层合板强的宏观力学分析
层合板强度的宏观力学分析
Hill-蔡强度理论
X
2 1 2
1 2
X
2
Y
2 2 2
S
2 12 2
1
层合板强度
• 层合板的强度分析
– 需要了解每一单层的应力状态 – 给出层合板能承受的最大载荷（目的1） – 设计承受给定载荷所必需的层合板特征（目的2）
• 对复合材料层合板来说，一层的破坏不一定等同于整个 层合板的破坏，层合板的强度与下列因素有关：
一般对失效层退化采用如下假定：
如果： 1 X , 2 Y , Q66 0 如果：1 X , 2 Y 如果：1 X , Q22 Q12 Q66 0 Q11 Q22 Q12 Q66 0
2.层合板强度的应力计算公式
N x A11 N y A12 N xy A16 M x B11 M y B12 B M xy 16 A 12 A22 A26 B12 B22 B26 A16 A26 A66 B16 B26 B66 B11 B12 B12 B22 B16 B26 D11 D12 D12 D22 D16 D26
1、计算Q和A
Q
(1) 11
Q
(2) 22
54.92GPa
Q11 Q12 Q22
E1 1 12 21 12E2 21E1 1 12 21 1 12 21 E2 1 12 21
(1) (2) Q12 Q12 4.58GPa (1) (2) Q22 Q11 18.33GPa
2 Yt , 1 X t
0 0 0 54.92 4.58 0 Q1,3 4.58 18.33 0 GPa , Q2 0 54.92 0 GPa 0 8.62 0 0 0 0 0 9.15 0.764 0 tGPa, A 0.764 48.82 0 1.442 0 0 0.00171 0.109 1 0 t 1 MPa A' 0.00171 0.0205 0 0 0.6937
复合材料层合板强度分析实例
25.51
(MPa)
0
显然，外层单层板1,3中 y =25.51MPa，基本接近 x =352.52MPa,远小
x 1,3 82.0697 5.9401
Nx (MPa）, h
y 1,3 4.3223 0.4653
Nx (MPa） h
xy 1,3 0
代入校验公式，计算出
Nx 45.53(MPa） h 1,3
将其代入第二步（6）的结果中，得 为
2
x
y xy
1,3
2
352.52
0.1508%
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第三步，第一次刚度降低后层合板性能的确定 当 Nx 36.17MPa时，外层1,3单层板未发生破坏，其单层板刚度举证保持不变
h
内层板2在该层板层内横向（层内x轴方向）破坏，但纵向仍然有刚度：
0
0
0
0
0
0
（2）由n层复合材料单层板构成的复合材料层合板自然坐标系内力、内力矩-应 变、曲率关系（见教材P167）可计算层合板拉伸刚度矩阵A
24.42 4.58 0
A
n
Qk (zk
zk
1)
h
4.58
48.78
0
(GPa）
k 1
0 0 8.62
0.0417 0.0039 0
A1
1 h
0.0039 0
Nx
203.49MPa
h 1,3
（2）内层2单层板，仿照上步中的方法，可得：
N x 36.17MPa h2
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复合材料层合板的刚度与强度分析
经典层合板理论
上式中的 Aij,Bij,Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度
由于耦合刚度 B i j 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：
N A B0
经典层合板理论
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：
Nx
Ny
N
Q Q1121
Nxy k1Q16
Q12 Q22 Q26
Q Q Q162666
zk zk1
xy00 x0y
dz
zk zk1
kx
ky zdz
kxy
Mx
My
N
Q11 Q12
Mxy k1Q16
A1 1 A1 2 0
A1 2 A22 0
0 0 A66
0 x
0 y
0 xy
M
x
M y
D11
D1
2
D12 D22
0 0
k k
x y
M
xy
0
0
D66
k
xy
对称层合板的刚度分析
（2）特殊正交各向异性层组成的对称层合板 这种层合板由材料主向与坐标轴一致的正交
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u
0
v0
y x
中面的曲率为：
k
x
ky
k
x
y
a
a
2w x2 2w y2
2w
2
x y
其中 k x y 为中面扭曲率
第六章 层合板强度的宏观力学分析
应变
0 x
0 y
A 22 N x 2 A11 A 22 A12
A122 N x 2 A11 A 22 A12
层合板没有剪应变，但在每一层材料主方向上，除了正应 变，还有剪应变
x 1 1 T y 1 2 2 xy 12
利用平面内的坐标 变换，可得：
x C11 y C21 z C31 yz 0 zx 0 C16 xy
层间应力——弹性力学解法
应变-位移关系为： z y
x u ,x y v ,y z w ,z yz v ,x w ,y zx w ,x u ,z xy u ,y v ,x
situ），并且与界面情况密切相关。
因此，对于复合材料强度这一复杂问题，我们仅讨论在 实验的基础上建立起来的、半经验的实用理论。
一、第一破坏（FPF）理论
研究材料在外载增加过程中，第一次发生破 坏时具有的强度，称为第一破坏理论。 该理论过于保守。 步骤： 1、用经典理论算出各层的应力（面内）； 2、对最大应力进行单层的强度校核； 3、不满足强度条件即是破坏。
• • • • • • • • • 小挠度理论 有限挠度理论 小应变理论 有限应变理论 一阶剪切变形理论 Reddy型的简化高阶理论 LCW型的高阶理论 三维弹性理论 具有非线性本构关系的板壳理论
实际计算工作很大 根据层合板的特殊性可以适当地简化
层间应力——弹性力学解法
对正交各向异性层合板，考虑了三向应力状态而不是 平面应力状态，材料主方向的应力-应变关系为：
层间应力
1 1 12 k A12 2 2 cos A sin 22 A12 A 22 N x 2 2 sin cos A A A 2 A 12 22 11 22 A12 2 cos sin 1 A 22 k
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析
B12 B22 B26 D12 D22 D26
B16 k x B26 k y B66 k xy D16 k x D26 k y D66 k xy
经典层合板理论
式中：
Aij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk k 1 k 1 N 1 N 2 2 B ( Q ) ( z z ij ij k k k 1 ) (Qij ) k t k z k 2 k 1 k 1 3 N t 1 N 3 3 2 Dij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k (tk zk k ) 3 k 1 12 k 1
k
N N
其中 tk zk zk 1 为第 层中心的坐标值 z z
k
z 是第 k 层的厚度，
1 1 ( z z ) ( zk zk 1 ) k 1 k k 1 2 2
经典层合板理论
上式中的 Aij , Bij , Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度 由于耦合刚度 Bij 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
0 x x k x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
u u0 2w z 2 x x x x v v0 2w z 2 y y y y u0 v0 u v 2w ( ) 2z xy y x y x xy
第9章层合板力学性能
第9章 层合板的宏观力学性能层合板是由若干单层板叠压而成。
单向纤维的单层板沿纤维方向力学性能较好，而在与纤维垂直方向性能较差。
工程实际中的复合材料一般做成层合结构，即将不同方向的单层板层叠在一起，每层的纤维方向是相同的，不同层之间纤维有一定的夹角，如图9.1所示。
层合结构可以提高复合材料的整体宏观力学性能，有利于发挥材料的最佳性能，满足工程对于材料力学性能的要求。
在本章中，我们把层合板看做各向异性的连续体，分析层合板的宏观力学性能。
本章主要介绍经典层合理论，简要介绍几种高阶理论。
图9.1 单层板叠压成层合板§9.1 经典层合理论经典层合理论（Classical lamination theory ，CLT ）是建立在薄板假设的基础上。
这一理论从基本的单层板出发，得到最后的层合板结构的刚度性能。
9.1.1 层合板中单层的应力-应变关系在平面应力状态下，正交各向异性材料单层板在材料主方向上的应力-应变关系为：1111212122221266120000Q Q Q Q Q σεσετγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭(9.1.1)其中，二维刚度ij Q 可以用工程常数确定。
在单层板平面内任意坐标系中的应力为：111216122226162666x x y y xy xy Q Q Q Q Q Q Q QQ σεσετγ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭(9.1.2)式中，二维刚度ij Q 由二维刚度ij Q 通过坐标转换给出。
在确定层合板刚度时，由于组分单层板的任意定向，任意坐标下的应力-应变关系(9.1.2)是有用的。
方程(9.1.1)和(9.1.2)两者都可以设想为多层层合板第k 层的应力-应变关系。
方程(9.1.2)可写为：{}{}k k k Q σε⎡⎤=⎣⎦ (9.1.3)图9.2 层合板的变形9.1.2 层合板的应变和应力对于确定层合板的拉伸和弯曲刚度，沿着层合板厚度的应力和应变变化知识是重要的。
复合材料力学第四章层合板的宏观力学行为
复合材料力学第四章层合板的宏观力学行为层合板是一种由多层材料在一定角度堆叠压制而成的复合材料结构。
它由胶合剂粘合在一起，形成一个整体的结构，具有较好的力学性能。
层合板在航空航天、汽车、建筑等行业中被广泛应用，因其具有良好的强度和刚度、较低的重量和成本等优势。
层合板的宏观力学行为可以从宏观角度和微观角度两个方面来研究。
从宏观角度来看，层合板可以看作是一个复合材料板。
在受力时，层合板主要承受拉、压、剪等力。
根据不同的力学模型，可以通过切变理论、薄板理论和剪切变形理论等方法来进行计算。
切变理论是最常用的方法之一、该理论是假设层合板在受力时，各层之间发生无滑移的切变变形，层间切应力在板的厚度方向分布均匀。
根据该理论，可以得到层合板的切变变形方程，进而计算出层合板的应力和变形。
薄板理论是另一种常用的方法。
该理论是假设层合板是一根薄板，其厚度远小于其他尺寸，因此在计算时可以忽略板厚度方向的变形。
根据薄板理论，可以得到层合板的挠度方程，并据此计算层合板的应力和变形。
剪切变形理论结合了切变理论和薄板理论的优点。
该理论考虑了层合板在受力时发生的切变变形和弯曲变形，对于层合板的力学行为具有较好的描述能力。
从微观角度来看，层合板的宏观力学行为可以理解为层与层之间的相互作用。
由于层合板是由多层材料堆叠而成的，不同材料的力学性质会影响整体的力学行为。
根据不同材料的应力应变关系和强度性能，可以得到层合板的宏观力学性能。
在层合板的设计和应用中，关键是如何选择合适的层厚度、层间胶合剂和夹层角度等参数。
通过合理选择这些参数，可以提高层合板的强度、刚度和耐疲劳性能。
总之，层合板的宏观力学行为是通过宏观角度和微观角度相结合来研究的。
在设计和应用层合板时，需要综合考虑材料的力学性能和结构的力学行为，以提高层合板的整体性能。
第11章复合材料层合板的强度分析
第11章 复合材料层合板的强度力分析复合材料层合板中单层板的铺叠方式有多种，每一种方式对应一种新的结构形式与材料性能。
层合板的应力状态也可以是无数种，因此各种不同应力状态下层合板的强度不可能靠实验来确定．只能通过建立一定的强度理论，将层合板的应力和基本强度联系起来。
由于层合板中各层应力不同，应力高的单层板先发生破坏，于是可以通过逐层破坏的方式确定层合板的强度。
因此，复合材料层合板的强度是建立在单层板强度理论基础上的。
另外，由层合板的刚度特性和内力可以计算出层合板各单层板的材料主方向上的应力。
这样就可以采取和研究各向同性材料强度相同的方法，根据单层板的应力状态和破坏模式，建立单层板在材料主方向坐标系下的强度准则。
本章主要介绍单层板的基本力学性能、单层板的强度失效准则，以及层合板的强度分析方法。
§11.1单层板的力学性能由层合板的结构可知，层合板是若干单向纤维增强的单层板按一定规律组合而成的。
当纤维和基体的性质、体积含量确定后，单层板材料主方向的强度与和其工程弹性常数一样，是可以通过实验唯一确定的。
11.1.1单层板的基本刚度与强度材料主方向坐标系下的正交各向异性单层板，具有4个独立的工程弹性常数，分别表示为：纤维方向（方向1）的杨氏模量1E ，垂直纤维方向（方向2）的杨氏模量2E ，面内剪切模量12G ；另外，还有两个泊松比2112,νν，但它们两个 不是独立的。
这4个独立弹性常数表示正交各向异性单层板的刚度。
单层板的基本强度也具有各向异性，沿纤维方向的拉伸强度比垂直于纤维方向的强度要高。
另外，同一主方向的拉伸和压缩的破坏模式不同，强度也往往不同，所以单层板在材料主方向坐标系下的强度指标共有5个，称为单层板的基本强度指标，分别表示为：纵向拉伸强度X t (沿纤维方向)，纵向压缩强度X c (沿纤维方向)，横向拉伸强度Y t (垂直纤维方向)，横向压缩强度Y c (垂直纤维方向)，面内剪切强度S (在板平面内)。
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二、最后破坏（LPF）理论
通过分析折减该层的某些刚度来分析最后 的破坏强度。具体步骤为：
1、随着荷载比例增加至 L1 ，各层应力为0k ， 首先出现第一破坏。
2、将第一破坏层的刚度进行折减，整个叠层 刚度下降至 A1( A0 )，达到第一破坏载荷后， 应力重新分布。 如引起其它层破坏，则该层刚度又需折减， 循环至无新层破坏为止。
A122 Nx A11A22 A122
层合板没有剪应变，但在每一层材料主方向上，除了正应 变，还有剪应变
x y
T1
1 1
xy
2
12 2
层间应力
1 1
12
k
cos2
A12 A 22
sin2
sin2
A12 A 22
cos2
2
cos
sin1
A12 A 22
记最后的刚度为 A1 ，叠层应力为 0k 。
3、以 A1、 0k 或 A1 、 0k 为基准，继续比例加载
至 L2 L1 L1 ，又出现新的单层破坏，此时 各层中的应力为 ( 0k 1k ) 或 ( 0k 1k )。
4、反复2，3，直至所有单层破坏，得到最后破 坏载荷。
不引起其它层破坏
折减引起其它层破坏
拉伸破坏示意图
层合板的强度准则
▪ 单层板的强度准则都可以用于层合板的分析
• 最大应力准则 • 最大应变准则 • 蔡-希尔准则 • 霍夫曼准则 • 蔡胡张量理论
三、无刚度退化准则和0.4Em准则
1、无刚度退化准则
——Tsai理论：
在某一单层满足破坏条件下，设1方向是单层材料主要受 力的方向：当其应力等于或大于1方向沿轴强度时，该层便不 起作用；当应力小于沿轴强度时，1方向的作用仍可保留，但 由于顺纤维的基体裂纹大量出现，使得其余刚度退化为零。
▪ 经典层合理论包含的xy值，在层合板边缘是不可能存在的
▪ 经典层合理论中，不考虑层间应力z，zx，zy， 而仅仅考虑层合板内的应力x， y ，xy，即假 设为平面应力状态，不可能断定某些实际上使复 合材料破坏的应力，层间应力是复合材料特有的 破坏机理之一
层间应力
经典层合理论——考虑正交各向异性对称与中 面排列的角铺设层合板
xy
k
Q16
Q26
Q66
k
0 xy
拉伸刚度为：
N
Aij
Qij k (zk zk 1 )
k 1
层间应力
力与应变的关系为:
Nx 0
A11
A12
A12 A 22
0 0
0 x
0 y
0 0
0
A
66
0 xy
应变
0 x
A 22 N x A11A22 A122Fra bibliotek0 y
E1, 21 基本保持不变； G12 0.44G12。
E2 0.56 E2;
优点：
1）利用细观力学； 2）避免了某些刚度分量退化为零；避免了计算程序中被零 除的可能。
§6-2 层合板的层间应力分析
▪ 层间应力是使层合板破坏的一个重要原因 ▪ 各向同性材料制备的板或梁等构件，但受到横向
载荷作用时，将在构件的横截面内产生剪应力
▪ 不采用经典层合理论 ▪ 其他层合板理论或以弹性力学的方法来计算
• 小挠度理论 • 有限挠度理论 • 小应变理论 • 有限应变理论 • 一阶剪切变形理论 • Reddy型的简化高阶理论 • LCW型的高阶理论 • 三维弹性理论 • 具有非线性本构关系的板壳理论
该退化准测可表示为：
（1）如 X 1 或 1 X ，则令
Q11,22,12,66 0
（2）如 X 1 X ，则令 Q22,12,66 0 ，而 Q11 保持不变。
其意味着已破坏的单层仍能照旧继续弹性地分担载荷。
2、0.4Em退化准则
按基体损伤从细观力学计算刚度退化的方法单层破坏后， 基体刚度Em下降至0.4Em，则由细观力学可知其单层刚度下降 至：
▪ 横向载荷作用下的层间剪应力
z
0
90
0
0 90
yz
0
层间应力
▪ 斜交层合板的层间应力
• 斜交层合板的在面内载荷下也会产生层间剪 应力
z
+
yz
-
-
+
=15
=30 =45 =60
y
层间应力
▪ 在层合板的自由边上(层合板边界或孔边)层间剪应力很高 (甚至是奇点)，从而导致在这些区域内脱胶
▪ 改变铺层叠合顺序，即使不改变每一层的方向，也要引起 层合板拉伸强度的不同(在经典层和理论中，这种改变不 影响拉伸刚度)，层合板边界附近的层间正应力z的改变 是上述强度不同的结果
因此，对于复合材料强度这一复杂问题，我们仅讨论在 实验的基础上建立起来的、半经验的实用理论。
一、第一破坏（FPF）理论
研究材料在外载增加过程中，第一次发生破 坏时具有的强度，称为第一破坏理论。
该理论过于保守。
步骤： 1、用经典理论算出各层的应力（面内）； 2、对最大应力进行单层的强度校核； 3、不满足强度条件即是破坏。
k
A 22 N x A11A22 A122
相应于此剪应变的剪应 力在层边是不存在的
xydxdz xzydydx
在自由边上xy为零，意味着作用在脱离 体其他边缘上的xy所引起的力偶必定有 反应，满足力矩平衡条件的反应力偶只 能是由作用在与下一层接界的铺层下表 面部分的xz引起的
层间应力的计算
第六章 层合板强度的宏观力学分析
§6-1 层合板的强度分析
•对复合材料来说，某个、某几个单层的破坏未必意味着整 个层合板的破坏，某个、某几个单层的破坏会带来层合板 刚度的降低，层合板仍能承受更高载荷，继续加载到层合 板全部破坏，此时的外载为层合板的极限载荷。 •强 度 本 身 就 不 是 一 个 材 料 常 数 ， 而 且 具 有 就 位 性 （ In situ），并且与界面情况密切相关。
• 分析证明：当梁或板的跨度大于其高度或厚度的4-5倍 以上时，截面上的剪应力对于截面内法向应力的分布 影响甚小，同时这种材料的剪应力最大值远小于材料 的剪切强度，因此在强度计算中可以不考虑横向剪应 力的影响
• 但对层合板，抵抗层间剪应力的能力与基体剪切强度 同量级，这个值通常是很低的，有时要考虑
层间应力
z
+
-
y
-
+
z
zy
x
zx
xy y
x
层间应力
各向异性层承受材料主方向的平面应力使得应力-应变关系为：
1
2
Q11 Q21
Q12 Q 22
0 0
1002
12
k
0
0
Q66
k
0 12
转换为层合板轴向的应力-应变关系为：
x
y
Q11
Q21
Q12 Q22
Q16
Q26
0 x
0 y