相似图形

2009---2010八年级下第四单元相似图形整章测试题一、 填空题（每小题3分，共30分）1、（2006年宁波市）如图1，在△ABC 中，AB ：DB=1：2，DE ∥BC ，若△ABC 的 面积为9，则四边形DBCE 的面积为． 2、由三角形三边中位线所围成的三角形的面积是原三角 形面积的 ． 3、图2中，2224、在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，D 是AC 的中点，过D 作直线l ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l 有 条．5、已知M 是线段AB 延长线上的一点，且AM ：BM=7：3，那么AM ：AB= ．6、雨后天晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远处的一块小积水里，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该学生的眼部高度为1.5m ，那么旗杆的高为 ．7、已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 和 ．8、如图3，已知在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，四边形EFDH 为内接正方形，则AE ：AB= ．9、如果点C 是线段AB 靠近B 的黄金分割点，且AC=2，那么AB= ．10、如图4，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ， AB=8cm ，则图中阴影部分面积为 cm 2． 二、 选择题(每小题4分，共40分)11、（2006年，大连市）如图5，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸上的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ） A 、F B 、G C 、H D 、K12、已知△ABC ∽△DEF ，AB ：DE=1：2，则△ABC 与△DEF 的周长比等于（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、2：1 D 、4：113、（2006年天津）如图6，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形ABCDE 图x30°） （105图2AB CDFEH图3A BCFED 图4DEA BCDEGHF 图6（ ）A 、4对 B 、5对 C 、6对 D 、7对14、已知4a =5b =6c ，且a-b+c=10，则a+b-c 的值为（ ）A 、6 B 、5 C 、4 D 、315、两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积之和是78cm 2，则较大的五边形面积是（ ）cm 2．A 、44.8 B 、52 C 、54 D 、4216、如图7所示，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(AB ∥CD)，如果已知物体AB=30，则CD 的长应是（ ）A 、15 B 、30 C 、20 D 、1017、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一地块的三角形的面积之比是（ ）A 、25：1 B 、5：1 C 、1：25 D 、1：518、如图8，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=32，则△ABC 的边长是（ ）A 、3 B 、4 C 、5 D 、619、一个钢筋三角架三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）种A 、一 B 、二 C 、三 D 、四20、如图9，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD 的面积等于（ ） A 、16225 B 、15256 C 、17256 D 、16289三、 解答题（每小题7分，共35分） 21、（1）若b a =dc ，判断代数式cd ab c a ++22-22d b cd ab +++1值的符号（2）若c b a +=a c b +=b a c +，求abc a c c b b a ))()((+++的值．22、已知四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，且AB ：BC ：CD ：DA=20：15：9：8，四边形A ′B ′C ′D ′的周长为26，求四边形A ′B ′C ′D ′各边的长．ABCDO图7ABCD P） 60° 图8ECF D图123623、如图10，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD等于2m的标杆，现测量者从E处可以看到标杆顶点C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD=20m，FD=4m，EF=1.8m，求树高．24、如11图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C（1）求证：△ABF∽△EAD （2）若AB=4，ABCD=3316，求AE的长（3）在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）25、如图12，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC 上取E点，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE（2）设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式四、拓广探索题（共15分）26、（7分）已知，如图13，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明AB1+CD1=EF1成立，若将图13中的垂直改为斜交，如图14，AB∥CD，AB与BC交ABCDEF图△△CE图AB CDE图于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BD 于F ，则（1）AB 1+CD 1=EF1还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由． （2） 请找出S △ABC ，S △BED 和S △BDC 间的关系，并给出证明．27、（8分）若矩形的一个短边与长边的比值为215-，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形（1） 操作：请你在如图15所示的黄金矩形ABCD （AB ＞AD ）中，以短边AD 为一边作正方形AEFD ． （2） 探究：在（1）中的四边形EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由． （3） 归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）28、如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．ABCDEF图13ABC DE F图14ABC图15（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值．29、如图Ⅰ，△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 在BC 上，沿直线AD 将△ABC 剪开，将△ABD 的边AB 与AC 重合，拼在△ACE 位置得四边形ADCE （如图Ⅱ），连结DE 交AC 于F ．⑴你还能拼出哪些与图Ⅱ所示的不一样的四边形？试画出示意图进行说明．⑵在图Ⅱ中，当BD 长为1时，求AD 的长． ⑶在图Ⅱ中，设BD=x ，CF=y ，求y 与x 的关系．图Ⅰ 图Ⅱ相似图形整章测试题参考答案一、填空题 1～10 841 2 4 7：4 30 5，20 311+5 30 提示：4、如图1，过D 分别作BC 、AB 的平分线有两条，另外，作∠ADE=∠ABC 又一条，作∠CDF=∠ABC 又一条，共4条8、AB AE =BC EH =DC FD BF EH ++=EH EH 3=319、∵AB AC =AC BC =2BC ，又∵AB AC =215- ∴2BC =215- ∴BC=5-1 ∴AB=2+5-1=1+5 10、如题图：EF=DE=8-3=5 ∵EC=3，∴FC=4，易证△ABF ∽△EFC ∴BF ：3=8：4 BF=6 ∴S 阴影=21·6·8+21·4·3=30 二、选择题11～20 CACAC DAABC提示：18、∵△ABC 为等边三角形 ∴∠B=∠C=60°，又∠APD=60°∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠DPC ，∴△APB ∽△PCD ∴32：1=（AB-1）：AB ∴AB=3 20、∵AE 2+EF 2=42+32=52=AF 2∴∠AEF=90°，∴易证△ABE ∽△EFC ∴AB ：EC=4：3 设AB=x x ：（=4：3 ∴x 2=17256三、解答题 21、解：（1）设b a =dc =k ，则a=bk ，c=dk ，代入，得，求值式=kd k b k d k b 222222++-2222d b kd k b +++1=k-k+1=1＞0，故所求式的符号为正 A B C DE F 图1（2）当a+b+c ≠0时，因为abc ≠0，所以由等比性质得：c b a c b a ++++)(2=c b a +=ac b +=b ac +所以a+b=2c ，b+c=2a ，c+a=2b ，代入得，求式=abcba c 222⨯⨯=8当a+b+c=0，a+b=--c ，b+c=-a ，c+a=-b ，代入所求式=abcb ac ))((---=-122、解：∵四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，且AB ：BC ：CD ：DA=20：15：9：8，∴A ′B ′：B ′C ′：C ′D ′：D ′A ′=20：15：9：8设A ′B ′=20x ，B ′C ′=15x ，C ′D ′=9x ，D ′A ′=8x ，由四边形A ′B ′C ′D ′的周长为26，得20x+15x+9x+8x=26，解得x=21 ∴A ′B ′=10，B ′C ′=7.5，C ′D ′=4.5，D ′A ′=423、解：如图2，过E 作EN ⊥AB ，交AB 于N 点交CD 于M 点，由题意知，MN=BD=20，EM=FD=4，MB=MD=EF=1.8，则CM=0.2 由CM ∥AN ，得△ECM ∽△EAN ∴CM ：AN=EM ：EN∴AN=CM EN EM ⨯=1.2∴AB=AN+NB=1.2+1.8=3 所以树高为3m 24、证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠BAF=∠AED∠C+∠D=180°，∴∠C=∠BFE ，∠BFE+∠BFA=180°，∴∠D=∠BFA ∴△ABF ∽△EAD （2）解：∵=3316，∴AB ·BE=3316，∵AB=4 ∴BE=334 ∴AE 2=AB 2+BE 2=42+（334）2 AE=338 （3）解：由（1）有EA AB =AD BF ，又AD=3，∴BF=EA AD AB ⨯=4×3×383=233 25、（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠B=∠C=45°∴∠ADB+∠DAB=135°，∵∠ADE=45°，∴∠ADB+∠EDC=135° ∴∠DAB=∠EDC ，∴△ABD ∽△DCE (2)解：∵△ABD ∽△DCE ，∴CD AB =CEBD∴AB=AC=1，∠BAC=90°， ∴BC=2，CD=2-x ， ∴x -21=CEx∴CE=2x-x 2ABCD E F 图2△ △MN∴AE=AC-CE=1-（2x-x 2）=x 2-2x+1 即y=x 2-2x+1（0＜x ＜2） 四、拓广探索题 26、（1）解：成立，证明如下由AB ∥EF ∥CD 得，AB EF =DB DF ，CD EF =DBBF两式相加，得AB EF +CD EF =DB DF +DB BF =DB BF DF +=DBDB=1∴EF ·CD+EF ·AB=AB ·CD ，两边同除以AB ·CD ·EF 得AB 1+CD 1=EF1（2）解：BDAS ∆1+BDCS ∆1=BDES ∆1证明如下：作AG ⊥BD 于G ，EH ⊥BD 于H ，CK ⊥BD 交BD 延长线于k ，由平行线性质得：AG EH =DA DE =DB DF ，CK EH =BC BE =BDBF所以AG EH +CKEH =1，∴AG BD ⨯211+CK BD ⨯211=EH BD ⨯211∴ABDS ∆1+BDCS ∆1=BDES ∆127、解（1）以AD 为边可作出两个正方形AEFD 与AE ′F ′D ′（AB ＞AD ），如图4所示（2）矩形EBCF 不是黄金矩形，理由如下：设AB=a ，AD=b （a ＞b ），则BE=BA+AE=a+b ，BE ′=BA-E ′A=a-b ， 由ABCD 为黄金矩形，得a b =215- ∴BE BC =b a b +=a b ÷（1+a b ）=215-÷（1+215-）=253-≠215- ∴矩形EBCF 不是黄金矩形 矩形E ′BCF ′是黄金矩形ABGEF H DCK图3A B CD E E ’ 图4证明：如图4，∵BC B E '=b b a -=（1-a b ）÷a b =（1-215-）÷215-=215- ∴E ′BCF ′是黄金矩形（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形．。