概率论第七章第三节
概率论(仅供参考)
前言由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点 内部使用，仅供参考，不承当任何后果。
参考： 课本 课件第一章该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解第一节重点：德·摩根律公式交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C ）（A∩B)∩C=A∩(B∩C ）分配律：A∩(B ∪C) = (A∩B)∪( A∩C )A ∪(B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C ） 德·摩根律A B AB A B A B ==第二节频率性质1. 样本任意一事件概率不小于0（非负性）2. 样本事件概率和为1（规范性）3. 如果AB 互斥 ()()()n n n f A B f A f B =+4. 如果AB 不排斥 ()()()()n n n n f A B f A f B f A B =+-⋂5. ()1().P A P A =-第三节 古典概型性质1. 样本空间中样本点有限，既事件有限2. 样本点概率等可能发生3. ()==k A P A n 中所含的基本事件数基本事件总数例题排列组合问题（要是考应该不会太难）几何概型求法：1.求出状态方程2.根据定义域画图3.求概率=阴影面积/总面积第四节条件概型公式：()()()() (|).()()()()AB AB P AB P A BB B P BμμμΩμμμΩ===条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题11()()()()n ni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑例题 书 p251()(|)(|)()(|)i i i ni ii P A P B A P A B P A P B A ==∑第五节独立性如果AB事件独立P AB P A P B()()()若多事件相互独立，理论仍然成立贝努利概型既服从二项分布模型抽取n次的组合次数第二章重点章节，几大分布都是后几章的基础第二节 离散型随机变量及其分布律1. 两点分布、0﹣1分布既随机变量 X 只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币 记为 X~b （1，p ） p 表示事件的概率，样本点个数为1, 并且1-p 表示相反事件概率 2. 二项分布（应用于上章的贝努利概型）与0-1分布类似，事件执行n 次，记为 X~b （n ，p ） p 表示事件的概率 样本点个数为n 3. 泊松分布{}e ,0,1,2,,!kP X k k k λλ-===⋅⋅⋅记为 X~π(λ)，如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的λ二项分布X~b （n ，p ）当n 充分大，p 充分小时，对于任意固定的非负整数k ，与泊松分布概率近视相等，并且λ=nb （数学期望相等） 4. 几何分布既抽取问题中可放回情况，该分布具有无记忆性-1{}(1),1,2,k P X k p p k ==-=5. 超几何分布既抽取问题不放回情况12{},0,1,2,k n k N N nNC C P X k k C-===第三节 随机变量及其分布随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题） 求事件概率公式，p511. 已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）根据公式000{}(0)(0)P X x F x F x ==+--求出各个点的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。
概率论第七章讲解
7.1
一.点估计
设总体X的分布函数为 F(x; Ө )， 其中Ө为未知参数 (Ө可以是向量) . 现从该总体抽样，得到样本X1,X2,…,Xn
从样本出发构造适当的统计量
T T (X1,, Xn )
作为参数 Ө的估计量，即点估计。 将x1,…,xn 代入估计量，得到Ө的估计值
T (x1,, xn )
2 i
i 1
例6. 设总体X的概率密度如下，其中θ>0 为未知参数,试求θ的矩估计量。
f (x; )
1
x
e , x
2
解：
E(X )
x
1
x
e dx 0
2
E(X 2)
x2
1
x
e
dx
1
x2
x
e
dx
2
2
2
0
2 2
1 n
n i 1
X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 i
ˆ
1 2n
n i 1
X
2 i
例1. 设总体X的分布律如下，其中θ为 未知参数,试求θ的矩估计量。
X1
2
3
P 2 2 (1 ) (1 )2
解：E(X ) 1 2 2 2 (1 ) 3(1 )2 3 2
E(X ) 3 2
1 n
n i 1
Xi
X
ˆ 3 X
2
例2. 设总体X~B(n,p)，其中n已知。 试求p的矩估计量。
（假定身高服从正态分布 N (,0.12 ) ）
现从该总体选取容量为5的样本，我们 的任务是要根据选出的样本（5个数）求出
总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数
概率论第7章7-3
因为
2
n n1
2
ˆ
2
S
2
n1
1
n
( X i X ),
2
i 1
即 S 是
的无偏估计
, 故通常取
S 作 的估计量
2 2
.
例3
n n1
设总体
X 在 [0, ]上服从均匀分布
, 参数 0, 2X 和 .
X 1 , X 2 , , X n 是来自总体
X 的样本，试证明
1 n 0 , 有 lim P X i 1 , n n i 1 n 1 所以 X X i 是 的相合估计量 . n i 1
又 B2
n
1
n
1
n
(Xi X )
2
i 1
n
1
n
(Xi 2XiX X )
, 方差
,则
2
2
0 都存在的总体
,若
2
的估计量 ).
2
ˆ
2
n
1
n
(Xi X )
i 1
是 有偏的 (即不是无偏估计
证
因为
ˆ
2
1 n
i 1
2
n
X i X A2 X ,
2 2
2
E ( A2 ) 2
,
2 2
又因为 所以
E ( X ) D ( X ) [ E ( X )]
2
2
2
i 1
n
Xi X
2
2
A2 X ,
概率论第七章 第三节.ppt
例题5：设总体 X～N(μσ2),其中参数均未知，设 X1,X2,…,Xn为来自总体的样本。求μ的置信水平为1-α的置 信区间的长度L的平方的数学期望与方差。 解：
从而得：
从而得：
正态总体方差的区间估计
Step1:由前面一章的定理可得样本方差构成的 随机变量W：
样本均值、样本方差
未知
设置信水平为α，试求σ12/σ22置信区间。 Step1:由前面一章的定理可得样本均值构成的随机变量W：
Step2:对所给的置信水 平α，有：
Step3: 从不等式中解出均值方差比得： 因此方差比的置信区间为：
例题:研究由机器A、B生产的钢管的内径，它们分别服从正态 分布(μ1,σ12),N(μ2,σ22).随机抽取机器A生产的钢管18只，测 得样本方差为0.34mm2;随机抽取机器B生产的钢管13只，测 得样本方差为0.29mm2;试问在置信水平0.90下方差是否有明 显区别？
解00110901查表得20051645zz再由样本可算出161116212516iinxx于是所求的置信区间为例题2设总体x服从正态分布n1252问抽取样本容量为多大的样本才能使总体均值的置信水平为095的置信区间的长度不大于049解1251095005查表得于是置信区间的长度为例题3设从总体x中抽取一个样本050125080200如果总体的函数ylnx服从正态分布n11求总体均值ex
区间估计
理解区间估计的概念，置信水平与置信区间 的概念。 会求正态总体的均值与方差的置信区间。
问题提法
这种形式的Leabharlann 数估计方法称为区间估计 .置信区间与置信水平
定义：设总体X的分布函数中含有一个未知参数θ，对 于给定的小数α(0<α<1)，如果能由样本 X1,X2,…,Xn 确定两个统计量：
[学习]概率论与数理统计浙大四版第七章第七章3讲
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•长度 它准则.
尽可能短，或能体现该要求的其
•可靠度与精度是一对矛盾， •一般是在保证可靠度的条件下
•尽可能提高精度.
•关于定义的说明
•若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) •按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
•例如
•二、置信区间的求法 • 例1 设X1,…Xn是取自
•求参数 的置信度为
•的点 为X的概率分布的上 分位数.
• 设0< <1, 对随机变量X，称满足
•的点
为X的概率分布的上 分位数.
•标准正态分布的 •上 分位数
•例如:
• 设0< <1, 对随机变量X，称满足
•的点
为X的概率分布的上 分位数. •自由度为n的 • 分布的上 分位数
•例如:
• 设0< <1, 对随机变量X，称满足
•设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值
•解
•附表3-1
•就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与 507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
•这个误差的可信度为95%.
•推导过程如下: •根据第六章第二节定理二知
•进一步可得:
•注意: 在密度函数不对称时, •习惯上仍取对称的分位点 来确定置信区间(如图).
•1.
•由例1可知:
••例2 包糖机某日开工包了12包糖,称得质量( 单位:克)分别为 5•50163,,550201,,459250,,485182,5,4084,5.48假6,设50重5,量服从正态分布,
•解
•..\新建文件夹4\2-1.ppt2-1
•查表得
•附表2-2
•推导过程如下:
••例3 有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得 重量(克)如下:
概率论第七章
例 8．求例 2、3 中 X 与 Y 的协方差。
相关系数定义
定义 5 设 ( X , Y ) 是一个随机向量，当 DX > 0 ，
DY > 0 时，称
X − EX Y − EY ρ ( X ,Y ) = E DX DY
为 X 与 Y 的相关系数。
注： （1） ρ ( X , Y ) = E ( X Y
∗
∗
)
。
（2）
D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ±2 ρ ( X , Y ) DXDY
例 9．求例 2、3 中 X 与 Y 的相关系数。
相关系数的性质） 定理 5 （相关系数的性质 相关系数的性质 当 DX > 0 ， DY > 0 时， （1） ρ ( X , Y ) = ρ (Y , X ) ； （2） ρ ( X , Y ) ≤ 1 ；
例 18．设 X ∼ N ( 0,1) ， 1）求 P ( X < 2 ) ； （ （2）估计 P ( X < 2 ) 的下界。
定理 9
柯西-许瓦兹不等式：设 ( X , Y )
是任意一个二维随机变量，则
( E ( XY ) )
2
≤ E(X
2
) E (Y ) 。
2
五、中心极限定理
• 大数定律 • 中心极限定理
(b − a ) DX =
12
1
2
5．指数分布 E ( λ ) ： DX =
6．正态分布 N ( µ , σ 2 ) ： DX = σ 2
λ2
方差性质
定理 3 设 k 与 c 都是常数。 （1） D ( c ) = 0 ；反之，如果某个随机变量 X 的方 差为 0，那么， P ( X = c ) = 1 ，其中 c = EX ； （2） D ( kX + c ) = k 2 D ( X ) ； （3）
概率论第七章
即得 的矩估计量为 ˆ 2 X
设总体 X 的概率密度函数为 1 ( x ) / ,x e f ( x) 0 , 其它 其中 0 , , 是未知参数,( X 1 ,, X n )是总体 X 的样本,求 , 的矩估计量.
当总体 X 是连续型时,它是样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的 联合概率密度函数在( x1 , x2 ,, xn )的值,可以看成是
( X 1 , X 2 ,, X n ) 取可能值( x1 , x 2 ,, xn )的概率的“密
度” （在一个单位量纲上的概率）.总之,它是与试验结 果相联系的概率有关.
1 2 n 1 2 n
H 取值的可能范围○内与 的真值“看起来最像”(这正 是“极大似然”这四个字在字面上的意思)的那个值, ˆ 因此,一个自然的想法就是用 ( x1 , x 2 ,, x n ) 作为 的
估计值.
定义 设 L( ) L( ; x1 , x2 ,, xn ) 是似然函数,若存 ˆ ˆ 在 ( x , x ,, x ) 使得
是 0 的估计量,称 T ( x1 , x2 ,, xn ) 是 0 的估计值.
注释 1
为了简单起见,我们将不再区分“流动”
的 参 数 及 真 值 0 , 即 统 一 地 都 说 成 , 并 称
T T ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 的估计量.上述定义明
1 n k P Ak X i k . 即有 n i 1 也就是说,当样本的容量趋于无穷时,样本 k 阶矩依概 率收敛于相应的总体 k 阶矩.
因此当样本容量n较大时可以用样本的r阶矩来作为总 体的r阶矩的一个估计,这时所得到的估计就是矩法估计.
概率论与数理统计-第七章
2
= (2π ) (σ ) exp[−
2
2
−
n 2
−
n 2
1 2σ 2
( xi − µ ) 2 ] ∑
i =1
n
n
设总体X~U[a,b]，其中 ，b是 例3. 设总体 ，其中a， 是 未知参数。试求a， 的矩估计量 的矩估计量。 未知参数。试求 ，b的矩估计量。 解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.
1 n 1 ∑Xi = E(X) = 2 (a +b) n i=1 1 n 2 Xi = E(X 2 ) = D(X) +[E(X)]2 ∑ n i=1 1 1 2 = (b − a) + (a +b)2 12 4
解：白球所占比例p=1/4或3/4. 白球所占比例 或 X:任取 个球中白球的个数，X~B(3, p) 任取3个球中白球的个数 任取 个球中白球的个数，
P( X = 2) = C p (1− p) = 3p (1− p)
2 3 2 2
1 9 , p = 4时 P(X = 2) = 64 p = 3时 P(X = 2) = 27 , 4 64
1 n ˆ (1)µ = X = ∑Xi是 体 值 的 偏 计 ; 总 均 µ 无 估 量 n i=1 1 n ˆ (2)σ 2 = S2 = ( Xi − X )2是 体 差 2的 总 方 σ ∑ n −1 i=1 无 估 量. 偏 计
n −1 2 D(X) = S n 即可解出未知参数的估计量。 即可解出未知参数的估计量。