弹丸一般运动微分方程组与运动稳定性分析
常微分方程与运动稳定性_第二篇概论
例如 V (x1, x2 ) x12 常正
V (t, x1, x2 ) x12 2x1x2 cos t x22
常正
V (x1, x2 ) (x1 x2 )2
常负
V (t, x1, x2 ) (x12 x22 )sin2 t
常负
对于不含t的常号函数V(x)而言，由V(x)=0所画出的
曲面不是闭曲面。 15
北大出版社，1987
3
第一章 基本定义
第一节 问题的提出 第二节 扰动方程
4
第一节 问题的提出
设力学系统的运动微分方程为
dys dt
Ys (t, y1, y2 ,
, yn )
(s1,2, ,n)
(2.1)
t —时间，ys —相空间坐标，Ys — t, ys的实函数，
定义域： t T，ys H
18
例如
V
(t,
x1,
x2
)
(1
t t
1)( 1
x12
x22
)
(*)
按上述定义为定正函数，因为此时可取
W(x1,x2)=x12+ x22而且t*=1。但是，对于函数
V (t, x1, x2 ) et (x12 x22 )
却找不到满足上述定义的W(x1,x2)，因而它是常 正函数而非定正函数。
t>t0有|x(t)|< ，则(2.7)的0平衡解是稳定的,因此(2.1)的 未扰运动为稳定。
如果有lim x(，t) 则 0未扰运动为渐进稳定。
o 若存在tt*>t0 ，使|x(t*)|
|ys(t)-s(t)|<
s(t)
，则未扰运动为不稳定。不定稳
δ
微分方程的稳定性分析
现在转回来讨论军备竞赛的稳定性问题： 其模型为线形常系数微分方程组
x = αx + ky + g y = lx β y + h
其平衡点 P( x0 , y0 ) 的稳定性由系数 α , k , l , β 决定。 根据平衡点稳定的充分必要条件是所有的特征值均具 有负实部，可以得到，当 p = α β 且
微分方程的稳定性分析
稳定性理论研究什么呢
举个例子：我们人本身是一个复杂的系统。我们 每天都不可避免地接触许多病菌、病毒的侵扰，但我 们大多数每天都照样健康的生存着。那是因为我们这 个系统是稳定的，虽然它受到很多的干扰项，但这个 系统的自我运转，自我调节能够把这些个不平衡状态 调节到平衡状态。但是对一些羸弱者、或病人，他们 很容易被攻倒，甚至会引起连锁效应，由一个小毛病 会扯出一堆的毛病，离平衡状态越来越远。这是因为 他们的系统是不稳定的。一个小小的差错就能导致谬 以千里的后果。 稳定性理论就是通过一些的定量计算来研究系统 的稳定性态，即系统在受到干扰项偏离平衡状态后能 否恢复到平衡状态或平衡状态附近。
由于这时 x = g和y = h ，x(t)和y(t)也将增加。这表示未 经和解的（即不消除敌视的）双方裁军是不会持久的。 3。如果在某个时候x(t)=0，即使忽略g的作用，由于 这时 ，x(t)也不会保持为零。这表示单方面的裁 x = ky 军绝不会持久。 现在回来讨论模型（1）式的平衡点的稳定性。 这个微分方程组的平衡点就是方程
ε > 0 ，使得 平衡点为稳定的定义： 平衡点为稳定的定义： 对任意一个偏离平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 足够小 的初始 状态 ( x′, y′) ，由解的存在唯一性，方程（2）存 在唯一的解 x = x ( t )
弹箭的飞行运动方程组与稳定理论
飞航力学 4.§1 弹6.体1 质基心本运假动设方程
二、基本假设
这样，弹体在空中的运动就成为一个复杂的刚体 运动，需要六个二阶微分方程来求解。三个描述弹丸 的质心运动，三个描绘弹丸围绕其质心的运动。
实际上，对于飞行稳定的一般弹体，章动角δ总
是很小，弹体围绕质心运动对其质心运动的影响不大 。因而在研究弹体质心运动时，可以暂时忽略围绕质 心力矩对它的影响。
在地面坐标系下的弹体质心运动方程组，是将 上述方程中的各项投影到地面坐标系内得到的，如 下图。
飞航力学
4.1 弹体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
复习： 地面坐标系—与地面固连的坐标系，以弹道起
点为坐标原点，以射击面和弹道起点水平面的交线
为x轴，顺射向为正，y轴铅直面向上为正，z轴方
研究弹体质心的运动，首先做基本假设：
5.不考虑科氏惯性力（因地球自转产生的力）的 影响，科氏加速度为零 6.气象条件为标准气象条件，无风雨。
在上述假设下来研究弹丸质心运动的问题叫 外弹道学基本问题。
飞航力学
4.1 弹体质心运动方程 二、基本假设
对于外弹道学基本问题，其假设的依据为 1：、对于飞行稳定的弹体，一般攻角总是很小，弹体围绕质
四、地面直角坐标系的质心运动方程
空气阻力加速度 ax c( Hy)G(v)v 速度分量 vx vco , s vy vsi n
则
ddvxtcH(y)G(v)vx
ddvytcH(y)G(v)vy g
飞航力学
4由.1于弹有：体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
由于坐标x，y对于时间t的导数分别为：
其中：
c 为弹道系数
G(v) 80000nCx0nv
弹丸飞行稳定性
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２.２ 旋转理论
• ２.２.１ 描述旋转弹围绕质心运动的坐标系与 参量，有关假设
• 为描述弹丸的一般运动，必须规定一定的坐标系，坐标系不同，弹丸 运动规律的表达式质心运动的坐标系也不相同。可以有多种描述弹丸 一般运动的坐标系与参量，它们的选取取决于对哪些弹丸的运动规律 更为关心和便于分析。此处只介绍一种描述旋转弹围绕质心运动的坐 标系与参量，如图２－１３所示。
• Ｃｘ（Ｍａ，δ）＝Ｃｘ０（Ｍａ）ｆｘ（δ）（２－２） • 由于阻力的指向与δ的正负无关，因而ｆｘδ()是δ的偶函数。由空气动
力学的分析，当δ不大且不在跨声速时，有 • Ｃｘ＝Ｃｘ０（１＋Ｋδ２）（２－３） • 式中，δ的单位为弧度。根据试验，攻角系数Ｋ对于一般旋转弹来说
近似在１５～３０的范围内变化；对于尾翼弹，Ｋ值可达４０左右。 实际应用中应根据试验或有关资料确定。
• 马格努斯力的作用点经常不在重心上，当将其向重心简化时，就形成 一个力矩，叫马格努斯力矩，用Ｍｙ表示。
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２.１ 弹轴与速度矢量不重合时的空气 动力和力矩
• 此力矩矢量的指向因马格努斯力的作用点在质心前、后而不同，图２ －１０（ｃ）所示为马格努斯力作用于质心前面时马格努斯力矩的指 向。另外，当具有自转运动的弹丸摆动时，在摆动弹丸的前后端分别 产生方向相反的两个马格努斯力Ｒｚ１与Ｒｚ２，形成一个马格努斯力 偶，此力偶矩也属于马格努斯力矩的一部分。
• 图２－８（ａ）表示用同一个弹丸在ｖ＝１１００ｍ／ｓ时做风洞试 验，当δ由０°变至１０°时阻心的移动情况。当δ＜４°时，阻心 位置变化很小；当δ＞４°后，变化速增；至δ＝１０°时，阻心也 向弹底移约ｄ／２。由图２－８（ｂ）可知，当δ＝０°时，ｖ０由 ４００ｍ／ｓ变至１１００ｍ／ｓ，阻力向弹底移动约ｄ／２，即阻 心随Ｍａ的增大而向弹底移动。
常微分方程与运动稳定性第三篇
稳定性意味着系统能够自我调整并恢复到平衡状态，而不稳定性则表明系统在受到扰动后会偏离原有 状态，且无法自行恢复。
运动稳定性的分类
线性稳定性与非线性稳定性
线性稳定性是指系统在受到小扰动后，其运动状态的改变与扰动成线性关系； 非线性稳定性则是指系统在受到扰动后，其运动状态的改变与扰动成非线性关 系。
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在控制工程中，运动稳定性是一个重要指标。通过设计控制器使得系 统满足一定的稳定性条件，可以保证系统的正常运行和安全性。
05 常微分方程的数值解法与 运动稳定性
常微分方程的数值解法
01
02
03
欧拉法
通过差分近似导数，将微 分方程转化为差分方程进 行求解。
龙格-库塔法
在欧拉法的基础上，采用 更高阶的差分近似，提高 求解精度。
为实际问题的解决提供理论支持
微分方程和运动稳定性理论在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。通过本文的研究，可以为这些领 域中实际问题的解决提供理论支持，推动相关学科的发展。
微分方程与运动稳定性的关系
微分方程是描述运动现象的数学模型 ：微分方程可以描述自然界中各种运 动现象的变化规律，包括机械运动、 电磁运动、流体运动等。通过求解微 分方程，可以得到运动现象的数学表 达式，进而分析其性质和行为。
常微分方程的稳定性分析
线性稳定性分析
通过研究常微分方程线性化后的特征值和特 征向量，判断解的稳定性。若所有特征值具 有负实部，则解是稳定的。
非线性稳定性分析
对于非线性常微分方程，需要采用更复杂的方法如 李雅普诺夫稳定性理论等进行分析。
稳定性判据
在控制论中，有一些经典的稳定性判据如劳 斯判据、赫尔维茨判据等，可用于判断常微 分方程解的稳定性。
微分方程的稳定性理论概览
微分方程的稳定性理论概览微分方程是描述自然界中各种现象演化规律的数学工具，而微分方程的稳定性理论则是研究方程解的渐近行为的一个重要分支。
在动力系统中，稳定性理论是研究系统在微小扰动下的性质，以此来预测系统的长期行为。
本文将对微分方程的稳定性理论进行概述。
稳定性的概念在微分方程的稳定性理论中，稳定性是指当自变量（通常是时间）趋于无穷远时，因变量（方程解）的行为。
一个解在某些条件下可能会趋向一个有限值，这种情况被称为渐近稳定。
另一方面，如果解在微小扰动下会发生显著的变化，这种情况被称为不稳定。
稳定性的分类稳定性可以分为以下几种类型： 1. 渐近稳定：当时间趋于无穷时，解趋向于一个有限值。
2. 李亚普诺夫稳定：解在某种度量下趋向于零。
3. 指数稳定：解以某种指数速率趋近于零。
4. 分歧稳定：解在某些区域内保持稳定，但在其他区域内不稳定。
稳定性的判定方法判定微分方程解的稳定性是微分方程理论的关键问题。
常用的方法有： 1. 利雅普诺夫稳定性定理：通过证明存在一个李亚普诺夫函数，证明解在该函数下渐近稳定。
2. 极限环稳定性判据：利用系统的特征值研究系统的稳定性。
3. 稳定性的Lyapunov方法：通过构造Lyapunov函数判定系统的稳定性。
稳定性在实际问题中的应用微分方程的稳定性理论在生物学、化学、物理学等领域都有广泛的应用。
例如，在天体力学中，稳定性理论用于研究行星轨道的长期性质；在生物学中，通过稳定性理论可以研究生态系统的稳定性。
稳定性理论为实际问题的预测和解决提供了有力的数学工具。
结语微分方程的稳定性理论是微分方程理论中的一个重要分支，对系统的稳定性进行分析是研究微分方程解的基础。
通过本文的概览，读者可以了解稳定性的概念、分类、判定方法和应用，进一步深入学习微分方程稳定性的理论。
愿本文能给读者带来启发和帮助。
弹丸一般运动微分方程组与运动稳定性分析
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• 要列出弹丸的一般运动微分方程组，尚需以下述假设为前提： • ①弹丸外形及质量分布均为轴对称刚体，因而弹轴为一惯性主轴，且
质心位于弹轴线上； • ②弹丸只受３.１节所述全部外力及外力矩的作用； • ③攻角δ较小（即线性关系成立）。
• ３.２.１ 质心运动方程
• 将Ｂ１、Ｂ２的表达式（３－３３）、式（３－３４）代入式（３－ ４２）和式（３－４３）得
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 将第２章中关于ｂｘ、ｂｙ、ｋｙ、ｋｚｚ的表达式代入式（３－５ ２），并将极转动惯量Ｊ及赤道转动惯量Ｉ用相应的回转半径ＲＣ和 ＲＡ以及弹丸质量ｍ表示，即
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 在上述推导弹轴坐标系与速度坐标系的关系时，隐含假定δ１、δ２、 ψ２为一阶小量。
• ３.１.２ 作用于弹丸上的全部力及力矩
• 作用在弹丸上的力和力矩有：重力、空气动力及其力矩。为了便于列 出运动方程，将所有的力向速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２分解，将所 有的力矩向弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１分解。
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ３.３.２ 动态稳定条件的讨论
• 陀螺稳定因子Ｓｇ反映了陀螺力矩与俯仰力矩对弹丸围绕质心运动的 影响，动态稳定因子Ｓｄ则反映了马格努斯力矩、赤道阻尼力矩，升 力、阻力以及重力切向分量对弹丸围绕质心运动的影响。
• 速度矢量ｖ与理想弹道间的夹角可用复偏角来表示。
微分方程组解的稳定性及其应用研究
微分方程组解的稳定性及其应用研究微分方程组是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界中许多现象的演化规律。
解微分方程组的稳定性是一个重要的问题，它关乎着系统的行为特征和其在实际应用中的可靠性。
本文将探讨微分方程组解的稳定性及其在实际应用中的研究。
稳定性是指当微分方程组的初值稍微改变时，解的演化是否会趋向于原来的解。
稳定性分为几种不同的类型，包括渐近稳定性、指数稳定性和有界稳定性等。
其中，渐近稳定性是指当时间趋于无穷大时，解会趋向于一个特定的稳定解。
指数稳定性是指解的演化速度以指数形式递减。
有界稳定性是指解的演化保持在某个有界区域内。
对于线性微分方程组，其解的稳定性可以通过研究其特征值来确定。
特征值的实部决定了解的渐近稳定性，而虚部则决定了解的周期性。
当特征值的实部都小于零时，解是渐近稳定的；当特征值的实部都大于零时，解是不稳定的；当特征值的实部有正有负时，解是不稳定的。
这种通过特征值判断稳定性的方法在实际应用中有着广泛的应用，例如在控制系统设计中，可以通过特征值的位置来确定系统的稳定性。
然而，对于非线性微分方程组，由于其解的复杂性，很难通过特征值来判断稳定性。
因此，研究非线性微分方程组的稳定性是一个相对困难的问题。
一种常用的方法是通过线性化来近似非线性微分方程组，并通过线性微分方程组的特征值来判断解的稳定性。
然而，这种方法只能在解的附近进行稳定性分析，对于整个解空间的稳定性分析并不适用。
针对非线性微分方程组的稳定性研究，研究者们提出了许多方法和理论。
其中，李雅普诺夫稳定性理论是一种重要的方法。
该理论通过构造李雅普诺夫函数来判断解的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足在解附近的点上函数值总是小于等于零，并且只有在解上取到零值。
通过构造李雅普诺夫函数，可以判断解是否是渐近稳定的。
除了稳定性的研究，微分方程组的解在实际应用中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，微分方程组可以用来描述生物种群的演化规律。
微分方程稳定性
目录摘要 (3)ABSTRACT (4)前言 (5)微分方程稳定性分析原理 (6)捕鱼业的持续收获模型 (10)种群的相互竞争模型 (14)参考文献 (18)摘要微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。
微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。
用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。
如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。
因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。
本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。
【关键词】微分方程；平衡点；稳定性；数学建模ABSTRACTDifferential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences.Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models.【key words】Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling前言在现实世界里，无论是在自然科学或者是社会科学的各领域中，存在着许许多多的变化规律可以用某些特定的数学模型来进行描述。
微分方程模型求解及稳定性分析
微分方程模型求解及稳定性分析微分方程模型、求解及稳定性分析是数学中的重要内容。
微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，广泛应用于物理、化学、生物等领域。
求解微分方程可以通过解析方法、数值方法等途径得到方程的解析解或数值解。
稳定性分析是对微分方程解的性质进行研究，确定系统的稳定性和不稳定性。
求解微分方程是求出微分方程的解析解或数值解的过程。
对于一些简单的微分方程，可以通过直接积分或分离变量等方法进行求解。
对于复杂的微分方程，可以使用级数展开、变量代换等方法进行求解。
在现代数学中，还发展了许多数值方法，如Euler法、Runge-Kutta法等，可以通过计算机编程实现对微分方程的数值求解。
稳定性分析是对微分方程解的性质进行研究，确定系统的稳定性和不稳定性。
稳定性分析常常涉及到研究微分方程解的局部性质和全局性质。
对于线性微分方程，可以通过线性稳定性理论来研究解的稳定性。
对于非线性微分方程，可以通过Lyapunov稳定性理论、中心流形理论等方法进行研究。
稳定性分析的目标是确定微分方程解的长期行为。
对于线性微分方程，如果解在初始条件微扰下不发散或收敛到稳定值，那么解是稳定的。
对于非线性微分方程，稳定性分析的难度要大于线性情况，常常需要利用数值计算和图形分析方法来研究解的稳定性。
在数学中，微分方程模型、求解及稳定性分析是一个相互关联的过程。
通过建立微分方程模型、求解微分方程以及确定解的稳定性，可以揭示物理、化学、生物等实际问题的规律和性质。
同时，求解微分方程和稳定性分析的方法和技巧也是数学研究中的重要内容，为数学家研究更一般的微分方程和非线性动力系统提供了基础。
总之，微分方程模型、求解及稳定性分析是数学中的重要内容。
通过建立微分方程模型、求解微分方程和确定解的稳定性，可以揭示实际问题的规律和性质。
求解微分方程和稳定性分析的方法和技巧也是数学研究中的重要内容，为数学家研究更一般的微分方程和非线性动力系统提供了基础。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 该坐标系以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘ２与速度矢量ｖ重合且其正向与 ｖ相同。为了确定Ｏ′ｙ２轴与Ｏ′ｚ２轴在理想弹道坐标系中的方位， 采用ψ１、ψ２两个角度。首先将Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ坐标系绕Ｏ′ｚＩ轴转 动ψ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ′位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ２位置 ，然后再绕Ｏ′ｙ２轴转动ψ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ２位置， Ｏ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ２位置。可见ｘ２Ｏ′ｙ２组成的平面始终是包含速度 矢量ｖ的垂直平面。整个坐标系如图３－１所示。表３－１给出了速 度坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。
ｚ２先绕Ｏ′ｚ２转动δ２（正方向），将Ｏ′ｘ２和Ｏ′ｙ２分别转到Ｏ′ｘ′ ２和Ｏ′ｙ１，然后再绕Ｏ′ｙ１转动δ１（负方向），使Ｏ′ｘ′２和Ｏ′ｚ２ 轴分别转到Ｏ′ｘ１和Ｏ′ｚ１位置。于是用δ１和δ２两个角度即可确定 弹轴在速度坐标系内的方位。弹轴坐标系与速度坐标系的关系如图３ －３所示。弹轴坐标系与速度坐标系间的转换关系见表３－４。
第３章 弹丸一般运动微分方程组与运 动稳定性分析
• ３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力 矩
• ３.２ 弹丸一般运动微分方程组 • ３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ３.１.１ 坐标系
• 描述弹丸运动规律的坐标系多种多样，因研究的重点不同，可以选用 更为适宜的坐标系。此处仅介绍几种常用的坐标系。
• ΔΣ＝Ｃ１ｅｋ１ｓ＋Ｃ２ｅｋ２ｓ＋Δｐ（３－３６） • 式中，右端第三项为非齐次方程（３－３５）的特解，而前两项为其
齐次方程的一般解。其中指数ｋ１、ｋ２为齐次方程的特征值 • ｋ２＋（２Ｂ１－ｉ２α１）ｋ－(ｋｚ＋ｉ４α１Ｂ２)＝０（３－３７） • 的两个根
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• ３.２.２ 弹丸绕质心运动方程组
• 弹丸绕质心运动由自转和摆动两种运动组成，运动方程在Ｏ′－ｘ１ｙ １ｚ１参
• ３.３.１ 弹丸飞行动态稳定性的条件
• 微分方程（３－３５）为研究弹丸动态稳定性提供了理论依据。假定 微分方程的系数为常量（实际不是常量），根据常微分方程求解理论 ，方程（３－３５）的全解为
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 可见ｘ１Ｏ′ｙ１组成的平面始终是包含弹轴ξ的垂直平面。表３－２给 出了弹轴坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。
• ５.弹轴坐标系与速度坐标系的关系 • 为了确定弹轴在速度坐标系内的位置，可将速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• １.地面固联坐标系Ｏ－ｘｙｚ • 即以地球为惯性参考系的直角坐标系，已在第１章中应用，主要用于
确定弹丸质心坐标，也能作为确定弹轴和速度方向的基准。即取水平 面向炮口的方向为ｘ轴方向，取铅垂向上的方向为ｙ轴方向，ｚ轴方 向由右手法则确定，坐标原点Ｏ取在炮口。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 在上述推导弹轴坐标系与速度坐标系的关系时，隐含假定δ１、δ２、 ψ２为一阶小量。
• ３.１.２ 作用于弹丸上的全部力及力矩
• 作用在弹丸上的力和力矩有：重力、空气动力及其力矩。为了便于列 出运动方程，将所有的力向速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２分解，将所 有的力矩向弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１分解。
• 速度矢量ｖ与理想弹道间的夹角可用复偏角来表示。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ψ＝ψ２＋ｉψ１（３－１） • 根据上述定义，式中ψ２为偏角在垂直面内的分量，相当于弹道倾角θ
的增量Δθ；ψ１则为侧向分量（负方向）。矢量ｖ的空间方位由相对 于理想弹道的复偏角完全确定。 • ４.弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１与弹体坐标系Ｏ′－ξηζ • 弹轴坐标系原点为弹丸质心Ｏ′，Ｏ′ｘ１轴与弹轴ξ重合，指向弹顶为 正；为了确定Ｏ′ｙ１轴与Ｏ′ｚ１轴在理想弹道坐标系中的方位，采用 φ１、φ２两个角度。首先将坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ绕Ｏ′ｚＩ轴转动φ ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ″位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ１位置， 然后再绕Ｏ′ｙ１轴转动φ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ１位置，Ｏ ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ１位置。
• ２.理想弹道坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ • 该坐标系用英文字母Ｉ下标，以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘＩ轴为理想
弹道切线方向，向前为正；Ｏ′ｙＩ轴在垂直平面内与Ｏ′ｘＩ垂直，向 上为正；Ｏ′ｚＩ按右手法则确定（如图３－１所示）。Ｏ′ｘＩ轴与水 平面的夹角为理想弹道的弹道倾角θ。显然理想弹道坐标系既非固定 坐标系，也非平动坐标系，不仅其坐标原点是运动的，而且Ｏ′ｘＩ与 Ｏ′ｙＩ的方向也随着θ的变化在改变，但Ｏ′ｚＩ轴始终保持与射击面 垂直。 • ３.弹道坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２ • 由于研究弹丸质心运动及计算空气动力常以弹道坐标系为参考，故该 坐标系又称为速度坐标系或自然坐标系。
• 以地面固联坐标系来列出弹丸质心运动的方程 • ｍ*ｄｖ/ｄｔ＝Ｆ（３－１９） • 式中，ｄｖ／ｄｔ是相对地面坐标系的加速度；Ｆ是作用于弹丸上的
外力之和。由于速度坐标系的转动角速度为
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• 要列出弹丸的一般运动微分方程组，尚需以下述假设为前提： • ①弹丸外形及质量分布均为轴对称刚体，因而弹轴为一惯性主轴，且
质心位于弹轴线上； • ②弹丸只受３.１节所述全部外力及外力矩的作用； • ③攻角δ较小（即线性关系成立）。
• ３.２.１ 质心运动方程