第七讲 新定义运算
定义新运算
例3：如果a□b=a×b-(a+b)，求6□（9□2）。
练习：规定a▣b=a×b-（a＋b），求（10▣5）＋（28▣5）的值。
例4：已知1◎4=1+2+3+4，4◎5=4+5+6+7+8，按此规定，2001◎5=？
练习：如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40，已知x□3=5973，求x。
（2）它通常使用特殊的运算符号，如：*、□、★、◎、※、Δ等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
【型例题】
例1：对于任意数a，b有a*b=ab-a-b，求12*4的值。
练习:设a、b都表示数，规定：a○b=6a－2b，试计算3○4。
例2：假设a★b = (a + b)÷b，求8★5。
4、如果2▣3=2＋3＋4，5▣4=5＋6＋7＋8，且1▣x=15，求x。
5、对于任意的两个数a、b，规定a*b=3×a+b÷3，求：2*（4*9）*3的值。
6、已知：1◎4=1×2×3×4 6◎5=6×7×8×9×10，计算：①（5◎4）÷（3◎3）；
②（4◎2）+（5◎3）
7、如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算①5！
8、N为自然数，规定F（N）=3N-2例如F（4）=3×4-2=10
试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值
9、规定（25）=2+5=7（123）=1+2+3=6（65）=6+5=（11）=1+1=2
定义新运算
定义新运算 一、考点剖析定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、经典例题与课堂练习【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
【练习1】1.设a*b=2a +2b ，那么求10*6和5*（2*8）。
2.设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
练习2：3△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－1113*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=261．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。
2．设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
#定义新运算
3.对于数a、b、c、d,规定,< a、b、c、d >=2ab-c+d,已知< 1、3、5、x >=7,求x的值。
例.对于数a、b定义运算“△”为 a△b=(a+3)✘（b–5)，5△（6△7)等于 多少。
举一反三
1.设a、b表示数，规定:a★b=3✘a–2✘b，求 （17★6）★2等于多少。
2.对于数x、y定义两种运算“*”及 “△”为:x*y=6✘x+5✘y， x△y=3✘x✘y，求（2*3）△4等于多 少为定义一 种新的运算法则。解答定义新运算，关 键是要正确地理解新定义运算的算式含 义。然后严格按照新定义运算的计算程 序，将数值代入，转化为常规的四则运 算再进行计算。定义新运算是一种特别 设计的计算形式，它使用一些特殊的运 算符号，这是与四则运算中的加减乘除 符号是不一样的。新定义的算式中有括 号的，要先算括号里的。
第七讲 定义新运算
第七讲 定义新运算一、例题精讲：例1、若A*B 表示（A ＋3B ）×（A ＋B ），求5*7的值。
动动手：定义运算⊖为a ⊖b =5×)(b a b a +-⨯.求11⊖12.例2、定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）动动手：设a 、b 表示两个不同的数,规定b a b a ⨯-⨯=∆34.求2)34(∆∆.例3、对于数a 、b 、c 、d ，规定，< a 、b 、c 、d >＝2ab －c ＋d ，已知< 1、3、5、x >＝7，求x 的值。
动动手：P 、Q 表示两个数,P ※Q =2Q P +,如3※4=243+=3.5.求4※(6※8);如果x ※(6※8)=6,那么=x ?例4、规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]动动手：y x ,表示两个数,规定新运算“”及“△”如下:xy x y 56+=,x △xy y 3=.求(23)△4的值.例5、b a b a b a ÷+=∆,在6)15(=∆∆x 中.求x 的值.动动手：规定a ⊕)1()2()1(-+++++++=b a a a a b Λ,(b a ,均为自然数,a b >).如果x ⊕10=65,那么=x ?二、精练：1. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a 43+=∆.求6)78(∆∆.2. 定义运算“”为x )(2y x xy y +-=.求12(34).3. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a ⨯-⨯=⊕23,如果已知42=⊕b .求b .4. 定义新的运算a ⊖b a b a b ++⨯=.求(1⊖2)⊖3.5. 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:2⊗4=10,5⊗3=18,3⊗5=14, 9⊗7=34.求7⊗3=?6. 定义新运算为b a b a 1+=∇.求)43(2∇∇的值.7. 对于数y x ,规定运算“○”为x ○)3()4(-⨯+=b a y .求7○(8○9)的值.8. 设ab 表示a 的3倍减去b 的2倍,即a b =b a 23-,已知x (41)=7.求x .9. 定义两种运算“⊕”、“⊗”,对于任意两个整数b a ,,1-+=⊕b a b a ,1-⨯=⊗b a b a .计算)]53()86[(4⊕⊕⊕⊗的值.10. 对于数b a ,规定运算“∇”为)1()1(b a b a -⨯+=∇,若等式)1()(+∇∇a a a )()1(a a a ∇∇+=成立,求a 的值.。
三年级春季班总结(第七讲定义新运算)(精)
第七讲：定义新运算一、什么是定义新运算回忆：我们课堂上的游戏，当老师设定“右”代表“右脚跺三下”时，老师发出口令“右”，你会怎么做？定义新运算——那就是我们给一个符号设定的新的运算规则。
那么当你看到这个新的符号时，一定要找到它的运算规则！二、怎么做新运算1、找到运算规则2、严格按照运算规则代入数字进行计算，有括号先算括号里的三、题型讲解1、告诉运算规则，计算结果例2 设a、b都表示数，规定a△b=3×a-2×b（1）求3△2，2△3（2）这个运算“△”有交换律吗？（3）求（17△6）△2，17△（6△2）（4）这个运算“△”有结合律吗？解析：本题的新运算符号是△，那么先一定要清楚△的运算规则：a△b=3×a-2×b，即用“△”前面的数的3倍减去“△”后面的数的2倍（1）3△2=3×3-2×2=52△3=3×2-2×3=0（2）由（1）的计算可知3△2≠2△3，所以“△”没有交换律（3）对于（17△6）△2，先算17△6=3×17-2×6=39，再算39△2=3×39-2×2=113对于17△（6△2），先算6△2=3×6-2×2=14，再算17△14=3×17-2×14=23（4）由（3）的计算可知（17△6）△2≠17△（6△2），所以“△”没有结合律注：由本题我们得知，对于一个新运算来说，一般不满足交换律、结合律等运算律，所以在没有确定新运算是否具有这些运算律时，千万不能运用这些运算律来解题。
例3 设m 、n 是两个数，规定：m※n=4×n-（m+n）÷2，这里“+、-、×、÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“※”是新的运算符号，计算3※（4※6）解析：先一定要找到新的运算符号“※”的运算规则m※n=4×n-（m+n）÷2，即用“※”后面的数的4倍减去“※”前后数的和的一半。
定义新运算
定义新运算导言在数学中，运算是一种数学操作，用于对数值或数值集合进行处理和计算。
常见的运算包括加法、减法、乘法和除法等。
然而，在某些场景下，常规运算无法满足需求，因此需要定义新的运算。
新运算的定义新运算是指不属于常规运算范畴的一种数学操作。
它可以对数值进行加工处理，从而获得满足特定需求的结果。
与常规运算不同的是，新运算可能具有不同的符号、规则和运算法则。
新运算的特点1.创新性：新运算是一种相对于常规运算的创新，它提供了新的数学方式和解决问题的途径。
2.特殊性：新运算通常具有特殊的性质和规则，与常规运算存在差异。
3.应用性：新运算在特定领域或问题中具有较高的应用价值，能够更好地解决特定问题。
新运算的例子例子一：矩阵运算矩阵运算是一种常见的新运算。
它对矩阵进行加、减、乘等操作，从而获得矩阵相加、相减、相乘后的结果。
矩阵运算在线性代数、计算机图形学等领域具有广泛的应用，例如图像处理、机器学习等。
例子二：向量运算向量运算是指对向量进行处理和计算的一种新运算。
它可以进行向量的加法、减法、点积、叉积等操作，从而获得向量的相加、相减、点积、叉积等结果。
向量运算在物理学、力学等领域具有重要的应用，例如力的合成、求解位置等。
新运算的运算法则新运算的运算法则是指确定新运算的规则和操作方式。
它可以保证新运算的正确性和可靠性。
不同的新运算可能有不同的运算法则，以下是一些常见的运算法则：1.封闭性：新运算中的结果仍然属于原有运算的数值集合。
2.结合律和交换律：新运算满足结合律和交换律，可以改变运算顺序或数值顺序而不影响结果。
3.幂等性：多次进行新运算的结果与一次运算的结果相同。
4.分配律：新运算与其他运算之间满足分配律，可以在不同运算之间进行组合。
结语通过定义新运算，我们可以拓展数学领域的研究和应用范围，寻找更加适用于特定问题的数学工具和方法。
新运算的引入和应用将促进数学学科的发展和创新，对于解决实际问题和推动科学进步具有重要的意义。
定义新运算
定义新运算【知识概括】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
【典型例题】例1、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
例2、设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
3△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
例3、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
新定义运算
所以7⊙3 ＝2×7＋3＝17
例5：a □ b表示a的3倍减去b的2倍， 已知 x □(4□1)＝7，求x。 解：由题意可得：
a □ b＝3×a－2×b 4 □1＝3×4－2×1＝12－2＝10
x □10＝3×x－2×10＝3x－20＝7 x＝(7+20)÷3＝9
例1：设a，b都表示数，规定a △ b＝ 3×a－2×b， （1）求2△3 、3△2 ； （2）求(17△6)△2 、 17△(6△2)；
（3）已知4△b＝2，求b。
解：（1）2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0、 3△2 ＝3×3－2×2＝9－4＝5 ；
（2）(17△6)△2 ＝ (3×17－2×6)△2＝ 39△2＝ 3×39－2×2＝113. 17△(6△2) ＝ 17△(3×6－2×2)＝17△14 ＝ 3×17－2×14＝23. （3）4△b＝3×4－2×b＝12－2b＝2， b＝（12－2）÷2＝5
新定义 运算
定义新运算：指用一个符号和已知运 算表达式表示一种新的运算．
注意：
（1）正确理解新定义的算式含义，严格按照 新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再 把它转化为一般的四则运算后进行计算．
（2）它是使用特殊的运算符号，如：⊙、▲、 ★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算．
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括 号里面的
27 △ 4＝3×27×4＝324 (2□3)△4＝324
家作
1、对于任意两数a，b，定义运算 “☆” 为：a ☆ b＝(a＋4)×(b－3)， 计算7 ☆(8☆ 9)的值。 2、规定： 6※2＝6+66＝72， 2※3＝2+22+222 ＝246， 1※4＝1+11+111+1111＝1234， 那么，5※4的值是多少？
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第七讲新定义运算小朋友们，你们见过除了＋、－、×、÷这些运算符号之外的其他运算符号吗？在这一讲里，我们会一起来看看很多有趣的运算符号。
定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。
在定义新运算中的※，〇，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。
解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。
典型例题
例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
分析A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）
＝（5＋21）×12
＝26×12
＝312
例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）
分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；
6△（3△4）
＝6△1
＝（6＋1）÷1
＝7
例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。
解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算下式：[（7◎3）&5]×[ 5◎（3 & 7）]
分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
解[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]
＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]
＝6×5
＝30
例【5】如果1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算：（3※2）×5。
分析通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。
解（5※3）×5。
＝（5＋55＋555）×5
＝3075
小结解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是同学们对问题的理解及适应能力。