2017_2018学年高中数学第三章指数函数和对数函数章末复习课学案北师大版必修1(含答案)

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2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.4.1第1课时对数学案北师大版

3.4．1 第1课时对数1. 理解对数的概念．(重点)2. 掌握指数式与对数式的互化．(重点)3. 理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 1 对数的定义阅读教材P 78～P 79“思考交流”之间的部分内容，完成下列问题． 1. 对数的有关概念2. 对数的底数a 的取值范围是a >0，且a ≠1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．22＝4与log 24＝2B ．214＝12与log 412＝－12C ．(－2)3＝－8与log (－2)(－8)＝3 D ．3－2＝19与log 319＝－2【答案】 C教材整理 2 对数的基本性质与对数恒等式阅读教材P 79“思考交流”的内容，完成下列问题.1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零和负数没有对数．( ) (2)1的对数是1.( ) (3)2log 22－1＝－1.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2. 计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. 【解析】 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.【答案】－12 3 3教材整理 3 两种常见对数阅读教材P 79“思考交流”下方与“例1”上方之间的内容，完成下列问题.若ln(lg x )＝0，则x ＝________.【解析】 ∵ln(lg x )＝0，∴lg x ＝1，∴x ＝10. 【答案】 10[小组合作型](1)2－7＝1128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)＝－5；(5)lg 0.001＝－3.【精彩点拨】利用对数与指数间的互化关系：log a N ＝b ⇔a b＝N . 【尝试解答】 (1)log 21128＝－7；(2)log 327＝3；(3)lg 0.1＝－1；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32；(5)10－3＝0.001.利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的.[再练一题]1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．①35＝243；②⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＝5.73；③＝－4；④ln 10＝2.303.【解】 ①log 3243＝5；②5.73＝m ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；④e 2.303＝10.(1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)12＋1＝x .【精彩点拨】本题可以利用对数的基本性质或指数式与对数式的互化求值．【尝试解答】 (1)∵log 2(log 4x )＝0，∴log 4x ＝20＝1， ∴x ＝41＝4.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)∵log (2－1)12＋1＝x ， ∴(2－1)x＝12＋1＝2－1，∴x ＝1.1. 对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.2. 使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．[再练一题]2. 求下列各式中的x 值：(1)log 2[ln(lg x )]＝0；(2)log x 25＝2； (3)log 5x 2＝2.【解】 (1)∵log 2[ln(lg x )]＝0，∴ln(lg x )＝1， ∴lg x ＝e ，∴x ＝10e. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x >0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52， ∴x ＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0， ∴x ＝5或x ＝－5. [探究共研型]探究【提示】 31＋log 32＝3·3log 32＝3 2. 探究 2 计算：912log 34.【提示】 912log 34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤212log 34＝3log 34＝4.计算：.【精彩点拨】先利用指数幂的运算性质变形后，再利用对数恒等式求值．对数恒等式在求值中的应用技巧：[再练一题]3. 计算：.1. 有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x＝N 才能化为对数式．故选C.【答案】 C2. 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b <2或b >5 B ．2<b <5 C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.故选D.【答案】 D3. 若logπ[log3(ln x)]＝0，则x＝________.【解析】由logπ[log3(ln x)]＝0，得log3(ln x)＝1，则ln x＝3，故x＝e3.【答案】e34. 计算下列各式的值．(1)81－log85；(2)22＋log25＋log a1.【解】(1)81－log85＝8·8－log85＝88log85＝85.(2)原式＝22·2log25＋0＝4×5＝20.。

2017-2018版高中数学第三章指数函数和对数函数 1 正整数指数函数学案北师大版必修1

1 正整数指数函数学习目标 1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．知识点一正整数指数函数的概念思考定义在N ＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置．梳理正整数指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.知识点二正整数指数函数的图像特征及其单调性思考比较12，(12)2，(12)3的大小，你有什么发现？梳理函数y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)图像是散点图，当a >1时，在定义域上递增；当0<a <1时，在定义域上递减．知识点三指数型函数思考 y ＝3·2x ，x ∈N ＋是正整数指数函数吗？梳理形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．类型一正整数指数函数的概念命题角度1 判断是否为正整数指数函数例1 下列表达式是否为正整数指数函数？(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；(4)y＝e x(x∈N＋)．反思与感悟判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．跟踪训练1 下列函数中是正整数指数函数的是( )A ．y ＝－2x，x ∈N ＋ B ．y ＝2x，x ∈R C ．y ＝x 2，x ∈N ＋ D ．y ＝(12)x，x ∈N ＋命题角度2 根据正整数指数函数概念求参数例2 已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)·a x，则f (2)等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．16反思与感悟解此类题的关键是找到参数应满足的条件．跟踪训练2 函数y ＝(1－3a )x是正整数指数函数，则a 应满足________．类型二正整数指数函数的图像与性质例3 比较下面两个正整数指数函数的图像与性质． (1)y ＝2x(x ∈N ＋)； (2)y ＝0.95x (x ∈N ＋)．反思与感悟通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成．跟踪训练3 作出下列函数(x ∈N ＋)的图像．(1)y ＝3x；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .类型三正整数指数函数的应用例4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．反思与感悟建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．跟踪训练4 一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)1．下列函数：①y ＝3x 3(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝(a －3)x(a >3，x ∈N ＋)．其中正整数指数函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．当x ∈N ＋时，函数y ＝(a －1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．a <1 C ．a >1D ．a >23．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( ) A ．增加7.84% B ．减少7.84% C ．减少9.5%D ．不增不减4．函数y ＝(13)x(x ∈N ＋)的值域是( )A ．RB ．正实数C ．ND ．{13，132，133，…}5．正整数指数函数f (x )＝(a －2)(2a )x(x ∈N ＋)在定义域N ＋上是________的．(填“增加”或“减少”)1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集． 2．当a >1时是增函数． 3．当0<a <1时是减函数．4．正整数指数函数的图像是一些孤立的点．答案精析问题导学知识点一思考 y ＝2x，x ∈N ＋，自变量在指数上．知识点二思考 12>(12)2>(12)3，对于y ＝(12)x，x ∈N ＋，x 越大，y 越小．知识点三思考不是，正整数指数函数的系数为1. 题型探究例1 解 (1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y ＝3－x＝(13)x ，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．跟踪训练1 D [结合正整数指数函数的定义可知选D.] 例2 C [∵f (x )是正整数指数函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1，a >0且a ≠1，∴a ＝3，f (x )＝3x.∴f (2)＝32＝9.]跟踪训练2 a <13，且a ≠0解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－3a >0，1－3a ≠1，解得a <13，且a ≠0.例3 解列表比较如下：跟踪训练3 解 (1)(2)例4 解 (1)已知本金为a 元，利率为r ，则 1期后的本利和为y ＝a ＋a ×r ＝a (1＋r )， 2期后的本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2，3期后的本利和为y ＝a (1＋r )3，x 期后的本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋，即本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y ＝a (1＋r )x，x ∈N ＋. (2)将a ＝1 000(元)，r ＝2.25%，x ＝5代入上式，得y ＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)，即5期后本利和约为1 117.68元．跟踪训练4 解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL ，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL.由题意知：0.3(1－50%)x≤0.08， (12)x ≤415.采用估算法，当x ＝1时，(12)1＝12>415；当x ＝2时，(12)2＝14＝416<415.由于y ＝(12)x是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶．当堂训练1．B 2.D 3.B 4.D 5．增加解析 ∵f (x )＝(a －2)(2a )x是正整数指数函数， ∴a －2＝1，且2a >0,2a ≠1， ∴a ＝3，∴f (x )＝6x，x ∈N ＋. ∵6>1，∴f (x )在N ＋上是增加的．。

2017-2018学年高中数学第三章指数函数和对数函数 3.4 对数学案北师大版必修1

3.4 对数[核心必知]1．对数的概念与性质 (1)定义：一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．log a N 读作以a 为底N 的对数．(2)常用对数与自然对数：以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N ；以e 为底的对数叫作自然对数，记作ln_N .(3)基本性质：①负数没有对数，即log a N 中真数必须大于零；②1的对数为0，即log a 1＝0； ③底数的对数为1，即log a a ＝1； ④对数恒等式：a log a N ＝N . 2．对数的运算性质如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则： (1)积的对数：log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)商的对数：log a M N＝log a M －log a N ； (3)幂的对数：log a M n＝n log a M (n ∈R )． 3．对数的换底公式log b N ＝log a Nlog a b (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．[问题思考]1．指数式a b＝N 和对数式log a N ＝b (a ＞0且a ≠1，N ＞0)有什么关系？提示：关系如图示．2．如何用对数的定义证明a log a N ＝N? 提示：因为若a b＝N ，则b ＝log a N (a ＞0且a ≠1)，所以由等量代换得a log a N ＝N .3．对数运算性质(1)当M 、N 同号时成立吗？提示：不一定成立．如lg [(－5)×(－3)]有意义，而lg(－5)、lg(－3)无意义．讲一讲1．(1)将对数式log 1327＝－3化为指数式；(2)将指数式⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16化为对数式；(3)求式子log 2(log 5x )＝0中的x ； (4)计算412(log 29－log 25)．[尝试解答] (1)因为log 1327＝－3，所以(13)－3＝27. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16，所以log 1416＝－2.(3)因为log 2(log 5x )＝0，所以log 5x ＝1，所以x ＝5. (4)原式＝2log 29－log 25＝2log 292log 25＝95.(1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式a b＝N 等价于b ＝log a N (a ＞0且a ≠1，N ＞0)，要注意a 、b 、N 的位置．(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．(3)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．练一练1．(1)将指数式104＝10 000和⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＝5化为对数式；(2)将对数式log 0.10.01＝2和ln x ＝12化为指数式；(3)求式log 3(lg x )＝1中的x ； (4)计算71－log 75的值．解：(1)lg 10 000＝4, m ＝log 135.(2)0.12＝0.01, e 12＝x .(3)∵log 3(lg x )＝1， ∴lg x ＝3， ∴x ＝103＝1 000. (4)原式＝77log 75＝75.讲一讲2．计算下列各式的值． (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.[尝试解答] (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(2)原式＝32lg 3＋3lg 2－32lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质化简、求值的一般策略：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．练一练2．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ； (2)log a x 2y3z.解：(1)log a xyz＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z .(2)log ax 2y3z＝log a (x2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .讲一讲3．(1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)；(2)设3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．[尝试解答] (1)法一：原式＝log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.法二：原式＝(lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8)(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125) ＝(3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2)(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5) ＝(13lg 53lg 2)(3lg 2lg 5)＝13.(2)法一：由3a＝4b＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436，∴2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364 ＝log 3636 ＝1.法二：对已知条件取以6为底的对数，得a log 63＝2，b log 62＝1，∴2a ＝log 63，1b＝log 62.于是2a ＋1b＝log 63＋log 62＝log 66＝1.(1)解决指数、对数的化简、求值时，一般通过指数、对数互化及换底公式，使所求式子的底数与已知条件中的底数统一，从而达到代入化简求值的目的．(2)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决．(3)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，在取对数时，要注意底数的合理选取．练一练3．(1)设log 1227＝a ，求证log 616＝4(3－a )3＋a； (2)已知14a＝2，用a 表示log27.解：(1)法一：4(3－a )3＋a ＝4(3－log 1227)3＋log 1227＝4log 1212327log 12(123×27)＝4log 1243log 12(43×36)＝log 12412log 12(43×36)＝6log 12426log 12(2×3)＝log 1216log 126＝log 616，故原式得证．法二：a ＝log 1227＝3log 312＝32log 32＋1，∴log 32＝32a －12，log 616＝4log 62＝4log 22log 26＝41＋log 23＝41＋2a 3－a＝4(3－a )3＋a.(2)∵14a＝2， ∴log 142＝a ，log 27＝log 147log 142＝1－log 14212log 142＝1－a 12a ＝2－2aa .已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求的值．[错解] 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 则xy ＝1或x y＝4，[错因] 错解中忽略了lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )成立的前提是⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，即x ＞2y ＞0，在求出x ，y 的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根．[正解] 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y .因为x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，所以x ＝y 应舍去．则xy＝4，1．下列各式中正确的个数是( ) ①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0； ③若10＝lg x ，则x ＝10； ④若log 25x ＝12，则x ＝±5.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝lg 1＝0，∴①正确；∵ln e ＝1.∴lg(ln e)＝lg 1＝0，∴②正确；若10＝lg x ，则1010＝x ，∴③不正确；若log 25x ＝12，则2512＝x ，∴x ＝5，④不正确．故只有①②正确．2．下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x ，y ，z ＞0)( ) A ．lg(x 2y z )＝(lg x )2＋lg y ＋lg z B ．lg(x 2y z )＝z lg x ＋2lg y ＋2lg z C ．lg(x 2y z )＝2lg x ＋lg y －2lg z D ．lg(x 2y z )＝2lg x ＋lg y ＋12lg z解析：选D lg(x 2y z )＝lg x 2＋lg y ＋lg z ＝2lg x ＋lg y ＋12lg z .3．(安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：选D (log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.4．已知ln x ＝a ，ln y ＝b ，则ln[x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y e 2]＝________.(用a ，b 表示)解析：由于ln [x ·(y e )2]＝ln x ＋ln (y e )2＝ln x 12＋2ln y e ＝12ln x ＋2ln y －2ln e＝12a ＋2b －2. 答案：12a ＋2b －25．(四川高考)lg0.01＋log 216的值是________．解析：lg 0.01＋log 216＝lg 1100＋log 224＝－2＋4＝2. 答案：26．计算下列各式：(1)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5lg 10·lg 0.1；(2)log a na ＋log a 1an ＋log a 1na(a ＞0且a ≠1)．解：(1)原式＝lg 23＋lg 53－lg 2－lg 5lg 1012·lg 10－1＝2(lg 2＋lg 5)－12＝－4lg 10＝－4.(2)法一：原式＝log a a 1n ＋log a a －n＋log a a －1n＝log a a 1n －n －1n＝log a a －n＝－n .法二：原式＝log a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫n a ·1a n ·1n a ＝log a a －n＝－n .一、选择题1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( )A.13B.123C.122 D.133 解析：选C ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0， ∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，即x ＝23＝8. ∴x －12＝122.2．已知lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3a B.32aC ．a D.a2解析：选A lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x2－lg y 2＝3[(lg x －lg 2)－(lg y －lg 2)]＝3(lgx －lg y )＝3a .3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1(x ＜2)，log 31(x 2－1)(x ≥2)，则f (f (2))＝( )A.2e 2 B ．2e 2C ．2eD ．2解析：选A ∵f (2)＝log 31(22－1)＝log 33－1＝－1，∴f (f (2))＝f (－1)＝2e －2＝2e2.4．已知2m ＝7n＝p ，1m －1n＝4，则p 的值是( )解析：选B ∵2m＝7n＝p ， ∴m ＝log 2p ，n ＝log 7p . 又1m －1n ＝1log 2p －1log 7p ＝log p 2－log p 7＝log p 27＝4，∴p 4＝27.∴p ＝二、填空题5．(四川高考)lg 5＋lg 20的值是________．解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝ lg 10＝1.故填1. 答案：16．若a ＞0，a 23＝49，则＝________.解析：∵a ＞0, ＝49， ∴log a 49＝23，∴log a 23＝13，∴＝3.答案：37．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y ＝________.解析：∵2x＝3， ∴x ＝log 23. ∵log 483＝y ，∴y ＝log 48－log 43＝log 28log 24－log 23log 24＝32－12log 23， ∴x ＋2y ＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12log 23＝3. 答案：38．若10α＝2，β＝lg 3，则＝________.解析：法一：∵10α＝2，β＝lg 3， ∴α＝lg 2，＝＝＝22×3－1＝43.法二：∵10α＝2，β＝lg 3， ∴10β＝3，＝(10α)2·(10β)－1＝22×3－1＝43.答案：43三、解答题 9．(1)求值：(2)2013年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长率为8%，那么大约经过多少年后国民生产总值是2013年的两倍？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)解：(1)原式＝－(12)2＝9－2－14＝274. (2)设经过x 年后国民生产总值是2011年的两倍．经过1年，生产总值为a (1＋8%)，经过2年，生产总值为a (1＋8%)2，…，经过x 年，生产总值为a (1＋8%)x .由题意得a (1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2.两边取常用对数，得lg 1.08x ＝lg 2.故x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2011年的两倍．10．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0.∴t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12. 由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )[(lg b )2＋(lg a )2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg b ＋lg a )2－2·lg a lg b lg a lg b＝2×22－2×1212＝12. 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.本文档仅供文库使用。

学年高中数学第章指数函数和对数函数章末复习课学案北师大版必修

第3章指数函数和对数函数指数、对数的运算【例1】计算：(1)lg 52＋3lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2； [解] (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.1．指数幂运算的一般原那么(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)假设是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．2．对数运算的常用方法(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．a >b >1，假设log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，那么a ＝________，b ＝________. 4,2 [由log a b ＋log b a ＝52，得log a b ＋1log a b ＝52， ∴(log a b )2－52log a b ＋1＝0，解得log a b ＝12或2，又a >b >1，那么log a b ＝12，由a b ＝b a ，得b ＝a log a b ， ∴b ＝12a ， ∴log a 12a ＝12，即log a 12＋1＝12，∴log a 12＝－12， ∴a －12＝12， ∴a ＝4，b ＝2.] 指(对)数函数的图像及应用【例2】函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . (1)画出函数f (x )的图像；(2)根据图像写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．[解] (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像，利用偶函数的图像关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图像．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．由于指数函数y ＝a x a >0，且a ≠1，对数函数y ＝log a x a >0，且a ≠1的图像与性质都与a 的取值有密切的关系，a 变化时，函数的图像与性质也随之改变.因此，在求解问题时，当a 的值不确定时，要对它进行分类讨论.2．当0<x ≤12时，4x <log a x ，那么a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.()1，2 D ．()2，2B [易知0<a <1，那么函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图像如图，那么只需满足log a 12>2，解得a >22， ∴22<a <1，应选B. ]比拟大小【例3】 (1)70.60.7 )A ．b <c <aB ．b <a <c。

2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质学案北师大版

3.2 指数扩充及其运算性质1. 理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2. 了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3. 掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)[基础·初探]教材整理 1 分数指数幂阅读教材P 64～P 66的有关内容，完成下列问题． 1. 定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝nm a，它就是分数指数幂．2. 几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：nm a＝na m(a >0)．(2)负分数指数幂的意义：nm a＝nm a1(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 322表示23个2相乘．( )(2)nm a＝ma n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )(3) nma-＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理 2 指数运算的性质阅读教材P 66～P 67的有关内容，完成下列问题．若a >0，b >0，对任意实数m ，n 指数运算有以下性质： (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝n m a -；(3)(ab )n ＝a n b n；(4)当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －nm >n ，1m ＝n ，a －n －m m <n ；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (b ≠0)．31064.0-＋160.75＋2125.0-＝________.【解析】原式＝31-[(0.4)3]＋43[(24)]＋21[(0.5)2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1＋23＋12＝52＋8＋12＝11. 【答案】 11[小组合作型](1)3a ·4a ；(2)a a a ；(3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.【精彩点拨】利用根式与分数指数幂的转化式子：nm a＝na m和nm a＝nm a1＝1na m进行转化，注意其中字母a 要使式子有意义．【尝试解答】 (1)原式＝31a·41a＝127a；(2)原式＝21a·41a·81a＝87a；(3)原式＝32a·23a＝613a；(4)原式＝(31a)2·21a ·23b＝67a23b.根式与分数指数幂互化的关键与技巧：关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a >0，m ，n ∈N ＋，且n 技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[再练一题]1. 用分数指数幂表示下列各式． (1)3a ·6－a (a <0)； (2)3ab2ab3(a ，b >0)；(3)324)32(b (b <0)； (4)13x5x 22(x ≠0)．【解】 (1)原式＝31a·61)(a -＝31)(a --·61)(a -＝21)(a -- (a <0)；(2)原式＝＝(25a·27b)13＝65a 67b(a ，b >0)；(3)原式＝ (b <0)；(4)原式＝.计算下列各式．【精彩点拨】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数； (2)将根式化为分数指数幂．意运算顺序问题.2. 计算或化简．[探究共研型]探究 1 已知21a＋21-a＝3，求a ＋a －1的值．【提示】 (21a＋21-a)2＝9，∴a ＋a －1＝7.探究 2 在探究1的条件下，求a 2＋a －2的值．【提示】 (a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋a －2＝47.已知32a ＋b ＝1，求9a×3b3a 的值．【精彩点拨】应先化成同底数幂的形式．解决此类问题的思路步骤如下：[再练一题]3. 若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy的值.【导学号：04100042】【解】 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0，由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.1. 下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝aB ．(47)4＝－7C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a【解析】 (47)4＝7，(3a )3＝a ，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |，故选A. 【答案】 A2. 计算51)2431(的结果等于( )A.19B.13 C ．±13D ．－13【解析】51)2431(＝＝13. 【答案】 B3. (1)3a 5＝________. (2)32-a＝________.【解析】 (1)3a 5＝35a.(2) 32-a＝321a＝13a2. 【答案】 (1)35a(2)13a 24. 3227－2116-－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－32)278(-＝________. 【导学号：04100043】【答案】5 25. 化简：．【解】原式＝。

高中数学第三章指数函数与对数函数复习二学案北师大版必修1 学案

[北师版] –必修1第三章指数函数与对数函数复习二（学案）[学习目标]1、知识与技能（1）梳理知识网络，建构知识体系．（2）熟练掌握指数函数、对数函数的定义、图像与性质．（3）熟练运用指数函数、对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让通过复习对指数函数和对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）两种函数的图像和性质对比掌握,解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观通过复习指数函数、对数函数的图像和性质，培养研究函数问题的思维方法,．[学习重点]: 指数函数、对数函数的图像与性质[学习难点]：指数函数与对数函数的性质．[学习方法]：学生动脑、动手总结规律,梳理知识．[学习过程]【建构知识网络】复习:1．指数函数的定义、图像和性质．2．对数函数的定义、图像和性质．梳理知识,建构知识网络3．完成下列表格: （1）指数函数的图像与性质（2）对数函数的图像与性质例题: 一、定义域例1．求下列函数的定义域（1）y =;（2）41212-=--xy练习1: 求下列函数的定义域（1）1y lg(x 3)=-;（2）22xy 3-=二、值域例2．求下列函数的值域（1）xy -=215 （2） x y 21-= （3）13y log (4x 5)=+练习2: 求下列函数的值域（1） xy -⎪⎭⎫⎝⎛=131（2） 121-⎪⎭⎫⎝⎛=xy （3）1y ln 5x =-三、单调性例3．已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = ,试比较)()(x g x f 和的大小。

练习3: 设a 是实数，)(122)(R x a x f x ∈+-=试证明对于任意a,)(x f 为增函数课堂小结:作业:复习参考题A 组8,9,10,12。

2017-2018学年高中数学第三章指数函数和对数函数 3.5 对数函数学案北师大版必修1

3.5 对数函数第1课时对数函数的概念对数函数y＝log2x的图像和性质[核心必知]1．对数函数的概念(1)对数函数的定义：一般地，函数y＝log a x(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数．(2)两种特殊的对数函数：我们称以10为底的对数函数y＝lg_x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y ＝ln_x为自然对数函数．2．反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．3．函数y＝log2x的图像和性质1．y＝2log2x 么？形式的函x＞0)，y 2log2x，yx(a＞0且3．对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x有何关系？提示：(1)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称；(2)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的定义域与值域互换，即y ＝log 2x 的定义域(0，＋∞)是y ＝2x的值域，而y ＝log 2x 的值域R 恰好是y ＝2x的定义域．(3)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的单调性一致，即都是增函数．讲一讲1．求下列函数的定义域．(1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x)．[尝试解答] (1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，log 2(1－x )≤0，解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，x >－1，x ≠0.∴1<x <2，故所求函数的定义域为(1,2)．求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log 2x <1，有人常由此得到x <2，而忘记x >0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．练一练1．求下列函数的定义域．(1)y ＝1－log 2x ；(2)y ＝lg(x ＋1)＋1log 2(－x )＋1.解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－log 2x ≥0，即0<x ≤2，∴所求函数的定义域为(0,2]． (2)要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x ＞0，log 2(－x )＋1≠0.即－1＜x ＜0且x ≠－12.∴所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.讲一讲2．写出下列函数的反函数． (1)y ＝log 0.13x ；(2)y ＝3.05x. [尝试解答] (1)y ＝log 0.13x 的反函数是y ＝0.13x .(2)y ＝3.05x的反函数是y ＝log 3.05x .函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x(a ＞0，a ≠1)；函数y ＝a x 的反函数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)．练一练2．写出下列函数的反函数．(1)y ＝lg x ；(2)y ＝ln x ；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.解：(1)y ＝lg x 的反函数为y ＝10x. (2)y ＝ln x 的反函数为y ＝e x. (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数为y ＝log 13x .讲一讲3．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题．(1)若f (a )＞f (2)，求a 的取值范围； (2)y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最值．[尝试解答] 函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)因为y ＝log 2x 是增函数，若f (a )＞f (2)，即log 2a ＞log 22，则a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x ≤14，∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227. ∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.(1)研究函数y ＝log 2x 的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．(2)函数y ＝log 2x 的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．练一练3．(1)比较log 245与log 234的大小；(2)若log 2(2－x )＞0，求x 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，又∵45＞34，∴log 245＞log 234.(2)log 2(2－x )＞0即log 2(2－x )＞log 21，∵函数y ＝log 2x 为增函数，∴2－x ＞1，即x ＜1.∴x 的取值范围为(－∞，1)．当m 为何值时，关于x 的方程|log 2(x －1)|＝m 无解？有一解？有两解？[巧思] 将关于x 的方程解的问题转化为函数y ＝|log 2x －1|的图像与直线y ＝m 的交点个数问题，利用数形结合法求解．[妙解] 在同一坐标系，分别作出函数y ＝|log 2(x －1)|和y ＝m 的图像，如图所示．由图像得：当m <0时，方程无解，当m ＝0时，方程有一解，当m >0时，方程有两解．1．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝log a (2x )B ．y ＝lg(10x) C ．y ＝log a (x 2＋x ) D ．y ＝ln x 解析：选D 形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数为对数函数，所以只有y ＝ln x 符合此形式．2．函数y ＝log 2x (1≤x ≤8)的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[0,3]解析：选D ∵y ＝log 2x 在[1,8]上为增函数，∴log 21≤y ≤log 28，即y ∈[0,3]．3．图中所示图像对应的函数可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x的反函数 C ．y ＝2－xD ．y ＝2－x 的反函数解析：选D 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y ＝的图像．4．若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数图像过点(2，－1)，则a 的值是________．解析：依题意，f (x )的图像过点 (－1,2)，∴a －1＝2，即a ＝12.答案：125．函数y ＝log 2(3x －1＋1)的定义域为________，值域为________．解析：由已知得x －1≥0，得x ≥1，故定义域为[1，＋∞)．又x －1≥0得3x －1≥30＝1，∴3x －1＋1≥2.∴y ＝log 2(3x －1＋1)≥log 22＝1.∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞) [1，＋∞)6．已知对数函数f (x )＝log 2(x ＋3)－1. (1)求此对数函数的定义域；(2)若f (a )＞f (1)，求a 的取值范围．解：(1)由题意知x ＋3＞0，即x ＞－3， ∴函数的定义域为(－3，＋∞)． (2)f (a )＝log 2(a ＋3)－1，f (1)＝log 2(1＋3)－1＝1，∵f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0log 2(a ＋3)－1＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0a ＋3＞4∴a ＞1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．一、选择题1．(重庆高考)函数y ＝lg(x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.2．函数y ＝log 2|x |的图像大致是( )解析：选A y ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，log 2(－x ) (x <0)，分别作图知A 正确．3．已知函数y ＝log 2x ，其反函数y ＝g (x )，则g (x －1)的图像是( )解析：选C 由已知g (x )＝2x，∴g (x －1)＝2x －1，故选C.4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )等于( )A ．－log 2xB ．log 2(－x )C ．log x 2D ．－log 2(－x ) 解析：选 D ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )．又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－log 2(－x )．二、填空题5．集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝yy＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则(∁R A )∩B ＝________. 解析：∵x ＞1，∴log 2x ＞log 21＝0，∴A＝{y |y ＞0}．而当x ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫121，∴B ＝y 0＜y ＜12.∴(∁R A )∩B ＝{y |y ≤0}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0＜y ＜12＝∅.答案：∅6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝________. 解析：∵y ＝f (x )的图像过点(a ，a )， ∴其反函数y ＝a x的图像过点(a ，a )， ∴a a＝a ＝，∴a ＝12，∴f (x )＝.答案：7．若log 2a ＜log 2b ＜0，则a ，b,1的大小关系是________．解析：log 2a ＜log 2b ＜0⇔log 2a ＜log 2b＜log 21，∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＜b ＜1.答案：a ＜b ＜18．函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上的最大值与最小值之差为________．解析：∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1.答案：1 三、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg(x ＋1)＋2x 2－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，∴函数的定义域为(－1,2)．(2)要使函数有意义．需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝log 2(1－x )．(1)若函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围；(3)判断函数F (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)由题意知，3≤x ≤63，∴4≤x ＋1≤64，∵函数y ＝log 2x 是增函数，∴log 24≤log 2(x ＋1)≤log 264，∴2≤f (x )≤6，∴f (x )的最大值为6，最小值为2. (2)f (x )－g (x )＞0⇔f (x )＞g (x )，即log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，得：0＜x ＜1，∴x 的取值范围为(0,1)．(3)要使函数F (x )＝f (x )＋g (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ＞0，即－1＜x ＜1，∴定义域为(－1,1) 又F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)＝f (x )＋g (x )＝F (x )， ∴F (x )为偶函数．第2课时对数函数的图像和性质[核心必知]对数函数的图像和性质＝观察这些图像，可得如下规律：上下比较：在直线x ＝1的右侧，a 时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a 1讲一讲 1．比较大小(1)log 23.4，log 28.5; (2)log 0.31.8，log 0.32.7； (3)log 67，log 76; (4)log 3π，log 20.8； (5)log 712，log 812.[尝试解答] (1)考察对数函数y ＝log 2x ，∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数． ∴log 23.4＜log 28.5. (2)考察对数函数y ＝log 0.3x ， ∵0＜0.3＜1，∴它在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.31.8＞log 0.32.7.(3)∵log 67＞log 66＝1，log 76＜log 77＝1，∴log 67＞log 76.(4)∵log 3π＞log 31＝0，log 20.8＜log 21＝0，∴log 3π＞log 20.8.(5)法一：在同一坐标系中作出函数y ＝log 7x 与y ＝log 8x 的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log 7 12＞log 8 12.法二：log 7 12log 8 12＝lg 12lg 7lg 12lg 8＝lg 8lg 7＝log 78＞1.∵log 812＞0， ∴log 712＞log 812.比较对数值大小的类型及相应方法：[注意] 当底数为字母时要分类讨论．练一练1．比较下列各组中两个值的大小 (1)ln 0.3，ln 2； (2)log 23，log 0.32； (3)log a π，log a 3.141；解：(1)(单调性法)因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以ln 0.3＜ln 2.(2)(中间量法)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜0，所以log 23＞log 0.32.(3)(分类讨论)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数，则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数，则有log a π＜log a3.141.综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141. (4)(图像法)借助y ＝log 14x 及y ＝log 15x的图像，如图，在(1，＋∞)上，y ＝log 14x的图像在y ＝log 15x 图像的下方，∴log 143＜log 153.讲一讲2．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)y ＝log 3(x －2)；(2)y ＝|log 12x |.[尝试解答] (1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增加的；(2)y＝|log12x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0＜x ≤1，log 2x ，x ＞1，其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的．把例2(2)变为y ＝，画出其图像，并根据图像写出定义域，判断奇偶性及单调性．解：y ＝＝其图像如图所示．其定义域为{x |x ≠0}，为偶函数．在(－∞，0)为增加的，在(0，＋∞)上为减少的．(1)与对数函数有关的一些对数型函数，如y ＝log a x ＋k ，y ＝log a |x |，y ＝|log a x ＋k |等，其图像可由y ＝log a x 的图像，通过平移，对称或翻折变换而得到．(2)对能画出图像的对数型函数性质及对数型方程解的研究，常先画出图像，再利用数形结合法求解．练一练2．已知函数f (x )＝|log 2(x ＋1)|. (1)画出其图像，并写出函数的值域及单调区间；(2)若方程f (x )＝k 有两解，求实数k 的取值范围．解：(1)函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像如图．由图像知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是[0，＋∞)．(2)由(1)的图像知，k ＞0即可．讲一讲3．已知f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数f (x )－g (x )的定义域； (2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明；(3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．[尝试解答] (1)要使函数f (x )－g (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞01－x ＞0，解得－1＜x ＜1，所以f (x )－g (x )的定义域为(－1,1)． (2)任取x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)f (－x )－g (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[f (x )－g (x )]，所以f (x )－g (x )在(－1,1)上是奇函数． (3)由f (x )－g (x )＞0得log a (1＋x )＞log a (1－x )，①当a ＞1时，则①可化为⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞1－x －1＜x ＜1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x－1＜x ＜1，解得－1＜x ＜0.所以当a ＞1时，x 的取值范围是(0,1)，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,0)．(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．而对于类似于f (x )＝log a g (x )的函数，利用f (－x )±f (x )＝0来判断奇偶性更简捷．(2)判断函数的单调性有两种思路，①利用定义；②利用图像．练一练3．已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)要使函数f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1)有意义，则a x－1＞0.当a ＞1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＞0，故函数的定义域为(0，＋∞)；当0＜a ＜1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＜0，故函数的定义域为(－∞，0)． (2)当a ＞1时，设0<x 1<x 2，则∴f (x 1)－f (x 2)＝＝，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上也是增函数．设函数y ＝f (x )，且log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，求f (x )的值域．[错解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )，∴y ＝23x (3－x )．∵3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274≤274， ∴函数的值域为(－∞，2274]．[错因] 产生错解的原因在于未掌握对数函数、指数函数需满足真数大于0，a x＞0(a ＞0，且a ≠1)．此题因在未确定定义域前求值域，从而把值域扩大了．[正解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )， ∴y ＝23x (3－x )，且⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，3－x ＞0，log 2y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞1.而－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274.∵0＜x ＜3，∴0＜－3x 2＋9x ≤274，.1．已知函数f (x )＝log (a ＋1)x 是(0，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0，＋∞)解析：选D 由题意得a ＋1>1，解得a >0. 2．函数y ＝1＋log 3x 的图像一定经过点( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,1)解析：选D ∵y ＝log 3x 一定过定点(1,0)．∴y ＝1＋log 3x 的图像一定过点(1,1)． 3．(天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析：选A a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a .4．函数y ＝lg(4－x )x －3的定义域是________．解析：要使该函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <4，x ≠3.∴x ∈(－∞，3)∪(3,4)．答案：(－∞，3)∪(3,4)5．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －3)＜1，那么x 的取值范围为________．解析：a log b (x －3)＜1即a log b (x －3)＜a 0. ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴log b (x －3)＞0，又∵0＜b ＜1，∴y ＝log b x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0＜x －3＜1，解得3＜x ＜4. 答案：(3,4)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤1，log 3x 3·log 3x9，x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232的值； (2)求f (x )的最小值．解：(1)∵log 232<log 22＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝2－log 232＝2log 223＝23，即f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝23. (2)当x ∈(－∞，1]时，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，即f (x )min ＝12.当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)，令log 3x ＝t ，则t >0，∴f (x )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14.∵t >0，∴当t ＝32时，f (x )min ＝－14<12.∴f (x )的最小值是－14.一、选择题1．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a解析：选A a ＝log 3π＞log 33＝1，log 71＜b ＝log 76＜log 77， ∴0＜b ＜1，c ＝log 20.8＜log 21＝0， ∴a ＞b ＞c .2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )解析：选A 依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，应选A.3．函数y ＝log a (x －3)＋2的图像恒过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,2) C ．(4,0) D ．(4,2)解析：选D 令x ＝4，则y ＝log a (4－3)＋2＝2， ∴函数的图像恒过定点(4,2)． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(－x )，x ＜0，log 12x ， x ＞0，若f (m )＜f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 当m ＞0时，－m ＜ 0，f (m )＜f (－m )⇒log 12m ＜log 2m ⇒log 21m ＜log 2m ⇒1m ＜m ，可得m ＞1；当m ＜0时，－m ＞0，f (m )＜f (－m )⇒log 2(－m )＜log 12(－m )⇒log 2(－m )＜log 2(－1m )⇒－m ＜－1m，可得－1＜m ＜0.故m 的取值范围是－1＜m ＜0或m ＞1. 二、填空题5．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是________．解析：由题意知－1≤2log 12x ≤1，即－1≤－2log 2x ≤1.∴－12≤log 2x ≤12，即log 222≤log 2x ≤log 22，∴22≤x ≤ 2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 6．已知f (x )＝|lg x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f (2)的大小关系为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝lg 14＝－lg 4＝lg 4， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 13＝－lg 3＝lg 3，f (2)＝|lg 2|＝lg 2，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.答案：f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 7．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |＝|log 13x |的根的个数为________．解析：同一坐标系中作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |与y ＝|log 13x |的图像，可知有两个交点，故有两解．答案：28．已知函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有以下命题：(1)h (x )的图像关于原点(0,0)对称； (2)h (x )的图像关于y 轴对称； (3)h (x )的最小值为0；(4)h (x )在区间(－1,0)上单调递增．其中正确的是________．解析：∵函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，∴f (x )与g (x )互为反函数，∴f (x )＝log 3x ；∴h (x )＝f (1－|x |)＝log 3(1－|x |)．由1－|x |＞0得－1＜x ＜1. ∵h (x )的定义域关于原点对称，且h (－x )＝log 3(1－|－x |)＝log 3(1－|x |)＝h (x )． ∴h (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，(2)正确；又当x ∈(－1,0)时，h (x )＝log 3(1＋x )，显然h (x )在(－1,0)上是递增的，∴(4)正确；利用特殊点验证可知，(1)不正确；由于h (x )在(－1,0)上单调递增，且h (x )为偶函数， ∴h (x )在[0,1)上单调递减，∴h (x )在(－1,1)上有最大值，h (0)＝log 31＝0，无最小值，故(3)不正确．答案：(2)(4) 三、解答题9．(1)已知函数f (x )＝log 3(3x＋1)＋12ax 是偶函数，求a 的值；(2)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a ＞0且a ≠1)． ①求函数的定义域和值域；②若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解：(1)函数的定义域是R ，由于f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即对任意x ∈R ，总有log 3(3－x ＋1)－12ax ＝log 3(3x＋1)＋12ax ，∴log 3(3－x＋1)－log 3(3x＋1)＝ax ，即(a ＋1)x ＝0，由于x 是任意实数，∴a ＝－1.(2)①由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0得－3＜x ＜1.∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)．设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， ∴t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为(－∞，log a 4]．当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为[log a 4，＋∞)； ②由题意及①知，当0＜a ＜1时，函数有最小值． ∴log a 4＝－2.∴a ＝12.10．设函数f (x )＝x 2－x ＋b ，且满足f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a >0，a ≠1)，求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．解：由f (log 2a )＝b 可得，(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a ＝1或log 2a ＝0.∴a ＝2或a ＝1(舍去)．又∵log 2[f (a )]＝2，即log 2(2＋b )＝2， ∴2＋b ＝4，b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2.∴f (log 2x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，y min ＝74.本文档仅供文库使用。

【高中】高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1

【关键字】高中2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数y＝的值域是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案：A解析：由题意得0<≤0＝1.2．已知函数f(x)＝ln |x－1|，则f(x)( )A．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是增函数B．在区间(－∞，1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数C．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是减函数D．在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数答案：D解析：∵|x－1|在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，y＝ln x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数．3．若函数f(x)＝，则f[f(－3)]＝( )A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f[f(－3)]＝f(8)＝log28＝3.4．不等式x>x－1的解集是( )A．(－1，＋∞) B.C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)答案：C解析：2x<x－1，x<－1.5．已知a＝log20.6，b＝20.2，c＝log2，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案：D解析：∵a＝log20.6<0，b＝20.2>1，c＝log2＝，∴a<c<b.6．函数f(x)＝的定义域是( )A. B.C. D.答案：A解析：log0.5(3－4x)≥0,0<3－4x≤1，≤x<.7．函数y＝是奇函数，则实数a＝( )A．1 B．0C．－1 D．任意实数答案：A解析：f(0)＝(1－a)＝0，∴a＝1.16.如右图，开始时，桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶2中水就是y 2＝a －a e －nt，假设过5 min 时，桶1和桶2的水相等，则再过________ min 桶1中的水只有a8L.答案：10解析：由题意，5 min 后，y 1＝a e －5n，y 2＝a －a e－5n，y 1＝y 2，∴n ＝15ln2.设再过t min桶1中的水只有a8L ，则y 1＝a e－n (5＋t )＝a8，解得t ＝10. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(1)计算：3－63＋41－34＋80.25×42＋125÷425.(2)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18.解：(1)原式＝－6＋(3－1)＋(23)14×214＋53224-＝－6＋3－1＋2＋5＝ 3.(2)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.18．(12分)现有命题P 和Q 如下． P ：函数y ＝c x 在R 上单调递减．Q ：函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c)的值域为R .如果P 和Q 中有且只有一个命题是真命题，求非负实数c 的取值范围．解：函数y ＝c x在R 上单调递减⇔0<c <1.函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c )的值域为R ⇔Δ＝42－4×2·1c ≥0，所以1c≤2，又c >0，所以c ≥12.根据题设可知，命题P 和Q 有且仅有一个正确．(1)如果P 正确，Q 不正确，则0<c <12；(2)如果Q 正确，P 不正确，则c ≥1.所以，正数c 的取值范围为(0，12)∪[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x ，a ∈R . (1)求函数的定义域；(2)是否存在实数a ，使得f (x )为偶函数．解：(1)由2x－1≠0，得x ≠0，即函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)在定义域内任取x ，由f (x )－f (－x )＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋a (－x )＝0. 所以2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，解得a ＝12.存在实数a ＝12，使得f (x )－f (－x )＝0成立，即使得f (x )为偶函数．20．(12分)已知函数f (x )＝log 2(1－x )，g (x )＝log 2(x ＋1)，设F (x )＝f (x )－g (x )． (1)判断函数F (x )的奇偶性； (2)证明函数F (x )是减函数．解：(1)F (x )＝f (x )－g (x )＝log 2(1－x )－log 2(x ＋1)＝log 21－x1＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．∴函数F (x )的定义域关于原点对称，又∵F (－x )＝log 21＋x 1－x ＝－log 21－x1＋x＝－F (x )．∴函数F (x )为奇函数．(2)由(1)知函数F (x )的定义域为(－1,1)，任取－1<x 1<x 2<1，则log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2＝log 21－x 11＋x 21＋x 11－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2. 又(1－x 1＋x 2－x 1x 2)－(1＋x 1－x 2－x 1x 2)＝2(x 2－x 1)>0，所以1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2>1，所以log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2>0，即log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1>log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2，所以函数F (x )是减函数．21．(12分)求函数y ＝(12)212x x ＋－的值域和单调区间．解：令t ＝1＋2x －x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，而t ＝－(x －1)2＋2≤2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.即所求的函数的值域是[14，＋∞)．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212x x ＋－在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．22．(12分)已知函数f (x )＝log a 1－m x －2x －3(a >0，a ≠1)，对定义域内的任意x 都有f (2－x )＋f (2＋x )＝0成立．(1)求实数m 的值；(2)若当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，求实数a ，b 的值．解：(1)由f (x )＝log a 1－m x －2x －3及f (2－x )＋f (2＋x )＝0对定义域内任意x 都成立，可得：log a 1－m [2－x －2]2－x －3＋log a 1－m [2＋x －2]2＋x －3＝0.解得m ＝±1.当m ＝1时，函数f (x )无意义，所以，只有m ＝－1.(2)m ＝－1时，f (x )＝log a 1－m x －2x －3＝log a x －1x －3(a >0，a ≠1)，其定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．所以，(b ，a )⊆(－∞，1)或(b ，a )⊆(3，＋∞)． ①若(b ，a )⊆(3，＋∞)，则3≤b <a . 为研究x ∈(b ，a )时f (x )的值域，可考虑f (x )＝log a x －1x －3在(3，＋∞)上的单调性．下证f (x )在(3，＋∞)上单调递减．任取x 1，x 2∈(3，＋∞)，且x 1<x 2，则 x 1－1x 1－3－x 2－1x 2－3＝2x 2－x 1x 1－3x 2－3>0. 又a >1，所以log a x 1－1x 1－3>log a x 2－1x 2－3，即f (x 1)>f (x 2)．所以当(b ，a )⊆(3，＋∞)时，f (x )在(3，＋∞)上单调递减．由题：当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，所以，必有b ＝3且f (a )＝1，解得a ＝2＋3(因为a >3，所以舍去a ＝2－3)．②若(b ，a )⊆(－∞，1)，则b <a ≤1.又由于a >0，a ≠1，所以0<a <1. 此时，同上可证f (x )在(－∞，1)上单调递增(证明过程略)．所以，f (x )在(b ，a )上的取值范围为(f (b )，f (a ))，而f (a )为常数，故f (x )的取值范围不可能恰为(1，＋∞)．所以，在这种情况下，a ，b 无解．综上，符合题意的实数a ，b 的值为a ＝2＋3，b ＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

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第三章指数函数和对数函数学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；
3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．
1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a 的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a 在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．
3．应用指数函数y ＝a x
和对数函数y ＝log a x 的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况的讨论．
4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．
6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．
7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．
类型一指数、对数的运算
例1 化简：(1)2
932
-⨯÷ (2)2log 32－log 3329
＋log 38－25log 53.
反思与感悟指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
跟踪训练1 计算80.25×4
2＋(
3
2×3)6＋log32×log2(log327)的值为________．
类型二数的大小比较
例2 比较下列各组数的大小．
(1)27,82；
(2)log20.4，log30.4，log40.4；
(3)
1
3
21
2
11 2,log,log.
33
反思与感悟数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
跟踪训练2 比较下列各组数的大小．
(1)log0.22，log0.049；
(2)a1.2，a1.3；
(3)30.4,0.43，log0.43.
类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
命题角度1 函数的性质及应用
例3 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)(0<a<1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．。