题
特殊数列问题是指一些具有特殊性质的数列问题，例如斐波那契数列、水仙花数、自守数等等。
解决这类问题需要学生掌握这些特殊数列的性质和规律，并能够根据这些性质和规律解决问题。
五、解题技巧
在解决数列问题时，掌握一些解题技巧可以事半功倍。
例如，观察分析法、归纳推理、倒推法等等。
学生应该根据具体问题选择合适的解
题方法，以提高解题效率。
总的来说，竞赛中的数列问题需要学生具备扎实的数学基础和较强的综合运用能力。
通过不断练习和总结经验，学生可以逐渐提高自己的解题能力，在竞赛中取得更好的成绩。
竞赛中的数列问题(一)
满足 某些 特定要 求的数 ． 使 不等 式 １ ＋
１ ＜
去 一 Ａ ＞ ２ ．
～ 一
喜 去 一 ・ 耋去 一 １ （ Ａ ＋ ２ ） 一 １ Ａ 一
枞
２ ／ １ １ 、＾
（ ２ ）证 明 ｆ （ ｓ ＋ ） 一ｆ （ ｓ 一 ） 一ｓ ｔ ， 其中
则厂 （ ） 一 ， （ ＋ １ ） 一（ ＋ ＋
…
ｓ 与 为 正整数 ， 并且 Ｓ ＞ｔ ．（ 第二届 加 拿 大
数 学奥 林 匹克 ）
＋ ２ ｎ＋ １
） 一（
１一 Ｊ一
１ ＞ Ｏ
数 列是高 中数 学 的重要 内容 ， 也 是 高考 、
自主招生 与数 学竞赛 中的命题重 点 内容之 一．
令 一 ＋ Ｌ 十 ｌ ， ， ６ 一 ｎ ＋ ÷ 一
（ ｓ ＋ 。 一 ｏ ＝ ＞ ｎ 一 ０ ） ，
一
、
数 列 竞 赛 题 中 的 一 些 简 单
题 型
１
有 ６ 一 １
１
＂ ＂ — １、’
，
故 一 ， 所以 。 一
１ ．求数列 的通 项或 求 和是常 见题 型．
例 １ 设数 列 ｛ ｝ 的 前 项 和 Ｓ 满足 ：
ｓ ＋ 十 ｎ一 一 ， ’ 一 ｌ １ ，２ ， ２ ， … ，则 遁 通 项 项
（ ２ ）由 于 ｓ ＋ ｔ与 Ｓ —ｔ 的奇 偶性 相 同 ， 故
分析
就 是 证 明数 列 从 第 二项 起 就 是
当ｓ ＋ｔ 与Ｓ 一 同 为偶 数 时 ， ｆ （ ｓ ＋ ） 一
竞赛中的数列问题
竞赛中的数列问题【实用版】目录1.竞赛中的数列问题概述2.数列问题的分类3.数列问题的解题技巧4.实例解析5.总结与展望正文【1.竞赛中的数列问题概述】在各类数学竞赛中，数列问题是一个重要的题型，它涉及的知识点广泛，题型多样，既能考查学生的基本运算能力，也能考查学生的思维能力和创新能力。
数列问题主要围绕等差数列、等比数列及其性质、求和公式、通项公式等知识点展开。
【2.数列问题的分类】数列问题主要分为以下几类：（1）等差数列问题：主要涉及等差数列的性质、求和公式、通项公式等。
（2）等比数列问题：主要涉及等比数列的性质、求和公式、通项公式等。
（3）混合数列问题：涉及等差数列与等比数列的结合，需要运用分类讨论的思想进行求解。
（4）数列的极限问题：涉及数列的收敛性、发散性、极限等概念。
【3.数列问题的解题技巧】（1）熟练掌握等差数列、等比数列的性质和公式，这是解决数列问题的基本功。
（2）善于运用分类讨论的思想，对于混合数列问题，要能够根据题目条件进行分类讨论，寻找解题思路。
（3）对于数列的极限问题，要能够运用数列的收敛性、发散性、极限等概念进行分析。
【4.实例解析】例题：已知数列{an}满足 an=2an-1+3an-2（n≥2），求数列{an}的前n 项和。
解：根据题目条件，我们可以判断这是一个等差数列问题。
首先，根据 an 的表达式，我们可以得到 an-2 和 an-1 的关系：an-2=2an-3+3an-4，进一步可以得到 an-3 和 an-2 的关系：an-3=2an-4+3an-5，以此类推，我们可以得到：an-k=2an-k-1+3an-k-2（k≥2）将上述各式相加，可以得到：an=2(an-1+an-2+...+an-k)+3(an-1+an-2+...+an-k-1)根据等差数列的求和公式，我们可以得到：an=2(n-k)an-k/2+3(n-k-1)an-k-1/2化简得：an=(4n-5)an-k-1/2+(2n-3)an-k/2由此，我们可以求得数列{an}的前 n 项和。
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专题 数列求和在全国高中数学联赛中的应用数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。
常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。
一、 基础知识1.常用的数列求和公式：(1)d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=(2)=n S ⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(11)1()1111q q qa a qq a q na n n （(3))1(211+=∑=n n k nk ；)12)(1(6112++=∑=n n n k nk ；213)]1(21[+=∑=n n knk 2.累加法：给出数列｛a n ｝的递推式和初始值（等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式），求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。
3.错位相减法：主要用于求形如{n n b a ⋅}数列前n 项的和，其中｛a n ｝、｛b n ｝分别成等差数列和等比数列。
等比数列的求和公式，当1≠q 时的情况：qq a S n n --=1)1(1就是通过错位相减法得到的。
4.倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。
等差数列的求和公式：2)(1n n a a n S +=就是用倒序相加法推导出来的。
5.通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。
例1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是：)12)(1(++=n n n a n ，试求｛a n ｝ 的前n 项和n S 。
导析：很多学生会试图计算出 ,84,30,6321===a a a 以此找出规律，但这很难解决问题。
因此需要对数列的通项展开进行分析。
把通项展开得：n n n a n ++==2332，故可把｛a n ｝分成三类分别求和。
)21()21(3)21(2222333n n n S n +++++++++=∴ 利用求和公式可得：2)2()1(2)1(6)12)(1(32)1(222++=++++⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=n n n n n n n n n n S n 6.裂项法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
裂项法实质是将数列中的某些项分解而后重新组合，使之能够消去一些项，最终达到求和的目的。
7.利用数列周期性求和：有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和。
关键之处是寻找周期。
例2. 已知数列且中,212121,2,1,}{++++++===n n n n n n n a a a a a a a a a21++n n a a ∑==≠199911999,1n naS 则= 。
（1999年河南省高中数学竞赛）二、 综合应用例3. 设244)(+=xxx f ，那么和式 +++)10013()10012()10011(f f f + )10011000(f 的值等于： 。
（1986年全国高中数学联赛） 例4.对于每个自然数n ，抛物线1)12()(22++-+=x n x n n y 与x 轴交于n n B A ,两点，以||n n B A 表示两点间的距离，则||||2211B A B A +++||19921992B A 的值是（ ）（1992年全国高中数学联赛）A ．19921991 B ．19931992 C ．19931991 D ．19921993例5. )4(2≥n n 个正数排成n 行n 列，n a a a a a 114131211 n a a a a a 224232221 n a a a a a 334333231 n a a a a a 444434241 ……nn n n n n a a a a a 4321其中每一行数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都有相等，已知163,81,1434224===a a a ，求nn a a a a S ++++= 332211。
（1990年全国高中数学联赛）例6.设数列}{n a 前n 项和),2,1(12 =-=n a S n n ，数列}{n b 满足：31=b ，),2,1(1 =+=+k b a b k k k 。
求数列}{n b 的前n 项和。
（1996年全国高中数学联赛，第二试第一题）课后：1.设n 为自然数，且32323212112+-+-+++=n n n n n a n 则531111a a a ++99999711a a +++ 的值是（ ）（《中等数学》竞赛训练题） A.3 B.4 C.5 D.6 2.设N n n S n ∈++++=,321 。
求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值。
（2000年全国高中数学联赛）3.设n n x a )3(-是的展开式中x 项的系数（n=1,2,3,…），则：=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n a a a 333lim 3322 。
（2000年全国高中数学联赛） 4.数列+=-==-=+++n n n n n n a a a a a n a a a a 321321,2,1,1,}{有若对自然数中且321+++++n n n a a a 1321≠+++n n n a a a 则 该数列的前4321项和432S = 。
（2000年上海高中数学竞赛）5.已知abx x f x 21)13(log )(31++=为偶函数，xx b a x g 22)(++=为奇函数，其中C b a ∈,，则200032200032b b b b a a a a +++++++++ = 。
（2000年河北省高中数学竞赛）6.设正数列 ,,,,,210n a a a a 满足12122----=-n n n n n a a a a a )2(≥n 且110==a a ，求}{n a 通项公式。
（1993年全国高中数学联赛）答案提示：1.5),11(21150011233=--+=∑=-i i n a n n a ； 2.501； 3.18； 4.利用周期性可得：-4321； 5.-2； 6.利用累加法和递推关系可得：当n=0时10=a ;当N n ∈时，∏=-=nk kn a 12)12(）1.导析：很多学生会试图计算出 ,84,30,6321===a a a 以此找出规律，但这很难解决问题。
因此需要对数列的通项展开进行分析。
把通项展开得：n n n a n ++==2332，故可把｛a n ｝分成三类分别求和。
)21()21(3)21(2222333n n n S n +++++++++=∴ 利用求和公式可得：2)2()1(2)1(6)12)(1(32)1(222++=++++⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=n n n n n n n n n n S n 2.导析：此题中给出的是数列递推式，不难想到｛a n ｝是周期数列。
把2,121==a a 代入 2121++++++=n n n n n n a a a a a a (1)，可求出33=a ；再用n+1去换（1）式中n 可得： =+++321n n n a a a 321+++++n n n a a a (2)。
由（2）-（1）得：0)1)((213=--+++n n n n a a a a 。
121≠++n n a a 故n n a a =+3，周期为3，通过计算可得39971999=S3.导析：题中的10011，,,10012 1001999,10011000直接代入)(x f 不仅计算量大，而且很难得到正确结果，于是转而寻求这些变量的关系。
设x+y=1,则有：1244244244244)()(11=+++=+++=+--xx xx yy xx y f x f ，故此题可用倒序相加法。
)10011000()10013()10012()10011(f f f f S +++= （1）)10011()1001998()1001999()10011000(f f f f S +++= （2）由（1）+（2）可得2S=个10001111++++，∴所求的值为500。
值得说明的是：此题不用倒序相加法，而用首尾相加法也可，不过这样必须讨论n 是奇数还是偶数，从本题中也可以看到倒序相加法可以避免讨论的优点。
4.导析：设计此题目的是考察数列的通项知识和数列的裂项求和法。
当y=0时可求得：,11,121+==n x n x 111||+-=∴n n B A n n 。
故 ||||2211B A B A +++ ||19921992B A )1993119921()3121()211(-++-+-=.19931992199311)1993119921()3121()211(=-=-++-+-=需要指出的是：对于形如：))((q n p n ta n ++=（其中t 、p 、q 是常数），一般用裂项法，把n a 拆成)11(qn p n p q t +-+⋅-形式，使中间的一些项能够消去，从而实现求和的目的。
5导析：设第一行数的公差为d,各列的公比为q ，则第四行数列公差是dq 3,于是，由题设得出方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=1638181)(1)3(343311421124dq a q d a a q d a a 解之得：2111±===q d a因为这n 2个数均为正数，故2111===q d a 。
而对于任意的n k ≤≤1有：.21])1([11111kk k k kk k q d k a q a a ⋅=-+==--故 n n S 21212212⋅++⋅+=①， 这类数列求和，我们通常考虑用错位相减法，在①两边同时乘以21可得： 132212122121+⋅++⋅+=n n S ② 由①-②得：132212*********+⋅-++++=n n n S n n n S 22121--=∴- 6.导析：此题n n a b 依赖于，故应先求出n a 。
由12-=n n a S ① 可得： )2(1211≥-=--n a S n n ②。
由①-②得12-=n n a a )2(≥n ，当n=1时：12111-==a S a ∴11=a 。
因此}{n a 是以1为首项，公比为2的等比数列。
对于),2,1(1 =+=+k b a b k k k 有： 31=b223b a b += 334b a b += ……11--+=n n n b a b将上列等式两端相加，得：22321211111+=+--=+=---n n n n b S b 。