PPT-3.层合板的刚度与强度
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复合材料层合板的刚度与强度分析
经典层合板理论
上式中的 Aij,Bij,Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度
由于耦合刚度 B i j 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：
N A B0
经典层合板理论
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：
Nx
Ny
N
Q Q1121
Nxy k1Q16
Q12 Q22 Q26
Q Q Q162666
zk zk1
xy00 x0y
dz
zk zk1
kx
ky zdz
kxy
Mx
My
N
Q11 Q12
Mxy k1Q16
A1 1 A1 2 0
A1 2 A22 0
0 0 A66
0 x
0 y
0 xy
M
x
M y
D11
D1
2
D12 D22
0 0
k k
x y
M
xy
0
0
D66
k
xy
对称层合板的刚度分析
（2）特殊正交各向异性层组成的对称层合板 这种层合板由材料主向与坐标轴一致的正交
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u
0
v0
y x
中面的曲率为：
k
x
ky
k
x
y
a
a
2w x2 2w y2
2w
2
x y
其中 k x y 为中面扭曲率
第5章 层合板的刚度与强度分析
Q12 Q22 Q26
每一层的Qij是不同的
z
1 2 3 4
层合板
x
应变变化
特征模型
应力变化
因层合板沿厚度方向物理性质不连续导致应力的不连续
5.3.3 层合板的合力与合力矩
定义作用在单位宽度上层合板的平均内力 Ni 和内力矩Mi为
Ni
h/ 2 h / 2
idz
Mi
h/ 2
h / 2
D12 D D 22 D D16 D 26 0 Et 3 1 D66 D 24(1 ) 2
合力仅仅与层合板中面内的应变有关，合力矩仅与中 面的曲率有关
0 N x A A 0 x 0 N y A A 0 y 1 0 0 0 A xy N xy 2
5.1 引言
(1)由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有 确定的材料主方向。 (2)层合板的结构刚度取决于铺层的性能与铺层叠放次序，对于 确定的铺层与叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。 (3)层合板有耦合效应，即在面内拉(压)、剪切载荷下可产生弯、 扭变形；反之，在弯、扭载荷下可产生拉(压)、剪切变形。
w 0 x
w 0 v v0 z y
板内任一点的位移分量可表示为：
u u( x , y , z ) v v( x, y , z ) w w ( x, y , z )
由直法线不变假设，得
z 0 zx zy 0
w w 0 ( x, y ) u u0 z w 0 x w 0 v v0 z y
表5-1 层合板标记中的各种符号
表5-1 层合板标记中的各种符号
3层合板的刚度与强1度
a
62
a
22
(310)
同理，仅受xy方向剪 切应力时，
Nx y0,Nx Ny 0,
7/16/2019
面内剪切弹性模量 G
0 xy
1
a
66
面内剪拉耦合系数
0 x , xy
a
16
a
66
(311)
面内剪拉耦合系数
0 y , xy
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weizhou@
3
3.1.1 层合板的表示方法
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weizhou@
4
3.1.1 层合板的表示方法
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weizhou@
5
3.1.1 层合板的表示方法
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weizhou@
weizhou@
16)
式中 V i
ni n
为某一定
向层的体积含量，ni
为某一定向层的层
数，l为定向数。
18
3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度
1) 正交铺设对称层合板
各个单层只按0 o和90 o方向铺设的对称层合板称为正交 铺设对称层合板。
由式(3-16)可得：
V 1 A V ( 0 ) V ( 9 )0 V 2 A 1V 3 A V 4 A 0
Ey0
A22 m0
y0
A12 A11
Gx0y A66
(39a)
式中
m0 (1 (AA111A2)222)1
(3-10a)
此时
x 0,y xx 0,yx 0 ,xy y 0,xy 0
PPT-3.层合板的刚度与强度
面内剪拉耦合系数
0 0 xy, y y,xy
三.面内刚度系数的计算
A A A A A A
* 11 * 22 * 12 * 66 * 16 * 26
U U U U 0 0
(Q ) 1 (Q ) 1 (Q ) 4 (Q ) 5
正交对称层合板：只有相互垂直的两种铺层方向，如[0/90/0]S. 对称均衡层合板：铺层角为-θ的单层数与θ角的单层数相同， 且可包含任意数量的0°层和90°层. 对称均衡斜交层合板：仅由数量相等的-θ层和+θ层组成，不 含0°层和90°层，如[θ/-θ]2S.
非对称层合板 层合板内各单层中纤维的排列方向与中面不对称. 反对称层合板：满足θ(z) = -θ(-z) 关系式的层合板.
* * N x A11 * * N y A21 * * N xy A61
* Nx Nx / h
* Aij Aij / h
* A12
A
A
* 22 * 62
* 0 A16 x * 0 A26 y * 0 A66 xy
V V V
* 1A
Vi cos2 (i )
i 1 l
l
* 2A
Vi cos 4 (i )
i 1 l
* 3A
Vi Sin2 (i )
i 1 l
V4*A Vi Sin4 (i )
i 1
Vi为某一定向层的体积分数 （Vi=ni/n，ni为某一定向层的层数） l为定向数
正则化几何因子
四.几种典型对称层合板的面内刚度
1、正交铺设对称层合板（正交对称层合板）
第04章 层合板的刚度和强度
§4.2.2（2-2）
• 层合板的刚度
A
n
Q k dz Q k zk zk 1 k 1 z k 1
n zk n
k 1
1 n B Q k zdz Q 2 k 1 k 1 z k 1
n zk
zk
z
k k
2
k
z2 k 1
D16 k x D26 k y k D66 xy
0 D11 B16 x 0 B26 y D12 0 D B66 xy 16
§4.2.2（3-1）
• 层合板的弹性特性
第四章 层合板的刚度 和强度
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 层合板的特点 层合板的刚度和柔度 层合板的柔度 不同层合板刚度计算 层合板刚度的实验验证 层合板强度
回总目录
§4.1
这一章的内容包括书上的第五章和第六章， 是本课程的重点。
§4.1
层合板的特点
1∘经典层合板理论的 基本假设 2∘层合板的特点 3∘层合板的表示方法
3
k
n 1 D Q k z 2 dz Q 3 k 1 k 1 z k 1
z
z3 k 1
§4.2.2（2-2）
• 层合板的刚度
N x A11 N y A12 N A xy 16
M x B11 M y B12 M B xy 16
§4.2.2（1-3）
t Mx 2 x x n zk M y y zdz y zdz k 1 zk 1 M t xy 2 xy xy k
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析
0 xy
k
xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u0
v0
dz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
dz
M
x
M y
M
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
zdz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
zdz
经典层合板理论
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx, Ny , 及Nxy合力矩 是指单位长度上的力或力矩）
（都 M x , M y , M xy
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：
N
x
Ny
N
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
y)
z
w( x, x
y)
v
v0
(
x,
y)
z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0,表w 示中面的位移分量，并且只是 坐标 的x,函y 数，其中 为挠w 度函数
复合材料结构设计03
n
(k )
n/2
(k )
n/2
(k )
一般层合板的刚度
应力--应变关系为：
ε 0 B N A = M B D k {k 其中为{M }扭矩， }为中面变形的曲率， A、B、D为方程的刚度系数。
一般层合板的刚度
0 x , xy
0 y , xy
a = a
对称层合板的面内工程弹性常数
由上述工程弹性常数可表达层合板面内应变与 面内力的关系：
1 0 0 Ex ε x γ0 0 x ε y = − 0 γ 0 E x xy η 0 xy , x 0 Ex
面内泊松耦合系数：γ = γ 面内拉剪耦合系数：η
0 xy , x
0 yx
∗ ε a 21 = − 0( x ) = ∗ a11 εx 0( x ) xy
∗ γ a16 = 0( x ) = ∗ εx a11
对称层合板的面内工程弹性常数
当在y方向进行单向拉伸（压缩）时
1 面内拉压弹性模量：E = ∗ a 22
0 y
面内泊松耦合系数：γ = γ
0 y
0 xy
a =− a
∗ 26 ∗ 22
∗ 12 ∗ 22
面内拉剪耦合系数：η
0 xy , y
a = a
对称层合板的面内工程弹性常数
当仅受面内剪切载荷时
面内剪切弹性模量：G 面内剪拉耦合系数：η 面内剪拉耦合系数：η
0 xy
1 = ∗ a 66 a = a
∗ 16 ∗ 66 ∗ 26 ∗ 66
∗ ∗ 0 ∗
a , β ,δ
∗ ij ∗ ij
∗ ij
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析优秀课件
z
w z
0
zx
u z
w x
0
zy
v z
w y
0
经典层合板理论
将上面三式分别对 z 积分得到：
w w(x, y)
u
u0
(x,
y)
z
w( x, x
y)
v
v0
(
x,
y)
z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0, w 表示中面的位移分量，并且只 是坐标 x, y的函数，其中 w 为挠度函数
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系 层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续 整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设
直法线假设： yz 0, zx 0
等法线假设： z 0 平面应力假设： z 0； xz =0； yz =0 忽略正应力假设： z 0
面值，因此可以从求和记号中移出得到：
N
x
Ny
A11
A12
A12 A22
A16 A26
0 x
0 y
B11 B12
B12 B22
B16 B26
kx ky
N
xy
A16
A26
A66
0 xy
B16
B26
B66
kxy
M M M
x y xy
B11 B12 B16
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u0
v0
y x
中面的曲率为：
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/±30 /±60 / 90]S
4、一般π/4层合板
各单层均按0°、90°、45°、-45°方向的一种或几种铺设 若各单层材料、厚度相同——标准π/4层合板 若各单层材料、厚度不相同——一般π/4层合板 各角度单层组的作用：
0°层：承受轴向载荷
±45°层：承受剪切载荷 90°层：承受横向载荷和控制泊松耦合效应
正交对称层合板：只有相互垂直的两种铺层方向，如[0/90/0]S. 对称均衡层合板：铺层角为-θ的单层数与θ角的单层数相同， 且可包含任意数量的0°层和90°层. 对称均衡斜交层合板：仅由数量相等的-θ层和+θ层组成，不 含0°层和90°层，如[θ/-θ]2S.
非对称层合板 层合板内各单层中纤维的排列方向与中面不对称. 反对称层合板：满足θ(z) = -θ(-z) 关系式的层合板.
三.层合板的表示法
一般层合板
0 -45 90 45 0
对称层合板
0
90 90 0 0 45
含多个子层合板
90 0 90 0
90
45 0
90
0
[0/45/90/-45/0] 有连续重复铺层
0 45 45 90
[0/90]S
[0/45/90]S
[0/90]3 有编织物铺层
0, 90 ±45
有连续正负铺层
面内剪拉耦合系数
0 0 xy, y y,xy
三.面内刚度系数的计算
A A A A A A
* 11 * 22 * 12 * 66 * 16 * 26
U U U U 0 0
(Q ) 1 (Q ) 1 (Q ) 4 (Q ) 5
3、准各向同性层合板
面内各个方向的刚度相同（无拉剪/剪拉耦合效应）
* * * * 满足 V1A V2 A V3 A V4 A 0 关系式，
即正则化面内刚度系数与几何因子无关.
可能的铺叠方法：
π/3层合板，如[0
/±60]S
π/4层合板，如[0
π/6层合板，如[0
/±45 / 90]S
无拉剪/剪拉耦合效应
2、斜交铺设对称层合板
各单层只按±φ两种方向铺设 → θ1=φ ，θ2= -φ
相等
均衡斜交铺设对称层合板 非均衡斜交铺设对称层合板
±φ层数量
不相等
V1* cos 2 A
V2*A cos 4
V3*A V4*A 0
无拉剪/剪拉耦合效应
* * A16 A26 0
第3章
层合板的刚度与强度
I. 层合板概述
一.层合板的特点
层合板 由两层或两层以上的单层板叠合而成的整体结构单元.
层合板的特点：
厚度方向非均匀，因此会产生耦合效应，使变形情况复杂； 各向异性（某些结构具有一定对称性）； 铺层情况多样，整体未必有确定的弹性主方向； 力学性质不仅取决于铺层的力学性质和厚度，也取决于铺层 的方向、层数和顺序.
二.基本假设
层合板的各单层间粘接牢固，不滑移、不脱离，有共同变形； ε(1) =ε(2) =……=ε(n)
各单层板近似处于平面应力状态； σz = 0，τyz =τzx = 0
直线法假设：弯曲前垂直于中面的直线段，弯曲变形后仍为
直线，并垂直于变形后的中面，且长度不变.
上表面 中面 下表面
γzx =γyz = 0 εz = 0
III. 对称层合板的弯曲刚度
一.弯曲力矩-曲率的关系
一般非对称层合板：不满足上式的层合板.
夹芯层合板 由两层薄的高强度、高弹性模量材料的面板，夹着一层厚且 低密度的芯层所组成的结构. 夹芯结构可大幅提高层合板的抗弯强度，并增加其受压稳定性.
II. 对称层合板的面内刚度
一.面内内力-面内应变的关系
当作用面内的内力的作用线位于层合板的几何中面时， 只会引起面内变形.
-h/2
[0/90/C5]
h/2
0° 0° 0° 90° 90° 45° -45° -45° -45° -45° -45° -45° 45° 90° 90° 0° 0° 0°
四.层合板的分类
按照各单层板相对于中面的排列位置，层合板分为： 对称层合板、非对称层合板、夹芯层合板三大类.
对称层合板
层合板内中面两侧对应处的各单层，材料和厚度相同，铺层 角相等、铺设顺序相同. 即θ(z) =θ(-z)，Qij(z) = Qij(-z).
Nx
h/ 2 h / 2 h/ 2 ( xk ) dz ( yk ) dz
Ny
h / 2 h/ 2
N xy
h / 2
dz
(k ) xy
N x A11 N y A21 N xy A61
A12 A22 A62
0 -45 45 90
[90/452/0]
[90/±45/0]
[(±45)/(0, 90)]
实例 [03/902/45/-453]S
混杂纤维层合板
90G 45K 0C
[0C/45K/90G] 夹层板
0 90 C5 90 0
C：碳纤维 Carbon K：芳纶纤维 Kevlar G：玻璃纤维 Glass B：硼纤维 Boron
* * N x A11 * * N y A21 * * N xy A61
* Nx Nx / h
* Aij Aij / h
* A12
A
A
* 22 * 62
* 0 A16 x * 0 A26 y * 0 A66 xy
V V V
* 1A
Vi cos2 (i )
i 1 l
l
* 2A
Vi cos 4 (i )
i 1 l
* 3A
Vi Sin2 (i )
i 1 l
V4*A Vi Sin4 (i )
i 1
Vi为某一定向层的体积分数 （Vi=ni/n，ni为某一定向层的层数） l为定向数
* Nxy Nxy / h
N* Ny / h y
* aij aij h 面内柔度系数aij也可正则化处理：
二.面内工程弹性常数
Aij → aij → 工程弹性常数：
0 面内拉压弹性模量 E x
0 Ey
面内剪切弹性模量 面内泊松耦合系数 面内拉剪耦合系数
0 G xy
0 x
0 y
0 0 xy,x x,xy
0 A16 x 0 A26 y 0 A66 xy
N：面内的内力
（各单层应力的合力） 单位Pa· m或N/m
Aij：层合板的面内刚度系数 单位Pa· m或N/m
Aij
面内柔度系数aij
为便于比较面内刚度系数Aij与各单层的模量Qij，
对Aij进行正则化处理：
正则化几何因子
四.几种典型对称层合板的面内刚度
1、正交铺设对称层合板（正交对称层合板）
各单层只按0°、90°方向铺设 → θ1= 0°，θ2= 90°
V1* V (0) V (90) A
* * A16 A26 0
V2*A 1
V3*A V4*A 0
* 0 0 N x [Q11 (Q11 Q22 )V (90) ] x Q12 y 0 0 N * Q12 x [Q22 (Q11 Q22 )V (90) ] y y * 0 N xy Q66 xy
1 V V 0 V (Q ) U 3 * V3 A / 2 V V
* 1A * 1A
V
* 2A * 2A * 2A * 2A * 4A * 4A
4、一般π/4层合板
各单层均按0°、90°、45°、-45°方向的一种或几种铺设 若各单层材料、厚度相同——标准π/4层合板 若各单层材料、厚度不相同——一般π/4层合板 各角度单层组的作用：
0°层：承受轴向载荷
±45°层：承受剪切载荷 90°层：承受横向载荷和控制泊松耦合效应
正交对称层合板：只有相互垂直的两种铺层方向，如[0/90/0]S. 对称均衡层合板：铺层角为-θ的单层数与θ角的单层数相同， 且可包含任意数量的0°层和90°层. 对称均衡斜交层合板：仅由数量相等的-θ层和+θ层组成，不 含0°层和90°层，如[θ/-θ]2S.
非对称层合板 层合板内各单层中纤维的排列方向与中面不对称. 反对称层合板：满足θ(z) = -θ(-z) 关系式的层合板.
三.层合板的表示法
一般层合板
0 -45 90 45 0
对称层合板
0
90 90 0 0 45
含多个子层合板
90 0 90 0
90
45 0
90
0
[0/45/90/-45/0] 有连续重复铺层
0 45 45 90
[0/90]S
[0/45/90]S
[0/90]3 有编织物铺层
0, 90 ±45
有连续正负铺层
面内剪拉耦合系数
0 0 xy, y y,xy
三.面内刚度系数的计算
A A A A A A
* 11 * 22 * 12 * 66 * 16 * 26
U U U U 0 0
(Q ) 1 (Q ) 1 (Q ) 4 (Q ) 5
3、准各向同性层合板
面内各个方向的刚度相同（无拉剪/剪拉耦合效应）
* * * * 满足 V1A V2 A V3 A V4 A 0 关系式，
即正则化面内刚度系数与几何因子无关.
可能的铺叠方法：
π/3层合板，如[0
/±60]S
π/4层合板，如[0
π/6层合板，如[0
/±45 / 90]S
无拉剪/剪拉耦合效应
2、斜交铺设对称层合板
各单层只按±φ两种方向铺设 → θ1=φ ，θ2= -φ
相等
均衡斜交铺设对称层合板 非均衡斜交铺设对称层合板
±φ层数量
不相等
V1* cos 2 A
V2*A cos 4
V3*A V4*A 0
无拉剪/剪拉耦合效应
* * A16 A26 0
第3章
层合板的刚度与强度
I. 层合板概述
一.层合板的特点
层合板 由两层或两层以上的单层板叠合而成的整体结构单元.
层合板的特点：
厚度方向非均匀，因此会产生耦合效应，使变形情况复杂； 各向异性（某些结构具有一定对称性）； 铺层情况多样，整体未必有确定的弹性主方向； 力学性质不仅取决于铺层的力学性质和厚度，也取决于铺层 的方向、层数和顺序.
二.基本假设
层合板的各单层间粘接牢固，不滑移、不脱离，有共同变形； ε(1) =ε(2) =……=ε(n)
各单层板近似处于平面应力状态； σz = 0，τyz =τzx = 0
直线法假设：弯曲前垂直于中面的直线段，弯曲变形后仍为
直线，并垂直于变形后的中面，且长度不变.
上表面 中面 下表面
γzx =γyz = 0 εz = 0
III. 对称层合板的弯曲刚度
一.弯曲力矩-曲率的关系
一般非对称层合板：不满足上式的层合板.
夹芯层合板 由两层薄的高强度、高弹性模量材料的面板，夹着一层厚且 低密度的芯层所组成的结构. 夹芯结构可大幅提高层合板的抗弯强度，并增加其受压稳定性.
II. 对称层合板的面内刚度
一.面内内力-面内应变的关系
当作用面内的内力的作用线位于层合板的几何中面时， 只会引起面内变形.
-h/2
[0/90/C5]
h/2
0° 0° 0° 90° 90° 45° -45° -45° -45° -45° -45° -45° 45° 90° 90° 0° 0° 0°
四.层合板的分类
按照各单层板相对于中面的排列位置，层合板分为： 对称层合板、非对称层合板、夹芯层合板三大类.
对称层合板
层合板内中面两侧对应处的各单层，材料和厚度相同，铺层 角相等、铺设顺序相同. 即θ(z) =θ(-z)，Qij(z) = Qij(-z).
Nx
h/ 2 h / 2 h/ 2 ( xk ) dz ( yk ) dz
Ny
h / 2 h/ 2
N xy
h / 2
dz
(k ) xy
N x A11 N y A21 N xy A61
A12 A22 A62
0 -45 45 90
[90/452/0]
[90/±45/0]
[(±45)/(0, 90)]
实例 [03/902/45/-453]S
混杂纤维层合板
90G 45K 0C
[0C/45K/90G] 夹层板
0 90 C5 90 0
C：碳纤维 Carbon K：芳纶纤维 Kevlar G：玻璃纤维 Glass B：硼纤维 Boron
* * N x A11 * * N y A21 * * N xy A61
* Nx Nx / h
* Aij Aij / h
* A12
A
A
* 22 * 62
* 0 A16 x * 0 A26 y * 0 A66 xy
V V V
* 1A
Vi cos2 (i )
i 1 l
l
* 2A
Vi cos 4 (i )
i 1 l
* 3A
Vi Sin2 (i )
i 1 l
V4*A Vi Sin4 (i )
i 1
Vi为某一定向层的体积分数 （Vi=ni/n，ni为某一定向层的层数） l为定向数
* Nxy Nxy / h
N* Ny / h y
* aij aij h 面内柔度系数aij也可正则化处理：
二.面内工程弹性常数
Aij → aij → 工程弹性常数：
0 面内拉压弹性模量 E x
0 Ey
面内剪切弹性模量 面内泊松耦合系数 面内拉剪耦合系数
0 G xy
0 x
0 y
0 0 xy,x x,xy
0 A16 x 0 A26 y 0 A66 xy
N：面内的内力
（各单层应力的合力） 单位Pa· m或N/m
Aij：层合板的面内刚度系数 单位Pa· m或N/m
Aij
面内柔度系数aij
为便于比较面内刚度系数Aij与各单层的模量Qij，
对Aij进行正则化处理：
正则化几何因子
四.几种典型对称层合板的面内刚度
1、正交铺设对称层合板（正交对称层合板）
各单层只按0°、90°方向铺设 → θ1= 0°，θ2= 90°
V1* V (0) V (90) A
* * A16 A26 0
V2*A 1
V3*A V4*A 0
* 0 0 N x [Q11 (Q11 Q22 )V (90) ] x Q12 y 0 0 N * Q12 x [Q22 (Q11 Q22 )V (90) ] y y * 0 N xy Q66 xy
1 V V 0 V (Q ) U 3 * V3 A / 2 V V
* 1A * 1A
V
* 2A * 2A * 2A * 2A * 4A * 4A