高一数学《平面向量小结与复习(1)》教案
平面向量复习课教案
平面向量复习课一.考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二.知识梳理1. 向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量(共线向量)，相等向量，向量的模等。
2. 向量的基本运算(1)向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设 a =(x i,y”, b =(X2,y2)则a+b=(x i+X2,y i+y2) a-b=(x i- X2,y i-y 2)(2)平面向量的数量积：a *b=a b cos日设 a =(x i,y i), b =(X2,y2)贝U a • b=x i X2+y i y2r(3)两个向量平行的充要条件一：// 一"二入:-若-i =(x i,y i), " =(x2,y 2)，贝U ：i // : - x i y2-X2y i=0r ‘r r3. 两个非零向量垂直的充要条件是一；丄一；• 1 =0f设」=(x i,y i)，- =(x2,y 2)，则富丄1 x i X2+y i y2=0三.教学过程(一)基础知识训练1. 下列命题正确的是( )(A)单位向量都相等(B)任一向量与它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共线向量(D)模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若AB二a，FA二b，则BC -( )1 1 1(A) 一(a -b) (B) 一(a - b) (C) a —b (D) 一a - b2 2 23. 已知向量e10，「- R， a = ej • ' e2, b =2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是( )(A) ' =0 (B) e? =0 (C) e i // e2 (D) e“ // e?或，=04.若向量a=(—1,x) , b=(—x,2)共线且方向相同，x= ____________________ 。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
高一数学 平面向量教案 ___1
城东蜊市阳光实验学校白蒲中学2021高一数学平面向量教案04教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习教学与测试64、65、66课目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、一一共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程：一、 复习：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、一一共线向量 2向量的加法与减法：定义、三角形法那么、平行四边形法那么、运算定律二、 1．处理教学与测试P135—136第64课〔略〕2． 处理教学与测试P137—138第65课例一、 设a 表示“向东走3km 〞，b 表示“向北走3km 〞，那么a+b 表示向东北走23km解：OB =OA +AB233322=+=OB (km)例二、 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法那么：AB =AO +OB ,DC =DO +OC由：AO =OC ,DO =OB∴AB =DC即AB 与CD 平行且相等B a +bbABDCO∴ABCD 为平行四边形例三、 在正六边形中，假设OA =a,OE =b ，试用向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来。
解：设正六边形中心为P那么=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a+b+a=+=PC OP OC a+b+a+b由对称性：OD =b+b+a3． 处理教学与测试P139—140第66课〔略〕 三、 有时间是是可处理“备用题〞：例一、化简FA BC CD DF AB ++++解：FA BC CD DF AB ++++=FA DF CD BC AB ++++=FA DF CD AC +++=FA DF AD ++=FA AF +=0例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，假设船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？ 解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成30夹角，即指向河的上游。
高一数学 平面向量教案 ___1
诚西郊市崇武区沿街学校白蒲中学2021高一数学平面向量教案04教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习教学与测试64、65、66课目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、一一共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程：一、 复习： 1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、一一共线向量 2向量的加法与减法：定义、三角形法那么、平行四边形法那么、运算定律 二、 1．处理教学与测试P135—136第64课〔略〕2． 处理教学与测试P137—138第65课例一、 设a 表示“向东走3km 〞，b 表示“向北走3km 〞，那么a+b 表示向东北走23km 解：OB =OA +AB 233322=+=OB (km) 例二、 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法那么： AB =AO +OB ,DC =DO +OC 由：AO =OC ,DO =OB ∴AB =DC即AB 与CD 平行且相等 ∴ABCD 为平行四边形 B a +bbAB DC O ABOPC例三、 在正六边形中，假设OA =a,OE =b ，试用 向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来。
解：设正六边形中心为P 那么=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a+b+a=+=PC OP OC a+b+a+b由对称性：OD =b+b+a3． 处理教学与测试P139—140第66课〔略〕三、 有时间是是可处理“备用题〞：例一、化简FA BC CD DF AB ++++ 解：FA BC CD DF AB ++++=FA DF CD BC AB ++++ =FA DF CD AC +++=FA DF AD ++=FA AF +=0例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，假设船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？ 解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成30夹角， 即指向河的上游。
平面向量复习与小结学案
必修42.5.3平面向量复习与小结【学习目标】1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，通过学生补充相关内容，加深理解向量的概念、平面向量的基本定理、两向量平行与垂直的条件、平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，对分析问题、解决问题方面有更进一步的感受．．2．通过本节对向量有关内容的复习，进一步认识事物之间的相互转化．感受数学的应用．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．能通过一题多解的活动、通过多种方法间的沟通，体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．【学习重点】构建知识网络、梳理题型解法、向量知识综合运用.【难点提示】理清知识脉络与联系，知识与方法在一些综合性问题中的灵活运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材114121P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容进行系统复习， 同时思考下列问题：1.在对网络中个知识点回顾与复习后，请对不熟悉的知识点重点复习并写在空白处或添纸上（链接1供你参考对照），对个知识点尽可能达到一定的熟练程度，同时还要理清知识间的联系，发现明白知识的易错易混点，必须确保各知识点在求解问题时能准确与灵活运用！2.在前面的学习中，我们遇到过哪些问题，运用了哪些思想方法求解？在前面的学习中， 求解有关向量问题的易错点有哪些？（见上学案2.5.1中的学习链接）3.运用向量法解决几何问题的三步曲 、 、 （见上学案2.5.1中的学习链接）.4. 用向量知识研究物理问题的基本思路、方法与步骤 （见上学案2.5.2中的学习链接）.二、典例赏析例1.已知),2,3(),2,1(-==b a 当k 为何值时，（1）b a b a k 3-+与垂直？ （2）b a b a k 3-+与平行？平行时它们是同向还是反向？解:解后反思 共线向量的充要条件的两种表示形式在应用中的特点你学会了吗？ 变式练习 设坐标平面上有三点A 、B 、C ，,分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量，若向量2-=，m +=，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线？解：例2.在ABC ∆中，.,,===若∙=∙=∙． 求证ABC ∆为正三角形．证明:解后反思 你能通过一题多解的训练学会举一反三吗？如下面的变式. 变式练习 02=+∙若则ABC ∆的形状是例3 .平面内有向量OA OB OP ===（1，7），（5，1），（2，1），点Q 为直线OP 上一动点，（1）求QA QB ∙取最小值时，点Q 的坐标;（2）当点Q 满足（1）的条件和结论时，求cos AQB ∠的值． 解:解后反思 从该题的求解是否感受到：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，给解题带来很大的方便．通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明与计算转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用．有助于“数形结合”解题思想的认识和掌握．变式练习 已知向量(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，(,)22ππθ∈-（1）若a b ⊥ ,求θ的值;（2）求a b -的最小值; （3）求函数)(θf y ==a ·b 的单调增区间 解：例4.已知a 、b 是两个非零向量，当a +t b （t ∈R ）的模取最小值时， （1）求t 的值； （2）求证：b ⊥（a +t b ）思路启迪：利用|a +t b |2=（a +t b ）2进行转换，可讨论有关|a +t b |的最小值问题，若能计算得b ·（a +t b ）=0，则证得了b ⊥（a +t b ）解：解后反思你还有其他证明方法吗？变式练习 设向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，且a 、b 满足||3||b k a b a k -=+（k 为正实数），（1）求证：)()(b a b a -⊥+；（2）设a 与b 的数量积表示为k 的函数)(k f ，求)(k f （3）求函数)(k f 的最小值及取得最小值时与的夹角．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：通过本节课的复习对向量知识是不是更加理解与掌握了？能对向量知识的综合与灵活运用了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？（链接2）五、学习评价1.（06四川）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量 积中最大的是（ ）A.1213,PP PP ；B.1214,PP PP ；C.1215,PP PP ；D.1216,PP PP . 2.ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量p ()a b =，，q (12)=，．若q p //，则C ∠角的大小为 3.在下列命题中，正确命题的个数为ABMCQP ACB①a ·0＝0；②0·a＝０；③（→a ·→b ）→c =→a （→b ·→c）+=-，则0=b ；⑤→a ·→b -→b ·→a =→0；⑥1===→→→c b a ，且→a ∥→b ，→b ∥→c ，则→a 与→c 是模相等且同向或反向的两个向量⑦ a ·b ＝０，则a 与b中至少有一个为0； 4.已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为_____________________5.已知向量a (2,3)m m =-+，b (21,2)m m =+-，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 .6.如图ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD BN=31BD ，求证：M 、N 、C 三点共线 证：7.已知向量,a b 满足1,a b ==且()30a kb ka b k +=-< （1）试用k 表示,a b ⋅并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 夹角的值； （2）当a b ⋅取最大值时，求实数,λ使a b λ-最小. 解：8.如图，点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，求证：12OA OA OA OB +=+ （1） 一般地，如果点1A ，2A ，…1n A-是AB 的n (3)n ≥等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例并证明你写的结论解：9.已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径， （Ⅰ）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （Ⅱ）求BP CQ ⋅的最大值解：10.教材P118页复习参考题A 组2、10、11，B 组1、4、5、6、7、8.【学习链接】链接1.知识要点梳理 （一）基本概念1.向量：既有大小又有方向的量叫向量；零向量（特殊向量）：长度为零的向量；2.单位向量：长度为一个单位长度的向量，与非零向量a 共线的单位向量0a a a=±；3.平行向量：若非零向量,a b 方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行，平行向量就是共线向量.4.向量相等：b a =⇔ 模相等，方向相同；相反向量：b a-=⇔模相等，方向相反.5.两个非零向量a 、的夹角：做=a ；=b ；AOB ∠叫做a 与b的夹角．6.向量的坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=aj y i x +，则()y x ,叫做a 的坐标．7.向量a 在b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ为a 在b 方向上的投影.向量） 记：OA OB -是一个向量，=aλ||||a λ（三）基本定理、公式 （1）平面向量基本定理：若1e与2e不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1λ、2λ；使得=a2211e e λλ+．（2）向量的模：a＝＝22yx +；非零向量a与b 的夹角：=θc o s 222221212121||||y x y x y y x x b a +++=（3）向量平行：a ∥b ⇔λ=⇔1221y x y x =；向量垂直：a⊥b⇔0=⋅⇔02121=+y y x x .。
高中数学 第二章 平面向量章末小结与测评教案(含解析)高一数学教案
第二章 平面向量考点一平面向量的线性运算1．平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即AB ＋BC ＝AC ； 向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． 2．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点P 位于直线AB 上的条件是存在实数x ，使AP ＝x AB ，或对直线外任意一点O ，有OP ＝x OA ＋y OB (x ＋y ＝1)．(2)平面向量基本定理：如果向量e 1，e 2不共线，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中e 1，e 2是平面的一组基底，e 1，e 2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．[典例1] 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M 、N 分别是DA 、BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ＝e 1，AB ＝e 2，以e 1、e 2为基底表示向量DC 、BC 、MN .解：∵AB ＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC ＝k AB ＝k e 2.∵AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0， ∴BC ＝－AB －CD －DA＝－AB ＋DC ＋AD ＝e 1＋(k －1)e 2. 又∵MN ＋NB ＋BA ＋AM ＝0， 且NB ＝－12BC ，AM ＝12AD ，∴MN ＝－AM －BA －NB ＝－12AD ＋AB ＋12BC ＝k ＋12e 2.[对点训练]1.如图，在△ABC 中，AQ ＝QC ，AR ＝13 AB ，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ；(2)如果AI ＝AB ＋λBQ ＝AC ＋μCR ，求实数λ和μ的值； (3)确定点P 在边BC 上的位置． 解：(1)由AQ ＝12AC ，可得BQ ＝BA ＋AQ ＝－AB ＋12AC ，又AR ＝13AB ，所以CR ＝CA ＋AR ＝－AC ＋13AB .(2)将BQ ＝－AB ＋12AC ，CR ＝－AC ＋13 AB ，代入AI ＝AB ＋λBQ ＝AC ＋μCR ， 则有AB ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB ―→＋12AC ―→ ＝AC ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC ―→＋13AB ―→ ， 即(1－λ) AB ＋12λAC ＝13μAB ＋(1－μ) AC .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.(3)设BP ＝m BC ，AP ＝n AI .由(2)，知AI ＝15 AB ＋25AC ，所以BP ＝AP －AB ＝n AI －AB＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AB ―→＋25AC ―→ －AB ＝2n 5AC ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5－1 AB ＝m BC ＝m AC －m AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝n5－1，m ＝2n5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝53.所以BP ＝23BC ，即BPPC＝2，P 是边BC 上靠近C 的三等分点．若a ＝(a 1，a 212①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2；⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)； ⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22； ⑧若θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.[典例2] (1)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0(3)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：(1)由已知，得AB ＝(3，－4)，所以| AB |＝5， 因此与AB 同方向的单位向量是15 AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C.(3) AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，向量AB ＝(2,1)在CD ＝(5,5)上的投影为|AB |cosAB ，CD＝| AB |·AB ―→·CD ―→|AB ―→||CD ―→|＝AB ―→·CD ―→|CD |―→ ＝155 2＝3 22，故选A.答案：(1)A (2)C (3)A [对点训练]2．(1)若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30° B．60° C ．120° D．150° 解析：(1) AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.(2)a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°. 答案：(1)D (2)C考点三平面向量的数量积1两个向量的数量积是a ·b ＝|a ||b |cos θ，θ为a 与b 的夹角，数量积满足运算律： ①与数乘的结合律，即(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律，即a ·b ＝b ·a ；③分配律，即(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征．3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．[典例3] 已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，∴|b |＝2. ∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c .∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ，得0＝8m －4a ·b .① 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝± 6.∴a ·b ＝±2 6. ∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.[对点训练]3．(1)已知单位向量a ，b 的夹角为π3，则|a －2b |＝________.(2)已知e 为单位向量，|a |＝4，a 与e 的夹角θ＝2π3，则a 在e 方向上的投影为________．(3)已知在△ABC 中，∠A ＝π2，AB ＝2，AC ＝4，AF ＝12 AB ，CE ＝12CA ，BD ＝14BC ，则DE ·DF 的值为________．解析：(1)∵单位向量a ，b 的夹角为π3，∴|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×1×1×cos π3＋4＝1－2＋4＝3，∴|a －2b |＝3.(2)因为a 在e 方向上的投影为|a |cos θ，|a |＝4，a 与e 的夹角为2π3，所以|a |cos θ＝4×cos 2π3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. (3)因为在△ABC 中，∠A ＝π2，所以以A 为原点，AC ，AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则根据题意得A (0,0)，F (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，E (2,0)， 所以DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，DF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，所以DE ·DF ＝－1＋34＝－14. 答案：(1) 3 (2)－2 (3)－14又0°≤θ≤180°，∴a 与b 夹角θ的最大值为60°.。
高中数学《平面向量》的教案
高中数学《平面向量》的教案人教版高中数学《平面向量》的教案作为一位优秀的人民教师，常常要根据教学需要编写教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编帮大家整理的人教版高中数学《平面向量》的教案，欢迎阅读与收藏。
高中数学《平面向量》的教案篇1第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程：一、开场白：本P93（略）实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
二、提出题：平面向量1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2．向量的表示方法：1几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）2字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）P95 例用1cm表示5n mail（海里）3．模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。
记作：模是可以比较大小的4．两个特殊的向量：1零向量——长度（模）为0的向量，记作。
的方向是任意的。
注意与0的区别2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例：与是否同一向量？答：不是同一向量。
例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、向量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥ ∥规定：与任一向量平行2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
平面向量复习高中数学会考复习课件及教案
平面向量复习教学目标：1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点积。
3. 能够应用向量的知识解决实际问题。
教学重点：1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的运算规则。
教学难点：1. 向量的运算规则的理解和应用。
教学准备：1. 教案和课件。
2. 黑板和粉笔。
教学过程：第一章：平面向量概念及表示方法1.1 向量的定义1. 引入向量的概念，引导学生理解向量的定义。
2. 通过示例说明向量的表示方法，包括箭头表示法和坐标表示法。
1.2 向量的性质1. 引导学生学习向量的性质，如方向、长度、相等性、相反性等。
2. 通过示例讲解向量的性质，并让学生进行练习。
第二章：平面向量的运算规则2.1 向量加法1. 引导学生理解向量加法的定义和规则。
2. 通过示例讲解向量加法的运算方法，并让学生进行练习。
2.2 向量减法1. 引导学生理解向量减法的定义和规则。
2. 通过示例讲解向量减法的运算方法，并让学生进行练习。
第三章：平面向量的数乘3.1 数乘向量1. 引导学生理解数乘向量的定义和规则。
2. 通过示例讲解数乘向量的运算方法，并让学生进行练习。
3.2 数乘向量的应用1. 引导学生学习数乘向量的应用，如向量的大小、方向等。
2. 通过示例讲解数乘向量的应用，并让学生进行练习。
第四章：平面向量的点积4.1 点积的定义和性质1. 引导学生理解点积的定义和性质。
2. 通过示例讲解点积的运算方法，并让学生进行练习。
4.2 点积的应用1. 引导学生学习点积的应用，如向量的垂直性、夹角等。
2. 通过示例讲解点积的应用，并让学生进行练习。
第五章：平面向量的应用5.1 向量在几何中的应用1. 引导学生学习向量在几何中的应用，如向量的加法、减法、数乘和点积。
2. 通过示例讲解向量在几何中的应用，并让学生进行练习。
5.2 向量在物理中的应用1. 引导学生学习向量在物理中的应用，如速度、加速度等。
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课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
）3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。
杏：上大下小，上面要写得大，大在哪里？（大在撇捺）写的时候撇捺要舒展，象燕子张开的翅膀；下面的“口”要写得小，左右两竖要内斜，稍扁；“木”的竖写在竖中线上。
花：也是上下结构，草字头两竖要内斜；下面单人旁起笔对准上面的左竖，竖弯钩起笔对准上面的右竖；竖弯钩要舒展，（用红笔描竖弯钩，并在旁边书写一个大的竖弯钩）要求弯处圆转，不能僵硬（书写僵硬的竖弯钩，并在旁边打×）。
春：上部三横都是短横，收笔处不要顿；撇画最长，捺画从哪里起笔？从第三横下面起笔，不能碰到撇；下面“日”的两竖要竖直，不能斜。
雨：旁边两竖要内斜，上横短，中竖写在竖中线上；从下面看，哪一笔最低？钩最低，中竖最短；四个点都是斜点。
江：左右结构，左窄右宽左边三点水第二点略向外展；右边“工”字上横是短横，下横是长横；中竖略斜。
南：上横短；下边两竖内斜；框架中两横都是短的，中间一竖悬针；三个竖画左、中差不多长，右竖钩最低；横折钩要写出弯势。
4、学生练习，教师巡回指导。
三、讲评：收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。
板书设计：书写练习1、杏花春雨江南我的思考：进一步加强写字姿势训练，这是根本。
在了解字结构的基础上更好的把握每个字的书写。
及时对书写情况进行反馈，同时通过奖励激发学生兴趣。
课后反思：通过字形的比较，学生基本上学会了笔画位置的比较，但是还需要不断的引导。
第（3）课时课题：书写练习2课型：新授课教学目标：1、掌握车字旁写法，并能把“轻”字写端正。
2、完成书写练习。
重点：正确地书写“轻”字难点：“车”字旁的书写。
教学过程：一、讲评上一课作业情况。
1、表扬书写优秀者，展示其作业。
2、指出存在的主要缺点并进行针对性的练习。
二、指导“车”字旁写法：1、出示范字，观察“车”字旁写法。
2、讨论明确其书写要领：“车”字旁分四笔完成，整个偏旁左重右轻，不超过竖中线。
第一笔横稍短。
第二笔撇折收笔于横中线。
第三笔垂露竖，应在第一笔横下的正中位置起笔。
最后一笔，比第一横长一些，离折笔稍近一些。
3、练写“车”字旁。
三、指导临写“轻”字。
1、观察范字。
2、明确写法。
“轻”字的写法：“轻”字左窄右宽，右边的第一笔起笔与左边的第一笔短横相齐平，底部大体相齐，右边上下两部分基本相等。
四、课后延伸书写：斩、转板书设计：书写练习2、轻、斩、转我的思考：以复习巩固导入，并有针对地进行纠正。
明确字的重心及每个笔画在田字格中分布的位置，使学生初步掌握字的结构特点。
在练习书写“车”字旁的基础上，更好的把握整个字的字形。
课后及时巩固，拓展。
课后反思：学生基本上能把握好字在田字格中的位置，处理好左右的布局。
第（4）课时课题:结构特点（六）课型:新授课教学目标: 1、懂得以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小。
2、通过练习，写好课文中的例字。
重点:掌握以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小难点:把握好字的结构。
教学过程：一、复习巩固二、教学新课1.讲解以宝盖头、穴字头等作为字头的字（1）教师讲解字头的书写。
（2）学生练习书写，教师指导书写。
（3教师根据实际情况小结，提出要求。
2.指导书写例字（1）出示例字：“宝”：首先要控制好字头，摆正位置，下面的“玉”字占格子的一半以上，特别是最后一横宜稍长，使整个字立正。
“穷”：下面的力字宜正，不宜写得太小。
（其余字略）（2）学生练习，师巡回指导。
3、提出注意点三、讲评：收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。
板书设计：结构特点（6）宝、穷、写、会、奔我的思考：使学生更好的把握好字的结构，同时在教师的指导下提高学生辨别能力。
激励学生更好的书写。
第（5）课时课题：怎样写好字课型：复习课教学目标：1、让学生能够正确认识，端正态度。
教学过程：一、正确的学书之路1．临帖临帖是学习书法的最根本的方法。
古往今来，没有一个书法家是不经临习而成功的，没有一个字写得好的人是不经过临帖的。
只有临帖，取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西，才会有所获。
2．专一学书首先应师承一家，建立根据地，然后再发展。
这就有一个选帖的问题，选帖的标准：①好帖；②喜欢。
选定帖后专心致志，认真临习，坚持不懈，直至形同神似。
这个时期检验你学习得怎样，首先看临得像不像，再看笔法笔意。
3．博采众长当对一本帖或一家书体临习达到形同神似之后，就要广涉其他好帖，取其营养加以吸收消化，融会贯通。
4．字外功夫练字的同时经常要多读书，多掌握方方面面的知识，加强自身修养。
总之一句话，加强字外功夫的训练。
在此基础上，逐步形成自己的风格，便自成一家。
综上所述，我们可以把正确的学书之路概括为：二、科学的学书方法明确了正确的学书之路之后，我们还要掌握科学的学习方法，有了科学的学习方法，就可得到较好的学习效果。
1．临帖和摹帖这既是正确学书之路的开端，又是正确学书方法中的根本点，必须坚信不疑，坚定不移。
摹帖和临帖各有优点，效果各异。
姜夔《续书谱》中说：“临书易失占人位置，而多得古人笔意，摹书易得古人位置，而多失古人笔意，临书易进，摹书易忘。
”其中的“笔意”即指笔法、笔势及线条意趣。
“临”的方法就是看着字帖，照着写。
只要仔细地临，便容易掌握笔法笔意．从而把范本的精髓学到手。
“摹”的方法，就是用薄纸蒙在帖上，直接地描画。
所以字形基本上不会走样，多摹几遍，有利于把握结构。
但摹书看不清笔法，“易失笔意”，虽然间架不错．但没有笔法，字就僵化。
所以，初学者可以临摹并用，相互补充。
2．每天定量事实证明，任何事情都有一个由量变到质变的过程，练字也一样，写得太少，练习量跟不上，就谈不上进步；当然盲目机械地多写，疲倦了效果也不好。
一定的量才能达到的一定的效果，较佳的量才能达到较佳的效果。
3．循序渐进学习书法，在勤学苦练的基础上，还应该懂得它是一个循序渐进的过程：第一，先正楷，后行草。
苏轼说：“真生行，行生草。
真如立，行如行，草如走。
”就是说楷、行、草书三者如同人的立、走、跑，如果人连站都不能站，怎么能走和跑呢？如果没有楷书基础，直接写行书、草书，就会疏于法度，流于轻滑飘浮。
行书、草书是楷书的流、便、疏、散，学好楷书之后，加强用笔的流动呼应，行草就容易上手。
等到楷法熟练，再写行草时．便可悟到两者相通之处，可相辅相成，互相促进，相得益彰。
第三，先点画，后结构，再章法。
书法是线条的艺术，也就是以基本点画为基础的艺术。
基本点画不好，整字或整篇的艺术性就无从谈起。
由于钢笔尖性硬，在线条变化上相对简单得多，故钢笔书法学习在结构上花的时间多，而在用笔、点画上相对较少。
但这并不是说点画用笔不重要，相反，它是钢笔书法的基本功，只有在点画书写的基本功扎实之后，才可能去把握结构。
在结构上有了一定的基础后，整幅字的章法就容易把握了。
第（6）课时课题：结构特点（七）课型：新授课教学目标：1、了解“皿”、“土”等做字底的字的结构特点，学习这类字的写法。
2、通过练习，写好课文中的例字。
重点：掌握字的结构，学习写法。
教学过程：一、观察例字，进行讨论：（1）这些字是什么结构？（2）它们分别是什么字底？（3）书写上有什么特点？二、教师示范小结三、指导要点盘：上半部分宜瘦长，下面要宽扁。
皇：“白”字头是方形结构的，要写的紧凑些，略小；“王”上两横短，下横长，略大。
至：第一横不要太斜，撇折点也不要太斜；下面的“土”要端正，下横要长。
竖：上半部分要摆好位置，左右不要分开；下面的“立”，点在正中，上横短，点撇要呼应，下横适当拉长。
四、学生练习，教师指导。
五、收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。
板书设计：结构特点（七）、盘至竖我的思考：通过自主观察来了解字形。
在逐字的教学指导中使学生学会自主分析，养成良好的学习习惯。
课后反思：部分学生在练习中还需要指导。
第（7）课时课题：结构特点（八）课型：新授课教学目标：1、了解上下相同、左右相同这类字的结构特点，学习这类字的写法。
2、通过练习，写好课文中的例字。
重点：掌握这类字的结构，学习写法。
教学过程：一、例字，再说说它们有什么共同的特点。
二、读课文中的一段话，说说这段话的意思。
三、教师示范并小结。
四、范字指导提要哥：下面的部分要先写“口”再写竖钩，注意笔顺。
竹：左竖回锋，有撇略高于和长于左撇。
羽：左小右大，其中的4点要摆好位置，使其显得丰满些。
吕、昌：口和曰要写成扁方形，上下重复，上小下大。
兢：语文课文中还没有出现过，这个字可只让学生知道其书写方法，左边的竖弯钩改成竖提。
五、收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。