2017届广东省珠海市高三9月摸底考试数学理试题(WORD版)

珠海市2016-2017学年度第一学期高三摸底考试理科数学试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a R ∈，i 是虚数单位，若()()1-i 12ai +=，则a = A. 1 B. 5 C. 3 D. 62. 设集合 {}{}11,3<<-=∈==x x B R x y y A x， ，则A B = A. ()11-， B. ()10， C. ()∞+，1- D. ()+∞0, 3. 已知{}n a 是公差为4的等差数列，n S 是其前n 项和.若515S =，则10a 的值是 A. 11 B. 20 C. 29 D. 31 4. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为 A.151 B. 52 C. 158 D. 545. 已知双曲线2222:1(00)x y E a b a b -=>>，的离心率是2，则E 的渐近线方程为A. y x =±B. y=2x ±C. y x =D. y=2x ± 6. 如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为A. 6B. 9C. 12D. 18 7. 若平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤-0430y 02y x x x 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A ．32B ．23C ．4 D8.函数5xy x xe =-在区间()3,3-上的图像大致是A B C D9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4,3，则输出v 的值为A. 20B. 61C. 183D. 54810.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ，若2CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为A. 6B. 2C. 3D.211.在正方体1111ABCD A BC D -中，F E ,分别是棱1111,A B B C 的中点，O 是的交点与BD AC ，面OEF 与面11BCC B 相交于m ，面1OD E 与面11BCC B 相交于n ，则直线n m ,的夹角为A.0 B.6π C. 3π D. 2π 12. 设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是d 个,则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为A. 7B. 11C. 14D. 28二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在()63-1x 的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）14．已知向量()()02,,3,1,2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-==→→→→→b a a k b a ，则实数k 的值为 . 15．已知函数)x (f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当2x 0<<时，x x f 4)(=，则()=+⎪⎭⎫⎝⎛-229f f . 16．已知数列{}n a 满足243n n a +=，若从{}n a 中提取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11,k =且*12...,n n k k k k N <<<∈，则满足条件的最小q 的值为 .三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在BC A ∆中，ac b a -=+222c . （1）求B ∠ 的大小；（2）求C A cos cos + 的最大值. 18．（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，C A 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆/O 的直径，FB 是圆台的一条母线.（1）已知H G ，分别为 FB E ,C 的中点，求证： ABC GH 面//； （2）已知221===AC FB EF ， BC AB =，求二面角O BC F --的余弦值.19．（本小题满分12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望． 20．（本小题满分12分）设椭圆:C 18222=+y a x （22>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足||8||1||1FA eOA OF =+，其中O 为坐标原点，e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆C 的方程；（2） 设点P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证:BM AN ⋅为定值.21．（本小题满分12分）已知()R a xx x x a x f ∈-+-=,12ln )(2. （1）讨论)(x f 的单调性； （2）当21=a 时，证明：()45)(/+>x f x f 对于任意的[]2,1∈x 成立.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . (1)证明：△ABE ∽△ADC ； (2)若ABC ∆的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρθ=.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P的坐标为(，求PA PB +. 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x a x =++-.(1)当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若()4f x x ≥-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.珠海市2016-2017学年度第一学期高三摸底考试理科数学参考答案一．选择题：1－5：ACDCC 6－10：BBBCA 11－12：AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13． 13514．16 15．－2 16．2三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解:（1）由已知得:212cos 222-=-+=ac b c a B ………….2分 π<<B 0 ………. 3分32π=∴B ………….4分 （2） 由(1)知:3π=+C A ………..5分故30-3ππ<<=C C A ， ……….6分所以C C C C C A cos 23sin 23cos 3cos cos cos +=+⎪⎭⎫⎝⎛-=+π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 3πC ………..8分13sin 2330≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∴<<ππC C ……….9分 3cos cos 23≤+<∴C A …………………..10分 考点:1.三角恒等变形 2.余弦定理 3.消元 4.三角函数范围18．（本小题满分12分） 解答:（1）证明:设FC 的中点为I ，连接HI GI ,， ……….1分在CEF ∆中，EF GI IF CI GE CG //∴==， ，又OB EF //， OB GI //∴，ABC GI ABC GI ABC OB 面面面//,,∴⊄⊂在FCB ∆中，CB IH HB FH IC FI //,∴== ，ABC IH 面//∴ ………….3分 又I IH IG =⋂，所以ABC GIH 面面//A B C GH GIH GH 平面平面//∴⊂ …………………………5分（2）解法一:连接/OO ，则ABC OO 平面⊥/，又BC AB =，且AC 是圆O 的直径，所以AC BO ⊥ …………………………6分以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -(OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，/OO 方向为z 轴，图略)由题意得:()()002-,0,2,0，，C B ,过点F 作OB FM ⊥于点M ， 故()310322，，F BM FB FM ∴=-=…………………………………8分故()()3,1,0,0,2,2-=--=→→BF BC 设()z y x n ,,=→是平面BCF 的一个法向量，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00BF n BC n ⎩⎨⎧=+-=--∴03022z y y x取1-=z ，则()1,3,3--=→n ，………………………………10分又平面ABC 的一个法向量()3,0,0/=→OO ，故77,cos ///-=⋅>=<→→→→→→OO n OOn OO n ………………………………11分 所以二面角O BC F --的余弦值为77………………………………12分 解法二: 连接/OO ，过点F 作OB FM ⊥于点M ，则有///OO FM ，………..6分又ABC OO 平面⊥/，所以ABC FM 平面⊥，故322=-=BM FB FM ，…………7分 过点M 作BC MN ⊥于点N ，连接FN ，可得BC FN ⊥， 故FNM ∠为二面角O BC F --的平面角. ……………9分 因为BC AB =，且AC 是圆O 的直径，所以AC BO ⊥，214,2245sin 0===∴FN BM MN ………..10分 故77cos ==∠NF MN FNM ， …………………11分 所以二面角O BC F --的余弦值为77………………………………12分 考点：1.空间平行判定与性质；2.二面角的计算；3.空间想象能力;4.推理论证能力 19．（本小题满分12分）解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==； 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P == ……………2分 （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），…………4分 其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==．……………6分 ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．…………… 7分1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============……………………………………………9分 因而ξ的分布列为……………………………………………10分所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………………………12分 20．（本小题满分12分） 解答:（1）解:设()0,c F ，由||8||1||1FA eOA OF =+，得:()c a a c a c -=+811,…….2分 故22228c b c a ==-，9,122==∴a c故椭圆C 的方程为:18922=+y x ………………………………4分 （2）证明:由(1)知:()()22,003B A ，，,设()00,y x P ，则72982020=+y x ……5分当00=x 时，()()24,30022-0,220==-=BM AN N M y ，，，，，故: 212=⋅BM AN …………………………..7分 当00≠x 时，直线PA 的方程为: ()3300--=x x y y ,令0=x ,得:33-00-=x y y M , 故:33222200-+=-=x y y BM M , 直线PB 的方程为:222200+-=x x y y ,令0=y ，得:2222-00-=y x x N , 故:22223300-+=-=y x x AN N . ………………………….9分所以()()()263227223648212982232632200000000202000200+--+--++=---+=⋅y x y x y x y x y x y x y x BM AN =2122632214423648x 21200000000=+--+--y x y x y x y ………………….11分综上可知: 212=⋅BM AN ，即BM AN ⋅为定值…………….12分 考点：1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线与椭圆的位置关系；3.定值问题. 21．（本小题满分12分） 解答：（1）解：)(x f 的定义域为()+∞,0，()()()3232/122211x x ax x xx a x f --=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 当0≤a ， )1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减. (2)分 当0>a时，/3(1)()(a x f x x x x -=+. ①20<<a 时12>a ，当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈∈,21,0a x x 或时，())(,0/x f x f >单调递增，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 2,0时，())(,0/x f x f <单调递减； …………………3分 ②2=a 时12=a，当()+∞∈,0x 时())(,0/x f x f ≥单调递增； ③2>a 时，120<<a ，当()())(,0,12,0/x f x f x a x >+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈时，或单调递增，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈1,2a x 时，())(,0/x f x f <单调递减. ……………….4分 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，函数)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a 时，函数)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增. ……………………………..5分 （2）由（1）知，21=a 时， ()()322/22112112ln 21)(xx x x x x x x f x f -+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=- ()[]2,1,212125ln 2132∈--++-=x xx x x x ， ……………..7分 设()()()[]2,1,212125,ln 2132∈--+=-=x xx x x h x x x g 则 …………………….8分由 可得： 当且仅当x=1时取等号 …………………9分()()()x h x g x fx f +=-/)(()021/≥-=xx x g ()()211=≥g x g又()42/21245x x x x h +--=，设()12452+--=x x x ϕ，则()x ϕ在[]2,1∈x 单调递减， ()()162,31-==ϕϕ []2,10∈∃∴x 使得()()()()0x 2,,0x ,100<∈>∈ϕϕ时时x x x x ，()()()上单调递减上单调递增，在，在2,100x x x h ∴， ()()()()时取得等号当且仅当2432432,11==≥∴==x h x h h h ，………..11分 ()()()()4521/=+>-∴h g x f x f ， 即()45)(/+>x f x f 对于任意的[]2,1∈x 成立. ………………..12分 考点：1.利用导函数判断函数的单调性；2.构造函数；3.分类讨论思想.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小.(1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . ………….1分因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角.所以∠AEB ＝∠ACD . ………….3分故△ABE ∽△ADC . ………….4分(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AE AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE ………….6分又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ， ………….8分则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角，………….9分所以∠BAC ＝90°. ………….10分考点：1.相似三角形;2.圆23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ………….2分∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. ………….3分(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程.得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. ………….6分 由于Δ＝(－32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)， ………….8分 故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.………….10分 考点：1. 直线的参数方程；2.圆的极坐标方程；3.直线与圆的位置关系.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围.解: (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.………….2分 当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；………….3分当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}. ………….5分(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a. ………….8分由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. ………….9分故满足条件的a的取值范围是[－3，0]. ………….10分考点：1.含绝对值的不等式的解法；2.集合的包含关系.。