概率论第1章第3-4节(jg)

5!5!2! 5!5!5!
91
例6 ：公平抽签问题：袋中有 出，试求第
个白球， 个彩球，从中逐一摸
次摸得彩球的概率。
解:设
=“第 k 次摸得彩球”
个元素进行全
将 只白球和 只彩球逐一摸出相当于把 排列,样本空间
第 次摸得彩球必是 个彩球中的任一个，共有 种结果, 其余 进行任意排列,共有 种排列。 所以事件 于是 包含的样本点数为
课堂练习：P33, 6、9、10
以 B的样本点数为：
所以
(3) 下面我们来求 事件 C所含样本点数，我们先取m个球放入指定
盒中，共有 种取法，然后再把剩下的（n-m）个球任意放入 其余（N-1）个盒中,放法有 种，
根据乘法原理可得C的样本点数为： 所以 注：有不少实际问题与(2)有相同模型 例如：假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都 可以将365天看作盒子 ，n 个人看作 n 个球。 设A=“n个人生日各不相同” 故所求概率为：
三、举 例
例1 有一号码锁上有6个拨盘，每个拨盘有
十个数字，给定一个6位数字暗码，只有拨对号码时，才 能将锁打开。 问：“一次就能打开”的概率是多少？
解：设 A=“一次就把锁打开”
样本空间中样本点总数为 A所含样本点数
例2 一口袋6只球，其中4只白球，2只红球， 从袋中取球两次，每
次随机取一只，考虑两种取球方式：a)有放回 b)无放回 试就 a)、b) 两种情况求下列事件的概率： A={取到两只球都是白球}；B={取到两只球颜色相同}; C={取到两只球至少有一只是白球}
1.3 一、 频率的定义
定义 设事件A 在
频率与概率
次试验中出现了
次，则称
为事件A发生的频率，并记为
频率的性质
1）非负性 2）规范性 即对任一随机事件A，有 0 f n ( A) 1 即若S是必然事件，则
k
fn (S) 1
k
3）有限可加性：即若 A1 , A2 , Ak 为两两互不相容的事件则 f n (来自 Ai )＝ f n ( Ai）
i 1 i 1
频率稳定性, P8-表1和表2 1
实际中，不可能对每个事件做大量实 验,然后求事件的频率,用它来表征事件发生 的可能性大小,为此从频率的
给出概率的定义,用概率来表征事件发生的 可能性大小
二、概率 定义：设 S 为试验 E 的样本空间, 对于E的每一事件A赋于一 个实数,记为P(A) ,如果集合函数P(.)满足： 1）非负性： 即对任一随机事件A，有 P ( A) 0 2）规范性 对必然事件S ，有 P ( S ) 1 3）可列可加性：即若 A1 , A2 ,, Ak ,为两两互不相容的事件 则称P(A)为事件A的概率 概率的性质：
6
古典概型的计算公式：
设 S {e1 , e2 ,, en } P ({e1 }) P ({e2 }) P ({en }) 所以有
1＝P ( S ) P ({e i }) P ({e i }) nP ({e1 })
i 1 i 1 n n
1 1 P ({e1 }) 于是 P ({e j }) , j 1,2,, n n n 若A S , 含k个基本事件， {e i1 } {e ik } A k P ( A) P ({e i1 }) P ({e ik }) n A包含的基本事件数 S中基本事件的总数
例7 区长办公室某一周内曾接待过9次来 访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否 可以断定接待时间是有规定的？
解 假定办公室每天都接待，则
29 P( 9次来访都在周三、日) = 9 = 0.0000127 7
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.
为：1/365，则随机选取n 个人，它们的生日各不相同的概率问题，
所以 n个人中至少有两人生日相同的概率为：
经计算可得下述结果：
从表中可看出，在仅有64人的班级里“至少有两人生日 相同”这事件的概率与1相差无几。
例5 将15名新生随机的平均分配到三个班级中去，这 15名新生中有3名是优秀生。 （1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？ （2）3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？ 解: 设A={每一个班级各分配到一个优秀生}
解：a) 有放回 D ={取到两只球都是红球} 1)
2 2 1 P D 6 6 9
P B P A D P A P D 8 3) P C P D 1 P D 9
2) 取到两只球颜色相同的概率等价于 A D , AD
则有 P ( Ai )＝ P ( Ai）
i 1 i 1


证明： 令 Ai , n 1,2,
P ( An ) P ( An )
i 1 i 1


即 P ( ) P ( )
2
i 1

P ( ) 0
2） 有限可加性: 若
两两互不相容，即
证明： 令 An1 An 2 P ( Ai ) P ( Ai ) P ( A1 ) P ( An ) P ( ) P ( )
15
结果表明，
与
无关，说明无论第几次取球，取得
彩球的概率都相同，这正好和我们日常生活经验相符，如体育比
赛中进行抽签与抽签的先后次序无关。
小概率原理 小概率事件 ——
若P(A) ≤ , 则称A为小概率事件. 0.01
小概率原理 —— ( 即实际推断原理 ) 一次试验中小概率事件一般是不 会发生的.

i 1
i
种不同的方法
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放
回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有 m An n(n 1)(n 2)(n m 1)
全排列
A n!
n n
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放
回地）组成一组， 不同的分法共有 n! m Cn m!(n m)!
6）对任意两事件A 与 B ,有
证明： A B A ( B AB), A ( B AB) P ( A B) P ( A) P ( B AB) P ( A) P ( B) P ( AB)
推广到n个事件：
4
例1：设
S
解：
A
A B
5
例2：若A与B同时发生时事件C必发生，则

b)无放回 1) 2)
P D
2 1 1 6 5 15
7 P B P A D 15
3)
例3 袋中装有
个球，其中有
个白球和
个黑球，从中任取
个，问所取的球中恰含有
个白球和
个黑球的概率。
解：设A=“所取的球中恰含有 A事件的取法为：
个白球和
个黑球”
而样本空间的基本事件总数为 ： 所以 此例可推广到 称此为超几何分布公式
注：计算事件A的概率，关键在于弄清楚什么是样本点，
样本空间中包含样本点的总数以及A所包含的样本点数。
7
排列组合有关知识复习
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m

i 1
i
种不同的方法
乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
例4 将 只球随机地放入 个盒子中去，每 球放入各盒等可能，试求下列事件的概率： ①
②
③
解：(1) 由于每个球可落 入 N 个盒子中的任一个盒子,故样本空间
有
种 不同放法
事件Ａ中样本点数取决于ｎ个球放入ｎ个盒子中的顺序，故Ａ包含 的样本点数为：
所以
(2) 事件B与事件A的差异仅在于各含一球的n个盒子没有指定，所
B={三名优秀生分配在同一个班级}
15名新生平均分配到三个班级中的分发总数为
15 10 5 15! 5 5 5 5!5!5! 1)事件A中基本事件数为 3!12 8 4 4 4 4
3 BB A
P ( B) P ( A)
4）对任何事件A有
证明： A S, P ( A) P ( S ) 1
5）对任何事件A有
证明： A S A,
P ( A ) P ( S A) P ( S ) P ( A) 1 P ( A)
A B
证： AB C
结论成立
课堂练习题：
1.课本P33,4
2.备课本P9
1.4 等可能概型(古典概型) 一、概率的古典定义
定义 满足以下两个特征的随机试验称为古典概型。
（1）有限性：试验E的样本空间中只有有限个样本点 （2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相同， 即： 这种试验是概率论早期研究的对象，称古典概型。
i 1 i 1 n
P ( A1 ) P ( An )
3）若 ，则 且
P ( B A) P ( B) P ( A)
证明： B ( B A) A, ( B A) A P ( B) P ( B A) P ( A) 于是 P ( B A) P ( B) P ( A)
所以 P A 3!12! / 15! 25
4!4!4! 5!5!5!
91
12 7 2 3 12! 2）B事件中基本事件数为 3 5 5 2 5!5!2!
所以 P( B) 3 12! / 15! 6