反对称层合板
经典层合板理论
h/2
h
经典层合板理论—合力及合力矩
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因此可
以从每一层的积分号中提出：
Nx
Q11 Q12
N
N
y Q12 Q22
k 1 Q Q
26
16
N xy
M x
Q11 ห้องสมุดไป่ตู้12
N
M y Q12 Q22
1
1
1
B ( A B)( D BA B)
D ( D BA1B) 1
经典层合板理论—合力及合力矩
上式中的子矩阵 A , B , D 分别称为面内柔度矩阵，
耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵 B与矩阵 B
T
是相互转置的，但未必对称
h
经典层合板理论—应力和应变关系
由直法线和等法线假设
w
z z 0
u w
0
zx
z x
v w
zy z y 0
yz 0, zx 0, z 0
经典层合板理论—应力和应变关系
将上面三式分别对z积分得到：
w w( x, y )
w( x, y )
u u0 ( x, y ) z
x
w( x, y )
v v0 ( x, y ) z y
式中的 u0 , v0 , w 表示中面的位移分量，并且只是
坐标x，y的函数，其中为挠度函数
经典层合板理论—应力和应变关系
反对称层合板
5.3.3反对称层合板
(1).反对称角铺设层合板 (2).反对称正交铺设层合板
反对称层合板
• 它是由与中面相对称的单层板组成，其材 料主方向与坐标轴的夹角大小相等，但正 负号相反，且对称层几何尺寸相等，总层 数必须是偶数。
zk 1 zk
z
这两层对D16,D26的贡献是：
1 ( m) 3 1 (k ) 3 3 3 Q16 ( zm zm 1 ) Q16 ( zk zk 1 ) 0 3 3 1 ( m) 3 1 (k ) 3 3 3 Q26 ( zm zm 1 ) Q26 ( zk zk 1 ) 0 3 3
反对称层合板
zk zm1 zk 1 zm k m
zm1
zm
( m) (k ) Q16 Q16 , ( m) (k ) Q26 Q26
这两层对A16, A26的贡献是：
第m层 x
第 k层
( m) (k ) Q16 ( zm zm1 ) Q16 ( zk zk 1 ) 0 ( m) (k ) Q26 ( zm zm1 ) Q26 ( zk zD16 D26 0
(1).反对称角铺设层合板
层合板中与中面相对称的单层材料主方向与坐标轴夹角大 小相等，但正负号相反且对应厚度相等，有
A16 A 26 D16 D 26 0
(1).反对称角铺设层合板
反对称角铺设层合板由于拉伸与扭转耦合， 因此可用于制造需预扭的喷气涡轮叶片等。
(2).反对称正交铺设层合板
由正交各向异性单层板材料主方向与坐标 轴夹角成0°和90°交错反对称铺设而成，例 如0°/90°/0°/90°层合板，90°t/0°2t/90°t/0°t 层合板。 （Q11） （Q 22） ，（Q 22） （Q11） 及Q16 Q 26 0 由于 0 90 0 90 A A ，D D 因此有
反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解课件
针对反对称角铺设板特性将核心方程进行化简
反对称铺层
核心控制微分
拉伸：A11，A22，A12，A66 方程化简为
耦合：B16，B26
弯曲：D11，D22，D12，D66
其余刚度项为零
反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解
根据支承条件假设位移函数，并将横向载荷也表示成双三角级数
选取S3简支边界条件
屈曲方程和振动方程除了使用了变分和外载荷的变换之外，用位移表示的 屈曲方程和弯曲方程很类似，具体求解过程出于篇幅不加以详细推导了
反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解
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反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解
代入核心控 制微分方程
反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解
代入核心控制微分方程求得反对称铺层的层板挠度的解析解
反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解
代入核心控制微分方程求得反对称铺层的层板挠度的解析解
反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解
即为优化目标函数
虽类然似弯曲给问题出在数三学上个是边问界题值问的题，解屈曲析和振解动属：于特征值问题，但是
反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解
反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解
基于经典层合板理论 得到内力与位移的关 系 研究长厚比大的薄板
降 维
简化为二维平面问题
利用经典层合板理论求解 精度足够满足工程需求
根据基本假设得 到位移表达函数
利用位移法求解
代入几何方程
代入物理方程并 将应力沿厚度方 向先积分后求和
得到用位移表示的内力和内力矩
反对称角铺设复合材料层合板的弯曲问题解析解
PPT-3.层合板的刚度与强度
非对称层合板 层合板内各单层中纤维的排列方向与中面不对称. 反对称层合板：满足θ(z) = -θ(-z) 关系式的层合板.
0 A16 x 0 A26 y 0 A66 xy
N：面内的内力
（各单层应力的合力） 单位Pa· m或N/m
Aij：层合板的面内刚度系数 单位Pa· m或N/m
Aij
面内柔度系数aij
为便于比较面内刚度系数Aij与各单层的模量Qij，
对Aij进行正则化处理：
III. 对称层合板的弯曲刚度
一.弯曲力矩-曲率的关系
面内剪拉耦合系数
0 0 xy, y y,xy
三.面内刚度系数的计算
A A A A A A
* 11 * 22 * 12 * 66 * 16 * 26
U U U U 0 0
(Q ) 1 (Q ) 1 (Q ) 4 (Q ) 5
I. 层合板概述
一.层合板的特点
层合板 由两层或两层以上的单层板叠合而成的整体结构单元.
层合板的特点：
厚度方向非均匀，因此会产生耦合效应，使变形情况复杂； 各向异性（某些结构具有一定对称性）； 铺层情况多样，整体未必有确定的弹性主方向； 力学性质不仅取决于铺层的力学性质和厚度，也取决于铺层 的方向、层数和顺序.
/±30 /±60 / 90]S
4、一般π/4层合板
复合材料结构设计基础考点(可编辑修改word版)
第一章 绪论1. 复合材料的定义：两种或两种以上具有不同的化学或物理性质的组分材料组成的一种与组分材料性质不同的新材料。
2. 比强度：强度与密度之比 比模量：模量与密度比3. 层间强度低：纤维增强复合材料的层间剪切强度和层间拉伸强度分别低于基体的剪切强度和拉伸强度，这是由于界面的作用所致。
因此在层间应力作用下很容易引起层合板分层破坏，从而导致复合材料结构的破坏，这是影响复合材料在某些结构物使用的重要因素。
4. 纤维增强复合材料是由两种基本原材料 基体和纤维组成的，构成复合材料的基体单元是单层板。
第二章 单层的刚度与强度5. 对于各向同性材料，表达其刚度性能的参数是工程弹性常数 E 、G 、v ，他们三者之间的关系 G=E/(2(1+v)) 所以独立的弹性常数只有 2 个。
而对于呈正交各向异性的单层， 常数将增加到 5 个，独立的有 4 个。
6. 单层正轴的应变 应力关系式 ⎧1 ⎫ ⎡ 1/ E L - v T / E T 0 ⎤⎧1 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎢- v / E 1/ E 0 ⎥⎪ ⎪ ⎨ 2 ⎬ ⎢ L L T ⎥⎨ 2 ⎬ ⎪ ⎪ ⎢ 0 0 1/ G ⎥⎪ ⎪⎩ 3 ⎭ ⎣ LT ⎦⎩ 3 ⎭也可用柔量分量表示应变 应力的关系式 ⎧1 ⎫ ⎡S 11 S 12 0 ⎤⎧1 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎢S S 0 ⎥⎪ ⎪ 但必须写出 S ⎨ 2 ⎬ ⎢ 21 22 ⎥⎨ 2 ⎬ ij ⎪ ⎪ ⎢ 0 0 S ⎥⎪ ⎪⎩ 3 ⎭ ⎣ 66 ⎦⎩ 12 ⎭ 7. 例题：已知铝的工程弹性常数 E=69Gpa ，G=26.54Gpa ，v=0.3，试求铝的柔量分量和模量分量。
由于铝是各项同性材料，所以 EL=ET=69Gpa Glt=G=26.54GPa vL=vT=v=0.3.（1）柔量分量S11=S22=1/E=14.49/（TPa ）S12=-v/E=-4.348/(TPa)S66=1/G=37.68/TPa(2)模量分量m=(1-vLvT) -1 =(1-v 2 ) -1Q11=Q22=mE=75.82GPaQ12=mvE=22.75Q66=G=26.54GPa8. 单轴的偏轴应力应变关系公式。
复合材料力学-第四章层合板的宏观力学行为
Q 12 t 3 12
D 22
Q 22 t 3 12
D 16 D 26 0
A 66 Q 66 t
D 66
Q 66 t 3 12
合力仅仅与层合板中面内的应变有关，合力矩仅与中面的曲率有关
Nx Ny
A A1121
A12 A22
0 0
00yx
Nx
y
0
0
A660x
y
Mx My
D D11
1 2
引言
有不同物理性质和几何尺寸单层组成的层合板 具有最一般的各向异性性质 层合板不一定有确定的主方向 另一方面，这种层合板在厚度方向具有客观的 非均匀性和力学性质的不连续性 对层合板的力学分析就变得更为复杂 已知单层的性质，主要关注沿厚度方向的应力 和应变的变化
引言
单层板的应力-应变性能
1 2
Q Q1211
Bij 0
相当于特殊正交各向异性单层板
正规对称正交铺层层合板 厚度和材料性能相同 材料主方向与层和板轴交替成0和90角
对称层合板
Q11Q11co4s2(Q122Q66)sin2co2sQ22sin4 Q12(Q11Q224Q66)sin2co2sQ12(co4ssin4) Q22Q11sin42(Q122Q66)sin2co2sQ22co4s Q16(Q11Q122Q66)sinco3s(Q12Q222Q66)sin3cos Q26(Q11Q122Q66)sin3cos(Q12Q222Q66)sinco3s Q66(Q11Q222Q122Q66)sin2co2sQ66(co4ssin4)
经典层合理论
z,w
x,u
u0
y,v
A
B
A
zc C x
层合板的刚度及强度 (1)
第五章层合板的刚度5.1 引言层合板(Laminate)是由多层单向板按某种次序叠放并粘结在一起而制成整体的结构板。
每一层单向板(Unidirectional lamina)称为层合板的一个铺层。
各个铺层的材料不一定相同，也可能材料相同但材料主方向不同，因而层合板在厚度方向上具有非均匀性。
层合板的性能与各铺层的材料性能有关，还与各铺层的材料主方向及铺层的叠放次序有关。
因而，可以不改变铺层的材料，通过改变各铺层的材料主方向及叠放顺设计出所需力学性能的层合板。
与单向板相比，层合板有如下特征：(1) 由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有确定的材料主方向。
(2) 层合板的结构刚度取决于铺层的性能和铺层的叠放次序，对于确定的铺层和叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。
(3) 层合板有耦合效应，即面内拉压、剪切载荷可产生弯曲、扭转变形，反之，在弯、扭载荷下可产生拉压、剪切变形。
(4) 一层或数层铺层破坏后，其余各层尚可继续承载，层合板不一定失效。
因而，对层合板的强度分析要复杂很多。
(5) 在固化过程中，由于各单层板的热胀冷缩不一致，在层合板中要引起温度应力，这是层合板的初应力。
(6) 层合板由不同的单层粘结在一起，在变形时要满足变形协调条件，故各层之间存在层间应力。
5.2 层合板的标记层合板标记是表征层合板铺层铺设参数(层数、铺层材料主方向、铺层纤维种类、铺层次序)的符号。
如图所示，层合板总厚度为h，有N 个铺层。
通常将层合板中面(平分板厚的面)设置为xy 坐标面，z 轴垂直板面。
沿z 轴正方向将各铺层依次编号为1～N ，第k 层的厚度为t k 铺设角(纤维与x 轴的夹角)为θk ，其上下面坐标为z k 和z k -1。
z -k z z k z N z -N z z如果各铺层的材料和厚度相同，沿z轴正方向依次标出各层的铺设角θk (k=1,2,…,N)，便可表示整个层合板。
如•[0/45/90]T，表示有三个铺层的层合板，各层厚度相同，铺设角依次为0o、45o、90o，下标“T”表示已列出全部铺层。
第9章层合板力学性能
第9章 层合板的宏观力学性能层合板是由若干单层板叠压而成。
单向纤维的单层板沿纤维方向力学性能较好，而在与纤维垂直方向性能较差。
工程实际中的复合材料一般做成层合结构，即将不同方向的单层板层叠在一起，每层的纤维方向是相同的，不同层之间纤维有一定的夹角，如图9.1所示。
层合结构可以提高复合材料的整体宏观力学性能，有利于发挥材料的最佳性能，满足工程对于材料力学性能的要求。
在本章中，我们把层合板看做各向异性的连续体，分析层合板的宏观力学性能。
本章主要介绍经典层合理论，简要介绍几种高阶理论。
图9.1 单层板叠压成层合板§9.1 经典层合理论经典层合理论（Classical lamination theory ，CLT ）是建立在薄板假设的基础上。
这一理论从基本的单层板出发，得到最后的层合板结构的刚度性能。
9.1.1 层合板中单层的应力-应变关系在平面应力状态下，正交各向异性材料单层板在材料主方向上的应力-应变关系为：1111212122221266120000Q Q Q Q Q σεσετγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭(9.1.1)其中，二维刚度ij Q 可以用工程常数确定。
在单层板平面内任意坐标系中的应力为：111216122226162666x x y y xy xy Q Q Q Q Q Q Q QQ σεσετγ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭(9.1.2)式中，二维刚度ij Q 由二维刚度ij Q 通过坐标转换给出。
在确定层合板刚度时，由于组分单层板的任意定向，任意坐标下的应力-应变关系(9.1.2)是有用的。
方程(9.1.1)和(9.1.2)两者都可以设想为多层层合板第k 层的应力-应变关系。
方程(9.1.2)可写为：{}{}k k k Q σε⎡⎤=⎣⎦ (9.1.3)图9.2 层合板的变形9.1.2 层合板的应变和应力对于确定层合板的拉伸和弯曲刚度，沿着层合板厚度的应力和应变变化知识是重要的。
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A16 A 26 D16 D 26 B16 B26 0
(2).反对称正交铺设层合板
且可证明 因此有
B12 B66 0，B22 -B11
此种层合板有拉伸与弯曲的耦合。
A16 A26 0,
D16 D26 0
(1).反对称角铺设层合板
层合板中与中面相对称的单层材料主方向与坐标轴夹角大 小相等，但正负号相反且对应厚度相等，有
A16 A 26 D16 D 26 0
(1).反对称角铺设层合板
反对称角铺设层合板由于拉伸与扭转耦合， 因此可用于制造需预扭的喷气涡轮叶片等。
zk 1 zk
z
这两层对D16,D26的贡献是：
1 ( m) 3 1 (k ) 3 3 3 Q16 ( zm zm 1 ) Q16 ( zk zk 1 ) 0 3 3 1 ( m) 3 1 (k ) 3 3 3 Q26 ( zm zm 1 ) Q26 ( zk zk 1 ) 0 3 3
zm1
zm
( m) (k ) Q16 Q16 , ( m) (k ) Q26 Q26
这两层对A16, A26的贡献是：
第m层 x
第 k层
( m) (k ) Q16 ( zm zm1 ) Q16 ( zk zk 1 ) 0 ( m) (k ) Q26 ( zm zm1 ) Q26 ( zk zk 1 ) 0
(2).反对称正交铺设层合板
由正交各向异性单层板材料主方向与坐标 轴夹角成0°和90°交错反对称铺设而成，例 如0°/90°/0°/90°层合板，90°t/0°2t/90°t/0°t 层合板。 （Q11） （Q 22） ，（Q 22） （Q11） 及Q16 Q 26 0 由于 0 90 0 90 A A ，D D 因此有
5.3.3反对称层合板
(1).反对称角铺设层合板 (2).反对称正交铺设层合板
反对称层合板
• 它是由与中面相对称的单层板组成，其材 料主方向与坐标轴的夹角大小相等，但正 负号相反，且对称层几何尺寸相等，总层 数必须是偶数。
反对称层合板
zk zm1 zk 1 zm k m