第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析
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复合材料层合板强度分析实例
x 2
………………………………………………… 最后得破坏时纵向总应变为
0 0 x x 2 + x0 2 =1.8863 102
82.0697 x y 4.3223 ( MPa ) 0 xy 1 1,3 1 27.0009 x y 0.8320 ( MPa ) 0 xy 1 2 1
第四步，外层发生破坏时内力增量 ( N )1 的确定 对单层板1,3采用蔡-希尔理论的强度条件式（5.4.13），可得
NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITY
x 1,3 82.0697 5.9401 xy 1,3 0
Nx (MPa） , h
Nx h
x 0 0.0933 N x ( MPa） y h 0 xy 2
对单层板1,3采用蔡-希尔强度理论条件式5.4.13P146可计算得 Nx 1,3 57.6961MPa h 对单层板2采用蔡-希尔强度理论条件式5.4.13P146可计算得
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x0 N x 0.0417 103 0 1 3 N x y A N y 0.0039 10 h 0 N 0 xy xy
x 5.9401 N x ( MPa） y 0.4653 h 0 xy 1,3
x 0 0.0933 N x ( MPa） y h 0 xy 2
………………………………………………… 最后得破坏时纵向总应变为
0 0 x x 2 + x0 2 =1.8863 102
82.0697 x y 4.3223 ( MPa ) 0 xy 1 1,3 1 27.0009 x y 0.8320 ( MPa ) 0 xy 1 2 1
第四步，外层发生破坏时内力增量 ( N )1 的确定 对单层板1,3采用蔡-希尔理论的强度条件式（5.4.13），可得
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x 1,3 82.0697 5.9401 xy 1,3 0
Nx (MPa） , h
Nx h
x 0 0.0933 N x ( MPa） y h 0 xy 2
对单层板1,3采用蔡-希尔强度理论条件式5.4.13P146可计算得 Nx 1,3 57.6961MPa h 对单层板2采用蔡-希尔强度理论条件式5.4.13P146可计算得
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x0 N x 0.0417 103 0 1 3 N x y A N y 0.0039 10 h 0 N 0 xy xy
x 5.9401 N x ( MPa） y 0.4653 h 0 xy 1,3
x 0 0.0933 N x ( MPa） y h 0 xy 2
板锥网壳结构复合材料层合板的强度分析
用， 同时集承 重 、 护 、 饰 为 一 体 ， 质 高 强 ， 有 围 装 轻 具 良好 的技术经 济 效 益 ， 并且 具 有 鲜 明 的建 筑 视 觉 效
果， 因此 得到 了广泛 的应 用 。
和优点 ， 有必要 进行 层合 板合 理 的铺层 设计 ， 以在 所 复合 材 料板锥 网壳 结 构 中 ， 度也 是 主 要 设 计 控制 强
度 的空 间杆 单 元 Ｌｎ８ 对 于 三 角 形 板 单 元 ， 用 ４ ｉｋ ； 采
节 点有 限应变 壳单 元 Ｓ ｅｌ８ ， ｈ ｌ １ 每节 点 ６自由度 。复 ｌ
合材料建模 的难 点是如何 准确模 拟层合板铺层设
计 ， Ａ Ａ Ｙ软 件 中 ， 料 坐 标 系是 确定 材 料 属性 在 Ｎ Ｓ 材
线性 等一 系列 力 学 特 点 ， 的力 学 问 题 比均 匀 、 它 连
收 稿 日期 ：２０ ．０２ ０ ９１ －７
合材料 板锥 网壳 结构设 计 和层合 板铺 层设 计 提供 理
论 上 的依据 。
２ 复合材料板锥 网壳结构分析方法
对 于复 合材 料板 锥 网壳 结 构 ， 文 只考 虑 采 用 本 上弦杆 的锥 顶 节点 为 铰 接 ， 面 节 点为 刚接 的计 算 底 模 型 。在 Ａ Ｓ Ｓ模 型 中 ， 件单 元取 ２节 点 ６自由 ＮＹ 杆
材料 破坏 时 的载 荷 （ 首层 破 坏 强 度 ） 末 层 破 坏 时 和
锥体 单元
的载 荷 （ 层破 坏 强度 ） 对 复 合 材料 层 合 板 自身 的 末 ， 强度 和主要 影 响 因 素进 行 全 面 和深 入 的研 究 ， 复 为
图 １ 板 锥 网壳 结 构 不 恿 图
由于复合 材 料 板 材 “ 质 、 强 ” 比强 度 比普 轻 高 ， 通钢材 高很 多 ， 有强度 和 弹性性 能 的可设 计 性 ， 具 特 别 适合 应用 于板锥 网壳 结构 的予 制锥体 单 元 。文献 ［］ ２ 对玻 璃钢板 材 在 板锥 网壳结 构 中的应 用 进行 了 初 步研 究 ， 只是 对板 锥 网壳结 构进行 整体 分 析 ， 没有 对 组成锥 体单 元 的复合材 料板 件 自身 的一 系列力 学 问题 进行 研究 ， 材料设 计 和结构 设计 没有 同时进 行 。 但是 复合 材料具 有各 向异性 、 均匀性 、 层 间剪 切 不 低 模量 和低层 问剪 切 抗 拉 强 度 、 几何 非 线 性 和 物 理 非
3层合板刚度与强度讲诉课件
[0/90]3 有编织物铺层
0, 90 ±45
[(±45)/(0, 90)]
混杂纤维层合板
90G 45K 0C
[0C/45K/90G]
夹层板
0 90 C5 90 0
[0/90/C5]
C：碳纤维 Carbon
K：芳纶纤维 Kevlar
G：玻璃纤维 Glass
B：硼纤维 Boron
实例
-h/2
h/2
[03/902/45/-453]S
V1*A V (0) V (90) V2*A 1 V3*A V4*A 0
A1*6 A2*6 0
N
* x
[Q11
(Q11
Q22 )V
] (90) 0 x
Q12
0 y
N
* y
Q12
0 x
[Q22
(Q11
Q22
)V
(90)
]
0 y
N
* xy
Q66
0 xy
无拉剪/剪拉耦合效应
2、斜交铺设对称层合板
二.基本假设
层合板的各单层间粘接牢固，不滑移、不脱离，有共同变形； ε(1) =ε(2) =……=ε(n)
各单层板近似处于平面应力状态； σz = 0，τyz =τzx = 0
直线法假设：弯曲前垂直于中面的直线段，弯曲变形后仍为 直线，并垂直于变形后的中面，且长度不变.
上表面 中面 下表面
γzx =γyz = 0 εz = 0
I. 层合板概述
一.层合板的特点
层合板 由两层或两层以上的单层板叠合而成的整体结构单元.
层合板的特点：
厚度方向非均匀，因此会产生耦合效应，使变形情况复杂； 各向异性（某些结构具有一定对称性）； 铺层情况多样，整体未必有确定的弹性主方向； 力学性质不仅取决于铺层的力学性质和厚度，也取决于铺层
0, 90 ±45
[(±45)/(0, 90)]
混杂纤维层合板
90G 45K 0C
[0C/45K/90G]
夹层板
0 90 C5 90 0
[0/90/C5]
C：碳纤维 Carbon
K：芳纶纤维 Kevlar
G：玻璃纤维 Glass
B：硼纤维 Boron
实例
-h/2
h/2
[03/902/45/-453]S
V1*A V (0) V (90) V2*A 1 V3*A V4*A 0
A1*6 A2*6 0
N
* x
[Q11
(Q11
Q22 )V
] (90) 0 x
Q12
0 y
N
* y
Q12
0 x
[Q22
(Q11
Q22
)V
(90)
]
0 y
N
* xy
Q66
0 xy
无拉剪/剪拉耦合效应
2、斜交铺设对称层合板
二.基本假设
层合板的各单层间粘接牢固，不滑移、不脱离，有共同变形； ε(1) =ε(2) =……=ε(n)
各单层板近似处于平面应力状态； σz = 0，τyz =τzx = 0
直线法假设：弯曲前垂直于中面的直线段，弯曲变形后仍为 直线，并垂直于变形后的中面，且长度不变.
上表面 中面 下表面
γzx =γyz = 0 εz = 0
I. 层合板概述
一.层合板的特点
层合板 由两层或两层以上的单层板叠合而成的整体结构单元.
层合板的特点：
厚度方向非均匀，因此会产生耦合效应，使变形情况复杂； 各向异性（某些结构具有一定对称性）； 铺层情况多样，整体未必有确定的弹性主方向； 力学性质不仅取决于铺层的力学性质和厚度，也取决于铺层
复合材料层合板强度分析实例
25.51
(MPa)
0
显然，外层单层板1,3中 y =25.51MPa，基本接近 x =352.52MPa,远小
x 1,3 82.0697 5.9401
Nx (MPa）, h
y 1,3 4.3223 0.4653
Nx (MPa） h
xy 1,3 0
代入校验公式，计算出
Nx 45.53(MPa） h 1,3
将其代入第二步（6）的结果中，得 为
2
x
y xy
1,3
2
352.52
0.1508%
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第三步，第一次刚度降低后层合板性能的确定 当 Nx 36.17MPa时，外层1,3单层板未发生破坏，其单层板刚度举证保持不变
h
内层板2在该层板层内横向（层内x轴方向）破坏，但纵向仍然有刚度：
0
0
0
0
0
0
（2）由n层复合材料单层板构成的复合材料层合板自然坐标系内力、内力矩-应 变、曲率关系（见教材P167）可计算层合板拉伸刚度矩阵A
24.42 4.58 0
A
n
Qk (zk
zk
1)
h
4.58
48.78
0
(GPa）
k 1
0 0 8.62
0.0417 0.0039 0
A1
1 h
0.0039 0
Nx
203.49MPa
h 1,3
（2）内层2单层板，仿照上步中的方法，可得：
N x 36.17MPa h2
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第11章复合材料层合板的强度分析
第11章 复合材料层合板的强度力分析复合材料层合板中单层板的铺叠方式有多种，每一种方式对应一种新的结构形式与材料性能。
层合板的应力状态也可以是无数种，因此各种不同应力状态下层合板的强度不可能靠实验来确定．只能通过建立一定的强度理论，将层合板的应力和基本强度联系起来。
由于层合板中各层应力不同，应力高的单层板先发生破坏，于是可以通过逐层破坏的方式确定层合板的强度。
因此，复合材料层合板的强度是建立在单层板强度理论基础上的。
另外，由层合板的刚度特性和内力可以计算出层合板各单层板的材料主方向上的应力。
这样就可以采取和研究各向同性材料强度相同的方法，根据单层板的应力状态和破坏模式，建立单层板在材料主方向坐标系下的强度准则。
本章主要介绍单层板的基本力学性能、单层板的强度失效准则，以及层合板的强度分析方法。
§11.1单层板的力学性能由层合板的结构可知，层合板是若干单向纤维增强的单层板按一定规律组合而成的。
当纤维和基体的性质、体积含量确定后，单层板材料主方向的强度与和其工程弹性常数一样，是可以通过实验唯一确定的。
11.1.1单层板的基本刚度与强度材料主方向坐标系下的正交各向异性单层板，具有4个独立的工程弹性常数，分别表示为：纤维方向（方向1）的杨氏模量1E ，垂直纤维方向（方向2）的杨氏模量2E ，面内剪切模量12G ；另外，还有两个泊松比2112,νν，但它们两个 不是独立的。
这4个独立弹性常数表示正交各向异性单层板的刚度。
单层板的基本强度也具有各向异性，沿纤维方向的拉伸强度比垂直于纤维方向的强度要高。
另外，同一主方向的拉伸和压缩的破坏模式不同，强度也往往不同，所以单层板在材料主方向坐标系下的强度指标共有5个，称为单层板的基本强度指标，分别表示为：纵向拉伸强度X t (沿纤维方向)，纵向压缩强度X c (沿纤维方向)，横向拉伸强度Y t (垂直纤维方向)，横向压缩强度Y c (垂直纤维方向)，面内剪切强度S (在板平面内)。
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析
B12 B22 B26 D12 D22 D26
B16 k x B26 k y B66 k xy D16 k x D26 k y D66 k xy
经典层合板理论
式中：
Aij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk k 1 k 1 N 1 N 2 2 B ( Q ) ( z z ij ij k k k 1 ) (Qij ) k t k z k 2 k 1 k 1 3 N t 1 N 3 3 2 Dij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k (tk zk k ) 3 k 1 12 k 1
k
N N
其中 tk zk zk 1 为第 层中心的坐标值 z z
k
z 是第 k 层的厚度，
1 1 ( z z ) ( zk zk 1 ) k 1 k k 1 2 2
经典层合板理论
上式中的 Aij , Bij , Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度 由于耦合刚度 Bij 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
0 x x k x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
u u0 2w z 2 x x x x v v0 2w z 2 y y y y u0 v0 u v 2w ( ) 2z xy y x y x xy
层合板的刚度及强度 (1)
第五章层合板的刚度5.1 引言层合板(Laminate)是由多层单向板按某种次序叠放并粘结在一起而制成整体的结构板。
每一层单向板(Unidirectional lamina)称为层合板的一个铺层。
各个铺层的材料不一定相同，也可能材料相同但材料主方向不同，因而层合板在厚度方向上具有非均匀性。
层合板的性能与各铺层的材料性能有关，还与各铺层的材料主方向及铺层的叠放次序有关。
因而，可以不改变铺层的材料，通过改变各铺层的材料主方向及叠放顺设计出所需力学性能的层合板。
与单向板相比，层合板有如下特征：(1) 由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有确定的材料主方向。
(2) 层合板的结构刚度取决于铺层的性能和铺层的叠放次序，对于确定的铺层和叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。
(3) 层合板有耦合效应，即面内拉压、剪切载荷可产生弯曲、扭转变形，反之，在弯、扭载荷下可产生拉压、剪切变形。
(4) 一层或数层铺层破坏后，其余各层尚可继续承载，层合板不一定失效。
因而，对层合板的强度分析要复杂很多。
(5) 在固化过程中，由于各单层板的热胀冷缩不一致，在层合板中要引起温度应力，这是层合板的初应力。
(6) 层合板由不同的单层粘结在一起，在变形时要满足变形协调条件，故各层之间存在层间应力。
5.2 层合板的标记层合板标记是表征层合板铺层铺设参数(层数、铺层材料主方向、铺层纤维种类、铺层次序)的符号。
如图所示，层合板总厚度为h，有N 个铺层。
通常将层合板中面(平分板厚的面)设置为xy 坐标面，z 轴垂直板面。
沿z 轴正方向将各铺层依次编号为1～N ，第k 层的厚度为t k 铺设角(纤维与x 轴的夹角)为θk ，其上下面坐标为z k 和z k -1。
z -k z z k z N z -N z z如果各铺层的材料和厚度相同，沿z轴正方向依次标出各层的铺设角θk (k=1,2,…,N)，便可表示整个层合板。
如•[0/45/90]T，表示有三个铺层的层合板，各层厚度相同，铺设角依次为0o、45o、90o，下标“T”表示已列出全部铺层。
5-第五章_复合材料层合板的强度解析
ET 1 ET 0 s L 0 s T （3.5） 1 LT GLT
X c s L vLT s T X t Yc s T vTL s L Yt | LT | S
（5.4）
Xc s L Xt 比较式（5.4）和式（5.1）可知，最大应变失效判据中 Y s Y （5.1） c T t 考虑了另一材料主方向的影响，即泊松耦合效应。 | LT | S
， 2H 2 2 2 ， N 2 Y2 X Y Z 2S12 1 1 1 F H 2 , 2H 2 , 2 N 2 （5.10） Y X S X2
2 sL
, FH
代入式（5.9），可得
X
2
s Ls T
X
2
2 sT
Y
2
2 LT
S
2
1
（5.11）
式（5.11）即称为蔡—希尔失效判据，蔡—希尔失效判据综合了单层材 料主方向的三个应力和相应的基本强度对单层破坏的影响，尤其是计入了sL 和sT的相互作用，因此在工程中应用较多。从式（5.11）的推导过程可知， 蔡—希尔失效判据原则上只适用于拉压基本强度相同的复合材料单层。但是 通常复合材料单层的拉压强度是不等的，工程上往往选取式（5.11）中的基 本强度X和Y与所受的正应力sL和sT一致。如果正应力sL为拉伸应力时，则 X取Xt；若sL是压应力时，则X取Xc。
2 sL
X
2
s Ls T
X2Βιβλιοθήκη 2 sTY
2
2 LT
S
2
1
（5.11）
5. 蔡—吴（Tsai-Wu）张量失效判据 纤维增强复合材料在材料主方向上的拉压强度一般都不相等，尤其是 横向拉压强度相差数倍，为此蔡—吴提出了张量多项式失效判据，也称 应力空间失效判据。在平面应力状态下，该判据表示为 （5.13） F s s F s 1 (i 1, 2, 6)
X c s L vLT s T X t Yc s T vTL s L Yt | LT | S
（5.4）
Xc s L Xt 比较式（5.4）和式（5.1）可知，最大应变失效判据中 Y s Y （5.1） c T t 考虑了另一材料主方向的影响，即泊松耦合效应。 | LT | S
， 2H 2 2 2 ， N 2 Y2 X Y Z 2S12 1 1 1 F H 2 , 2H 2 , 2 N 2 （5.10） Y X S X2
2 sL
, FH
代入式（5.9），可得
X
2
s Ls T
X
2
2 sT
Y
2
2 LT
S
2
1
（5.11）
式（5.11）即称为蔡—希尔失效判据，蔡—希尔失效判据综合了单层材 料主方向的三个应力和相应的基本强度对单层破坏的影响，尤其是计入了sL 和sT的相互作用，因此在工程中应用较多。从式（5.11）的推导过程可知， 蔡—希尔失效判据原则上只适用于拉压基本强度相同的复合材料单层。但是 通常复合材料单层的拉压强度是不等的，工程上往往选取式（5.11）中的基 本强度X和Y与所受的正应力sL和sT一致。如果正应力sL为拉伸应力时，则 X取Xt；若sL是压应力时，则X取Xc。
2 sL
X
2
s Ls T
X2Βιβλιοθήκη 2 sTY
2
2 LT
S
2
1
（5.11）
5. 蔡—吴（Tsai-Wu）张量失效判据 纤维增强复合材料在材料主方向上的拉压强度一般都不相等，尤其是 横向拉压强度相差数倍，为此蔡—吴提出了张量多项式失效判据，也称 应力空间失效判据。在平面应力状态下，该判据表示为 （5.13） F s s F s 1 (i 1, 2, 6)
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yz 0, zx 0
z 0
平面应力假设： z 0； xz =0； yz =0
z 0 忽略正应力假设：
经典层合板理论
由N层任意铺设的单层板构成 取XOY坐标面与中面重合 板厚为t
经典层合板理论
板中任意一点的位移分量 u , v 和 w 可表达为：
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
u u0 2w z 2 x x x x v v0 2w z 2 y y y y u0 v0 u v 2w ( ) 2z xy y x y x xy
经典层合板理论
上式中的子矩阵 A, B, D 分别称为面内柔度矩 阵，耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵B 与矩阵 B T 是相互转置的，但未必对称
一般层合板的物理关系很复杂，这是由于耦 合刚度阵 B 的存在所产生的耦合效应引起， 即拉弯耦合，此外，由于 A16 , A26 的存在产生 拉剪耦合，由于 D16 , D26 的存在产生弯扭耦合
Nx x x N h 2 zk N y h 2 y dz z y dz k 1 k 1 N xy xy xy M x x x N h 2 zk M y h 2 y zdz z y zdz k 1 k 1 M xy xy xy
经典层合板理论
层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：
N A B M B D k
0
k 为曲 式中的 0 为层合板的中面应变列阵， 率列阵。上式即为用应变表示内力的一般层 合板的物理方程
经典层合板理论
对层合板的物理方程进行矩阵运算得到：
其中 k xy 为中面扭曲率
经典层合板理论
第 k 层应力为：
x Q11 Q12 y Q12 Q22 Q Q 26 xy k 16
0 k Q16 x x 0 Q26 y z k y 0 Q66 k xy k xy
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
0 x x k x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但 由于层合板每层的 Q 可以不同，故应力变 化一般不是线性的
ij
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx , N y , Nxy 及合力矩 M x , M y , M xy （都是指单位长度上的力或力矩）
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：
B12 B22 B26 D12 D22 D26
B16 k x B26 k y B66 k xy D16 k x D26 k y D66 k xy
经典层合板理论
式中：
Aij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk k 1 k 1 N 1 N 2 2 B ( Q ) ( z z ij ij k k k 1 ) (Qij ) k t k z k 2 k 1 k 1 3 N t 1 N 3 3 2 Dij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k (tk zk k ) 3 k 1 12 k 1
经典层合板理论
上式中的 zk , zk 1 可由下图在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：
Nx Q11 Q12 N N y Q12 Q22 k 1 Q 16 Q26 N xy M x Q11 Q12 N M y Q12 Q22 k 1 Q 16 Q26 M xy
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y , z )
经典层合板理论
由直法线和等法线假设 yz 0, zx 0, z 0：
w z z 0 u w 0 zx z x v w zy z y 0
层合板的表示方法
[03/902/45/-453]S
层合板的表示方法
一般层合板 对称层合板 偶数层 奇数层 [0/45/90/-45/0] [0/90]S [0/45/90]S
具有连续重复铺层
具有连续正负铺层 织物构成的层合板 混杂纤维层合板 夹层板
[02/90]S
反对称层合板 一般层合板
Qij z =Qij -z
夹芯层合板
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系
层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续
整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设
直法线假设： 等法线假设：
第三讲 层合板的刚度与强度
层合板
层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在 一起成为整体的结构元件 层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以 由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单 层板构成。
主要内容
层合板的表示方法
经典层合板理论 单层板的刚度 层合板的刚度分析 层合板的强度分析
层合板的几何标志
0 A T k B B N D M
1 1 1 1 1 A A A B( D BA B) BA 1 1 1 B ( A B )( D BA B ) 式中： D ( D BA1B)1
0 x k x Q16 zk 0 zk Q26 y dz k y zdz zk 1 zk 1 0 Q66 k xy xy 0 k x Q16 x zk 2 0 zk Q26 y zdz k y z dz zk 1 zk 1 0 Q66 k xy xy
2. 单层板的刚度
各向同性单层板
特殊正交各向异性单层板
一般正交各向异性单层板
单层板的刚度
（1）各向同性单层板 各向同性材料有两个独立的弹性常数，各 方向的弹性性质相同。设弹性模量和泊松 比分别为： E, E
根据折减刚度
矩阵计算公式
1 Q 11 1 12 21 12 E2 21 E1 Q12 1 12 21 1 12 21 E2 Q22 1 12 21 Q G 12 66
经典层合板理论
将上面三式分别对 z 积分得到：
w w( x, y ) w( x, y ) u u ( x , y ) z 0 x w( x, y ) v v0 ( x, y ) z y
式中的 u0 , v0 , w 表示中面的位移分量，并且只 是坐标 x, y 的函数，其中 w 为挠度函数
k
N N
其中 tk zk zk 1 为第 层中心的坐标值 z z
k
z 是第 k 层的厚度，
1 1 ( z z ) ( zk zk 1 ) k 1 k k 1 2 2
经典层合板理论
上式中的 Aij , Bij , Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度 由于耦合刚度 Bij 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
单层板的刚度
将弹性模量和泊松比代入上式中可得：
Q11 Q22 E E E , Q , Q , Q16 Q26 0 12 66 2 2 1 1 2(1 )
设板厚为 t ，代入下式：
N N Aij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk k 1 k 1 N 1 N 2 2 Bij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk zk 2 k 1 k 1 3 N t 1 N 3 3 2 Dij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k (tk zk k ) 3 k 1 12 k 1
经典层合板理论
中面的应变为：
中面的曲率为：
u0 aa 0 x x 0 v0 y aa 0 y xy u0 v0 y x
2w a 2 x k x 2w k y a 2 y k xy 2w 2 xy
经典层合板理论
0 0 0 , , 注意到 x y xy , kx , ky 和 kxy 不是 z
的函数，而是中 面值，因此可以从求和记号中移出得到：
N x A11 N y A12 A N xy 16 M x B11 M y B12 B M xy 16 A12 A22 A26 B12 B22 B26
0 A16 x B11 0 A26 y B12 0 B A66 xy 16 0 B16 x D11 0 B26 y D12 0 D B66 xy 16
[0/±45/90] [(±45)/(0,90)] [0C/45K/90G] [0/90/C5]S