第三篇 第6节

含参数的极限求解，关键是理解极限存在的前提条件．有时，需要对参数 进行分类讨论，分类时要理清分类标准，做到不重不漏．
变式探究 21：求下列极限： an＋2n (1)limn→∞ n＋ 1 ＋ (a≠－2)； a ＋2n 2 2sinnα＋3cosn α π (2)limn→∞ ，α∈[0， ]． 2 sinn α＋cosn α
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an2＋cn a (2)∵limn→∞ ＝ ＝2， bn2＋c b bn＋c b limn→∞ ＝ ＝3. cn＋a c a ab ∴ ＝ · ＝6， c bc an2＋bn＋c a ＝ ＝6. 6. 故 limn→∞ 2 cn ＋an＋b c
1 n2 2 2n2＋1 解析：lim ＝lim ＝ ，故选 A. 2 n→∞ 3nBiblioteka ＋2n n→∞ 2 3 3＋ n 2＋
(3＋a)n＋2 ＝2，则 a 的值为( n n＋a (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2 2．若lim →∞
解析：∵lim →∞
n
A
)
(3＋a)n＋2 ＝3＋a＝2，∴a＝－1，故选 A. n＋a
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1 1 3λ 设 xn＋ 1－λ＝－ (xn－λ)，即 xn＋ 1＝－ xn＋ . 2 2 2 5 5 1 5 3λ 5 则 ＝ ，λ＝ ，xn＋ 1－ ＝－ (xn－ )， 2 2 3 3 2 3 5 xn＋ 1－ 3 1 即 ＝－ ， 5 2 xn－ 3 5 5 1 － 5 1 － xn－ ＝(x1－ )(－ )n 1＝ (－ )n 1， 3 3 2 6 2 5 5 1 － 因此 xn＝ ＋ (－ )n 1. 3 6 2 5 2 ∴limxn＝ ，同理可求lim yn＝ . n→∞ 3 n→∞ 3 5 2 答案：( ， ) 3 3
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思路点拨：(1)中将|a|与 1 作大小比较；(2)中寻找 a 与 c 的关系． 1－limn→∞ an 1－0 ＝ ＝1. 解：(1)若|a|＜1，则原式＝ 1＋limn→∞ an 1＋0 若 a＝1，则原式＝0. 1 ( )n－1 a 若|a|＞1，则原式＝limn→∞ 1 ( )n＋1 a 1 limn→∞ ( )n－1 a 0－1 ＝ ＝ ＝－1. 1n 0＋1 limn→∞ ( ) ＋1 a (|a|＜1) 1 (a＝1) 综上，原式＝ 0 －1 (|a|＞1).
由极限值求参数值或参数取值范围 n2＋1 【例 3】 (1)已知 limn→∞ ( －an－b)＝0，求 a 和 b 的值； n＋1 3n 1 (2)已知 limn→∞ n＋1 n ＝ ，求 a 的取值范围． 3 ＋(a＋1) 3
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第6节 数列的极限
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考纲展示
1.了解数列极限的概念． 2．掌握数列极限的四则
运算法则，会求某些数列 的极限．
求含参变量的数列极限 1－an 【例 2】 (1)求 limn→∞ (a∈R 且 a≠－1)； 1＋an bn＋c an2＋bn＋c an2＋cn ＝2，limn→∞ ＝3，求 limn→∞ 2 . (2)已知 limn→∞ bn2＋c cn＋a cn ＋an＋b
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解：(1)①当 a＝2 时， 2n＋2n 1 1 n→∞ n＋1 n→∞ ＝ . 原式＝lim ＋ ＝lim 3 3 2 ＋2n 2 ②当|a|＜2，即－2＜a＜2 时， a ( )n＋1 2 0＋1 1 原式＝limn→∞ ＝ ＝ . a a×0＋4 4 a·( )n＋4 2 ③当|a|＞2，即 a＜－2 或 a＞2 时， 2 1＋( )n a 1＋0 1 n→∞ 原式＝lim ＝ ＝ . 2 a＋4×0 a a＋4×( )n a
求数列的极限 【例 1】 求下列极限： 5n－3n ； (1)limn→∞ n 5 ＋2×3n 1 1 1 (2)limn→∞ ( ＋ ＋…＋ 2 )； 1×2 2×3 n ＋n 1 1 1 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1 2 2 2 (3)limn→∞ . 1 1 1 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1 3 3 3
数列极限的应用
【例 4】 如图，抛物线 y＝－x2＋1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从 左至右依次记为 P1，P2，…，P n－ 1，过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1，Q2，…，Qn－ 1，从而得到 n－1 个直角三角形：△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Qn－ 1Pn－ 2Pn－ 1，当 n→∞时，这些三角形的面积之和 S 的极限为____． 返回目录
，
1 (0<q≤1) Sn . ∴lim ＝1 n→∞ Sn＋ 1 (q>1) q 1 (0<q≤1) 答案：1 q (q>1)
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3．数列{an}是首项为 1，公比为 q(q>0)的等比数列，其前 n 项和为 Sn，则lim →∞
n
Sn ＝ Sn＋ 1
________.
Sn n ＝lim ＝1； n Sn＋ 1 n→∞ n＋1 1，0<q<1 1－qn 1－qn Sn q≠1 时，Sn＝ ，lim ＝lim ＋ ＝ 1 1－q n→∞ Sn＋ 1 n→∞ 1－qn 1 q，q>1 解析：q＝1 时，Sn＝n，lim →∞
思路点拨：该类问题是求极限的逆向思维问题，一般从求极限入手建立待定系数的方程 (组)或依常见的限制条件去解． n2＋1 解：(1)∵ －an－b n＋1 n2＋1－an2－an－bn－b ＝ n＋1 (1－a)n2－(a＋b)n＋(1－b) ＝ n＋1 n2＋1 由已知 limn→∞ ( －an－b)＝0，得 n＋1
思路点拨：(2)、(3)先求和，(1)分子、分母同除以 5n，然后用极限的运算法则求解． 3 1－( )n n n 5 5 －3 n→∞ n n→∞ 解：(1)lim ＝lim ＝1. 3n 5 ＋2×3n 1＋2×( ) 5
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(2)limn→∞ (
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(1)求极限的基本方法是先对所求极限的表达式进行化简，然后利用极限的 四则运算法则和基本极限求解． (2)对于无限项的和或积的极限，必须先求和或积，再求极限． (3)一般地，分子和分母都是关于 n 的多项式的极限，通常把分子、分母同除以分子、分 母中 n 的最高次数项求极限，求含指数式的极限，通常要利用 limn→∞ qn＝0(|q|＜1)这一结 论．
1－a＝0， a＋b＝0，
∴a＝1，b＝－1.
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3n (2)∵limn→∞ n＋1 ＝limn→∞ 3 ＋(a＋1)n ∴limn→∞ ( ∴| a＋1 n ) ＝0， 3
1 1 ＝ ， a＋1 n 3 ) 3＋( 3
a＋1 |＜1，∴－4＜a＜2. 3
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π 5 (2)当 α＝ 时，原式＝ ； 4 2 π 当 0≤α＜ 时，则有 0≤tan α＜1， 4 2tannα＋3 2×0＋3 ∴原式＝limn→∞ ＝ ＝3； tannα＋1 0＋1 π π 当 ＜α≤ 时，则有 0≤cot α＜1， 4 2 3cot nα＋2 3×0＋2 ∴原式＝limn→∞ ＝ ＝2. cotnα＋1 0＋1
0 (|q|＜1)， n (3)limn→∞ q ＝ 1 (q＝1)， 不存在 (|q|＞1或q＝－1).
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2n2＋1 1.lim 等于( A ) 2 n→∞ 3n ＋2n 1 2 (B) (C)1 (D)2 (A) 2 3
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1 1 1 1 ＋ ＋ ＋…＋ 2 ) 1×2 2×3 3×4 n ＋n 1 1 1 1 1 1 1 ＝limn→∞ (1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ) 2 2 3 3 4 n n＋1 1 ＝limn→∞ (1－ )＝1. n＋1 1 2n 1 1 1 1 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1 1－ 2 2 2 4 2 (3)limn→∞ ＝limn→∞ ＝ . 1 1 1 1 3 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1 1－ n 3 3 3 3 1 1－ 3 1－
解析：设 An(xn，yn)，n＝1,2,3，…， xn＋xn－ 1 5 5 则 x1＝ ，x2＝ ，xn＋ 1＝ ，n≥2. 2 4 2 1 1 即 xn＋ 1＋ xn＝xn＋ xn－ 1， 2 2 1 ∴{xn＋ 1＋ xn}为常数列． 2 1 1 5 xn＋ 1＋ xn＝x2＋ x1＝ . 2 2 2