2011届高考数学第一轮考点复习测试题14
宁南中学2011届高考数学复习—大题训练1 三角(含答案)
π
12
时取
2 π 12 α + )= ,求 sinα． 3 12 5
2、 （2010 浙江理数）在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知 cos 2C = − (1 ) 求 sinC 的值； (2) 当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长．
1 4
1
宁南中学 2011 届高考数学复习—大题训练
2
1 ，及 0＜C＜π 4
所以 sinC=
10 . 4 a c = ，得 sin A sin C
（Ⅱ）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos C-1= −
2
1 ，J 及 0＜C＜π得 4
cosC=±
6 4
2 2 2
由余弦定理 c =a +b -2abcosC，得 b ± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 3、 或 b= 6 c=4
刘福பைடு நூலகம் 整理
3、 （2010 重庆理数）设函数 f ( x ) = cos x + (1 ) 求 f ( x ) 的值域；
2 x π + 2 cos 2 , x ∈ R 。 3 2
(2) 记 ∆ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a，b，c，若 f ( B ) =1，b=1,c= 3 ，求 a 的值。
2
宁南中学 2011 届高考数学复习—大题训练 训练 1 答案 1、
刘福鑫 整理
π 3 3 3 1 5 sin(2α + ) = ， cos 2α = ， 1 − 2sin 2 α = ， sin 2 α = ， sin α = ± 2 5 5 5 5 5
宁南中学2011届高考数学复习—小题训练1 极限
训练1 极限一、选择题（方法：直接选择法、特殊化法、估算选择法、特征选择法、数形结合法、结论选择法） 1、（2009宣威六中第一次月考）下列命题不正确．．．的是（ ） A ．如果 f (x ) =1x，则 lim x →+ ∞f (x ) = 0B ．如果 f (x ) = 2 x－1，则 lim x →0f (x ) = 0C ．如果 f (n ) = n 2－2nn + 2，则 lim n →∞ f (n ) 不存在D ．如果 f (x ) = ⎩⎨⎧ x ， x ≥0 x + 1，x < 0，则 lim x →0f (x ) = 02、(2009年3月襄樊市高中调研统一测试理)222lim68x x x x →--+的值为 ( )A ．0B ．1C ．12-D ．133.（2010重庆理）（3）2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭= ( ) A. —1 B. —14C.14D. 14、（2005年全国Ⅱ理5）22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭( ) A 12-B12C 16-D165、（09重庆理8）已知22lim ()21x xax b x →∞--=+，其中,a b R ∈，则a b -的值为（ ）A.-6B.2-C.2D.66、（2007年湖北）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q --7、（2009衡阳四校联考）若P x ax x x =--+→42lim222（P ∈R ，P 为常数），则a 和P 的值分别为（ ）A ． 0，21 B ． 1，43 C ．21,21 D ． 43,1- 8、（2009宣威六中第一次月考）lim[(21)]2n n n a →∞-=，则lim n n na →∞=（ ）A ．1B ．12C ．13D ．09、（2009牟定一中期中）若2223416511111lim ,lim ()1nx n x x a x aaaaa→→∞-+=++++- 则的值为（ ）A. －2B. 31-C. 21- D. 712-10、（09湖北理6）设22221201212)...2nn nn n x a a x a x a xa x--+=+++++（，则22024213521lim[(...)(...)]n n n a a a a a a a a -→∞++++-++++= （ ）A.-1B.0C.1D.2211、（2006湖南）数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim ()n n a a a →∞+++= ( )A.12B.23C.32D.212、(湖北省八市2009年高三年级三月调考理)若(1+5x )n 的展开式中各项系数之和为a n ，(7x 2＋1)n的展开式中各项的二项式系数之和为b n ，则∞→n lim nn nn b a b a 432+-的值是（ ）A ．31B ．41C ．1D ．－21二、填空题（策略：快--运算要快；稳--变形要稳；全--答案要全；细--审题要细。
2011届高考数学一轮复习百大经典例题之空间直线(新课标)
例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（ ）． A ．异面直线 B ．相交直线C ．平行直线D ．相交直线或异面直线 分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //． 若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面．故选D ．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置关系是相交、平行或异面．类似地；a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．典型例题二例2 已知直线a 和点A ，α∉A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．因此，这是否定性．．．命题，常用反证法． 证明：（1）存在性．∵ a A ∉，∴ a 和A 可确定一个平面α，由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线． （2）惟一性假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与A c b = 矛盾，∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．例3 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且λ==ADAH ABAE ，μ==CDCG CBCF ，求证： （1）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形． 分析：只需利用空间等角定理证明FG EH //即可．证明：连结BD ， 在ABD ∆中，λ==AD AH AB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=．在CBD ∆中，μ==CDCG CBCF ，∴ BD FG //，且BD FG μ=．∴ FG EH //，∴ 顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当μλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当μλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形． 说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况． 特别地，当21==μλ时，E ，F ，G ，H 是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．如果再加上条件BD AC =，这时，平行四边形EFGH 是菱形．典型例题四例4 已知b a 、是两条异面直线，直线a 上的两点B A 、的距离为6，直线b 上的两点D C 、的距离为8，BD AC 、的中点分别为N M 、且5=MN ，求异面直线b a 、所成的角．分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线b a 、平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．解：如图，连结BC ，并取BC 的中点O ，连结ON OM 、，∵ON OM 、分别是ABC ∆和BCD ∆的中位线， ∴AB OM //，CD ON //，即a OM //，b ON //．∴ON OM 、所成的锐角或直角是异面直线b a 、所成的角． 又∵ 6=AB ，8=CD ，∴3=OM ，4=ON ． 在OMN ∆中，又∵5=MN ， ∴222MNONM =+，∴ 90=∠MON ．故异面直线b a 、所成的角是 90．说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线．但是，异面直线所成角的定义中的点O 一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的．典型例题五例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求：（1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线AB SC 、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解． 解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连结CF SF 、．由已知，得SAB ∆≌CAB ∆． ∴CF SF =，E 是SC 的中点，∴SC EF ⊥．同理可证AB EF ⊥∴EF 是AB SC 、的公垂线段． 在SEF Rt ∆中，a SF 23=，a SE 21=．∴22SE SFEF -=a aa 22414322=-．（2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．∴EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角． 连结FG ，在EFG ∆中，a EG 21=，a GF 21=，a EF 22=．由余弦定理，得22222124142412cos 222222=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠aa aa a EFEG GFEFEG GEF ．∴ 45=∠GEF ．故异面直线EF 和SA 所成的角为 45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 如图所示，两个三角形ABC ∆和'''C B A ∆的对应顶点的连线'AA 、'BB 、'CC 交于同一点O ，且32'''===OC CO OB BO OA AO ．(1)证明：''//B A AB ，''//C A AC ，''//C B BC ； (2)求'''C B A ABC S S ∆∆的值．分析：证两线平等当然可用平面几何的方法．而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明．证明：(1)当ABC ∆和'''C B A ∆在O 点两侧时，如图甲 ∵'AA 与'BB 相交于O 点，且OB BO OA AO ''=，∴''//B A AB （因为'AA 、'BB 共面）． 同理''//C A AC ，''//C B BC ．(2)∵''//B A AB ，且''//C A AC ，AB 和''B A ，AC 和''C A 的方向相反，∴'''C A B BAC ∠=∠，同理'''C B A ABC ∠=∠．因此，ABC ∆∽'''C B A ∆． 又32'''==OA AO BA AB ，∴94322'''=⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆C B A ABC S S ．当ABC ∆和'''C B A ∆在O 点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2)．说明：此题ABC ∆与'''C B A ∆是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作说明．典型例题七例7 S 是矩形ABCD 所在平面外一点，BC SA ⊥，CD SB ⊥，SA 与CD 成︒60角，SD 与BC 成︒30角，a SA =，求：(1)直线SA 与CD 的距离； (2)求直线SB 与AD 的距离．分析：要求出SA 与CD 、SB 与AD 的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离．解：如图所示，在矩形ABCD 中，AD BC //．∵BC SA ⊥，∴AD SA ⊥．又AD CD ⊥，∴AD 是异面直线SA 、CD 的公垂线段， 其长度为异面直线SA 、CD 的距离．在SAD Rt ∆中，∵SDA ∠是SD 与BC 所成的角， ∴︒=∠30SDA ．又a SA =，∴a AD 3=．(2)在矩形ABCD 中，CD AB //，AD SB ⊥，∴AB SB ⊥，又AD AB ⊥，∴AB 是直线SB 、AD 的公垂线段，其长度为异面直线SB 、AD 的距离． 在SAB Rt ∆中，SAB ∠是异面直线SA 与CD 所成的角，∴︒=∠60SAB ． 又a SA =，∴260cos a a AB =︒=，∴直线SB 与AD 的距离为2a ．说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：①找（作）线段；②证线段是公垂线段；③求公垂线段的长度．(2)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段．典型例题八例8 a 、b 、c 是三条直线，若a 与b 异面，b 与c 异面，判断a 与c 的位置关系，并画图说明．分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的问题，同时也考查了图形语言的表达能力．解：直线a 与c 的位置关系有以下三种情形如图：∴直线a 与c 的位置关系可能平行（图中的(1)）；可能相交（如图中的(2)）； 可能异面（图中的(3)）．说明：本题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力．典型例题九例9 如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线（ ）．A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对分析：一般地，立体几何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定一规律，然后按此规律进行计数．正方体的各棱具有相同的位置关系．所以以一条棱为基量，考察与其异面的几对，问题可解．解：如图，正方体中与AB 异面有C C 1，D D 1，11C B ，11D A ，∵各棱具有相同的位置关系，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算成本， ∴异面直线共有242412=⨯对．说明：分析清楚几何体特点是避免重复计数的关键．计数问题必须避免盲目乱数，做到“不重不漏”．典型例题十例10 如图，已知不共面的直线a ，b ，c 相交于O 点，M 、P 是直线a 上两点，N 、Q 分别是b ，c 上一点．求证：MN 和PQ 是异面直线．证法1：假设MN 和PQ 不是异面直线， 则MN 与PQ 在同一平面内，设为α ∵a P M ∈、，α∈P M 、 ∴α⊂a ．又a O ∈，∴α∈O ．∵α∈N 且b O ∈，b N ∈， ∴α⊂b ． 同理：α⊂C∴a ，b ，c 共面于α，与已知a ，b ，c 不共面相矛盾， ∴MN 、PQ 是异面直线．证法2：∵O c a = ，∴直线a ，c 确定一平面设为β． ∵a P ∈，c Q ∈，∴β∈P ，β∈Q ， ∴β⊂PQ 且β∈M ，PQ M ∉． 又a ，b ，c 不共面，b N ∈，∴β∉N ， ∴MN 与PQ 为异面直线．说明：证明两条直线异面的方法有两种． (1)用定义证明（即定义法）：此时需借反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可．(2)用定理证明（即定理法）：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件：α⊂a ，α∉A ，a B ∉，然后可以推导出直线a 与AB 是异面直线．典型例题十一例11 已知平面α与平面β相交于直线l ，A ，B 为直线l 上的两点．在α内作直线AC，在β内作直线BD．求证AC和BD是异面直线．已知：平面α 平面β=l，lAC，β⊂A∈，lB∈，αBD，如图．⊂求证：AC、BD是异面直线．证明：假设AC，BD不是异面直线，则它们必共面．∴A、B、C、D在同一平面内．即A、B、C所确定的平面α与A、B、D确定的平面β重合这与平面α 平面β=l矛盾∴AC、BD是异面直线．说明：证明两条直线为异面直线，用反证法往往比较简单．典型例题十二例12已知空间四边形ABCD，求证它的对角线AC和BD是异面直线．证法一：（反证法）如图假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内．∴A、B、C、D在同一平面内，即四边形ABCD是平面四边形，这与已知条件矛盾，所以假设不成立．因此AC和BD是异面直线．证法二：（定理法）过BC和CD作一平面α，则对角线BD在平面α内．对角线AC与平面α交于BD外的一点C，即点C不在直线BD上，且A点在平面α外．∴根据异面直线判定定理知：AC和BD是异面直线．说明：判定两条直线是异面直线的证明问题常用这两种方法，即(1)反证法，(2)用判定定理．典型例题十三例13 已知空间四边形ABCD ，AC AB ≠，AE 是ABC ∆的BC 边上的高，DF 是BCD ∆的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E 、F 不重合，设BCD ∆所在平面α． ∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉∈∉⊂DF E E A DF αααAE 和DF 是异面直线．证法二：（反证法）若AE 和DF 不是异面直线，则AE 和DF 共面，设过AE 、DF 的平面为β． (1)若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AC AB ≠相矛盾． (2)若E 、F 不重合，∵EF B ∈，EF C ∈，β⊂EF ，∴β⊂BC ． ∵β∈A ，β∈D ，∴A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾． 综上，假设不成立．故AE 和DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用． 首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做． 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．典型例题十四例14 已知E 、1E 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱AD 、11D A 的中点． 求证：111C E B BEC ∠=∠．分析：欲证两个角相等，可通过等角定理或其推论来实现． 证明：如图，连结1EE∵1E ，E 分别为11D A ，AD 中点，∴11E A AE ，∴EA E A 11为平行四边形．∴A A 1E E 1．又∵AA 1B B 1，∴EE 1B B 1，∴四边形11EBB E 是平行四边形．∴EB B E //11．同理EC C E //11．又111B E C ∠与CEB ∠方向相同． ∴CEB B E C ∠=∠111．说明：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：(1)利用等角定理及其推论；(2)利用证三角形相似；(3)利用证三角形全等．本例是通过第一种途径来实现．请同学们再利用第三种途径给予证明．典型例题十五例15 由四个全等的等边三角形的封面几何体称为正四面体，如图，正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，CF 与DE 是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF 、DE 的平行线，找出异面直线CF 与DE 成的角．分析1：选取平面ACD ，该平面有以下两个特点，(1)该平面包含直线CF ，(2)该平面与DE 相交于点D ，伸展平面ACD ，在该平面中，过点D 作CF DM //交AC 的延长线于M ，连结EM ．可以看出：DE 与DM 所成的角，即为异面直线DE 与CF 所成的角．如图．分析2：选取平面BCF ，该平面有以下两个特点：(1)该平面包含直线CF ，(2)该平面与DE 相交于点E ．在平面BCF 中，过点E 作CF 的平行线交BF 于点N ，连结ND ，可以看出：EN 与ED 所成的角，即为异面直线FC 与ED 所成的角．如图．分析3：选取平面ADE ，该平面有如下两个特点：(1)该平面包含直线DE ，(2)该平面与CF 相交于点F ．在平面ADE 中，过点F 作DE FG //，与AE 相交于点G ，连结CG ，可以看出：FG 与FC 所成的角，即为异面直线CF 与DE 所成的角．分析4：选取平面BCD ，该平面有如下特点：(1)该平面包含直线DE ，(2)该平面与CF 相交于点C ，伸展平面BCD ，在该平面内过点C 作DE CK //与BD 的延长线交于点K ，且BD DK =，连结FK ，则CF 与CK 所成的角，即为异面直线CF 与DE 所成的角．如图．说明：(1)两条异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求牢固掌握两条异面直线所成的角的定义和两条异面直线互相垂直的概念，两条异面直线所成的角是刻划两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线成角来解决的，这里我们要注意：两条异面直线所成的角θ的范围是︒≤<︒900θ，当︒=90θ时，这两条异面直线互相垂直．求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置．一般提倡像思考2，那样作角，因为此角在几何体内部，易求．(2)本例题多方位、多角度思考问题，思路开阔、运用知识灵活，对我们解决异面直线所成角问题大有裨益，要认真理解．典型例题十六例16 如图，等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90A ，2=BC ，AC DA ⊥，AB DA ⊥，若1=DA ，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．分析：根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE 与DC 的平行线，换句话说，平移BE （或CD ）．设想平移CD ，沿着DA 的方向，使D 移向E ，则C 移向AC 的中点F ，这样BE 与CD 所成的角即为BEF ∠或其补角，解EFB ∆即可获解．解：取AC 的中点F ，连结EF ，在ACD ∆中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴CD EF //，∴BEF ∠即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角或其补角． 在EAB Rt ∆中，1=AB ，2121==AD AE ，∴25=BE ．在AEF Rt ∆中，1=AC ，21=AE ，∴22=EF ．在ABF Rt ∆中，1=AB ，21=AE ，∴25=BF ．在等腰三角形EBF 中，1010254221cos ===∠BEEFFEB ，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010．说明：求角或求角的三角函数值的一般步骤是：①找（或作出）角，适合题意，②求角或求角的三角函数值，往往是化归成一个三角形的内角，通过解三角形求得．典型例题十七例17 在正四面体ABCD 中，已知E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 和BD 所成角的余弦值．分析：可在平面BCD 内过E 作BD 平行线，可在AEF ∆中求得所成角的余弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连结EF ，AF ， ∵E 为BC 的中点，∴EF 为CBD ∆的中位线，∴BD EF //，∴AE 与EF 所成的锐角或直角就是异面直线AE 和BD 所成的角． 设正四面体的棱长为a ，由正三角形的性质知，a AF AE 23==，a EF 21=．在AEF ∆中，6321cos ==∠AEEFAEF ，即异面直线AE 和BD 所成角的余弦值为63．说明：本题是利用三角形中位线达到平移的目的．这种作异面直线所成角的方法称为中位线平移法．典型例题十八例18 在正方体1111D C B A ABCD -中，求正方体对角线1BD 和面对角线AC 所成角的大小．解：如图．取D D 1上中点N ，则有：DN N D =1， 连结BD ．令O AC BD = ，则DO BO =， 连结NO ，NA ，NC∵N ，O 分别为D D 1，BD 的中点，∴NO121BD ，∴NOA ∠(或NOC ∠)是异面直线1BD 和AC 所成的角． 在NAD Rt ∆及NCD Rt ∆中， ∵CD AD =，ND ND =， ∴NAD Rt ∆≌NCD Rt ∆， ∴NC NA =，∴ANC ∆为等腰三角形． 又O 为AC 中点， ∴AC NO ⊥，∴异面直线1BD 和AC 所成角为︒90．说明：(1)由于异面直线所成角最大为直角，所以，在把异面直线平移得到的两个夹角中，必须选取其中较小的角为异面直线的所成角．(2)实际上，正方体的体对角线与任意一条面对角线所成角均为直角．典型例题十九例19 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值．分析1：可平移BF 至1EC ，可得到角1AEC ，再解三角形即可．但要注意到1AEC ∠为钝角．解法1：如图，连结1EC ，则BF EC //1，由AE 与1EC 所成的锐角或直角，就是AE 与BF 所成的角， 连1AC ，令正方体的棱长为a ，有a EC AE 251==，a AC 31=在1AEC ∆中，515612122cos 22122121-=-=-=-=∠AEAC AEAC AEAEC ，∴1AEC ∠的补角为异面直线AE 与BF 所成角． ∴AE 、BF 所成角的余弦值是51．分析2：连结DB 、FD ，可得DFB ∠即为异面直线AE 和BF 所成的角．进而求其余弦值．解法2：连结DB 、FD ，可证得AE FD //．(∵EF AD ) DFB ∠(或其补角)即为异面直线AE 、BF 所成的角．a BF DF 25==，a BD 2=．由余弦定理，有()5125245452525222525cos 222=-+=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠aa aa a DFB ，∴AE 、BF 所成角的余弦值是51．说明：异面直线所成角的范围是]90,0(︒︒，当求得某角的余弦值为负值时，则此角的补角是异面直线所成角．典型例题二十例20 在空间四边形ABCD 中：CD AB =，BD AC =，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：线段EF 是异面直线AD ，BC 的公垂线．证明：如图．连结AF 、DF 、BE 、CE ． 在ABD ∆和ACD ∆中，CD AB =，BD AC =，AD 公用∴ABD ∆≌ACD ∆． 又E 是AD 中点， ∴CE BE =．在BEC ∆中，F 是BC 的中点， ∴BC EF ⊥． 同理AD EF ⊥，∴EF 是异面直线AD 、BC 的公垂线．说明：证明某一条直线是两条异面直线的公垂线，须证明以下两点：(1)与两条异面直线都垂直；(2)与两条异面直线都相交．典型例题二十一例21 如图，空间四边形ABCD 中，四边AB 、BC 、CD 、DA 和对角线AC 、BD 都等于a ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．(1)求证：EF 是异面直线AB 、CD 的公垂线．(2)求异面直线AB 和CD 的距离．分析：要证明EF 是异面直线AB 与CD 的公垂线，必须说明两个方面的问题，一个方面EF 与AB 、CD 都相交，另一个方面AB 、CD 与EF 都垂直．(1)证明：连结AF 、BF ，由已知BCD ∆和ACD ∆均为正三角形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴BF AF =，AB EF ⊥．同理CD EF ⊥，又EF 与AB 、CD 都相交， ∴EF 为异面直线AB 、CD 的公垂线．(2)解：∵空间四边形各边及对角线AC 、BD 的长均为a ， ∴a BF AF 23==，而a AE 21=，∴在AEF Rt ∆中，a AEAFEF 2222=-=．∴异面直线AB 和CD 之间的距离为a 22．说明：(1)求线段的长度一般地要把该线段放到一个三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等．(2)满足条件的该空间四边形其实质是空间正四面体，该问题实质上是求正四面体对棱之间的距离．典型例题二十二例22 已知a 、b 是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b （ ）． A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解：由已知a 、b 是异面直线，直线c //直线a ，所以直线c 直线b ，否则若b c //，则有b a //与已知矛盾．所以c b ． ∴应选C ．说明：本题考察两直线位置关系和公理4的应用及异面直线定义．典型例题二十三例23 两条异面直线指的是（ ）． A ．在空间内不相交的两条直线 B ．分别位于两个不同平面内的两条直线C ．某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D ．不在同一平面内的两条直线解：对于A,在空间内不相交的两条直线也可能是平行，应排除A ． 对于B ，分别位于两个不同平面内的两条直线可能是异面直线，也可能是相交直线或平行直线，应排除B ．对于C ，某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能是异面直线， 也可能是平行直线，应排除C ．∴应选D ．说明：本题主要考查对异面直线定义的掌握，特别是对“不同在任何一个平面内的两条直线”含义的理解．典型例题二十四例24 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是（ ）．A ．23 B ．1010 C ．53 D ．52解：在平面11A ABB 中，过N 点作AM NP //，交AB 于P ，连结PC ，如图，PNC ∠(或其补角)就是AM 与CN 所成的角．设AB 的中点为Q ，则P 是BQ 中点．可求得45=NP ，417=CP ，25=NC ．在PNC ∆中，由余弦定理得 522cos 222=⋅-+=∠PNNC PCPNNCPNC ．∴应选D ．说明：作出平行线PN ，进而在PNC ∆中利用余弦定理求出直线AM 与CN 所成角的余弦值．典型例题二十五例25 如图，1111D C B A ABCD -是正方体，4111111B A F D E B ==，则1BE 与1DF 所成的角的余弦值是（ ）．A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23解：过A 点在平面11A ABB 内作1//DF AF ，再过1E 在平面11A ABB 内作FA E E //1， 则E BE 1∠(或其补角)即是1BE 与1DF 所成的角． 由已知4111111B A F D E B ==，1111D C B A ABCD -是正方体，所以可求得a BE 4171=(a 为正方体的棱长)，又E E AF DF 11==，而11BE DF =，∴a E E 4171=，显然a EB 21=．在E BE 1∆中，由余弦定理，得171541722141722cos 2211221211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠a a a EE BE EBE E BE E BE ． ∴应选A ．说明：(1)解答本题的关键是作平行线AF 、E E 1．进而在E BE 1∆中解出E BE 1∠的余弦值；(2)考查历届高考试题，求异面直线所成角的题常以正方体和正四面体为载体，在正方体和正四面体中命题．典型例题二十六例26 在棱长都相等的四面体BCD A -中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，连结AF 、CE ，如图所示，求异面直线AF 、CE 所成角的余弦值．解：连结DF ，取DF 的中点G ，连结EG ，CG ，又E 是AD 的中点，故AF EG //，所以GEC ∠是异面直线AF 、CE 所成角． ∵AF 是正三角形ABC 的高， ∴AB AF 23=，∴AB EG 43=．在FCG Rt ∆中，AB AB FD FG 43232121=⋅==，AB CF 21=，则AB AB AB FCFGCG 4721432222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=． 在EGC ∆中，AB CE 23=，AB EG 43=，AB CG 47=，用余弦定理可得32cos =∠GEC ．∴异面直线AF 、CE 所成角的余弦值是32．说明：求两条异面直线所成角或求所成角的函数值，关键是作出异面直线所成的角．作两条异面直线所成角的方法一般是：将其中一条平移到某个位置使其也另一条相交也或者将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，使得这个角在某一个平面的三角形内，进而求出．但要注意：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时应选择恰当的位置．。
2011年黄冈中学高考数学一轮复习(内部)系列
2011年黄冈中学高考一轮复习(内部)系列:高考数学一轮复习单元测试卷（13）—数形结合思想一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知集合P={ 0, m},Q={x │Z x x x ∈<-,0522},若P∩Q≠Φ,则m 等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或25D ．1或22．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点)sin ,(cos ααB 的距离为1的α的一个值是 （ ）A ．12π B ．6π C ．3π-D ．4π-3．将函数x x f 2sin :→的图象向右平移B=[－1，1]个单位长度，再作关于x 轴的对称变换，得到y x x R =∈c o s 2，的图象，则f x ()可以是 （ ）A ．s in xB ．c o s xC ．2s i n xD ．2c o s x4．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是 （ ）A .B .C .D .5．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 （ ）A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42a π6．已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为 （ ）A ．B ．C ．D ．36Cot36Cot 36Cot 36Cot x y O x y O1xy O 1 x y O －7．直角坐标x O y 平面上，平行直线x ＝n （n ＝0，1，2，……，5）与平行直线y ＝n （n ＝0， 1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有 （ ）A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个8．方程11122=---x y y x 所对应的曲线图形是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设0＜x ＜π，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．2-310．四面体ABCD 的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是( )A ．()2,0B ．()32,0C ．()32,2D ．[)4,211．若直线1+=kx y 与曲线12+=y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ ）A ．12-<<-kB ．22<<-kC ．21<<k D ．2-<k 或2>k12．某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y （单位：万元）与年数x ()N x ∈满足如图的二次函数关系。
2011届高考数学一轮单元达标精品试卷六)
2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(六)第三单元 [不等]符号定，比较技巧深(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是 A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x <1且x ≠－1}2．直角三角形ABC 的斜边AB ＝2，内切圆半径为r ，则r 的最大值是 A ． 2B ．1C ．22D ．2－13．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1． 当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切 其中假命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．34．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为 A ．(1，2) B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞)5．如果x ，y 是实数，那么“xy ＜0”是“|x －y |＝|x |＋|y |”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件6．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 A ．ab ac > B ．c b a ()-<0 C ．cb ab 22< D ．0)(<-c a ac 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)9．某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则 A ．x ＝2ba + B ．x ≤2b a + C ．x ＞2b a + D ．x ≥2ba + 10．设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )+2，则A ．f (2)＝f (0)<f (3)B ．f (0)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (0)＝f (2)D ．f (0)<f (3)<f (2)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上． 11．对于－1<a <1，使不等式(12)2x ax +<(12)2x +a －1成立的x 的取值范围是_______ ．12．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m ＝ ．(lg2≈0．3010)13．已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 ．14．已知a ＞0，b ＞0，且2212b a +=，则的最大值是 ． 15．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaa a 111++< ④aaa a111++> 其中成立的是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分l2分)设函数f (x )|1||1|2--+=x x ，求使f (x )≥22的x 取值范围．17．（本题满分12分）已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合．18．（本题满分14分）⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．19．（本题满分14分）设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0．⑴解关于x的不等式f(x)<0；⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．20．(本题满分14分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2．⑴当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b；⑵当b>1时，证明对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；⑶当0<b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件．21．(本题满分14分)⑴设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； ⑵设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明 n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log ．[不等]符号定，比较技巧深参考答案一、选择题二、填空题11．x ≤0或x ≥2； 12．155；13．]23,(-∞； 14； 15．②④三、解答题16．解：由于y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于|x +1|－|x －1|≥32， ① (2)分(i)当x ≥1时，|x +1|－|x －1|＝2。
2011届高考数学复习配套月考A卷试题新人教版
适用地区：大纲地区 考查范围：集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分 )
1. (2010 ·银川一中第三次月考 )已知 M={ x|x2＞ 4} ， N
2
x
1 , 则 CRM∩Ｎ=
x1
（）
A． { x|1＜ x≤２}
3 D．
3
4.(文 )（2010 ·茂名二模）在等差数列 { an } 中，已知 a1 1,a2 a4 10, an 39, 则 n =
（） A． 19
B． 20
C． 21
D ． 22
5. （2010·太原五中 5 月月考）在等比数列 { an } 中，前 n 项和为 Sn ，若 S3 7, S6 63 则
4.（文）【答案】 B
【解析】依题意，设公差为
d，则由 a1 1
得 d 2 ，所以 1+2（ n-1）=39 ，所以
2a1 4d 10
n=20 ，选择 B . 5【答案】 B
【解析】 依题意， a1 a2 a3 7 ，a1 a2 a3 a4 a5 a6 63 ，所以 a4 a5 a6 56 ，
因此 q3=8,q=2,选择 B 6【答案】 A
13．（ 2010·南山中学热身考试） 函数 y
sin x
2cos2
x
的最大值是
.
2
3
3
14（ 2010·青岛二摸）已知点 P sin ,cos
4
4
落在角 的终边上，且
[ 0, 2 ) ，则
tan
的值为
;
3
15（ 2010·隆尧一中五月模拟）定义：我们把满足 a n a n 1 k （ n 2, k 是常数）的数列
2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(十五)
2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(十五)第十五单元 函数与方程思想(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设直线 ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．设P 是60°的二面角α－l －β内一点，P A ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 为垂足，P A ＝4，PB ＝2，则AB 的长为 A ．2 3B ．2 5C ．27D ．4 23． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 A ．4005B ．4006C ．4007D ．40084．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种5．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M ＝[a ，b ](a <b )，集合N ＝{M x x f y y ∈=),(}，则使M ＝N 成立的实数对(a ，b )有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个6．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为A ．1B ．2C ．3D ．3log 27．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．若函数f (x )＝(1－m )x 2－2mx －5是偶函数，则f (x )A ．先增后减B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减9．定义在(－∞，＋∞)上的奇函数f (x )和偶函数g (x )在区间(－∞，0]上的图像关于x 轴对称，且f (x )为增函数，则下列各选项中能使不等式f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )成立的是A ．a >b >0B ．a <b <0C ．ab >0D ．ab <010．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边．如果a 、b 、c 成等差数列∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋32D ．2＋ 3二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4．若a ＞b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于 ． 12．若1(2)n x x+-的展开式中常数项为－20，则自然数n ＝ ． 13．x 0是x 的方程a x ＝log a x (0<a <1)的解，则x 0，1，a 这三个数的大小关系是 ． 14．已知函数y f x y fx ==-()()与1互为反函数，又y f x y g x =+=-11()()与的图象关于直线y x =对称，若f x x x fx ()log ()()()=+>=-122120，则__ _;g ()6=_______ ．15．已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据：,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;21)1(=====a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取_____________．（填上一个正确的数据序号即可）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，集合B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}，集合C ＝{x |m 822-+x x ＝1，m ≠0，|m |≠1}满足A ∩Bφ， A ∩C ＝φ，求实数a 的值．17．（本小题满分12分）有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11．（1）求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式;（2）若n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且n x 取到最大值的一组数据．18．（本小题满分14分） 求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11．8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p %的管理费（即销售100元要征收p 元），于是该商品的定价上升为每件%170p 元，预计年销售量将减少p 万件．（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y （万元）表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p %的范围是多少？（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？20．（本小题满分14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件： f (x －1)＝f (3－x )且方程f (x )＝2x 有等根． （1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ，n （m <n ），使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]，如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立．第十五单元 函数与方程思想参考答案(11) 25(12)． 3； (13)． 10或1031-(14)．12214⎛⎝ ⎫⎭⎪-<--xx ()，；(15)． ①或②三、解答题（共80分）16．解：由条件即可得B ＝{2，3}，C ＝{－4，2}，由A ∩B ∅Ù，A ∩C ＝∅，可知3∈A ，2∉A ．将x ＝3代入集合A 的条件得：a 2－3a －10＝0 ∴a ＝－2或a ＝5 当a ＝－2时，A ＝{x|x 2＋2x －15＝0}＝{－5，3}，符合已知条件．当a ＝5时，A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，不符合条件“A ∩C ”＝∅，故舍去． 综上得：a ＝－2．17．解：（1） 依条件得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++-)3()1(11)2()1(9)1(103212121n x x x n x x x nx x x n n n 由)2()1(-得：9+=n x n ，又由)3()1(-得：n x -=111（2）由于1x 是正整数，故 1111≥-=n x ，101≤≤⇒n ，故199≤+=n x n 当n ＝10时， 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x ， 此时，62=x ，73=x ，84=x ，95=x ，116=x ，127=x ，138=x ，149=x ．18． 解：,2111)(x x x f -+=' ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少． 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值． 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值．19． 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11．8－p ）万件，年销售收入为%170p -（11．8－p ）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为%170p -（11．8－p ）p %（万元）．故所求函数为:y ＝p-1007（118－10p ）p ．11．8－p ＞0及p ＞0得定义域为0＜p ＜559．（2）由y ≥14，得p-1007（118－10p ）p ≥14．化简得p 2－12p ＋20≤0，即（p －2）（p －10）≤0，解得2≤p ≤10．故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元． （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时， 厂家的销售收入为g （p ）＝%170p -（11．8－p ）（2≤p ≤10）．∵g （p ）＝%170p -（11．8－p ）＝700（10＋100882-p ）为减函数，∴g （p ）max ＝g （2）＝700（万元）．故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元．20．解：(1)∵方程ax 2＋bx －2x ＝0有等根，∴△＝(b －2)2＝0，得b ＝2．由f(x －1)＝f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x ＝－ab2＝1，得a ＝－1， 故f(x)＝－x 2＋2x ．(2)∵f(x)＝－(x －1)2＋1≤1，∴4n ≤1，即n ≤41． 而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴当n ≤41时，f(x)在[m ，n]上为增函数．若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-nn n m m m 424222⇒⎩⎨⎧-==-==2020n n m m 或或又m<n ≤41． ∴m ＝－2，n ＝0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0]．由以上知满足条件的m ，n 存在，m ＝－2，n ＝0． 21． 解：（1）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以．（2）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k ＝1，2，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所得数列不符合题意． 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== ．综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n ＝0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n ＝1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n ＝2n －1，即1，3，5，…，（1） （2）。
2011届高考数学第一轮复习全套系列专项测试题(含详解)：32
·高三数学·单元测试卷(十一)第十一单元 排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．1024更多成套系列资源请您访问： （请按ctrl 键单击网址） 成套资源仅2元，以最低成本为您服务，谢谢您的大力支持，欢迎您的宝贵意见！5．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．5710C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有A．24种B．36种C．60种D．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为A．8 B．9 C．10 D．11 17．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有A．36种B．42种C．50种D．72种18．若1021022 012100210139 ),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则的值为A．0 B．2 C．－1 D．1答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种．20．设f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1,则f(x)的反函数f－1(x)＝．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i（i＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）：2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -=4．B 分8类：34510121012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0． 14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种 18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。
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第六课时用样本估计总体课时作业
1.10，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C. c＞a＞b D．c＞b＞a
2．下列说法错误的是()
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
3.
(2009年银川一中月考) 某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90 km/h的车辆数为() A．200 B．600 C．500 D．300
4．(2009年福建数学参考样卷) 在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右．下列说法正确的是()
A．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定
B．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定
C．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定
D．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定
5．(2008年山东卷)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为()
A. 3
6．(2008年广东卷)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)由此得到
55，75的人数是______．频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)
7．从两个班中各随机的抽取10名学生，他们的数学成绩如下：
8. 为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：
(1)求出表中m，n，M
(2)画出频率分布直方图；
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？
9．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
参考答案
1．D 2.B 3.D 4.C 5.B 6.13 7．解析：茎叶图如下图
由图可知：乙班级总体成绩优于甲班．
8．解析：(1)M ＝1
0.02＝50，m ＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，
N ＝1，n ＝2
50
＝0.04.
(2)(此略)(3)在153.5～157.5范围内最多． 9．解析：(1)填表如下：
为0.6.。