相遇和追及问题
相遇追及问题详解
必背知识点：速度×时间＝路程路程÷速度和＝相遇时间追及路程÷速度差＝追及时间一、相遇问题例1. 甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去,已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已30分钟。
甲每分钟走多少米？乙每分钟走多少米？例2. 甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？例3. 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。
乙车每小时行多少千米？例4. 两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。
甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？例5. AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A 城多少千米？例6. 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？随堂小试1. 甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米：出发后5小时，两车相遇.A、B两地相距多少千米.2. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？3. 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。
哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。
追及与相遇问题
见全品练习册，20页的13题
方法一：设：经过时间t，人与车速度相等，
因
人追不上车。人车间的最小距离为
方法二：设：经过时间t，人与车相距S，
则S= S0+S车 - S人=25 + 0.5 t2 - 6 t 令S=0，既假设人能追上车，0.5 t2 - 6 t+25=0 因b2-4ac = （-6）2 -4×0.5×25=-14＜0,方程无 解,故人追不上车 当t=人车间的最小距离为 s =25 + 0.5×62 - 6× 6=7m 时，s有最小值
追及与相遇问题
一、追及问题：二者速度相等时相距最远 （或者最近） 1、后面加速，前面匀速，二者相距x 。一定 能追上，二者速度相等时相距最远 。
2、后面匀速，前面从静止加速，二者相距x 。 不一定能追上，二者速度相等时相距最远近。
2 例6、车从静止开始以1m/s 的加
速度前进，车后相距s0为25m处， 某人同时开始以6m/s的速度匀速 追车，能否追上？若追不上，求 人、车间的最小距离。
相遇与追及问题
⑵ 在一定时间内，后面的追上前面的．
共同点：⑴ 是否同时出发
⑵ 是否同地出发
⑶ 方向：同向、背向、相向
⑷ 方法：画图
3.简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方
1.相遇问题：与速度和、路程和有关
【巩固】甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。
【巩固】甲乙二人同时分别自A、B两地出发相向而行，相遇之地距A、B中点300米，已知甲每分钟行100米，乙每分钟行70米，求A地至B地的距离.
4．行程间的倍比关系
【例 8】甲、乙两车分别同时从 、 两地相对开出，第一次在离 地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 地25千米处相遇．求 、 两地间的距离．
5.王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走50米，就要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？
6.甲、乙两车分别同时从 、 两地相对开出，第一次在离 地 千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 地 千米处相遇．求 、 两地间的距离？
⑴ 是否同时出发
⑵ 是否有返回条件
⑶ 是否和中点有关：判断相遇点位置
⑷ 是否是多次返回：按倍数关系走。
⑸ 一般条件下，入手点从"和"入手，但当条件与"差"有关时，就从差入手，再分析出时间，由此再得所需结果
2.追及问题：与速度差、路程差有关
⑴ 速度差与路程差的本质含义
⑵ 是否同时出发，是否同地出发。
追及和相遇问题
例3：一辆轿车违章超车，以108km/h的速度驶入 左侧逆行道时，猛然发现正前方80m处一辆卡车 正以72km/h的速度迎面驶来，两车司机同时刹 车，刹车加速度大小都是10m/s2，两司机的的反 应时间（即司机发现险情到实施刹车所经历的时 间）都是△t,试问△t是何数值 ,才能保证两车不相 撞?
例 4:一辆轿车的最大速度为30m/s,要想从静止开 始用4分钟追上前面1000m处以25m/s匀速同向 行驶的货车，轿车至少要以多大的加速度起速运动的物体甲追 赶同方向匀加速运动的物体乙。（v甲﹥ v0乙）
v甲 S0 v0乙 a
A、当v乙= v甲时：S甲=S0+S乙，甲恰好追上乙 B、当v乙= v甲时： S甲＜S0+S乙，甲永远追不上乙， 此时两者有最小间距⊿Smin C、当v乙＜ v甲时： S甲＞S0+S乙，甲追上了乙，由 乙作匀加速运动，以后v乙＞ v甲，则乙还有一次 追 上甲的机会，其间两者速度相等时两者距离 v 有一个较大值。 v
追及和相遇问题
追及问题：追和被追的两物体同向运动，往 往当两者速度相等是能否追上或者两者距离有最 大值、最小值的临界条件。追及问题常见情形有 三种： ①同时同地出发：初速为零的匀加速直线运动物体 甲追匀速运动的物体乙：一定能追上，当v甲= v乙 时，两者之间有△xmax v(m/s) v0甲=0 v0乙 a o 甲
（2）相遇问题：相遇问题分为追及相遇和相向相 遇问题，上面三种常见问题属于追及相遇问题， 至于相向相遇问题，我们通过例题来进行说明， 本节课重点解决追及相遇问题。 对于追及相遇问题我们解题过程中要弄清 物体的运动过程，挖掘题中隐含的临界条件，在 解题方法上常常用到解析法、数学法、图象法、 相对运动法等等。
例1：火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨 道上相距S处有另一火车沿同方向以速度v2（对 地，且v1＞ v2）做匀速运动，司机立即以加速度 大小为a紧急刹车，要使两车不相撞， a应满足 什么条件？
相遇追及问题
相遇、追及问题一、相遇问题两个物体从不同地点做面对面的运动，即相向运动，相向运动能使两运动物体在途中相遇，它是研究速度和、相遇时间、总距离（总路程）之间的关系，解答相遇问题的关键是要求出两物体在同一时间的速度之和，又称速度和。
例题1：两辆汽车从A、B两地相向开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，经过3小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？EX1：两列火车同时从两地相对开出，甲列火车每小时行86千米，乙列火车每小时行102千米，经过5小时两车在途中相遇，求两地相距多少千米？EX2：甲乙两列火车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶75千米，乙车每小时行驶69千米，经过18小时两车途中相遇，两地间的铁路长多少千米？相遇问题中存在的数量关系：速度和× 相遇时间= 路程和路程和÷相遇时间= 速度和路程和÷速度和= 相遇时间例题2：北京到沈阳的铁路长830千米，两辆火车同时相向开出10小时相遇，已知甲车每小时行41千米，乙车每小时行多少千米？EX1：甲、乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，经过2小时后两人相遇，问乙每小时行多少千米？例题3：姐妹两人在周长为30米的圆形水池边玩，她们约好从同一地点同时背向绕水池行走，姐姐每秒走1.3米，妹妹每秒走1.2米。
多长时间她们能相遇？例题4：甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行48千米，两车离两地中点30千米处相遇，求这两地间的距离是多少？EX1：甲地到乙地快车每小时行32千米，慢车每小时行18千米，如果两车同时从甲乙两地相对开出，可在距中点35千米的地方相遇，甲乙两地相距是多少千米？？★例题5：明明和亮亮同时从相距3000米的家里相向出发，明明每分钟行70米，一只狗与他同时出发，每分钟跑320米，亮亮每分钟走80米，狗遇到亮亮后立即朝明明跑去，遇到明明后又朝亮亮跑去，直到两人相遇，这只狗一共跑了多少米？EX1：王明和妹妹两人从相距2000米的两地相向而行，王明每分钟行110米，妹妹每分钟行90米，如果一只狗与王明同时同向而行，每分钟行500米，遇到妹妹后，立即回头向王明跑去，遇到王明再向妹妹跑去，这样不断来回，直到王明和妹妹相遇为止。
追及相遇问题
1．追及问题 “追及”的主要条件是两个物体在追 赶过程中处在同一位置，常见的情形有 三种： (1)初速度为零的匀加速直线运动的 物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙 时，一定能追上，在追上之前两者有最 大距离的条件是两物体的速度相等，即 v甲＝v乙．
(2)匀速运动的物体甲追赶同方向做匀
3．相遇问题 (1)相遇的特点：在同一时刻两物 体处于同一位置． (2)相遇的条件：同向运动的物体 追及即相遇；相向运动的物体，各自 发生的位移的绝对值之和等于开始时 两物体之间的距离时即相遇．
类型一 追及相遇问题的求解方法
例1 一小汽车从静止开始以3 m/s2的 加速度行驶，恰有一自行车以6 m/s的 速度从车边匀速驶过．
加速运动的物体乙时，恰好追上或恰好
追不上的临界条件是两物体速度相等，
即v甲＝v乙． 判断此种追赶情形能否追上的方法是：
假定在追赶过程中两者在同一位置，比
较此时的速度大小，若v甲>v乙，则能追上； v甲<v乙，则追不上，如果始终追不上，当 两物体速度相等即v甲＝v乙时，两物体的 间距最小．
(3)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速 度小者(如匀速运动)
(1)汽车从开动后在追上自行车之 前，要经多长时间两者相距最远？最 远距离是多少？
(2)什么时候追上自行车，此时汽 车的速度是多少？
(2)由图知，t＝2 s以后，若两车位移相等， 即v－t图象与时间轴所夹的“面积”相等．
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，此 时v汽＝2v自＝12 m/s.
解析：汽车和自行车运动草图如下：
六、追及和相遇问题 1．追及问题 “追及”的主要条件是两个物体在追 赶过程中处在同一位置，常见的情形有 三种： (1)初速度为零的匀加速直线运动的 物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙 时，一定能追上，在追上之前两者有最 大距离的条件是两物体的速度相等，即 v甲＝v乙．
相遇问题、追及问题
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公 式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米， 劣马先走12天，好马几天能追上劣马？ 解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米） （2）好马几天追上劣马？ 900÷（120－ 75）＝20（天） 列成综合算式 75×12÷（120－75）＝ 900÷45＝20（天） 答：好马20天能追上劣马。
追及问题
【含义】两个运动物体在不同地点同时出发 （或者在同一地点而不是同时出发，或者 在不同地点又不是同时出发）作同向运动， 在后面的，行进速度要快些，在前面的， 行进速度较慢些，在一定时间之内，后面 的追上前面的物体。这类应用题就叫做追 及问题。 【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速 －慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹 妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本， 立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。 问他们家离学校有多远？ 解要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。 从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥 哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹 妹每分钟多走（90－60）米， 那么，二人从家出走到相遇所用时间为 180×2÷（90－60）＝12（分钟） 家离学校的距离为 90×12－180＝900（米） 答：家离学校有900米远。
例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行， 甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两 人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题 题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢， 甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比 乙多走的路程是（3×2）千米，因此， 相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时） 两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米） 答：两地距离是84千米。
追及和相遇问题
追击和相遇问题两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。
因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。
一、追及问题1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。
若甲2⑴⑵⑶3⑴⑴⑵例1以5m s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1）什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？分析：分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点解题过程：例2、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v 1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。
汽车司机发现游客途经经14.01．甲乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的v —t 图象如图所示，则 （ ）A．乙比甲运动的快B．2 s乙追上甲C．甲的平均速度大于乙的平均速度D．乙追上甲时距出发点40 m远２．汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s 后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（）A．A车在加速过程中与B车相遇B．A、B相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动D．两车不可能再次相遇3．两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为V0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为：（）A．s B．2s C．3s D．4s4．A与B两个质点向同一方向运动,A做初速为零的匀加速直线运动,B做匀速直线运动.开始计时时,A、B位于同一位置,则当它们再次位于同位置时:A．两质点速度相等．B．A与B在这段时间内的平均速度相等．C．A的即时速度是B的2倍．D．A与B的位移相等．5．汽车甲沿平直公路以速度V做匀速直线运动，当它经过某处的另一辆静止的汽车乙时，乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。
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一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s,要想 在3 min 内由静止起沿一条平直公路追上在前 面1000 m 处正以20 m/s 的速度匀速行驶的 汽车，则摩托车必须以多大的加速度启动?
例题4．a、b两个物体从同一位置沿同一直线运动， 它们的速度图象如图所示，下列说法正确的是 A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速 度 B．20s时，a、b两物体相距最远 C．60s时，物体a在物体b的前方 D．40s时，a、b两物体速度相等，相距200m
例题7．羚羊从静止开始奔跑，经过50m的距 离能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较 长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过60m 的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维 持这速度4.0s。设猎豹距离羚羊x时开始攻击， 羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑， 假定羚羊和猎豹在加速阶段做匀加速运动， 且均沿同一直线奔跑，求：（1）猎豹要在从 最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？ （2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x值应 在什么范围？
第二章
匀变速直线运动的研究
相遇和追及问题
在一条狭窄的公路上，两车相向而行， 如何减速才能保证不致相撞呢?在跑道 上，如果我们想追赶前方的同学，加速 度至少应当多大? 相遇和追击问题是运 动学中的常见问题。这一讲我们通过一 些例题来讨论解决相遇和追及问题的方 法。
例题1、汽车A正以30m/s的速度在狭窄 公路上行驶，前方有一汽车B正以20m/s 的速度迎面匀速驶来，汽车A司机立即关 闭油门紧急刹车，加速度大小为6m/s2， 同时汽车B司机也采取紧急措施，以 5m/s2大小的加速度刹车，已知最后两车 没有相撞，则A、B车开始刹车时两车间 的距离至少为多少米？
例题5、小球1从高H处自由落下，同时小球2 从其下方以速度v0竖直上抛，两球可在空中 相遇，试就下列两种情况讨论v0的取值范围。 （1）在小球2上升过程两球在空中相遇； （2）在小来了方便，但 是因为在高速公路上行驶的车辆的速度大， 雾天往往出现十几辆车追尾连续相撞的车祸。 已知轿车在高速公路正常行驶速率为 120km/h。轿车刹车产生的最大加速度为 8m/s2，如果某天有雾，能见度（观察者与能 看见的最远目标间的距离）约为37m，设司 机的反应时间为0.6s，为安全行驶，轿车行 驶的最大速度是多少？
例题2．小轿车在十字路口等绿灯亮后，以 1m/s2的加速度启动，恰在此时，一辆大卡车 以7m/s的速度从旁超过，做同向匀速运动， 问（1）小轿车追上大卡车时已通过多少路程？ （2）两车间的距离最大时为多少？
例题3．汽车正以10m/s的速度在平直公路上 前进，突然发现正前方s 处有一辆自行车以 4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车 立即关闭油门做匀减速运动，加速度大小为 6m/s2，若汽车恰好不碰上自行车，则s大小 为多少？