2011年数学高考考点预测(25)：函数与方程的思想方法1
2011届高考数学考前必看系列之二：思想方法篇汇总
高考数学考前必看系列资料之二思想方法篇一、中学数学重要数学思想一、函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的看法和方法办理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思想方式，是很重要的数学思想。
1.函数思想：把某变化过程中的一些相互限制的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互限制关系，最后解决问题，这就是函数思想；2.应用函数思想解题，确定变量之间的函数关系是一重点步骤，大概可分为下边两个步骤：（ 1）依据题意成立变量之间的函数关系式，把问题转变成相应的函数问题；（ 2）依据需要结构函数，利用函数的有关知识解决问题；（ 3）方程思想：在某变化过程中，常常需要依据一些要求，确定某些变量的值，这时经常列出这些变量的方程或（方程组），经过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；3.函数与方程是两个有着亲密联系的数学看法，它们之间相互浸透，好多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，好多函数的问题也需要用方程的方法的增援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、数形联合思想数形联合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或许对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数目关系使问题得以解决（以数助形），这类解决问题的方法称之为数形联合。
1.数形联合与数形转变的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严实性，二者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。
这就是说：数形联合是数学的实质特点，宇宙间万事万物无不是数和形的和睦的一致。
因此，数学学习中突出数形联合思想正是充足掌握住了数学的精华和灵魂。
3.数形联合的实质是：几何图形的性质反应了数目关系，数目关系决定了几何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少量时难入微；数形联合百般好，隔裂分家万事非。
函数和方程的思想方法总结
函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。
在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。
下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。
一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。
在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。
例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。
我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。
2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。
这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。
例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。
我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。
3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。
通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。
例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。
二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。
解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。
例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。
对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。
2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。
在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。
例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。
3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。
我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。
函数与方程的思想方法
12 5 ∵d<0，Sn是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x＝ － ， d 2 24 5 12 13
∵－ ∴当n＝6时，Sn最大.
7
<d<－3 ∴6<
2
－
d
<
2
,
［点评］数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自 然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来 解决数列问题.也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等 式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快.由此可见， 利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的 结合. 本题的另一种思路是寻求an>0,an+1<0 ，即：由d<0知道 a1>a2>…>a13，由S13＝13a7<0得a7<0，由S12＝6(a6＋a7)>0得a6>0. 所以，在S1,S2,…,S12中，S6的值最大.
1 ，8］，∴f(t)∈［ 2，3］，原题转化为：m(x－2) 2
+(x－2)2>0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）
当x＝2时，不等式不成立.∴x≠2,
令g(m)＝m(x－2)+(x－2)2，m∈［ 问题转化为g(m)在m∈［
1 2
1 g ( ) 0 ，3］上恒大于0，则： ； 2 g (3) 0
1 2
，3］
解得：x>2或x<－1
［点评］首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，
不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决. 在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0， （1）求公差d的取值范围；
高考数学复习指导：函数与方程的解题策略
高考数学复习指导：函数与方程的解题策略
函数与方程的思想方法
一、知识整合
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着亲密的联络，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0经过方程停止研讨。
就中学数学而言，函数思想在解题中的运用主要表如今两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等效果：二是在效果的研讨中，经过树立函数关系式或结构中间函数，把所研讨的效果转化为讨论函数的有关性质，到达化难为易，化繁为简的目的。
许多有关方程的效果可以用函数的方法处置，反之，许多函数效果也可以用方程的方法来处置。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观念，剖析和研讨数学中的数量关系，树立函数关系或结构函数，运用函数的图像和性质去剖析效果、转化效果，从而使效果取得处置。
函数思想是对函数概念的实质看法，用于指点解题就是擅长应用函数知识或函数观念观察、剖析和处置效果。
2．方程的思想，就是剖析数学效果中变量间的等量关系，
树立方程或方程组，或许结构方程，经过解方程或方程组，或许运用方程的性质去剖析、转化效果，使效果取得处置。
方程的数学是对方程概念的实质看法，用于指点解题就是擅长应用方程或方程组的观念观察处置效果。
方程思想是动中求静，研讨运动中的等量关系。
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。
高中数学函数与方程的思想方法
高中数学函数与方程的思想方法高中数学函数与方程的思想方法在高中数学的学习中，函数与方程是非常重要的概念和内容。
掌握了函数与方程的思想方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还能培养我们的逻辑思维和分析能力。
本文将从函数与方程的定义、解题思路和实际应用等方面探讨高中数学函数与方程的思想方法。
一、函数与方程的定义函数是数学中的基本概念，我们可以将函数理解为两个集合之间的一种特殊关系。
简单来说，函数就是将自变量映射到因变量的规则。
函数通常用符号表示，如f(x)、g(x)等。
在方程中，通常出现的是一元函数，如y=f(x)。
方程是关于未知数的等式，它通常由等号连接的表达式组成，其中包含未知数和已知数。
方程的解是使得方程成立的未知数的值。
在数学中，函数与方程是密切相关的概念，通过函数可以建立方程，通过求解方程可以得到函数的零点或特殊点。
二、解题思路1. 函数图象与函数性质分析：对于给定的函数，我们可以通过观察其图象来推测函数的性质。
例如，对于一个二次函数，当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。
通过观察函数图象，我们可以推测函数的最值、零点等重要信息。
2. 函数与方程的转化：有时候题目给出的是函数，要求解的是方程；有时候题目给出的是方程，要求分析函数的性质。
在这种情况下，我们需要运用函数与方程之间的转化关系进行思考。
例如，已知函数的表达式，要求函数的零点，就需要解方程f(x)=0。
反之亦然，已知方程，可以通过构造函数直观地分析方程的性质。
3. 实际问题的建模与解析：高中数学中的函数与方程往往是为了解决实际问题而引入的。
因此，在解题过程中，我们需要将问题进行数学建模，将实际问题转化为数学问题，然后通过函数与方程的知识进行分析和求解。
例如，求解优化问题时，我们可以通过函数的极值来确定最优解。
三、实际应用函数与方程在实际生活中有着广泛的应用。
下面以几个例子来说明：1. 经济学中的需求函数：在经济学中，需求函数描述了商品需求与价格之间的关系。
函数与方程的思想方法
函数与方程的思想方法 知识点导读查，使知识考查服务于能力考查．而函数与方程的思想方法作为基本的数学思想方法之一，在知识的互相联系、互相沟通中起到了纽带作用．函数与方程的思想共分为两个方面：函数思想与方程思想．一、 函数思想函数是数学中十分重要的内容，如果在某一变化过程中有两个变量x 、y ，变量x 每取一个值，按照某一法则变量y 都有唯一确定的值与之相对应，这时我们称变量y 是x 的函数，因此，函数是研究两个变量之间关系的数学分支．什么是函数思想呢？函数思想是对函数概念的本质的认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点来观察、处理问题．利用函数思想解题的一般步骤：1．构造与题目有关的函数．在有关函数的观点下，方程、不等式可以得到统一．2．借助函数有关的知识(奇偶性，单调性，周期性，定义域，值域，图形等)讨论相关问题．二、 方程思想含有未知数的等式叫做方程．我们把一个等式看成是含有某个未知数的等式，从而用方程的理论与方程来解决问题的思想我们称之为方程思想．例如，等差数列{a n }的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N ＋)，在这个等式中有四个字母：a n, a 1, n 和d ；如果把这个等式看成是已知其中三个字母，求第四个字母的值，那么，我们就把这个等式看成了是第四个字母(未知数)的方程，这种观点和思想就是方程思想．由于数学研究的数量关系有相等关系和不等关系两类，在数量相等关系中出现的是等式，有些等式中含有字母，如果把字母看成未知数，那么，等式就成了方程．于是，很多问题便可转化为方程问题来解决． 范例分类与解题分析一、函数思想【例1】 已知x ＋y ＝1，求x 2＋y 2的最小值．【分析】 令t ＝x 2＋y 2，则求x 2＋y 2的最小值即是求t 的最小值，而通过建立函数关系求函数最小值是求变量最小值的一般方法．【解】 令t ＝x 2＋y 2 ∵x ＋y ＝1∴t ＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x 2－x ＋14＋12＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12∴t 的最小值是12，即x 2＋y 2的最小值是12. 【点评】 求变量的最小值可通过建立函数关系求函数的最小值，因此一个变量若随另一个变量的变化而变化，该问题可归结为函数问题．【例2】 已知数列{a n }是等差数列，S n 是前n 项和，S q ＝S p (p ＜q)，则S p ＋q ＝( )A ．0B ．p ＋qC ．pD ．q【分析】 等差数列的通项公式及前n 项和公式都可看成是关于n 的代数表达式，其中S n ＝a 1n ＋n (n －1)2d 可写成S n ＝An 2＋Bn(A ≠0)，为此本例可用二次函数的方法去解决． 【答案】 A【解】 由S n ＝An 2＋Bn 及S q ＝S p 代入，得Aq 2＋Bq ＝Ap 2＋Bp,∴ A(p 2－q 2)＋B(p －q)＝0 ∵ p ＜q, ∴ p －q ≠0, ∴ A(p ＋q)＋B ＝0∴ S p ＋q ＝A(p ＋q)2＋B(p ＋q)＝(p ＋q)[A(p ＋q)＋B]＝0.【点评】 函数的思想贯穿于中学数学的始终，是数学的一条主线，函数与方程等知识点的交汇，为利用函数思想解题提供了广阔的空间．【例3】 某租赁公司拥有汽车100辆，每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解】 (1)当每辆车的月租金定为3600元时，未出租的车辆数为3600－300050＝12，所以这时租出了100－12＝88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝(100－x －300050)(x －150)－x －300050×50＝－x 250＋162x －21000 ＝－150(x －4050)2＋307050. 所以当x ＝4050时，y 最大，最大值为307050，即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【点评】 本例在月租金和月收益间有一种量的制约关系，如果把月收益看作每辆车月租金的函数后，就可以通过研究月收益函数得到一系列结论．因此函数就是解决此类应用问题的工具．借用函数的思想和方法完成对许多实际问题的科学处理，就恰恰体现了“以能力立意”的高职升学考试命题思想．【举一反三】 某商店将进货单价为20元的内衣，按24元一件出售时，每天能卖出200件，根据市场分析预测，单价每提高1元，其每天销售量将递减10件，问怎样制订内衣的售出价每天才能获得最大利润？【解】 设每件内衣单价提高x 元，则这时每件内衣利润为(x ＋4)元，每天可售出(200－10x)．而这时能获取的利润的函数关系为y ＝(x ＋4)(200－10x)＝－10x 2＋160x ＋800.这是一个二次项系数为负数的二次函数，∴当x ＝－1602×(－10)＝8，此时每件内衣销售价为24＋8＝32元时，销售利润y max 为1440元．答：该内衣的销售价为每件32元，能获取最大利润，最大利润为1440元．二、方程思想【例4】 设函数f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫1x ·log 2x ，则f(2)等于( )A ．1B ．－1C ．2D .12【答案】 A【分析】 要求f(2)可将f(2)看成未知数，通过列方程解方程求f(2)，也可先求f(x)后求f(2)．【解】 解法一：∵f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫1x log 2x∴f (2)＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12log 22＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12 f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋f (2)·log 212＝1－f (2) ∴f (2)＝1＋[1－f (2)]＝2－f (2) ∴2f (2)＝2 ∴f (2)＝1 故选A.解法二：∵f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫1x log 2x ∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋f (x )log 21x＝1－f (x )log 2x ∴f (x )＝1＋[1－f (x )log 2x ]log 2x ∴f (x )＝1＋log 2x 1＋(log 2x )2 ∴f (2)＝1＋log 221＋(log 22)2＝1，故选A. 【点评】 求未知数的值可通过列方程、解方程，因此数学解题中求未知数的问题可归结为方程的问题．【举一反三】 已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (3)＝8，求f (x )．【解】 ∵f(x ＋y)＝f(x)·f(y)，∴a x ＋y ＋b ＝a x ＋b ·a y ＋b ＝a x ＋y ＋2b ，∴x ＋y ＋b ＝x ＋y ＋2b ，即b ＝0，∴f(x)＝a x ，又f(3)＝8，∴a 3＝8，即a ＝2，∴f(x)＝2x .【例5】 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，两交点间距离为6，且当x ＝2时函数有最小值－9.(1)求a ，b ，c 的值；(2)如果f(x)不大于7，求对应x 的取值范围．【解】 (1)由题意设f(x)＝a(x －2)2－9，由对称性知f(x)图象过(5,0)与(－1,0)代入方程得a(5－2)2－9＝0，解得a ＝1，∴f(x)＝(x －2)2－9＝x 2－4x －5，∴a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.(2)由题意得x 2－4x －5≤7 解得－2≤x ≤6.【点评】 方程思想在数学中应用很广泛，为我们的解题带来很大的方便． 综合训练1．已知不等式ax 2＋bx －1>0的解为x <－12x >1，则( ) A ．a ＝2，b ＝1 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝－2，b ＝1 D ．a ＝－2，b ＝－1【分析】 由题得x ＝－12，x ＝1是方程ax 2＋bx －1＝0的两个解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 14a －12b －1＝0a ＋b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1 2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋22 D ．3－22【分析】 因为a 1，12a 3,2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋2(负值舍去)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝3＋2 2. 3．直线x ＋2y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为( )A.15B.25C.35D.45 【分析】 因x ＋2y ＝2 ∴x ＝2－2y ∴x 2＋y 2＝(2－2y )2＋y 2＝5y 2－8y ＋4＝5⎝⎛⎭⎫y 2－85y ＋1625＋45＝5⎝⎛⎭⎫y －452＋45∴x 2＋y 2的最小值是45，故选D. 4．若对于任意实数x ，不等式|x －3|＋|x －2|＞a 均成立，则有( )A ．0≤a ＜1B ．a ＜1C ．a ≥1D ．a ＞1【分析】 设f (x )＝|x －3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －5，x ∈[3，＋∞)1， x ∈(2，3)5－2x ， x ∈(－∞，2]，∴f (x )min ＝1，又∵|x －3|＋|x －2|＞a 恒成立，∴a ＜1.二、填空题5．已知等差数列的首项a 1＝17，公差d ＝－2，则其前n 项和中的最大值为_81_________．【分析】 由题得S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋18n ＝－(n －9)2＋81 则当n ＝9时，S n 有最大值81.6．若曲线y ＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是__(－∞， 1] ________．【分析】 y ＝2x ＋1的值域为(1, ＋∞)，∴b 的取值范围为(－∞， 1]．7．其家电商场将电脑价格按原价提高40%后，在广告中宣传“八折优惠”的促销手段，结果每台电脑比原价多赚了270元，那么每台电脑的原价是__2250______元．【分析】 由题设每台电脑原价为x 元，则x (1＋40%)×0.8＝x ＋270解之，得x ＝2250(元)．8．若x ，y 满足x 2＋2y 2－y ＝1，则x 2＋y 2的最大值为___54_______． 【分析】 因x 2＋2y 2－y ＝1 ∴x 2＝1－2y 2＋y∴x 2＋y 2＝1－2y 2＋y ＋y 2＝－y 2＋y ＋1＝－⎝⎛⎭⎫y 2－y ＋14＋54＝－⎝⎛y －122＋54 又∵x 2＝1－2y 2＋y ≥0 ∴2y 2－y －1≤0∴－12≤y ≤1 ∴x 2＋y 2＝－⎝⎛⎭⎫y －122＋54的最大值为54 三、 解答题9．已知函数f (x )满足条件f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，求f (x )．【解】 由f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 得： f (x )＝x －2f ⎝⎛⎭⎫1x ① 在①中设x ＝1x ，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x 即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －2f (x )② 把②代入①得： f (x )＝x －2⎣⎡⎦⎤1x －2f (x )＝x －2x＋4f (x ) ∴ 3f (x )＝2x －x ，故f (x )＝23x －x 3. 10．已知在等差数列{a n }中，a 4＝lg x ，a 5＝2，a 6＝lg(x ＋990)，求x 的值及通项公式a n .【解】 lg x ＋lg(x ＋990)＝4，lg x (x ＋990)＝4，x 2＋990x －10000＝0，(x －10)(x ＋1000)＝0x 1＝10，x 2＝－1000(舍)∴a 4＝lg10＝1，a 5＝2得d ＝1，a 1＝a 4－3d ＝－2a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋(n －1)＝n －3.11．求过两点A (1,4)，B (3,2)，且圆心在y ＝0上的圆的方程．【解】 ∵圆心在y ＝0上，∴设所求圆的方程为：(x －a )2＋y 2＝r 2∵所求圆过A 、B 两点 ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2(3－a )2＋4＝r 2∴a ＝－1，r 2＝20 ∴所求圆的方程为：(x ＋1)2＋y 2＝20.12.已知曲线x －y 2－1＝0与直线kx －y ＝0相交，求实数k 的取值范围．【解】 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y 2－1＝0kx －y ＝0⇒k 2x 2－x ＋1＝0 当k ＝0时，x ＝1，当k ≠0时Δ＝1－4k 2≥0解得－12≤k ≤12且k ≠0. 综上k 的取值范围为[－12，12]． 13．已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (0)＝3, f (－1)＝f (3)，求：(1)b, c 的值；(2)若f (x )≥0求x 的解集．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝31－b ＋c ＝9＋3b ＋c 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝3. (2)由(1)知f (x )＝x 2－2x ＋3，由f (x )≥0得x 2－2x ＋3≥0 解得x ∈R ，所以f (x )≥0的解集为R .14．用12m 长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，要使场地面积最大，问矩形的边长应为多少？【解】 设场地面积为y m 2，矩形场地靠墙一边的长为x m ，则另一边长为12－x 2m ，由已知可得 y ＝x ·12－x 2，y ＝－12x 2＋6x 显然上式为一个二次函数，a ＝－12，故y 有最大值 y ＝－12(x 2－12x )＝－12(x －6)2＋18 ∴ 当x ＝6时，矩形场地面积最大，这时矩形靠墙一边的长为6m ，另一边长为12－62＝3m.。
高考数学 函数与方程的思想
数学思想包括：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想。
有限与无限的思想，或然与必然的思想等。
在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，有意识地在复习中渗透数学思想，提升数学思想。
高考数学 函数与方程的思想考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。
”什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题．用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程,研究方程的根有什么要求.著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”．一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题．建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学，特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数,尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数思想是相当重要的．对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题:－是否需要把一个代数式看成一个函数? －是否需要把字母看作变量？ －如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？－如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？ －是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？－如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？这是一个以递推公式为背景的数列不等式，但是把递推公式看作一个函数，就可以获得一个很简单的解法。
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2011年数学高考考点预测（25）：函数与方程的思想方法山东省兖州市第六中学《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。
其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。
数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。
高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。
《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。
而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。
“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。
” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。
在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。
一、函数与方程的思想所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。
运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。
所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。
函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。
函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。
1、利用函数与方程的性质解题例1．（2008安徽卷，理,11）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ ）A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<分析：要比较函数值的大小，就要由已知条件求得函数解析式，本题中的(),()f x g x 都未知，只有一个等式，就需要我们再挖掘一个等式，由函数的奇偶性容易想到用x -替换，从而得到两个方程组成方程组解出。
解：因为()()x f x g x e -=，用x -替换得： ()(),x f x g x e ----=因为函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，所以()()x f x g x e -+=-，又()()x f x g x e -=解得：(),()22x x x xe e e ef xg x ---+==-，而)(x f 单调递增且()00f =，∴()()320f f >>大于等于0，而1)0(-=g ，故选D 。
答案：D评注：本题中利用函数的性质再得一方程，通过解方程组求得函数的解析式，再回归到函数的单调性比较函数值的大小关系，是函数与方程的较好得结合。
2、构造函数解题例2. (2008天津卷，理，16）设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦满足方程c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为 。
分析:题目给出的方程中含有,,,x y a c 等多个字母，而条件中是对任意的[]a a x 2,∈都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于y 的函数，再进一步研究函数的性质。
解：由已知c y x a a =+log log ，得ca y x=（其中[,2]x a a ∈），函数为反比例函数，在[],2a a （1>a ）上为单调递减，所以当[,2]x a a ∈时，11[,]2c c a y a --∈又因为对于任意的[]a a x 2,∈，都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦，所以1122log 223a c c a c a a c a --⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎩≥+≥≤≤，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以a 的取值的集合为{2}。
答案：{2}评注:本题看似方程问题，实质是函数问题，通过分析、转化为函数，并运用函数的性质将问题转化为不等式组解出。
本题中自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解答问题。
3、函数与方程、不等式的转化例3．（2008广东卷，理14)已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ．分析：求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围解：方程即221111[0,]4244a a x x x ⎛⎫-+=--=-++∈ ⎪⎝⎭,利用绝对值的几何意义,得111444a a a a -+≤-+≤，可得实数a 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦评注：本题将方程转化为函数，利用函数的值域得到的不等式，求得参数的范围。
例4．（福建德化一中2008，理）若关于x 的方程2210x kx +-=的两根12x x 、满足1212x x -?<0<，则k 的取值范围是（ ）A ．3(,0)4-B ．3(,0]4-C ． 3(0,)4D ．3[0,)4分析：本题是研究二次方程的实根分布问题，可以转化为二次函数，由二次函数的图象转为函数值表示的不等式组解出。
解：设函数()221f x x kx =+-，∵关于x 的方程2210x kx +-=的两根12x x 、满足1212x x -?<0<，∴()()()100020f f f ⎧-≥⎪<⎨⎪>⎩即2010430k k -≥⎧⎪-<⎨⎪+>⎩∴304k -<≤，故选择B 。
答案：B评注：对于二次方程的实根分布问题，要转化为二次函数，由二次函数的图象和各端点对应的函数值以及二次项系数和对称轴解答。
4、函数与方程在立体几何中的应用例5．（2008北京卷，理，8）如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）分析：本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由MN 的特殊性与平面11BB D D 垂直，可以把MN 向平面ABCD 内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成。
解：设正方体的棱长为，由图形的对称性知P 点始终是MN 的中点， 而且随着P 点从B 点向BD 的中点滑动，y 值逐渐增大到最大，再由中 点向1D 点滑动，而逐渐变小，排除,,A C ，把MN 向平面ABCD 内正投 影得''M N ，则''M N =MN y =，由于1'BP BD BP BD ==CDN P A 1B1C 1D 1'M 'NC答案：B评注：本题为函数的变化趋势问题，通过观察进行理性地分析，再从数值上加以运算。
5、函数与方程在解析几何中的应用例6．（2008山东淄博）若1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF 2PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点M (1，)2的直线l 与椭圆交于两不同的点A 、B ，且A O B ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.分析：（Ⅰ）中可以设出P 点的坐标，用坐标表示出1PF 2PF ⋅，得到函数求最值。
（Ⅱ）中研究直线与椭圆的交点，需要解方程组，由韦达定理解答即可。
解：（Ⅰ）解法一：由椭圆方程知 2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-又2214x y += ∴ 21PF ⋅()2221133844x x x =+--=-[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1．解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=+++-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然当直线的斜率不存在即0x =时，不满足题设条件 可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y联立 22142x y y kx ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 得 ()22424x k x ++=即 ()2221416120k x kx +++=∴ 1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>即 2430k -> 解得 234k >① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>∴ 12120O A O B x x y y ⋅=+>∴ 212121212(2)(2)2()4y y k x k x k x x k x x =++=+++ ∴ 1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++ 2221216(1)2()41414kk k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k kk k +⋅=-+++ 224(4)014k k-=>+ ∴ 2144k -<< ② 综①、②可知2344k <<∴ k的取值范围是(2,- ．图4 评注：解析几何中点的坐标，线的方程都与函数、方程是相通的，可以利用函数与方程的思想解答问题。