2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)
2020年上海市高三数学二模分类汇编：函数(16区全)
2（2020静安二模）. 若幂函数()y f x =的图像经过点1(,2)8，则1()8f -的值为2（2020虹口二模）. 函数()f x =的定义域为 2（2020金山二模）. 函数12y x-=的定义域是3（2020青浦二模）. 已知函数1()1f x x=+，则方程1()2f x -=的解x = 3（2020浦东二模）. 若函数12()f x x =，则1(1)f -=4（2020静安二模）. 若函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，在区间(,0]-∞上是增函数，2x =是其零点，则()0f x >的解集为4（2020崇明二模）. 已知函数()21x f x =+，其反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 5（2020虹口二模）. 已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =5（2020金山二模）. 已知函数21()11x f x =，则1(0)f -=6（2020徐汇二模）. 若11()21xf x a=+-是奇函数，则实数a 的值为 7（2020宝山二模）. 某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由0p 变化为p ，并且满足方程0rnp p e =.实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率=r （精确到1%）7（2020金山二模）. 已知函数1()lg sin 11xf x x x-=+++，若()4f m =，则()f m -= 8（2020嘉定二模）. 已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=，若1(3)2f -=，则a =8（2020黄浦二模）. 已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[2,0]-，则(1)f -=8（2020松江二模）. 若函数2()log (21)x f x kx =++是偶函数，则k =9（2020长宁二模）. 已知111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---，若函数()f x x α=在(0,)+∞上递减且为偶函数，则α=9（2020青浦二模）. 设{1,3,5}a ∈，{2,4,6}b ∈，则函数1()log baf x x=是减函数的概率为10（2020青浦二模）. 已知函数()f x =，若存在实数0x 满足00[()]f f x x =，则实数a 的取值范围是10（2020静安二模）. 设(,)n n A n y （*n ∈N ）是函数12y x x=+的图像上的点，直线1x n =+与直线n y y =的交点为n B ，△1n n n A B A +的面积为n S ，则lim n n S →∞的值为10（2020闵行二模）. 已知(2)f x +是定义在R 上的偶函数，当12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式1(31)(12)x f f +-+<的解集为10（2020浦东二模）. 已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为10（2020松江二模）. 已知函数()cos(2)6f x x π=-，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，总存在2[,]x m n ∈，使得12()()0f x f x +=，则||m n -的最小值为11（2020黄浦二模）. 已知a ∈R ，函数22(0)()1(0)a x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若存在不相等的实数1x 、2x 、3x ，使得312123()()()2f x f x f x x x x ===-，则a 的取值范围是 11（2020奉贤二模）. 三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路：甲：112m n m n n m m n m n m n +++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解；丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解；参考上述解题思路， 可求得当x = 时，2221100a y x x=+-（010x <<，0a >）有最小值 12（2020虹口二模）. 已知函数|51|1()811x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 12（2020闵行一模）. 已知函数()|sin ||cos |4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为12（2020崇明二模）. 对于函数()f x ，其定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为“不严格单调增函数”，若函数()f x 定义域为{1,2,3,4,5,6}D =，值域为{7,8,9}A =，则函数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是 12（2020松江二模）. 已知函数20()|log ()|0a x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩（R a ∈且a 为常数）和()g x k =（R k ∈且k 为常数），有以下命题：① 当0k <时，函数()()()F x f x g x =-没有零点；② 当0x <时，2()()()h x f x b f x c =+⋅+恰有3个不同零点1x 、2x 、3x ，则1231x x x ⋅⋅=-； ③ 对任意的0k >，总存在实数a ，使得()()()F x f x g x =-有4个不同的零点123x x x <<4x <，且1||x 、2||x 、3||x 、4||x 成等比数列；其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）12（2020徐汇二模）. 设二次函数2()(21)2f x m x nx m =++--（,m n ∈R 且12m ≠-）在[2,3]上至少有一个零点，则22m n +的最小值为12（2020青浦二模）. 定义函数(){{}}f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{1.4}2=，{2.3}2-=-，当(0,]x n ∈（*n ∈N ）时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a = 12（2020长宁二模）. 已知函数1()||1f x x =-，若关于x 的方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是13（2020黄浦二模）.“函数()f x （x ∈R ）存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件13（2020徐汇二模）. 某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图像大致为（ ）A. B. C. D.14（2020嘉定二模）. 下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ） A. 1y x=B. 2x y =C. 1||y x =-D. lg ||y x = 14（2020奉贤二模）. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图像大致为（ ）A. B. C. D.15（2020奉贤二模）. 设函数()log (1)x a f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*N n ∈，则()lim f n n n a a a→∞=+（ ） A. 1 B. a C.1a D. 1a或a 16（2020宝山二模）. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x 、2x 都有211212()()0x f x x f x x x -<-，则函数(),0()0,0f x xg x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（ ）A. 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减B. 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增C. 是奇函数，且单调递减D. 是奇函数，且单调递增 16（2020松江二模）. 已知实数12100,,,[1,1]x x x ⋅⋅⋅∈-，且12100x x x π++⋅⋅⋅+=，则当22212100x x x ++⋅⋅⋅+取得最大值时，12100,,,x x x ⋅⋅⋅这100个数中，值为1的个数为（ ）A. 50个B. 51个C. 52个D. 53个16（2020金山二模）. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x =()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 11(,)44-B. (11)C. 11(4,4)44k k -+(Z k ∈)D. (411)k k +(Z k ∈)16（2020普陀二模）. 定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x 与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得222()21f s t t a a =+++-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [1,0][1,2]-UB. {1}[0,2]-UC. [2,1][0,1]--UD. {1}[2,0]-U16（2020崇明二模）. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,R}A x f x x ==∈，集合{|B x =(())0,R}f f x x =∈，若A B =，且A 、B 都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7) 16（2020青浦二模）. 已知函数()sin 2|sin |f x x x =+，关于x的方程2()()10f x x --=有以下结论：① 当0a ≥时，方程2()()10f x x --=在[0,2]π内最多有3个不等实根； ② 当6409a ≤<时，方程2()()10f x x -=在[0,2]π内有两个不等实根； ③若方程2()()10f x x --=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程2()()10f x x --=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为36π； 其中所有正确结论的序号是（ ）A. ②④B. ①④C. ①③D. ①②③17（2020普陀二模）. 设函数3120()()0x x f x g x x m-⎧--≤≤=⎨<≤⎩是偶函数.（1）求实数m 的值及()g x ；（2）设函数()g x 在区间[0,]m 上的反函数为1()g x -，当12(2)log 5a g ->（0a >且1a ≠）时，求实数a 的取值范围.18（2020奉贤二模）. 已知向量33(cos ,sin )22a x x =r ，(sin ,cos )22x xb =-r （x k π≠，Z k ∈），令()f x =2()a b a bλ+⋅r r r r （R λ∈）. （1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅r r r r ，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集； （2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.18（2020虹口二模）. 已知函数4()31xf x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3xuf x ≥恒成立， 求实数u 的最大值.18（2020黄浦二模）. 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数21log 21xy x=+-的图像上任意两点，点00(,)M x y 满足1()2OM OA OB =+uuu r uu r uu u r .（1）若012x =，求证：0y 为定值；（2）若212x x =，且01y >，求1x 的取值范围，并比较1y 与2y 的大小.18（2020崇明二模）. 已知函数()22x x af x =-（0a >）. （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由.18（2020徐汇二模）. 已知函数()|31|f x x =-，()1||g x x =-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）求()()()F x f x g x =-的最小值.21（2020松江二模）. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在实常数λ及a （0a ≠），对任意x D ∈，当x a D +∈且x a D -∈时，都有()()()f x a f x a f x λ++-=成立，则称函数()f x 具有性 质(,)M a λ.（1）判断函数2()f x x =是否具有性质(,)M a λ，并说明理由；（2）若函数()sin 2sin g x x x =+具有性质(,)M a λ，求λ及a 应满足的条件；（3）已知函数()y h x =不存在零点，当R x ∈时具有性质1(,1)M t t+（其中0t >，1t ≠），。
上海市2023年各地区高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(16套)-04填空题基础题②
上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题②一．函数的最值及其几何意义（共1小题）..................................................................................1一十九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）........................................................................15二十二．条件概率与独立事件（共2小题）................................................................................16二十五．二项式定理（共2小题）. (18)一．函数的最值及其几何意义（共1小题）1．（2023•浦东新区二模）函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为 ．二．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）2．（2023•静安区二模）已知函数()(0)21xxa f x a =>+为偶函数，则函数()f x 的值域为 ．三．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共1小题）3．（2023•宝山区二模）若幂函数a y x =的图像经过点，则此幂函数的表达式为 ．四．对数的运算性质（共1小题）4．（2023•静安区二模）若101010x y -=，其中x ，y R ∈，则2x y -的最小值为 ．五．三角函数的最值（共1小题）5．（2023•松江区二模）已知(0,)2x π∈，则2214sin cos x x+的最小值为 ．六．同角三角函数间的基本关系（共1小题）6．（2023•静安区二模）已知(0,)απ∈，且3cos 28cos 5αα-=，则cos α= ．七．两角和与差的三角函数（共1小题）7．（2023•浦东新区二模）已知R ω∈，0ω>，函数cos y x x ωω=-在区间[0，2]上有唯一的最小值2-，则ω的取值范围为 ．八．二倍角的三角函数（共1小题）8．（2023•松江区二模）已知2πθπ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ= ．九．等比数列的通项公式（共1小题）9．（2023•闵行区二模）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5a = ．一十．数列递推式（共1小题）10．（2023•宝山区二模）已知数列{}n a 的递推公式为1121(2)2n n a a n a -=+⎧⎨=⎩…，则该数列的通项公式n a = ．一十一．极限及其运算（共1小题）11．（2023•闵行区二模）0(4)22limh ln h ln h→+-= ．一十二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）12．（2023•浦东新区二模）已知01a b <<<，设3()()()W x x a x b =--，()()()k W x W k f x x k -=-，其中k 是整数．若对一切k Z ∈，()k y f x =都是区间(,)k +∞上的严格增函数．则ba的取值范围是 ．一十三．向量的概念与向量的模（共1小题）13．（2023•奉贤区二模）在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成一个以原点为起点的向量(,)a b α=r，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 ．一十四．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•闵行区二模）平面上有一组互不相等的单位向量12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r，若存在单位向量OP u u u r 满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅+⋯+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则称OP u u u r是向量组12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量．已知1OA 〈u u u r ，23OA π〉=u u u u r ，向量OP u u u r 是向量组123,,OA OA OA u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量，当3OP OA ⋅u u u r u u u u r 取得最大值时，13OA OA ⋅u u u r u u u u r的值为 ．15．（2023•浦东新区二模）已知边长为2的菱形ABCD 中，120A ∠=︒，P 、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQ BD ⊥，则AP CQ ⋅u u u r u u u r的最大值是 ．16．（2023•松江区二模）已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且||2(0)OA a a =>u u u r ．若存在m ，n R ∈，使得mAB OA +u u u r u u u r 与nAB OB +u u u r u u u r垂直，且|()()|mAB OA nAB OB a +-+=u u u r u u u r u u u r u u u r，则||AB 的最小值为 ．一十五．投影向量（共1小题）17．（2023•静安区二模）已知向量a =r ，且a r，b r 的夹角为3π，()(23)4a b a b +⋅-=r r r r ，则b r 在a r方向上的投影向量等于 ．一十六．余弦定理（共1小题）18．（2023•奉贤区二模）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C 等于 ．一十七．虚数单位i 、复数（共1小题）19．（2023•宝山区二模）已知复数22(31)(56)3m m m m i --+--=（其中i 为虚数单位），则实数m = ．一十八．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）20．（2023•奉贤区二模）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O 、2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为 ．一十九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）21．（2023•松江区二模）将如图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 mm ．二十．直线与平面所成的角（共1小题）22．（2023•静安区二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为正方形11BCC B 的中心，则直线EF 与侧面11BB C C 所成角的正切值是 ．二十一．双曲线的性质（共1小题）23．（2023•浦东新区二模）双曲线22:124x y C -=的右焦点F 到其一条渐近线的距离为 ．二十二．条件概率与独立事件（共2小题）24．（2023•奉贤区二模）设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是 ．25．（2023•浦东新区二模）投掷一颗骰子，记事件{2A =，4，5}，{1B =，2，4，6}，则(|)P A B = ．二十三．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）26．（2023•奉贤区二模）已知随机变量X 的分布为123()111236，且3Y aX =+，若[]2E Y =-，则实数a = ．二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共3小题）27．（2023•静安区二模）今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎．标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X 是服从正态分布(500N ，22.5)的随机变量．若质量指标介于495g （含)至505g （含)之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为 %．（结果保留一位小数）（已知Φ（1）0.8413≈，Φ（2）0.9772≈，Φ（3）0.9987≈．()x Φ表示标准正态分布的密度函数从-∞到x 的累计面积）28．（2023•浦东新区二模）设随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.9P X >-=，则(2)P X >= ．29．（2023•松江区二模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若( 1.96)0.03P X <-=，则(|| 1.96)P X <= ．二十五．二项式定理（共2小题）30．（2023•松江区二模）在二项式81(x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 （结果用数字作答）．31．（2023•宝山区二模）在62(x x+的展开式中，常数项为 .（结果用数字作答）上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题②参考答案与试题解析一．函数的最值及其几何意义（共1小题）1．（2023•浦东新区二模）函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为1- ．【答案】1-．【解答】解：42224444444(2)111111log 1log (2)112log (2)1(2)(2)(2)2(2)(2)log x y log x x x x log x log x log x log log x log x =+=++-=+-=+-=+-，1(2x ∈Q ，)+∞，2(1,)x ∴∈+∞，4log (2)0x ∴>，4412log (2)111(2)y x log x ∴=+-=-…，当且仅当4412log (2)(2)x log x =，即4log (2)x =即函数241log log (2)y x x =+在区间1(,)2+∞上的最小值为1-．故答案为：1-．二．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）2．（2023•静安区二模）已知函数()(0)21xxa f x a =>+为偶函数，则函数()f x 的值域为 (0，1]2 ．【答案】(0，1]2【解答】解：函数的定义域为R ，因为()f x 为偶函数，所以f （1）(1)f =-，即112121a a --=++，解得a =，所以1()2f x ===，当且仅当x =，即0x =时，等号成立，又0x >，所以()f x 的值域为(0，12．故答案为：(0，1]2．三．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共1小题）3．（2023•宝山区二模）若幂函数a y x =的图像经过点，则此幂函数的表达式为 3y x = ．【答案】3y x =．【解答】解：Q 幂函数a y x =的图像经过点，∴3α=，3α∴=，则此幂函数的表达式为3y x =．故答案为：3y x =．四．对数的运算性质（共1小题）4．（2023•静安区二模）若101010x y -=，其中x ，y R ∈，则2x y -的最小值为 122lg + ．【答案】122lg +．【解答】解：101010x y -=Q，101010x y ∴=+=…1010y =，即1y =时，等号成立，两边平方得：2110410x y +⨯…，∴2110410xy +…，即21104x y --…，214x y lg ∴--…，214122x y lg lg ∴-+=+…，当且仅当1y =，12x lg =+时，等号成立，即2x y -的最小值为122lg +．故答案为：122lg +．五．三角函数的最值（共1小题）5．（2023•松江区二模）已知(0,)2x π∈，则2214sin cos x x+的最小值为 9 ．【答案】9．【解答】解：22222222221414cos 4sin ()(sin cos )559sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x +=++=+++=…，当且仅当2222cos 4sin sin cos x x x x =，又22sin cos 1x x +=，(0,)2x π∈，即sin x =，cos x =时取等号，则2214sin cos x x+的最小值为9．故答案为：9．六．同角三角函数间的基本关系（共1小题）6．（2023•静安区二模）已知(0,)απ∈，且3cos 28cos 5αα-=，则cos α= 23- ．【答案】23-．【解答】解：因为3cos 28cos 5αα-=，所以23(2cos 1)8cos 5αα--=，整理可得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或2（舍去）．故答案为：23-．七．两角和与差的三角函数（共1小题）7．（2023•浦东新区二模）已知R ω∈，0ω>，函数cos y x x ωω=-在区间[0，2]上有唯一的最小值2-，则ω的取值范围为 5[6π，116π ．【答案】5[6π，116π．【解答】解：cos 2sin(6y x x x πωωω=-=-，由[0x ∈，2]，知[66x ππω-∈-，2]6πω-，因为函数y 在区间[0，2]上有唯一的最小值2-，所以32[62ππω-∈，7)2π，解得5[6πω∈，11)6π．故答案为：5[6π，11)6π．八．二倍角的三角函数（共1小题）8．（2023•松江区二模）已知2πθπ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ= 247- ．【答案】247-．【解答】解：因为2πθπ<<，且4cos 5θ=-，所以3sin 5θ===，可得sin 3tan cos 4θθθ==-，则2232()2tan 244tan 23171()4tan θθθ⨯-===----．故答案为：247-．九．等比数列的通项公式（共1小题）9．（2023•闵行区二模）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5a【解答】解：Q 等比数列{}n a 中，设公比为q ，3a Q 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，3a ∴、7a 分别是函数231260y x x '=-+=的两个实数根，374a a ∴+=23752a a a ⋅==，3a ∴与7a 都是正值．253aa q ∴=⋅也是正值，5a ∴=．一十．数列递推式（共1小题）10．（2023•宝山区二模）已知数列{}n a 的递推公式为1121(2)2n n a a n a -=+⎧⎨=⎩…，则该数列的通项公式n a = 1321n -⨯- ．【答案】1321n -⨯-．【解答】解：当2n …时，121n n a a -=+，112(1)n n a a -∴+=+，即1121n n a a -+=+，又12a =Q ，113a ∴+=，∴数列{1}n a +是首项为3，公比为2的等比数列，1132n n a -∴+=⨯，1321n n a -∴=⨯-．故答案为：1321n -⨯-．一十一．极限及其运算（共1小题）11．（2023•闵行区二模）0(4)22lim h ln h ln h →+-= 14 ．【答案】14．【解答】解：00(4)22(4)4lim lim44h h ln h ln ln h ln h h →→+-+-=+-，表示函数y lnx =在4x =处的导数，1y x '=Q ，∴0(4)221lim 4h ln h ln h →+-=．故答案为：14．一十二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）12．（2023•浦东新区二模）已知01a b <<<，设3()()()W x x a x b =--，()()()k W x W k f x x k -=-，其中k 是整数．若对一切k Z ∈，()k y f x =都是区间(,)k +∞上的严格增函数．则ba的取值范围是 (1，3] ．【答案】(1，3]．【解答】解：33322232232()()()()()(3)[(3)33](3)(33)3k x a x b k a k b f x x k a b x k a b k a ab x k a b k a ab k a a bx k-----==+--+-++++-+++---，2222()32(3)(3)33k f x x k a b x k a b k a ab '=+--+-+++，则方程()0k f x '=满足△2234[2(3)3]8()(2a bk a b k b ab k b k -=-+++-=---，因为01a b <<<，所以312a bb -<<，①当3(2a b k -∈，)b 无解时，即302a b -…，(1ba∈，3]时，对于任意的k Z ∈都有△0…，即()0k f x '…恒成立，所以()k y f x =在(,)k +∞上严格增．②当3(2a b k -∈，)b 有解时，即302a b -<，(3,)ba∈+∞时，取0k =，则△0>，2()32(3)3()k f x x a b x a a b '=-+++，设()0k f x '=的两个根为1x ，212()x x x <，则12122(3)03()0a b x x x x a a b +⎧+=>⎪⎨⎪=+>⎩，所以1x ，2x 均为大于0，所以()k y f x =在1(0,)x ，2(x ，)+∞上严格递增，在1(x ，2)x 上严格递减，不满足条件，综上所述，ba的取值范围为(1，3]，故答案为：(1，3]．一十三．向量的概念与向量的模（共1小题）13．（2023•奉贤区二模）在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成一个以原点为起点的向量(,)a b α=r，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 3 ．【答案】3．【解答】解：由题可得满足题意的向量有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，以向量,a b r r 为邻边的平行四边形的面积为：||||sin ,||||S a b a b a b =<>==r r r r r r ，∴以(2,1)，(2,3)4=；以(2,1)，(4,1)2=；以(2,1)，(4,3)2=；以(2,3)，(4,1)10=；以(2,3)，(4,3)6=；以(4,1)，(4,3)8=，综上可知面积不超过4的平行四边形个数是3．故答案为：3．一十四．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•闵行区二模）平面上有一组互不相等的单位向量12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r，若存在单位向量OP u u u r 满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅+⋯+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则称OP u u u r是向量组12,,,n OA OA OA ⋯u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量．已知1OA 〈u u u r ，23OA π〉=u u u u r ，向量OP u u u r 是向量组123,,OA OA OA u u u r u u u u r u u u u r 的平衡向量，当3OP OA ⋅u u u r u u u u r 取得最大值时，13OA OA ⋅u u u r u u u u r 的值为或【解答】解：3OP OA ⋅u u u r u u u u r 取最大值时，3OP OA =u u u r u u u u r ，且12,3OA OA π<>=u u u r u u u u r ，如图，12||OA OA +===u u u r u u u u r 设12OA OA OB +=u u u r u u u u r u u u r ，3,OA OB θ<>=u u u u r u u u r ，则：31233()10OA OA OA OA OA OB ⋅++=⋅+=u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r，∴31OA OB θ⋅==-u u u u r u u u r ，cos θ=，sin θ=，且13,6OA OA πθ<>=-u u u r u u u u r 或6πθ+，∴131cos()cos cos sin sin 6662OA OA πππθθθ⋅=-=+==u u u r u u u u r131cos()cos cos sin sin 6662OA OA πππθθθ⋅=+=-==u u u r u u u u r或15．（2023•浦东新区二模）已知边长为2的菱形ABCD 中，120A ∠=︒，P 、Q 是菱形内切圆上的两个动点，且PQ BD ⊥，则AP CQ ⋅u u u r u u u r 的最大值是 14 ．【答案】14．【解答】解：如图，连接BD ，AC ，设BD ，AC 交于点O ，则BD AC ⊥，以点O 为原点，BD ，CA 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则：(0,1)A ，(0,1)C -，PQ BD ⊥Q ，且P ，Q 点在内切圆上，∴设(,)P m n ，(,)Q m n -，,(m n ∈，∴(,1),(,1)AP m n CQ m n =-=-u u u r u u u r，∴22(1)AP CQ m n ⋅=--u u u r u u u r，Q 222m n +=，∴设,m n θθ==，∴22222233131(1)1)(cos 42424m n sin cos θθθθθ--=--=--=--+，∴cos θ=时，231(cos 24θ-+取最大值14，∴AP CQ ⋅u u u r u u u r 的最大值为14．故答案为：14．16．（2023•松江区二模）已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且||2(0)OA a a =>u u u r ．若存在m ，n R ∈，使得mAB OA +u u u r u u u r 与nAB OB +u u u r u u u r垂直，且|()()|mAB OA nAB OB a +-+=u u u r u u u r u u u r u u u r，则||AB 的最小值为 ．．【解答】解：设A ，B 在直线y t =上，又A ，B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，||2(0)OA a a =>u u u r，∴||AB =；设,mAB AP nAB BQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则mAB OA OA AP OP +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，nAB OB OB BQ OQ +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴|()()|||||mAB OA nAB OB OP OQ PQ a +-+=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，不妨设P 在Q 的左侧，(,)P x t ，则(,)Q x a t +，Q mAB OA +u u u r u u u r 与nAB OB +u u u r u u u r垂直，∴0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即2()0x x a t ++=有解，∴2222()(()224a a a t x x a x ax a =-+=-----⋅-=…，∴||AB ==，即||AB ．．一十五．投影向量（共1小题）17．（2023•静安区二模）已知向量a =r ，且a r，b r 的夹角为3π，()(23)4a b a b +⋅-=r r r r ，则b r 在a r方向上的投影向量等于 14a r ．【答案】14a r．【解答】解：向量a =r，则||2a =r，()(23)4a b a b +⋅-=r r r r，则22234a a b b -⋅-=rr r r ，即2182||3||42b b -⨯⨯-=r r ，解得||1b =r ，故b r 在a r方向上的投影向量等于1||cos 3||4a b a a π⨯=r r r r ．故答案为：14a r．一十六．余弦定理（共1小题）18．（2023•奉贤区二模）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C 等于 45︒ ．【解答】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab +-=2222cos a b c ab C ∴+-=222111sin ()cos 242S ab C a b c ab C ==+-=Q sin cos C C ∴=0C π<<Q 45C ∴=︒故答案为：45︒一十七．虚数单位i 、复数（共1小题）19．（2023•宝山区二模）已知复数22(31)(56)3m m m m i --+--=（其中i 为虚数单位），则实数m = 1- ．【答案】1-．【解答】解：复数22(31)(56)3m m m m i --+--=，则22313560m m m m ⎧--=⎨--=⎩，解得1m =-．故答案为：1-．一十八．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）20．（2023•奉贤区二模）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O 、2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为 8π ．【解答】解：如图所示，设圆柱的底面圆半径为r ，则高为2h r =，所以该圆柱的轴截面面积为2(2)8r =，解得r =∴该圆柱的侧面积为228S rh πππ===侧．故答案为：8π．一十九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）21．（2023•松江区二模）将如图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 50 mm ．【答案】50．【解答】解：设液面圆的半径为r ，由图形可得150100300r =，50r ∴=，23150150503V ππ∴=⨯⨯⨯=液，设圆柱形容器内液面的高度为h ，则235050h ππ⨯⨯=，解得50h =．故答案为：50．二十．直线与平面所成的角（共1小题）22．（2023•静安区二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为正方形11BCC B 的中心，则直线EF 与侧面11BB C C 所成角的正切值是 ．．【解答】解：连接1BC ，EB ⊥Q 平面11BB C C ，则EFB ∠为直线EF 与侧面11BB C C 所成的角，设||2AB =，则||1BE =，||BF =，则||tan ||BE EFB BF ∠===，则直线EF 与侧面11BB C C ．．二十一．双曲线的性质（共1小题）23．（2023•浦东新区二模）双曲线22:124x y C -=的右焦点F 到其一条渐近线的距离为 2 ．【答案】2．【解答】解：Q 双曲线方程为22124x y -=，∴双曲线的右焦点F坐标为0)，渐近线为y =0y ±=，可得焦点F到其渐近线的距离为2d ==．故答案为：2．二十二．条件概率与独立事件（共2小题）24．（2023•奉贤区二模）设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是 0.5 ．【解答】解：设A = “能活到20岁”， B = “能活到25岁”，则P （A ）0.8=，P （B ）0.4=，而所求概率为(|)P B A ，由于B A ⊆，故A B B =I ，于是()()0.4(|)0.5()()0.8P A B P B P B A P A P A ====I ，所以这个动物能活到25岁的概率是0.5．故答案为：0.5．25．（2023•浦东新区二模）投掷一颗骰子，记事件{2A =，4，5}，{1B =，2，4，6}，则(|)P A B = 12 ．【答案】12．【解答】解：21()63P AB ==，P （B ）4263==，则1()13(|)2()23P AB P A B P B ===．故答案为：12．二十三．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）26．（2023•奉贤区二模）已知随机变量X 的分布为123()111236，且3Y aX =+，若[]2E Y =-，则实数a = 3- ．【答案】3-．【解答】解：随机变量X 的分布为123()111236，则1115[]1232363E X =⨯+⨯+⨯=，3Y aX =+，则5[][]3323E Y aE X a =+=+=-，解得3a =-．故答案为：3-．二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共3小题）27．（2023•静安区二模）今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎．标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X 是服从正态分布(500N ，22.5)的随机变量．若质量指标介于495g （含)至505g （含)之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为 95.4 %．（结果保留一位小数）（已知Φ（1）0.8413≈，Φ（2）0.9772≈，Φ（3）0.9987≈．()x Φ表示标准正态分布的密度函数从-∞到x 的累计面积）【答案】95.4．【解答】解：因为X 是服从正态分布(500N ，22.5)，所以(505)(495)1P X P X >=<=-Φ（2）10.97720.0228≈-=，则(495505)120.02280.954495.4%P X <<=-⨯=≈．故答案为：95.4．28．（2023•浦东新区二模）设随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.9P X >-=，则(2)P X >= 0.1 ．【答案】0.1．【解答】解：X 服从正态分布2(0,)N σ，其正态分布曲线关于y 轴对称，由对称性可知(2)(2)1(2)10.90.1P X P X P X >=<-=->-=-=．故答案为：0.1．29．（2023•松江区二模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若( 1.96)0.03P X <-=，则(|| 1.96)P X <= 0.94 ．【答案】0.94．【解答】解：由正态分布的对称性得(|| 1.96)12( 1.96)0.94P x P X <=-<-=．故答案为：0.94．二十五．二项式定理（共2小题）30．（2023•松江区二模）在二项式81(x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 28 （结果用数字作答）．【答案】28．【解答】解：二项式81()x x-的展开式的通项为8218(1)r r r r T C x -+=-，令824r -=，得2r =，故含4x 的项的系数是228(1)28C -=．故答案为：28．31．（2023•宝山区二模）在62(x x+的展开式中，常数项为 160 .（结果用数字作答）【答案】160．【解答】解：二项式62()x x +的展开式的通项为6621662(2r r r r r r r T C x C x x--+==，令620r -=，得3r =，故常数项是3362160C ⋅=．故答案为：160．。
2020年上海市高三数学二模分类汇编：解析几何(16区全)
3（2020闵行二模）. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 3（2020松江二模）. 已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为4（2020黄浦二模）. 若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为4（2020宝山二模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的实轴与虚轴长度相等，则C的渐近线方程是4（2020奉贤二模）. 已知P 为双曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5（2020闵行二模）. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为5（2020青浦二模）. 双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是6（2020金山二模）. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7（2020黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为8（2020徐汇二模）. 已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为8（2020浦东二模）. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ， 再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线 段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ， 记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当 前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度30AB =米，则 当水面升高1米后，水面宽度为 米（精确到0.1米）10（2020虹口二模）. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u r ，则椭圆C 的长轴长为10（2020金山二模）. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是 11（2020青浦二模）. 已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所2ABC 的三个顶点的横坐标之和为12（2020奉贤二模）. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =12（2020普陀二模）. 设双曲线222:1x y aΓ-=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在Γ的右支上，向量是(1,)d a =u r 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则Γ的焦距为12（2020金山二模）. 设n ∈*N ，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，t ∈R ，1222[][][]333n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m -+-的最小值为12（2020杨浦二模）. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为12（2020黄浦二模）. 点A 是曲线22y x =+（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论： （1）||||AP AQ -为定值2 （2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52； 其中正确结论的序号是13（2020静安二模）. 方程222980x xy y -+=的曲线C 所满足的性质为（ ） ① 不经过第二、四象限；② 关于x 轴对称；③ 关于原点对称；④ 关于直线y x =对称； A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①②13（2020普陀二模）. 对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件13（2020虹口二模）. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 613（2020松江二模）. 若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为（ ）A.B. C. D. 213（2020宝山二模）. 抛物线24y x =的准线方程是（ ）A. 2x =-B. 1x =-C. 18y =- D. 116y =-13（2020金山二模）. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:l a x b y c ++0=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14（2020崇明二模）. 若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 1315（2020闵行二模）. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=uuu r uuu r ，2EN NF λ=uuu r uuu r，则12λλ+=（ ） A. 2- B. 12-C. 1D. 1- 15（2020杨浦二模）. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大15（2020青浦二模）. 记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（1,2,n =⋅⋅⋅），当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，⋅⋅⋅上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，⋅⋅⋅，则lim n n M →∞=（ ）A. 2B. 4C. 3D. 16（2020闵行二模）. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}-U17（2020静安二模）. 已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=uu r uu r uu u r r，则称该三角形为“核心三角形”.（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2.20（2020闵行二模）. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点(0,)P b （1b >），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q . （1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值；（2）若3b =，且32PD PC =uu u r uu u r，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？ 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.20. 已知直线:l y kx m =+和椭圆22:142x y Γ+=相交于点),(11y x A ，),(22y x B .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点(2,1)C 在Γ上，若0m =，求△ABC 面积的最大值； （3）如果原点O 到直线l 的距离是233，证明：△AOB 为直角三角形.20（2020松江二模）. 如图，已知椭圆2222:1x y M a b+=（0a b >>）经过圆22:(1)4N x y ++=与轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若点P 为椭圆M 上的动点，点Q 为圆N 上的动点，求线段PQ 长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线l 交椭圆M 于A 、B 两点，交圆N 于C 、D 两点，且满足AC DB =uuu r uu u r，求证：线段AB 的中点E 在定直线上.20（2020青浦二模）. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，若0k ≠，证明：1211kk kk + 为定值，并求出这个定值；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围.20（2020普陀二模）. 已知椭圆22:194x y Γ+=的左、右焦点分别1F 、2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与Γ交于另一点N ，过原点的直线l 与Γ交于P 、Q 两点.（1）求△2PQF 周长的最小值；（2）是否存在这样的直线l ，使得与直线MN 平行的弦的中点都在l 上？若存在，求出直 线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积1083613[,]13S ∈，求直线l 的斜率k的取值范围.20（2020嘉定二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A 、B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =u r，求△OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅uuu r uuu r为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值，若不存在，请说明理由.20（2020黄浦二模）. 已知点A 、B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为6，且点A 是圆222:(2)x y r Γ-+=（0r >）的圆心，动直线:l y kx =与椭圆交于P 、Q 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS OP λ=uu r uu u r（λ+∈R ），且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于G 、H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =， 求r 的取值范围.20（2020杨浦二模）. 已知双曲线222:1y H x b-=（0b >），经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M 、N 两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若2b =，且M 、N 的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒；（3）设直线l 与y 轴交于点E ，EM MD λ=⋅uuu r uuu r ，EN ND μ=⋅uuu r uuu r，求证：λμ+为定值.20（2020徐汇二模）. 已知椭圆2222:1(0) x ya babΓ+=>>的长轴长为22，右顶点到左焦点的距离为21+，1F、2F分别为椭圆Γ的左、右两个焦点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知椭圆Γ的切线l（与椭圆Γ有唯一交点）的方程为y kx m=+，切线l与直线1x=和直线2x=分别交于点M、N，求证：22||||MFNF为定值，并求此定值；（3）设矩形ABCD的四条边所在直线都和椭圆Γ相切（即每条边所在直线与椭圆Γ有唯一交点），求矩形ABCD的面积S的取值范围.20（2020虹口二模）. 设双曲线2222:1x yCa b+=的左顶点为D，且以点D为圆心的圆222:(2)D x y r++=（0r>）与双曲线C分别相交于点A、B，如图所示.（1）求双曲线C的方程；（2）求DA DB⋅uu u r uu u r的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A、B的任意一点，且直线PA、PB分别与x轴相交于点M、N，求证：||||OM ON⋅为定值（其中O为坐标原点）.20（2020金山二模）. 已知动直线l与椭圆22:12yC x+=交于11(,)P x y、22(,)Q x y两不同点，且△OPQ的面积22OPQS=V，其中O为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ===V V V ？ 若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.20（2020奉贤二模）. 直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=uu u r uur ，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.20（2020崇明二模）. 已知椭圆22:12x y Γ+=的右焦点为F ，直线x t =（(t ∈）与该椭圆交于点A 、B （点A 位于x 轴上方），x 轴上一点(2,0)C ，直线AF 与直线BC 交于点P .（1）当1t =-时，求线段AF 的长； （2）求证：点P 在椭圆Γ上；（3）求证：PAC S ≤V .20（2020浦东二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆222:1x y aΓ+=（0a >）的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12||||AF AF +=. （1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，P 、Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.。
2020上海高三数学二模分类汇总-立体几何(含答案)
2020届二模分类汇总-立体几何一、点线面关系1、【2020年闵行区二模第13题】在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案： B 】二、棱锥、棱柱2、【2020年长宁区二模第7题】 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为 【答案：4π】3、【2020年奉贤区二模第9题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是【答案：2π】 4、【2020年浦东新区二模第14题】如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在【答案：C 】5、【2020年嘉定区二模第15题】如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆 【答案：C 】6、【2020年松江区二模第15题】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为（ ）A. [,]43ππB. 2[arctan,arctan 2]2 C. [,arctan 2]4πD. 2[arctan,]2π 【答案：C解析：如图，作QE ⊥AD 交AD 于点E ，联结PE ， ∴∠QPE 即θ，设AE BP x ==，∴222(1)PE x x =+-，由2222[(1)](1)[(1)]2x x x x x x +-≤+-≤+-，∴2112PE ≤≤，2[,1]2PE ∈，1tan [1,2]QE PE PE θ==∈，即θ∈[,arctan 2]4π。
2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)
2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)1.函数f(x)=3cos2x+1的最小值为1.2.若sinx=1/2，则cos(π/2-x)=cos(π/2-sin⁻¹(1/2))=cos(π/3)=1/2，因此cosx=cos(π/2-π/3)=sin(π/3)=√3/2.3.函数y=arcsin(x+1)的定义域是[-1,√2]。
4.函数y=2cos2x+2的最小正周期为π/2.5.函数y=3cos2x+1的最小正周期为π。
6.函数f(x)=cos(πx/3)的最小正周期为6.7.根据三角形余弦定理，sin²A≤sin²B+sin²C-sinBsinC，代入A=π/2-B-C得到cosBcosC≤1/4，因此B+C≥π/3.又因为B+C≤π-A=2π/3，所以A∈[π/3,2π/3]。
8.根据三角函数的基本关系sin(π/2+α)=cosα，代入sin(π/2+α)=1得到cosα=0，因此α=π/2.再根据三角函数的基本关系cos2α=2cos²α-1得到cos2α=-1.9.根据正弦定理，sinC=c/√(a²+b²-2abcosC)，代入a=23，b=√(23²-8²)=21，C=150°得到sinC=8/21.10.根据函数图像的平移公式，将f(x)=sinx向右平移Δ个单位得到g(x)=sin(x-Δ)，其中Δ>0.对于满足|f(x₁)-g(x₂)|=2的任意x₁、x₂，有|sin(x₁)-sin(x₂-Δ)|=2，即|sin(x₁)-cosΔsin(x₂)-sinΔcos(x₂)|=2.根据三角函数的基本关系sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny，可得到|sin(x₁-x₂)cosΔ-s inΔcos(x₂-x₁)|=2.因为|sinθ|≤1和|cosθ|≤1，所以有|sin(x₁-x₂)|≤2，即|x₁-x₂|≤2.因此Δ的最小值为2.11.根据向量的数量积公式AB·AC=|AB||AC|cosA，代入AB=(3cosx,cosx)，AC=(cosx,sinx)，得到cosA=1/2，因此A=π/3.根据正弦公式，△ABC的面积为S=1/2ab·sinC=3/2sinx·cosx。
2020届上海高三数学二模部分汇总(无答案)
崇明区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (2)宝山区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (8)奉贤区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (12)金山区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (21)闵行区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (28)长宁区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题 (35)浦东新区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题41崇明区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题高三数学2020.05考生注意：1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，另有答题纸。
2.作答前，在答题纸正面填写姓名，编号等信息。
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位，在试卷上作签一律不得分，4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题。
一.填空题（本大题满分54分）本大愿共有12题，考生应在各题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空填对得4分，7-12题每个空格填对得5分 1. 行列式1234的值等于 .2. 设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则A B = .3. 已知复数zi =，i 为虚数单位，则z = .4. 已知函数()21xf x =+，其反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= .5. 已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于 .6. 241(2)x x+的展开式中含5x 项的系数是 .（用数字作答）7. 若1sin()23πα+=，则cos2α= . 8. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，若233a a +=，3432a a +=，则lim n n S →∞= .9. 将函数()sin f x x =的图像向右平移ϕ(0)ϕ>个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足12()()2f x g x -=的任意1x ，2x ，12x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是 .10. 已知样本数据1x ，2x ，3x ，4x 的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是 .11. 在ABC 中，(3,cos )AB x x =，(cos ,sin )AC x x =，则ABC 面积的最大值是 .12. 对于函数()f x ，其定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为“不严格单调增函数”.若函数()f x 定义域为{1,2,3,4,5,6}D =，值域为{7,8,9}A =，则函数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是 .二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答来，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2023年上海16区(浦东徐汇杨浦闵行等)数学高考二模专题汇编2 函数及其应用含详解
15. （宝山）若幂函数 y x 的图像经过点
1
16.（虹口）函数 y lg x 1
x2 4
3
3，
3 ，则此幂函数的表达式为
的定义域为________.
17. （虹口）对于定义在 R 上的奇函数 y f x ，当 x 0 时， f x 2 x
f x
x
C x3 , t x1 x2 x3 ，求证： x1 ， x2 ， x3 成等比数列.
27．
（静安）
（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 8 分）
已知函数 f ( x )
1 2
x ( a 1) x a ln x .（其中 a 为常数）
设 y f ( x )、y g ( x ) 是定义域为 R 的函数，当 g ( x1 ) g ( x2 ) 时，
记 ( x1 , x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
．
g ( x1 ) g ( x2 )
（1）已知 y g ( x ) 在区间 I 上严格增，且对任意 x1 , x2 I ， x1 x2 ，有 ( x1 , x2 ) 0 ，
9
，则该函数的值域为_____
2 1
x
二、选择题
18. （宝山）已知定义在 R 上的偶函数 f x x m 1 2 ，若正实数 a 、 b 满足 f a f 2b m ，则
最小值为
A.
（
9
5
B. 9
C.
8
5
）
D. 8
19. （杨浦）下列函数中，既是偶函数，又在区间 , 0 上严格递减的是（
2020年上海市高三数学二模分类汇编：集合与命题(16区全)
1（2020松江二模）. 若集合{2,4,6,8}A =，2{|40}B x x x =-≤，则A B =I 1（2020杨浦二模）. 设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,3,5,7}B =，则A B =I 1（2020嘉定二模）. 已知集合{2,4,6,8}A =，{1,2,3}B =，则A B =I 1（2020青浦二模）. 已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合U A =ð1（2020黄浦二模）. 若集合{1,2,3,4,5}A =，2{|60}B x x x =--<，则A B =I 1（2020徐汇二模）. 已知{1,2,3,4,5}U =，{1,3,5}A =，则U A =ð1（2020长宁二模）. 已知集合(2,1]A =-，(0,)B =+∞，则A B =I1（2020闵行二模）. 设集合{1,3,5,7}A =，{|47}B x x =≤≤，则A B =I 1（2020金山二模）. 集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =I 1（2020浦东二模）. 设全集{0,1,2}U =，集合{0,1}A =，则U A =ð2（2020崇明二模）. 设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则A B =I 3（2020虹口二模）. 设全集R U =，若{||2|3}A x x =-≥，则U A =ð10（2020奉贤二模）. 集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是12（2020静安二模）. 设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14（2020普陀二模）. 已知集合{3}M =，{2,4}N =，{1,2,5}Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a r 的坐标，则可确定不同向量a r 的个数为（ ）A. 33B. 34C. 35D. 3616（2020浦东二模）. 设集合{1,2,3,,2020}S =⋅⋅⋅，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径，那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）A. 711949⋅B. 7021949⋅C. 702371949⋅⋅D. 702721949⋅⋅。
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1（2020静安二模）. 若sin 3
x =
，则cos(2)x π-的值为 1（2020虹口二模）. 函数()3cos21f x x =+的最小值为
2（2020宝山二模）. 函数)1arcsin(+=x y 的定义域是 2（2020黄浦二模）. 函数22cos 2y x =+的最小正周期为 3（2020杨浦二模）. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 3（2020徐汇二模）. 函数()cos 3
x
f x π=的最小正周期为
5（2020黄浦二模）. 如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2
π
α+= 5（2020徐汇二模）. 方程1sin 3x =
在[,]2
π
π上的解是 7（2020奉贤二模）. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是
7（2020崇明二模）. 若1
sin(
)2
3
π
α+=
，则cos2α=
8（2020虹口二模）. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =，
8c =，30A =︒，则sin C =
9（2020崇明二模）. 将函数()sin f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后得到函数
()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的任意1x 、2x ，12||x x -的最小值是
3
π
，则ϕ的最小值是
10（2020普陀二模）. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
22csc()
ab c
a b c A B -=++，则角C 的大小为
11（2020崇明二模）. 在△ABC 中，,cos )AB x x =uu u r ，(cos ,sin )AC x x =uuu r ，则△ABC
面积的最大值是
12（2020嘉定二模）. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
222sin a b c A ++=，则A =
14（2020宝山二模）. 若函数x a x x f cos sin )(+=的图像关于直线4
x π
=对称，则a 的值
为（ ）
A. 1
B. 1-
C.
D. 15（2020徐汇二模）. 设点2
( 1)(0)2t P t t
+<，是角α终边上一点，当||OP uu u r 最小时，cos α的
值是（ ）
A. 5-
B. 5
C. 5
D. 5
15（2020虹口二模）. 已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2
π
上有且仅
有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）
A. 14(2,
]3 B. 14[2,)3 C. 10[,4)3 D. 10(,6]3
15（2020长宁二模）. 在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角α的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2
π
与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3
α=-，则x =（ ）
A. 0.6
B. 0.8
C. 0.6-
D. 0.8- 15（2020浦东二模）. 已知函数()cos |cos |f x x x =⋅，给出下列结论： ①()f x 是周期函数； ②函数()f x 图像的对称中心(,0)2
k π
π+（Z k ∈）；
③若12()()f x f x =，则12x x k π+=（Z k ∈）；
④不等式sin 2|sin 2|cos2|cos2|x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15
{|,Z}88
x k x k k +<<+∈； 则正确结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
16（2020静安二模）. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ≤<）满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合，对任意的x ∈R 都有
()(26
f x f π
≤=）成立.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若锐角△ABC 的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =， 求△ABC 的周长l 的取值范围.
18（2020闵行二模）. 已知函数2()3cos cos f x x x x ωωω=+（0ω>）. （1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值；
（2）当1ω=时，设△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，
已知()32
A f =，且a =，6b =，求△ABC 的面积.
18（2020松江二模）. 已知函数2
()2cos cos f x x x x =+.
（1）求()f x 的最大值和最小正周期T ；
（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()32
A
f =，且1a =， 求△ABC 面积的最大值.
18（2020宝山二模）. 已知函数())f x x ωϕ=+，()g x x ω=，0ω>，
[0,)ϕπ∈，它们的最小正周期为π.
（1）若)(x f y =是奇函数，求)(x f 和)(x g 在[0,]π上的公共递减区间D ； （2）若()()()h x f x g x =+的一个零点为6
x π
=-，求()h x 的最大值.
18（2020普陀二模）. 设函数2()2sin (
))1263
x f x x ωπ
π
ω=++-.
（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为()2
f π
，求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()f x 在区间(,2)ππ内不存在零点，求正实数ω的取值范围.
18（2020嘉定二模）. 设常数a ∈R ，函数2
()2cos f x x a x =+.
（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；
（2）若()36
f π
=，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解.
18（2020青浦二模）. 已知函数2π()[2sin()sin ]cos 3
f x x x x x =++. （1）若函数()y f x =的图像关于直线x a =（0a >）对称，求a 的最小值； （2）若存在05[0,]2
π
1x ∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围.
18（2020杨浦二模）. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、
c ，且5a =，7b =.
（1）若3
B π
=
，求c ；
（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.
18（2020金山二模）. 已知函数2
()2cos 2
x
f x x =. （1）求函数()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间； （2）当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3
πα+的值.
18（2020长宁二模）. 已知函数()sin f x x x =-，R x ∈.
（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若()0f A =，且2b =，
3c =，求a 的值；
（2）求函数()cos y f x x =的最大值.
18（2020浦东二模）. 已知锐角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方形重合，
终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q . （1）求cos()αβ+的大小；
（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 对应的边长，若已知角C αβ=+，
3
tan 4
A =
，且22a bc c λ=+，求λ的值.。