10(1)高数参考答案

……………………………………（7 分）
注：无常数 C 扣 1 分，其他情况酌情评分。
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6、解答：相应的齐次方程为： y′′ − 5 y′ + 6 y = 0 ，其特征方程为：
r 2 − 5r + 6 = 0 ，
其根为： r1 = 2, r2 = 3 ， 齐次方程的通解为 C1e 2 x + C2 e3 x ， C1 , C2 为任意常实数。………………（4 分） 由于 λ = 2 是特征方程的单根，因此设： y * = x( µ0 x + µ1 )e 2 x ，代入方程得： （2 分）
e
e +1
e
(e + 1 − x)dx = ((e + 1) x −
e e +1
x 2 e +1 1 )e = 2 2 3 2
…………………………（6 分） ………………………………（7 分）
S = ∫ ln xdx + ∫
1
e
(e + 1 − x)dx =
四、 分）证明不等式： 2 x > x 2 ( x ≥ 5) （8 方法一：证明：设 f ( x ) = 2 x − x 2 ( x > 5) ， f '( x) = 2 x ln 2 − 2 x ( x > 5) ， f '' ( x ) = 2 x (ln 2)2 − 2 ( x > 5) ， f ''' ( x ) = 2 x (ln 2)3 > 0 ( x > 5) 从而， f '' ( x) 单调上升，即 f '' ( x) > f '' (5) = 25 (ln 2)2 − 2 > 0 ，………（5 分） 从而， f ' ( x ) 单调上升，即 f ' ( x ) > f ' (5) = 25 (ln 2) − 10 > 0 ，……（6 分）
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= Ce − ln|cos x| + e − ln|cos x| ∫ sec x ⋅ e ln|cos x| dx = C 1 + ⋅ ( ± x) | cos x | | cos x |
当 y | x = 0 = 0 时，代入上式，得 C = 0 …………………………………（6 分）
2x ，………………（1 分） 1 + x2
y '' =
………………………………（3 分）
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y '' = 0 ⇒ x = −1, x = 1 ………………………………（4 分） x f’’(x) f(x) (−∞, −1) <0 −1 拐点 (−1, ln 2) ( -1, 1 ) >0 1 拐点 (1, ln 2) (1, +∞) <0
当 y | x = 0 = 0 时， 代入上式， C = 0 C = 0 …………………………… 得 （6 分）
∴原方程的特解为：y = ± x sec x …………………………………… 分） （7
3、解： y = ln(1 + x 2 ) ， x ∈ (−∞, +∞) ， y ' =
2(1 − x)(1 + x ) (1 + x 2 )2
k →∞ k →∞
利用 | xk +1 − xk |=| ϕ ( xk ) − ϕ ( xk −1 ) |=| ϕ ' ( µk )( xk − xk −1 ) |≤ L | xk − xk −1 |≤ L ≤ Lk | x1 − x0 | 得出对任意正整数 p ，有
| x k + p − x k |≤ | x k + p − x k + p − 1 | + | x k + p − 1 − x k + p − 2 | + L + | x k + 1 − x k | = ( L k + p − 1 + L k + p − 2 + L + Lk ) | x 1 − x 0 | = ( L p − 1 + L p − 2 + L + 1) L k | x1 − x 0 | 1 − Lp k = L | x1 − x 0 | 1− L
代入原方程得： C ' ( x) | sec x | +C | sec x ⋅ tan x | − y tan x = sec x ∴ C ' ( x ) = ±1 ， C ( x) = ± x + C …………………………………………（5 分） ∴ y = C | sec x |= ± x | sec x | + c | sec x |
2
x →−8
…（3 分）
= lim = −2
( − x − 8)(4 − 2 3 x + 3 x ) (8 + x)( 1 − x + 3)
x →−8
= − lim
(4 − 2 3 x + 3 x )
2
x →−8
( 1 − x + 3)
……………… （6 分）
…………………………………………（7 分） 注：其他方法（直接用洛必达法则等）酌情评分；
注意：不列表的，根据判断情况评分。
4、 分）解答： （7Fra bibliotek∫1 −1
( x + x) e− x dx = ∫ (− x + x)e− x dx + ∫ ( x + x)e− x dx ……（3 分）
0 1 −1 0 1 1
= ∫ 2 xe− x dx = − ∫ 2 xde− x ……………………………………（4 分）
1 D 2 A 3 B 4 B 5 C
三、计算题（共 49 分） 1． 分）解： （7
lim 1− x − 3 2+ 3 x
x →−8
= lim
( 1 − x − 3)( 1 − x + 3)(4 − 2 3 x + 3 x 2 ) (2 + 3 x )(4 − 2 3 x + 3 x 2 )( 1 − x + 3)
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f ( x ) 单调上升，即 f ( x ) > f (5) = 25 − 25 > 0 ， 即 2 x > x 2 ( x > 5) ………………………………………………（8 分） 方法二：证明：要证原不等式成立，即证明 x ln 2 > 2 ln x.( x ≥ 5) 构造函数 y = x ln 2 − 2 ln x( x ≥ 5) …………………………………（3 分） y ' = ln 2 − 2 2 ； y '' = 2 > 0( x ≥ 5) 可以不算】…………………（5 分） 【 x x
曲线 y = ln x 和直线： y = e + 1 − x 的交点为 （e,1）. ……（2 分） 所求面积为 S = ∫ ln xdx + ∫
1 e e +1 e
(e + 1 − x )dx
……………………（4 分） ……………………（5 分）
∫ ∫
e
1
e ln xdx = ( x ln x )1 − ∫ xd ln x = e − (e − 1) = 1 1
∴原方程的特解为：y = ± x sec x ……………………………………（7 分） 方法二： （常数变易法）
先求齐次线性方程的通解，
dy − y tan x = 0 dx
dy = tan xdx y ∴ ln | y |= − ln | cos x | +C ∴ y = C | sec x | ………………………………（3 分） 令 y = C ( x ) | sec x | ， dy = C ' ( x ) | sec x | +C | sec x ⋅ tan x | dx
2、 分） （7
解：方法一： （公式法）由
dy − y tan x = sec x 得： dx
P( x) = − tan x ， Q( x) = sec x
− − tan xdx − − tan xdx ∫ − tan xdx dx …………………………（4 分） y = Ce ∫ +e ∫ ∫ sec x ⋅ e
令 p → ∞ ，两边取极限，得出
Lk | x − xk |≤ | x1 − x0 | . 1− L
*
…………（8
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分）
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广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A
课程名称:
)
高等数学 A(1)
(第 20 周 星期 一 )
考试时间: 2010 年 1 月 11 日
一、填空题： （每小题 4 分）
(1) (3) 1 2 1 +c x (2) − 6 sin 3t cos t (5) −e y 1 + xe y
(4) 3
二、选择题： （每小题 3 分）
∴ y ' 随 x 的增大而增大， y ' > y ' (5) ≈ 0.29 > 0 …………………（7 分） ∴ y = x ln 2 − 2 ln x单调上升 ， y > y (4) = 0 即 x ln 2 > 2 ln x.( x ≥ 5) 成立，所以原不等式成立。……………（8 分） 五、解： 存在性： 考虑函数：f ( x ) = x − ϕ ( x ) ， 由于 f (a) = a − ϕ (a ) < 0, f (b) = b − ϕ (b) > 0, 由于 f ( x ) 的连续性， ∃x* ∈ (a, b), f ( x* ) = 0 。 唯一性：设有另一解： ∃y * ∈ (a, b), y * = ϕ ( y* ) ，则 | x* − y * |=| ϕ ( x* ) − ϕ ( y* ) |=| ϕ ' (η )( x* − y * ) |≤ L | x* − y* |<| x* − y * | 因此 x* = y * 。………………………………………………………………4 分 收敛性：设数列{xk } 由迭代过程 xk +1 = ϕ ( xk ) 产生，利用 | xk +1 − x* |=| ϕ ( xk ) − ϕ ( x* ) |=| ϕ ' ( µk )( xk − x* ) |≤ L | xk − x* |≤ L ≤ Lk | x0 − x* | 由于 lim Lk = 0 ，得出 lim xk = x* 。