2017-2018届天津市红桥区高三第二次模拟考试文科数学试题及答案

本试卷分高三数学(文)为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P(A B)=P(A)+P(B)． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh ．其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·锥体的体积公式V=13Sh ．其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．·球的体积公式V=334R ．其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．气， (1)复数512ii-= A ．2-i B ．1-2i C ．-l+2i D ．-2+i (2)设全集U=R ，集合A={2|0x x x +≥}，则集合U A ð= A ．[-l ，0] B ．(-l ，0) C ．(-∞，-1) [0，+∞) D ．[0，l](3)把函数sin()(0,||)y x ωφωφπ=+><的图象向左平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为sin y x =，则 A ．2,3πωφ==- B ．1,26πωφ==C ．2,6πωφ== D ．1,212πωφ==(4) 函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)(5) (5)己知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．92cm 3C ．84cm 3D ．100 cm 3(6)若直线22ax by -+=0(a>0，b>0)经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则11ab +最小值是A ．12B ．4C ．14D ．2(7)已知函数2221,0,()21,0.x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩则对任意x 1，x 2∈R ，若| x 2|>| x 1|>0，下列不等式成立的A ．12()()f x f x -<0B ．12()()f x f x ->0C ．12()()f x f x +>0D ．12()()f x f x +<0 (8)以下命题中，真命题有①已知平面α、β和直线m ，若m //α且αβ⊥，则m β⊥．②“若x 2<1，则-1<x <1”的逆否命题是“若x <-1或x >1，则x 2>1”．③已知△ABC ，D 为AB 边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+ ，则23λ=．④着实数x ，y 满足约束条件0,10,220,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则z =2x -y的最大值为2．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分．共30分． (9)执行如右图所示的程序框图，其输出的结果是 ． (10)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若22265b c a bc +-=，则sin()B C +的值为 ．(11)已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．(12)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，定点A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 .(13)如图，圆O 的直径AB=8，C 为圆周上一点，BC=4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．(14)某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度(如下图所示)，设等级为n 级需要的天数为a n (n ∈N*)，则等级为50级需要的天数a 50= .三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (15)(本小题满分l3分)某小组共有么、B 、C 、D 、E 五位同学，他们高三一模的数学成绩以及语文成绩如下表所示：(I)从该小组数学成绩低于l20分的同学中任选2人，求选到的2人数学成绩都在110分以下的概率；(II)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的数学成绩都在90以上且语文成绩都在[86，110)中的概率． (16)(本小题满分13分) 已知函数2()sin cos 2222x x x f x =++． (I)求函数()f x 的最小正周期： (II)求函数()f x 的单调增区间． (17)(本小题满分l3分)如图，在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，∠ADE 的余弦值为45，AE=3． (I)若F 为DE 的中点，求证：BE//平面ACF ； (II)求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值．(18)(本小题满分13分)已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (I)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (Ⅱ)设数列{c n }对任意n ∈N +均有3121123...n n nc c c c a b b b b +++++=成立，求c l +c 2+c 3+……+c 2017-2018的值．(19)(本小题满分14分)已知函数322()'()3f x x f x x c =+-+(其中2'()3f 为()f x 在点23x =处的导数，c 为常数)． (I)求2'()3f 的值。

(II)求函数()f x 的单调区间；(III)设函数3()[()]x g x f x x e =- ，若函数()g x 在区间[-3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围． (20)(本小题满分l4分)已知A(-2，0)，B(2，0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且∆APB 面积的最大值为 (I)求椭圆C 的方程及离心率；(II)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试证明：无论直线AP 绕点A 如何转动，以BD 为直径的圆总与直线PF 相切．高三数学（文）答案 （2017-2018、05）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．45- 10．5411．(1，＋∞) 12．9 13．4 14．2700三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）从数学分数低于120的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}D C D B C B D A C A B A ,,,,,,,,,,,共6个． (3)由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的数学成绩都在110分以下的事件有：{}{}{}D B D A B A ,,,,,共3个． (4)因此选到的2人数学成绩都在110以下的概率为P ＝36＝12．………………………5 （Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}E D E C D C E B D B C B E A D A C A B A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共10个． (10)由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的数学成绩都在90以上且语文成绩都在[86,110)中的事件有：{}{}{}E D E A D A ,,,,,共3个． (12)因此选到的2人的数学成绩都在90以上且语文成绩都在[86,110)中的概率为P ＝310…13 16．（本小题满分13分） （Ⅰ）因为f (x )＝12sin x ＋32(1－cos x )＋32……………………………………..4 ＝(12sin x －32cos x )＋ 3＝sin(x－π3)＋3……………………………………………6 所以函数f (x )的最小正周期为2π．…………………………………………8 （Ⅱ）令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2 (10)得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z (12)故函数f (x )的单调增区间为[2k π－π6，2kπ＋5π6]，k ∈Z (13)17．（本小题满分13分） （Ⅰ）连结BD AC ,交于O ，连OFF 为DE 中点，O 为BD 中点，BE OF //∴ ⊂OF 平面ACF，⊄BE 平面ACF ，//BE ∴平面ACF ． (4)（Ⅱ）过E 作AD EH ⊥于H ，连结BH (5)⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ， CD AE ⊥∴， AD CD ⊥ ， ⊂=AE AD A AD AE ,,平面DAE⊥∴CD 平面DAE ……………………………………………7 ⊂EH 平面DAE，EH CD ⊥∴，,D AD CD = ⊂AD CD ,平面ABCD ，⊥∴EH 平面ABCD ，即BH为BE 在平面ABCD 内的射影 (9)EBH ∠∴为BE 与平面ABCD 的所成角的平面角 (11)由ADE ∠的余弦值为45，3=AE ．可求得正方形ABCD 的边长为5 又⊥∴AB AB CD ,// 平面DAE ，ABE ∆∴为直角三角形，34=∴BE ，且512=HE ，85346sin =∠EBH ． (13)18．（本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得2b =2a =1d +, 3b =5a 14d=+,4b =14a 113d =+, (1)由于{}n b 为等比数列，所以2324b b b =⋅．∴2(14)d +=(1)(113)d d ++,0,2d d >∴=． (2)∴21n a n =- ．………3 又2b =2a =3，3b =5a =9 , (4)∴数列{nb }的公比为3， (5)∴nb =3⋅23n -=13n -．……………6 （Ⅱ）由11c b +22c b +…+n n c b =1n a + , （1） 当1n =时，11c b =2a =3，∴1c =3． (7)当1n >时，11c b +22c b +…+11n n c b --= n a ， （2） 由（1）－（2）得nnc b =1n a +-n a =2 ， ………………9 ∴n c =2n b =2⋅13n -,(2)n ≥ … (10)∴n c =13,123,2n n n -=⎧⎨⋅≥⎩ (11)∴2014321......c c c c ++++=3+2⋅3+2⋅23+…+2⋅20133 ……………12 =1+2⋅03+2⋅3+2⋅23+…+2⋅20133=1+2⋅31312014--=20143 (13)19．（本小题满分14分） （Ⅰ）设)32('f =a则：c x ax x x f +-+=23)( 123)('2-+=ax x x f (2)34311349121322)32(3)32('2a a a f +=-+=-+=∴∴)32('f =)32('3431f + 解得1)32('-=f ……………………………….4 （Ⅱ）c x x x x f +--=23)(123)('2--=x x x f )1)(13(-+=x x (6)所以)(x f 的单增区间是)31,(--∞，),1(+∞；)(x f 的单减区间是)1,31(-................8 （Ⅲ）x e x x f x g ⋅-=])([)(3x e c x x )(2+--= (9)x e c x x x g )13()('2-+--= …………………………………………..11若函数)(x g 在区间]2,3[-上单调递增，则0)('≥x g 在区间]2,3[-上恒成立， 即0)13()('2≥-+--=x e c x x x g 在]2,3[-恒成立，0>x e∴0132≥-+--c x x 在]2,3[-恒成立．令13)(2-+--=c x x x h 则⎩⎨⎧≥≥-0)2(0)3(h h ，解得⎩⎨⎧≥≥111c c ，所以11≥c 所以函数)(x g 在区间]2,3[-上单调递增时c 的取值范围为：11≥c ． (14)20．（本小题满分14分）（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知 解得b =，1c =． (3)故椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12． (5)（Ⅱ）由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠． (6)则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ． (7)⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=． (8)设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+． 所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k =+=+． ……………………………10 因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±． 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切． (11)当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y kk x k ==--． 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--． 点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上，无论直线AP 绕点A 如何转动，以BD 为直径的圆总与直线PF 相切． (14)。